TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 TRONG các đề THI học kì TOÁN 9

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P x y... Do đó ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp... 1 ab Nhân 3 bất đẳng thức vế theo vế suy ra đpcm... Hướng dẫn Điều kiện: x1... Cá

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ LỚP 9

THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Bài 1 (PGD Đan Phượng 2015-2016). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1 Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x2xy2y2  2y2yz2z2  2z2 zx 2x2

Hướng dẫn

x xy y  xy  xy  xy

Chứng minh tương tự cho hai căn thức còn lại, sau đó cộng vế ta suy ra:

P x y z  P

Bài 2 (PGD Đan Phượng 2013-2014) Giải phương trình: 2 2

x   x x  x Hướng dẫn

Phương trình đã cho tương đương với  2

2

1 1 0

x   x 

Bài 3 (PGD Đan Phượng 2014-2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn

2

a b b c c a 

Chứng minh rằng: 2 2 2 3

2

a b c 

Hướng dẫn Giả thiết tương đương: 2a 1b2 2b 1c2 2c 1a2 3

1 b 2a 1 b a 1 c 2b 1 c b 1 a 2c 1 a c 0

1 b a 1 c b 1 a c 0

1 b a 1 c b 1 a c 0

Suy ra: 2 2 2 3

2

a b c 

Bài 4 (PGD Đan Phượng 2010-2011) Giải phương trình: x3.x4 2x42010x2010

Hướng dẫn

Phương trình đã cho tương đương với 4   

3 2 2010 1 0

1

Bài 5 (PGD Đan Phượng 2011- 2012) Cho x2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 1 2009

P  x x  x 

Hướng dẫn

Ý tưởng: Biến đổi P về dạng tổng các bình phương bằng cách tách các hạng tử

2P  2x 2 x 2 4 x 1 4018  x 2 1  x 1 2 4023

4023

2

Bài 6 (PGD Đan Phượng 2016-2017) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c  1

Chứng minh rằng: ab c  bc a  ca b 2

Hướng dẫn

Đặt P ab c  bc a  ca b Vì a b c  1 nên ta có

P ab c a b c    bc a a b c    ca b a b c  

 a c b c    a b a c    a b b c   

Áp dụng bất đẳng thức cô si cơ bản:

2

x y

 ta có:    2

2

CM tương tự có :    2

2

a b c

   (2),    2

2

   (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) chú ý giả thiết a b c  1 Suy ra đpcm

Bài 7 (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017) Cho a, b là hai số thực thỏa mãn

2 2

a b   a b ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a3 b3 2000

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có:  2

3

a b   a b ab Đặt S a b P, ab , ta có 2

3

S  S P và 2

4

S  P Suy ra 0 S 4

Khi đó

2

3 2000 3 2000 2000 2016

3

S S

M S  SP S  S   S  

Bài 8 (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM)

a) Giải phương trình: x 1 2 x 2 x 2 1

b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x 1 y 1 2xy Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P x y

Hướng dẫn a) Phương trình đã cho tương đương với x  2 1 x  2 1 x   2 1 1 x2

Suy ra 2 x 3

b) Từ giả thiết ta có: x y 0 và  2

2 xy    x y 2 2 x1 y1

4

Áp dụng bất đẳng thức  2  2 2

2

a b  a b ta có:

2 2

2 xy  1 x 1 1 y1  1 1 x  1 y 1

4

xy  xy  

Bài 9 (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: 2 1 21 2 1

2

a b c

 

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: 2 2 2 2 21 1

2

a bc a bc a bc

a bc a bc

Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được:

a bcb cac ab a bc b ca c ab

2

ab bc ca

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình 2 x 3x  2 2 x4

Hướng dẫn

Ta phát hiện 2 x 2 2 x1 và 3x  2 x 4 2 x1 Do đó ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp

Phương trình đã cho tương đương với 2 x 1 3x 2 x 4 0

0

Kết luận: x1

Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017) Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:

1 2

a b





Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức

2

x y

xy  

với mọi x y, 0 ta có:

(1)

Chứng minh tương tự có:   1   4 3 7

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: a3a b  b3b a 2a b 

1 2

a b



   (đpcm)

Bài 11 Cho 1, 3

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của: M  x 2y 2x 1 5 4y 3 13

Hướng dẫn

2M  2x 1 2 2x1.1 1  4y 3 10 4y 3 25  2x 1 1  4y 3 5

Do đó M 0 MinM = 0  x 1,y7

Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017) Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:

a ac b ba c cb

b  c  a   

Hướng dẫn

• Chứng minh bổ đề:

2 2 2

a b c

b  c  a    (1)

Áp dụng bất đẳng thức côsi, ta có:

2 2 2

2

ab bc ca a b c

b  c  a       mà 2 2 2

a b c ab bc ca 

Suy ra

2 2 2

b  c  a   

• Chứng minh 2 2 2

a  b c a acb bac cb Thật vậy:

2 2 2

   do đó suy ra a2 b2 c2 a acb bac cb (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 12. Cho x 31 2 31 2 Tính giá trị của biểu thức  3 2017

3 3

A x  x Hướng dẫn

Ta có 3 3   3 3 

2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3

x  x  x  x    x  x  

Bài 13 Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1

1 3 3 5 77 99 79 81

Hướng dẫn

2P 3 1 5 3   79 77 81 79 81 1 8   P 4

Bài 14 Cho a b c, , 0,abc1, 1 a1b1 c 8 Giá trị của biểu thức A a b2c3 bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có: a 1

bc

1 1 b 1 c 8

bc

Suy ra a1 và A3

Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy z 1 yz x 2 zx y 3

xyz

Hướng dẫn

3

2 2 2 2 3 2 2 2 2 3

y

P



Bài 16 (Phạm Như Toàn) Giải phương trình: x x 3 3

Hướng dẫn Đk: x0 Phương trình tương đương với   2

2x 3 2 x x3  9 x 3x  3 x Điều kiện 0 x 3 Bình phương hai vế phương trình ta được: x23x 9 6xx2  x 1

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với

1 3 2 0

Bài 17 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2

1 a1 b1 c

   Chứng minh rằng

1 8

abc Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có: 1

a  b c

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 1 2 2

Chứng minh tương tự, có: 1 2

1 1 1

ca

1 1 1

ab

Nhân 3 bất đẳng thức vế theo vế suy ra đpcm

Bài 18. Tìm các số thực x y thỏa mãn đẳng thức , 36 4 28 4 2 1

Hướng dẫn

Đẳng thức đã cho tương đương 4 2 36 24 1 4 4 0

0 2 2 6 1 2 0

Suy ra x11,y5

Bài 19 Cho a, b là các số dương thỏa mãn a2b2 16 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Aa b a b b a b a

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức cô si:   1   1 9 8

b a b  b a b   

Suy ra   2 17

8

6

a b a b  

(1)

Chứng minh tương tự ta có:   2 17

8

6

b a b a  

(2)

Cộng vế (1) và (2) ta được:

2 2

34 6

2aba b nên  2 2

A a b  A

Bài 20 Cho 0a b c, , 2,a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

Aa b c Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có 2a2b2   c 0 8 abc2ab bc ca   4 a b c   0

2 ab bc ca abc 4

A a b c   ab bc ca    ab bc ca 

Suy ra A 9 abc  4 5 abc5

Max A = 5 khi a b c, ,   0,1, 2 và các hoán vị của nó

Bài 21 Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 2

Hướng dẫn Điều kiện: x1 Khi đó phương trình tương đương với phương trình

1 2 1 1 1 2 1 1 2

x  x   x  x  

1 1 1 1 2

Kết hợp điều kiện suy ra giá trị cần tìm của x là 1 x 2

Bài 22 Giải phương trình: 2   2

2

x

x



Hướng dẫn

Điều kiện: 2 0

2

x

x





 Đặt   2 2 2

2

x

x



 Khi đó phương trình trở thành: 2

4 3

t  t 

3

t

t

 



       



• Với t 1, ta có   2

2

x x

x



 , vì 1 0  nên x   2 0 x 2 Khi đó 2 2

x   x    x

• Với t 3, ta có:   2  2 2 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5; 13 

Bài 23 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Axyz x yyzzx biết x y z, , 0 và thỏa mãn x  y z 3

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số dương có:

3

xyz xyz

8

x y y z z x

xy yz zx         x y z 

Từ (1) và (2) suy ra: A8

MaxA = 8    x y z 1

Bài 24 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2 y1 biết x y 4

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức:  2  2 2

2

a b  a b (các em tự chứng minh)

2

A  x  y  x   y x  y (vì x y 4)

Do A không âm nên từ A2   2 A 2

A  x y

Bài 25 Cho các số không âm x y thỏa mãn , x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

P

Hướng dẫn

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

2 2

, , 0, ,

a b



2

x y

P



Do 1 1  2

xy xy xy và x y 4 nên 2

3

P Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 2

Cách 2: Viết lại

P

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

tương tự ta được:

Từ (1) và (2) suy ra 2 

Vì  2

4

x y

 và do x y 4 nên 2

3

P Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 2

Bài 26 (Phạm Như Toàn) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 3x 9 2y 4 z 1



Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức cô si: 1   1 9 3 9

3 9 9 3 9

Suy ra 3 9 1

2

x

x

 

Chứng minh tương tự suy ra 3

2

A

Vậy max 3 6, 4, 2

2

A x y z

Bài 27 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y    x 1 x 3 2x2 với 2  x 4

Hướng dẫn Lập bảng xét dấu, ta có:

• Với      2 x 1 y 6

• Với       1 x 1 y 4x 2

• Với 1    x 3 y 2x

• Với 3    x 4 y 6

Vẽ đồ thị hàm số ra ta thấy maxy6, min y 6

Bài 28 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2 2x 3 4x 1 5x10

Hướng dẫn

Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm ra min

Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A  A với mọi A

2 2 3 4 1 10 5 2 2 3 4 1 10 5 8

P  x x  x   x   x x  x   x

Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối A  B  A B

Bài 29 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A x   x x  x Hướng dẫn

Cách 1: Vì A0 nên Amin  Amin2

A  x   x x    A

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A2 x2 x 1 x2  x 1 2 x4x2 1 2

Bài 30 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y biết x y là các số dương thỏa mãn ,

3 4

1

x y

Hướng dẫn

3 2

    

            

(theo bất đẳng thức buhiacopxki)

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A 7 4x 3y 7 2 4x.3y 7 4 3

Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A   x y z xyyzzx biết x2y2z2 3

Hướng dẫn Chú ý:  2 2 2 2  

2

x y z x y z  xyyzzx và các bất đẳng thức sau đây

• 2 2 2

x y z xyyzzx

• 2 2 2 1 2

3

x y z  x y z

x y z  xyyzzx

Bài 32 (Nâng cao phát triển toán 9 tập 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

Aa b c biết  1 a b c, , 3,a b c  1

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra: a1a  3 b 1b  3 c 1c 3 0

2 2 2

11 , , 1, 1,3

MaxA  a b c    và các hoán vị của nó

Bài 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1

x y

  biết x y, 0,x2y2 1

Hướng dẫn

1 1 2

P

2

xy

Bài 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A3x3y với x y 4

Hướng dẫn

3 3 3 2 81 18

3

x

Bài 34. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 9

4

1 3 5 7 9 11 97 99

Hướng dẫn

3 5 7 9 99 101

1 3 3 5 99 101

3 1 5 3 101 99 101 1 9 9

Bài 35 Cho  2 2

2011 2011 2011

x x y y  Tính giá trị Ax2011y2011

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có 2

2

2011 2011

2011

  (1)

Lại có:  2 2

2011 2011 2011

y y  y y  (2)

(1) và (2) suy ra:

2 2

2011 2011



0

2011 2011

x y

x y

 

• Với y   x A 0

2011x  x 2011y   y 0 2011x   x y 2011y

x x y y  y y y y   (vô lý) Vậy A = 0

Bài 36 Giải phương trình   2

2 x2 3x 1 3x 7x3 (1)

(Đề thi vào 10 chuyên toán TP HCM 2017-2018)

Hướng dẫn

Ý tưởng: Tạo hằng đẳng thức bằng cách thêm bớt

2

OK!

Bài 37 Giải hệ phương trình

2

1 10

1

x

y x

y xy y

    







(Trích đề thi vào 10 chuyên toán TP.HCM 2017-2018)

Hướng dẫn

Hệ đã cho tương đương với 2  

1 10 10

Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta giải ra 1

2

xy , thay trở lại pt thứ hai là xong

Bài 38 a) Giải phương trình  2   

x  x x  x 

b) giải hệ phương trình  

2 3 0

x xy y







(Trích đề thi vào 10 chuyên toán TP HCM vòng 1 năm học 2017-2018)

Hướng dẫn a) Phương trình tương đương với

2

6 5 0

2 4 0

   



   

 (Chú ý điều kiện: x2 ) b) Tự giải

Bài 39 Cho x 3 28 1 3 28 1 2  Tính giá trị của biểu thức Ax36x221x2018

Hướng dẫn

3

2 2 3 28 1 28 1 2 2 9 2

2 9 2 2044 2 2044 2046