Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 2

Phần II: Thống kê toán gồm có 4 hương. Chương 3 trình bày về cơ sở lý thuyết mẫu: các phương pháp chọn mẫu, sắp xếp mẫu, đặc trưng của mẫu. Chương 4 và Chương 5 quan tâm đến hai bài toán cơ bản là ước lượng tham số và kiểm định giả thuyết thống kê. Các bài toán về tương quan và hồi quy tuyến tính đơn giản được đề cập đến ở Chương 6. Phần cuối cùng là một số bảng phụ lục thông dụng.

Phần 2 Thống kê toán

Thốngkêtoán rađờigắnliềnvớinhu tiễn tựnhiên-xãhộivà sử

phát triển lâu đời nhất Nội dung thốngkê toánlà xây dựng phươngpháp thu

thập, sắpxếp và xửlý sốliệu thốngkê (số liệuthống kêở đây thểlà những tính định

tính những tínhđịnh lượng) Thông qua pháthiện, phảnánh nhữngquy luậtvề

mặt lượng hiện tượng, sốthốngkê giúp kiểm tra, đánhgiá hiện

tượngtựnhiên, vấnđềkinhtế như vấnđềxãhội.Từđóđưaranhữngquyếtđịnh,

dự báovà định phát triển sự vật,hiệntượng nghiên Phần

thống kêtoán sẽ giớithiệu những kiến bảnnhất về một sốbài toánquan trọng trong

thốngkêbàitoán lượngthamsố,bàitoánkiểmđịnhgiảthuyếtthốngkêvàbàitoántương

quanhồiquy

Cơ sở lý thuyết mẫu

Quátrìnhnghiên thốngkêgồm giaiđoạn:thuthậpsốliệu,xửlýtổnghợpvàphân

dựbáo Trong thuthập sốliệu thườngáp dnghai hình yếu: báo thống kê

địnhkỳvàđiềutrathốngkê.Chươngnàynhằmgiớithiệumộtsốvấn đề quantâmkhibắt

đầu làmmộtbàitoánthốngkê, đólàgiaiđoạnthuthậpvà xửlýsốliệu

Địnhnghĩa 3.1.1 Toànbộtậphợp phầntửđồngnhấttheomộtdấu hiệunghiên định

tính định lượngnào đó gọi là tổngthể nghiên (population) (haytổngthể

thể (sizeofpopulation),thường kíhiệulàN

Vớimỗi tổng thểta không nghiên tiếptổng thể đómà thông qua mộthay nhiều

dấu hiệu trưng tổng thể đó, gọi là dấu hiệu nghiên dấu hiệu này

thể là định tính định lượng (ta thể gọi là biến địnhtính biến địnhlượng)

Chẳng hạn, để nghiên dài bông lúa một giống lúa nào đó thì dấu hiệu nghiên

ở đây mang tính định lượng là dài bông; khi nghiên một loại bệnh mới

xuấthiệntrêngia tạiđồngbằng Bộthì tínhmàtaquantâmđếnởđâylà tính

mangtínhđịnhtính,xtmỗi thểgia trongtổngthểthì không loạibệnhmà

ta quantâm

Định nghĩa 3.1.2 Mộttập hợp thể lấy ra từtổng thể gọi là mẫu(sample)

Sốlượng thểtrongmộtmẫugọilà mẫu(sizeofsample), thườngkíhiệulàn.Chú ý rằng mẫu thườngnhỏ hơn rất nhiều so với tổng thể Từ

tổng thểđã ta thể lấyranhiều mẫu nhauvới một n.Tập hợptất

mẫu thể lấy ra từ tổng thể gọi làkhông gian mẫu (sample Thay

vì nghiên tất thể mặttrongtổngthể ta sang nghiên một bộphận

tổngthểlàmẫuvì vậymẫuphảiđạidiệnmột quannhất tổngthể.Taquan

tâmđến phươngpháp lấymẫusau đây:

a)Lấymẫungẫunhiênkhônghoànlại:Đólàphươngpháplấymẫubằng đánhsố

thểtrongtổngthểtừ1đếnN.Rútngẫunhiênlầnlượtn thểđưavàomẫutheomộttronghai sau

- Mẫu ngẫu nhiên đơn giản: Từ tổng thể N người ta dùng rút thămđơngiản ra n phầntử mẫu theo một bảng số ngẫunhiên nào đó u điểm phươngphápnày là php thu một mẫu tính đại diện php suy rộng kết quả

mẫu tổngthể vớimột saisố định điểm phươngpháp này làphải

toànbộdanh tổngthểnghiên mặt phí mẫukhá lớn

-Mẫungẫunhiênhệthống:Làloạimẫungẫunhiênđã đơngiảnhoátrong

trongđó phầntửđầutiên một ngẫunhiên, sauđódựatrêndanh đã

đánh số tổng thểđể ra phầntửtiếptheovào mẫutheomộtthủ nàođó

điểm phươngpháp nàylàdễ saisốhệthốngkhidanh tổngthểkhông

sắpxếpmột ngẫu nhiênmàlạitheomộttrậttự quannàođó

b)Lấymẫungẫunhiên hoànlại:Đánhsố thểtrongtổngthểtừ1đếnN.Rútngẫunhiêntừtổngthểra1 thể,ghi tính thểnàyrồitrả thểđóvềtổngthể, tínhvừa ghilại làphầntửđầutiên mẫu định phầntửtiếptheo mẫu

làm tươngtựnhưtrên

Từphươngpháplấymẫungẫunhiên hoànlạitathấy suấtđểmỗi thể mặttrong

mẫuđềulà 1/N.Mỗi thể thể mặtnhiềulầntrongmẫu.Dễthấy,với n,sốlượng mẫutrongtrườnghợplấymẫukhônghoànlạilàA n

N,sốlượng mẫutrongtrườnghợplấy hoànlạilà A n N = N n

.KhiN lớnhơnrấtnhiềusovới n thìA n

N ≈ N n

,khiđó

lấymẫuhoànlại vàkhônghoànlại ta kếtquảsai khôngđáng kể

Lấy mẫutheo lớp: Chia tổngthể ra làmk lớp Rồi từ mỗi lớplấy ngẫunhiên ra một

số thểđưa vàomẫu Nếusốlượng thểởlớpthứ ilà N i thìsố thể vàomẫu lớpnàylà n i nênthỏa mãnđiềukiện

n i

n ≈ N i

N d)Lấymẫutheo kì:Trong kiểmtra lượngsảnphẩm nghiệp sảnxuất

theodây lấymẫungẫunhiênsẽgặpkhókhănvàtốnkm Phươngpháp lấymẫu

theo kỳ tỏ ra hiệu quả trong nền sản xuất nghiệp hiện đại Cứ sau một kỳ

gồm T sảnphẩmlấy ramộtsản phẩmđểđưa vàomẫu Đểtránhsự trùnglặp kỳ sảnxuất ra sảnphẩm tốt,xấu dây với kỳ lấy mẫu, ta thểthay đổi kỳ

T trong đợtlấymẫu nhauvới mẫuphảiđạidiệnmột quannhất

phươngpháplấymẫutrênlà phươngphápphổbiếntrong thuthập dữliệu.

lấymẫutốt,xấutheonghĩa quanhaykhôngảnhhưởngrất lớnđến đưara

kết luận hay khôngvề tính mặttrongtổngthể

Chú ý3.1.3 Từ kết quảtập mẫu ta thể suy ra kết quả tổng thể bởi vậy

baogiờ thể phảisailầmnhấtđịnh.Độsai lớnhaybph vàophương

pháp xây dựng mẫu và mẫu Độ trongthống kê thường gọi là độ

tin (degree of kếtluận, kíhiệulàγ.Nếugọiα làtỉlệsaisót (hay ýnghĩa) kếtluậnthìα = 1 − γ

3.1.3 Mẫu ngẫunhiên

Sauđây, mẫu hiểu là mẫu lặplại và lấy theo phương pháp ngẫu nhiên đơn

giản Giảsử trưngbiếnX ởmỗi thểởtổngthểlàmộtbiếnngẫunhiên, gọilàbiến ngẫu nhiên hàm phânphối suấtF (x) Tatiến hành mộtphp lấy mẫu ngẫunhiên n.GọiX i là biếnngẫunhiên giátrị X thểthứ itrongmẫu, tathấy X i là biếnngẫunhiên phânphối suấtvớiX.Vớimỗimẫu thểX i

sẽ giá trị địnhlàx i.Do lấymẫu lậpnêndãyX 1 , X 2 , , X n là biếnngẫunhiên lập

Địnhnghĩa3.1.4 Mẫungẫu nhiên(randomsample) n làtậphợp n biếnngẫunhiên lậpX 1 , X 2 , , X n thànhlậptừ biếnngẫunhiênX và quyluậtphânphối suấtvớiX,kýhiệulàW = (X 1 , X 2 , , X n )

Giảsử X 1 nhận giá trị x 1,X 2 nhận giá trị x 2, X n nhận giá trị x n Tập hợpn giá trị

x 1 , x 2 , , x n tạo thành một giátrị mẫu ngẫu nhiên, hay gọi là mẫu thể, ký hiệu

w = (x 1 , x 2 , , x n )

Ví d3.1.5 Xttổngthểlà tậpsinhviênViệt Nam,biếnngẫu nhiên X là

mỗi sinh viên Xt một mẫu n = 10, gọi X i là sinh viên thứ i

trongmẫu,khiđóW = (X 1 , X 2 , , X 10 )làmộtmẫungẫunhiên hiệnmộtphpthửđốivới mẫu ngẫunhiên trên, là tiến hànhđo 10sinh viên vào mẫuta thumẫu thể x 1 = 1, 50; x 2 = 1, 52; x 3 = 1, 60; x 4 = 1, 65; x 5 = 1, 70; x 6 = 1, 81; x 7 =

1, 63; x 8 = 1, 77; x 9 = 1, 55, x 10 = 1, 58 (đơnvịlàmt), bộsố

(1, 50; 1, 52; 1, 60; 1, 65; 1, 70; 1, 81; 1, 63; 1, 77; 1, 55; 1, 58)

là mộtmẫu thể(haymộtthểhiện) mẫungẫunhiên(X 1 , X 2 , , X 10 )

Chúý3.1.6 Với xâydựngmẫungẫunhiênnhưtrênthì biếnngẫunhiênX 1 , X 2 , , X n

X

hàm phânphối suất F (x) mà thamsố trưng bằng tham

Đểkhai vàxửlý thôngtin đựngtrongdãysốliệunàyta sắpxếpsố liệu

nhằm nhận ra trưng dãy số liệu đó Thông thường ta sắp xếpsố liệu theo thứtự

tăngdần Dãysốliệunàyưuđiểmhơndãysốliệubanđầu, ta thểdễdàngnhậnbiếtgiátrị

nhỏ nhất và giá trị lớnnhất số liệumẫu, biết biên độ daođộng sốliệu

mẫu Với sắpxếpnày tadễdàng nhậnbiết số liệu mặttrongmẫu mộtlần vì

số liệubằng nhau xếp liềnnhau Một số phươngpháp thường dùngđể sắpxếpsố

b)Phươngphápdùngbảngtầnsốvàbảngtầnsuất.Giảsửtừtổngthể biếnngẫunhiên

X rútramộtmẫungẫunhiên n,trongđógiátrịx 1 xuấthiệnvới tầnsốn 1,giátrị x 2 xuất hiệnvới tần sốn 2 , , giátrị x k xuất hiệnvới tần sốn k, đósau khi x i đãsắp xếptheo trình tự tăng dầngiá trị thể mẫu, ta thể mô tả mẫu thể bằng

bảngphânphốitầnsố nghiệmsau

x i x 1 x 2 x i x k

n i n 1 n 2 n i n k

với n 1 + n 2 + + n k = n.Dòngtrênghi giátrị thể mẫutheothứtựtăngdần,dòngdướighitần sốtươngứng.Tầnsốmẫulà số thể tính X = x i trongmẫu Bảngtầnsố tanhiềuthôngtin hơndãysố liệu sắpxếptheothứtự tăngdần Ngoàinhững

thôngtin nhưdãy sốliệusắpxếptheothứ tựtăngdần, quabảngtần sốta thể biết

sốliệu nào mặtnhiềunhất, sốliệunào mặtítnhấttrongmẫu

với f 1 + f 2 + + f k = 1.Ngoài nhữngthôngtin nhưbảng tầnsố mẫu, ta biết

Nhữngphươngpháptrên ưuđiểmlàmô tả mẫu lớn,nhưng điểm làkhó

mô tả mẫuliên Khi mẫulớn và tính địnhlượng tổng thểlà một

biếnngẫu nhiênliên thìngườitathườngdùng phươngpháp sau

Phươngphápphânkhoảng Phân sốliệutheolớpvới mộtđộrộngđểthuậntiện

phân và xửlýsốliệu.Giảsửx min làgiátrị nhỏnhất,x max làgiátrịlớnnhất

số liệu.Chia khoảng(x min , x max )thànhk khoảng đều nhauvớiđộ rộng mỗikhoảnglà

Tần sốdữliệutrongkhoảng n 1 n 2 n k

trongđón i làsố thể tínhX thỏamãnx i−1 6 X 6 x i , i = 1, 2, , n trongmẫu.Phươngpháp này ưu điểmlà mô tả mọidữ liệu, khoảng dầy thì

tính toántrênmáytínhthuậnlợi

Víd3.2.2 Tiếnhànhđongẫunhiên100 đàntrồngtrongmộtkhurừngtáisinhsau

10năm, tathu sốliệu sắpxếpthànhbảngsau:

Chiều (m) 3, 5 − 4, 5 4, 5 − 5, 0 5, 0 − 5, 5 5, 5 − 6, 0 6, 0 − 6, 5

Cho mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) lấy từ biến ngẫu nhiên X hàm phân phối

Định nghĩa3.2.3 Hàmphân phối nghiệm mẫu (hayhàm phân phốimẫu) biến

ngẫunhiênX,kíhiệulàF n (x),làmộthàmsốtheobiếnsố xvà địnhnhư sau:

F n (x) = m

trongđómlàsốphầntử mẫu trịsốnhỏhơnx (X i < x).Với xâydựnghàmF n (x)

như trên thì rõràng là saukhi lấy mẫu rồithì phân phốinày địnhhoàn toàn Theo

(3.3),F n (x)làtầnsuất biếnngẫunhiênX nhậngiá trịnhỏhơnxứngvớin php thửlậpnên định nghĩaF n (x)trong(3.3) tươngđươngvới địnhnghĩaluật phânphốiP n

địnhbởi:

P n (X = X i ) = 1

n (i = 1, 2, , n). (3.4)Như vậy rõ ràng là hàm phânphối mẫu là hàmphân phối suất và khi mẫu tăng

vô hạn thìhàm phânphối nghiệm F n (x)tiến dầnđến hàmphânphối suất F (x)

tổng thể Do đó thể dùnghàm phânphối nghiệm mẫuđể biểudiễn một gần

đúngquyluật phânphối suấtF (x) tổng thể

Víd3.2.4 Điềutra độsâubệnhtrên một đồngngô,ngườitakiểmtra ngẫunhiên

500 mỗi 2 Kếtquảkiểm tranhưsau

Hãylậphàm phânphối nghiệm

Giải:Theo địnhnghĩata hàmphânphốimẫu định là

+Vớix < 0 thìF n (x) = 0;

+Với0 < x ≤ 1thìF n (x) = 242

500 = 0, 484;+Với1 ≤ x < 2thìF n (x) = 242 + 185

427

500 = 0, 854;+Vớix ≥ 2thìF n (x) = 1

3.2.3 Biểu diễn số liệu bằng biểu đồ

Phươngpháp này thường dùng trongthống kê mô tả Sau khithu thập sốliệu

vào mộtmẫuvà sắpxếpsố liệuthànhbảng tầnsố,bảngtần suấthaybảng ghplớp,người ta

biểu diễn sốliệu đó bằng biểuđồ để minh họa mậtđộ phân bố hiện tượng ngẫu

thống kênhưbiểuđồhìnhtròn, hình biểuđồđường,biểu đồhình thang, sử

dng loạibiểuđồnàođểbiểudiễnsốliệu hợpph vào tính trưngmà

tanghiên (biếnđịnhtínhhaybiếnđịnhlượng), ph vàophươngphápsắpxếpsốliệu

a) Biểu đồ tần số Nếu sốliệu sắp xếpphân loại theotần số thì người ta thường dùng

loạibiểuđồsauđểbiểudiễn:

-Biểuđồtầnsố hình gồmnhiềuhình nhật,mỗi tínhứngvới một hình

nhật, đáy trùng với hoànhbiểu thị tínhtương ứng, tungbiểu thị

tần sốvàđộ mỗi hình nhậtthểhiện tầnsố tính

-Biểuđồđườngtầnsốhayđa tầnsốlàđườngnối điểm(x 1 , n 1 ), (x 2 , n 2 ), , (x k , n k )

Ví d 3.2.5 Để nghiên lượng tập sinhviên nămthứ nhất ởmột trường đại

ngườitathốngkêđiểm tổngkếttheoxếploạiA, B, C, D 400 sinhviênnămthứnhấtngẫunhiêntừdanh và thu bảngsốliệu sau

Tần số 35 260 93 12

Hãy vẽbiểuđồhìnhtròn vàhình biểu diễnkếtquả tập 400 sinhviêntrên

Giải Ta thểtổnghợp sốliệutrongbảngtrêndướidạngbảngthốngkêsauđểthuậntiện

biểudiễn số liệubằngbiểuđồhìnhtròn

- Biểu đồ hình tròn là biểu đồ gồm nhiều hình quạt, mỗi hình quạt biểu diễn tỷ lệ phần

trăm mỗi tínhsovớitoànbộ tínhthu ở mẫu

-Biểuđồđườngtầnsuấthayđa tầnsuấtlàđườngnối điểm(x 1 , n 1

điềunàynghĩalàkhin lớnthìtungđộ biểuđồđườngtầnsuấtxấpxỉtungđộ biểuđồ

đường suất tìm.Dođóbiểuđồđườngtầnsuấtgiúptahìnhdungdạnghàmmậtđộ

biếnngẫunhiênX

Ví d 3.2.6 Hãy vẽ đa tần suất bảng số liệukiểm tra kết quả thi môn toán 20

Hình3.3:Biểuđồ đườngtầnsuất

động quan hailoạibiểuđồtrên sự nhau Biểuđồhìnhtròn dùng

đểbiểuthịmốiquanhệ mỗiloại tínhvớitoànbộ;biểuđồhình dùngđểnhấn

mạnhsố lượng sựlàtầnsố mỗi tính trongmẫuthôngquađộ

Hailoạibiểuđồnày dùngđểmô tả số liệu biếnđịnh lượng.Nhiềukhi

ngườitaphảitậphợpsốliệu biếnđịnhlượngtrênnhữngnhómđã phânloại tổng

thể Chẳnghạn, ngườita thểnghiên thunhậptrung bình ngườidântheo nhóm

giới tính,nghề nghiệp theo vùngđịa lý nhautrongmột gia Trong những

trường hợpđó, ta thểdùng đồthị hìnhtròn hình để mô tảsố liệuthu thập

3.3 trưng mẫu ngẫu nhiên

3.3.1 Hàm thống kê

Để nghiên biến ngẫu nhiên X trong tổng thể, nếu rút một mẫu ngẫu nhiên

(X 1 , X 2 , , X n )thì mới một vàikết luậnsơ bộvà rời về X,vì giátrị X i

mẫu quy luật phân phối suất với X,song quy luật này lại địnhhoàntoàn.Nhưngnếutổnghợp biếnngẫunhiênX 1 , X 2 , , X nnàylạithìtheoluậtsốlớn

sẽ lộnhữngquy luậtmới làm sở đểnhận địnhvề biếnngẫu nhiên X trongtổngthể tổnghợpmẫu(X 1 , X 2 , , X n ) hiệndướidạngmộthàmnàođógiátrịX 1 , X 2 , , X n mẫu gọilàhàmthốngkê haythốngkê,

ký hiệulàG = f (X 1 , X 2 , , X n ).Vớimẫu thể(x 1 , x 2 , , x n )thìg = f (x 1 , x 2 , , x n )

là giátrị thểmà thốngkêG = f (X 1 , X 2 , , X n )nhậntương ứngvớimẫuđã

Nhưvậy,về thốngkêlàmộthàm biếnngẫunhiên, dođónó làmột

biến ngẫunhiêntuân theomột quyluậtphânphối suất nhấtđịnhvà tham số

trưngnhưkỳ vọng,phươngsai, thống kê vớiquyluậtphânphối suất

là sởđểsuyrộng thôngtin mẫu dấuhiệunghiên tổngthể

3.3.2 Trung bình mẫu

Giảsửtừtổngthể biếnngẫunhiên X,talậpmộtngẫunhiên(X 1 , X 2 , , X n )

n

Định nghĩa 3.3.1 Một thống kê gọi là một trung bình mẫu (sample mean) nếu nó là

trungbình số giá trịmẫu,kí hiệulàX, làX địnhbởiX = 1 n

n

P

i=1

X i

Chú ý3.3.2 (i)Khi hiện mộtphp thửđốivới mẫungẫunhiên, nósẽnhậnmột mẫu

thể (x 1 , x 2 , , x n ),dođótrungbìnhmẫu nhậnmột giátrị thể, kíhiệulàx

(ii)Trungbìnhmẫulà mộtthốngkênênnó làmộtbiếnngẫunhiên,do đónó

tham số trưng tương ứng nhưkì vọng toán, phương sai Nếubiến ngẫu nhiên X

kì vọngtoánE(X)và phươngsai V (X)thì

Chú ý3.3.4 (i)Hoàn toàntươngtự nhưtrungbình mẫu,khi một mẫu thể thìphương

saimẫusẽ nhậnmộtgiátrị thể, kíhiệulà s 2

(ii)Phươngsaimẫu làmộtthốngkênênnó làmộtbiếnngẫunhiên tham

số trưng định.Nếubiếnngẫunhiên X kìvọngtoánE(X)vàphươngsaiV (X)

thì

E(S 2 ) = n − 1

3.3.4 Phương sai điều mẫu

Định nghĩa 3.3.5 Phương sai điều mẫu (samplestandard kí hiệulà S ′ 2

n lầnphươngsai biếnngẫu nhiên

X, và phương sai điều mẫu S ′ 2

kì vọng toán đúng bằng phương sai biến ngẫu

nhiên X.

Định nghĩa 3.3.7 Độ tiêu mẫu (sample error) và độ tiêu điều

mẫu (sample standard error) lần lượt kí hiệu là S và S ′

3.3.6 Sai số tiêu

Nếuta mẫumlần,mỗilầnnphầntửthìtasẽ mtrungbìnhmẫuX.Điềunàydẫntới kháiniệmsau:

Định nghĩa3.3.8 Sai số tiêu (standarderror), kýhiệu làSE, làđộ m

trungbình mẫuvà địnhbởi

SE = σ(X) = σ(X) √

n .

Chú ý3.3.9 (i)Trongtrườnghợpnếu biết độ tổngthểthìSE = √ S ′

n.(ii)Saisốtiêu phảnánhđộdaođộnghaybiếnthiên sốtrungbìnhmẫu

tham sốđộ tiêu điều mẫuvàsai sốtiêu đóngvai tròquantrọngtrong

bài toánvề lượng khoảng tin và kiểm định giả thuyết suất (sẽ đề đến ở

Chương 4và Chương5 giáo trìnhnày)

Quanộidungtrênbạn dễnhậnthấykhi mẫu thểtasẽtính trungbìnhmẫu,

phươngsaimẫulà giátrị thể.Tính trungbìnhmẫu,phươngsaimẫutasẽtính

trưng lạinhư phươngsaiđiều mẫu, độ tiêu mẫuvà độ tiêu

điều mẫubằng sửdng địnhnghĩa Dovậyởđâytaquantâm

đến tínhhai trưngmẫulàtrung bìnhmẫuvàphươngsaimẫu

-Nếumẫu thể ở dạngliệtkêthìvới mẫu n ta

x = 1 n

Nh×nvµo b¶ngvµdùavµo (3.10) ta x =

Chú ý 3.3.11 (i) Trong trường hợp x i đều nhau một khoảng h,đổi biến số

ý nghĩa làm giảmđộ tạp tính toánnên nếu khôngđổi biến ta vẫn tínhbình thường như

trườnghợpb)

(ii) Nếumẫu dưới dạng bảng ghp lớp(phương pháp phân khoảng), ta mỗi lớp

một giátrị đạidiện, thông thườnglà giátrị giữa lớp, khiđó tathu bảngtần sốvà

sèphÇntömangdÊu hiÖunghiªn trongmétmÉuvµ mÉu.

VÝd3.3.14 KiÓmtrangÉunhiªn400s¶nphÈmdométm¸ys¶nxuÊtrathÊy 20s¶nphÈm

lµphÕphÈm TÝnhtÇnsuÊtxuÊt hiÖnphÕphÈmtrongmÉu lÊyra

Gi¶i Ta tÇnsuÊt xuÊthiÖnphÕphÈmtrongmÉulÊyralµf = 20

(a)LËp b¶ngtÇnsèvµ tÇnsuÊtmÉu

(b)LËp hµmph©nphèi nghiÖm mÉu

X©ydùng®a tÇnsèvµ ®a tÇnsuÊt mÉu

(a)Tính trungbìnhmẫuvà phươngsaimẫu.

(a)Lập biểuđồ tầnsốhình và đa tầnsố

(b)Tính trungbìnhmẫuvà phươngsaimẫutheo giá trịđạidiện

5 Đođộdài 30 tiết ngẫunhiêntừmộtloạisảnphẩmtathu bảngsốliệusau đây:

(a) địnhhàmphânphối nghiệmứngvớimẫutrên;

(b) địnhbiểuđồđườngtầnsuất;

Tính trungbìnhmẫu, phươngsaimẫu

6 Đođộ sảnphẩmsovới tathu bảngsốliệusau đây:

X 0, 02 0, 04 0, 06 0, 08 0, 10 0, 12 0, 14 0, 16

0, 04 0, 06 0, 08 0, 10 0, 12 0, 14 0, 16 0, 18

(a)Hãy lậpbảngtầnsuấtmẫu;

7 Cho bảngtầnsuấtmẫu:

(a)Xâydựngđa tầnsuất;

(b)Tính x, s 2 , s ′2 , s, s ′

9 Điềutra365 điểmtrồnglúa một huyệntathu sốliệusau:

NăngsuấtX (tạ/ha) 25 30 33 34 35 36 37 39 40

Sốđiểmtrồng lúan i 6 13 38 74 106 85 30 10 3

(a)Xâydựngđa tầnsuất;

(b) Tính năng suất lúa trung bình và độ phân tán năng suất lúa 365 điểm nóitrên

lượng tham số

lượng tham số là một trong những bài toán bản thống kê toán Khi

nghiên một dấu hiệu trưng dưới dạng tính địnhlượng hạn như

nặng, độdài, ) tổngthể thôngquabiếnngẫunhiên X,nếu địnhquyluậtphânphối suất X thì đưara đánhgiá như dựbáovềsựbiến

động tổng thể liênquan đến tính nàysẽ và quan Tuy nhiên không

phải nào ta định quyluật phân phối suất X Trong một sốtrường hợp,bằng phươngpháp phân lýthuyết ta thể biết dạng toán hàm

phân phối hàmmật độ biếnđịnh lượngX Tuy nhiên thamsố trưng nónhư kỳ vọng, phương sai, mà tagọi là tham số lý thuyết θ lại biết nên taphải địnhθ tính θ làkhó thể hiện màta thểtính gần

đúngthôngquamẫu nghiệmđã gọilà lượng thamsố(estimateforparameters)θ

Cóhaiphươngphápthường sửdnglàphươngpháp lượngđiểmvà phươngpháp

lượngbằngkhoảng tin

Phương pháp lượng điểm (point estimation) trương dùng một giá trị để thay

thế thamsố θ biếtvề tổngthể, vì bản thân θ là mộtsố định Thông thường giátrị làmộtthốngkêGnàođó mẫungẫunhiên Cónhiều thốngkêG

nhautạonênnhữngphươngpháp lượngđiểm nhau

thốngkêmẫu tươngứngvới thamsố θ lượng, hạn, để lượngkìvọngtoána biếnngẫunhiên thìngườitathường thốngkêlàtrungbìnhmẫuX,đểlượngphươngsaiσ 2

thìta thốngkêlàphươngsaimẫuS 2

3.Lậpmẫu thểvàtính giátrịg = f (x 1 , x 2 , , x n ) thốngkêGtrênmẫuthểđó.Từ đósuyra lượng θ là giátrịg vừa tính

Chấtlượng lượngkhôngthể đánhgiá quamộtgiá trị thể Gvì nhưvậy

sosánh tiếpg và θ màθ lại biết.Do đó thểđánhgiá lượnglượng thông qua bản thân thống kê G = f (X 1 , X 2 , , X n ) Rõ ràng là vô sốhàm f, là vôsố thốngkêG thểdùnglàm lượng θ nên đưara mộttiêu đểđánhgiá lượngthốngkêG,từđólựa thốngkê"xấp xỉmộttốtnhất" thamsố lượng.Có3tiêu bảnđể thốngkênhưsau:

a) lượng không Giả sử thống kê G là lượng tham số θ biến ngẫunhiên Vớik mẫu thểrútratừtổngthể,thốngkêGsẽnhậnkgiátrị thểtươngứnglà

g 1 , g 2 , , g k.NếuthốngkêGlà một lượng dư θ thì giátrịg 1 , g 2 , , g k

sẽ lớn hơn θ,do đó E(G) > θ lại, nếu thống kê G làmột lượng thiếu θ thìmọi giátrị g 1 , g 2 , , g k sẽnhỏhơn θ nênE(G) < θ.Như vậy, sửdngmột thống

kêmàkỳvọngtoán nó vớithamsố lượng thểdẫnđếnsaisốhệthống(tất

giá trị Gđềulớn hơn nhỏhơnθ) Đểloạitrừsaisố nàyhiểnnhiênlà yêu

E(G) = θ.Dĩnhiên yêu trên khôngloạitrừ hoàntoàn sai số,songnhưvậysai số dấusẽxuấthiệntươngđối đềunhau,dođó giátrị Gsẽkhông bịhẳnvề mộtphíasovớiθ

Địnhnghĩa4.1.1 ThốngkêG mẫu gọilà lượngkhông thamsốθ

biếnngẫunhiên X nếuE(G) = θ lại,nếuE(G) 6= θthì G gọilà lượng

θ

Chúý4.1.2 (i)Glà lượngkhông thamsốθ không nghĩalàmọigiá trị

Gđều trùngkhítvới θmà nghĩalàtrung bình giátrị thốngkêGbằng θ.Từnggiátrị G thểsai rất lớnsovớiθ

(ii) Trung bình mẫu X là lượng không kỳ vọng biến ngẫu nhiênnghĩalàE(X) = E(X)

(iii) Tần suất mẫu f là lượng không suấtP biến ngẫu nhiênnghĩalàE(f ) = P

(iv) Phươngsai điều mẫu S ′2

là lượng không phương sai V (X)

biếnngẫunhiên làE(S ′2 ) = V (X)

Víd4.1.3 Giảsửmộtlôhàng mộtnhàmáyđã đóngthùng,mỗithùng50sảnphẩm

50

Sốphếphẩmtrongthùngk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sốthùng k phếphẩm 0 2 3 7 20 6 4 7 2 1 1

(i)Hãy lượng sốphếphẩmtrungbìnhtrongmỗithùng

(ii)Hãy lượng tỷlệ phếphẩm lô hàngđó

(iii)Tìm lượngkhông phươngsai sốphếphẩmởmỗithùng

Giải (i)GọiX là sốphếphẩmởmỗithùng.Đâylàbàitoán lượngđiểm kỳ vọngtổng thể

Vậy sốphếphẩmtrung bìnhởmỗithùnghànglàkhoảng5sảnphẩm

(ii) Đây là bài toán lượng tỷ lệ một tổng thể Tổng số sản phẩm điều tra là

n = 50 ì 50 = 2500.Sốphếphẩmpháthiệnlà247.Do đó,tỷlệ phếphẩmtrongmẫulà

f = 247

2500 = 0, 0908.

Vậy tỷlệphếphẩm lôhànglàvàokhoảng9, 88%

(iii) lượngkhông phươngsai sốphếphẩmởmỗithùng làphương

sai điều mẫuS ′2

Địnhnghĩa4.1.4 ThốngkêG mẫu gọilà lượng hiệuquả thamsốθ nếunó

là lượngkhông và phươngsainhỏnhất sovớimọi lượngkhông

xây dựngtrên mộtmẫu

lượng vững:

Địnhnghĩa4.1.5 ThốngkêG gọilà lượngvững thamsốθ biếnngẫunhiên

X nếuGhộittheo suấtđếnθ khin → ∞ làvới mọiε dươngbtùyýta luôn

lim

x→∞ P ( |G − θ| < ε) = 1

Chúý4.1.6 (i)Trung bìnhmẫuX là lượnghiệuquả(vững) E(X)

(ii)Phươngsai điều mẫuS ′2

là lượnghiệuquả(vững) phươngsaiV (X).(iii)Tầnsuấtmẫu f là lượnghiệuquả(vững) suấtP

4.2.1 Khái niệm

phươngpháp lượngđiểmnóitrên một điểm bảnlàkhi

mẫu nhỏthì lượngđiểm tìm thể sai rấtnhiều sovới giá trị thamsố

lượng, là sai số lượng thể rất lớn Mặt dùng phương pháp trên

khôngthểđánhgiá khảnăng sailầmkhi lượngbằngbaonhiêu.Do đókhi

mẫunhỏ ngườitathườngsửdngphươngpháp lượngbằngkhoảngtin

Địnhnghĩa4.2.1 Khoảng(θ 1 , θ 2 ) thốngkêG gọi làkhoảngtin (interval

thamsố θ nếu với suất bằng(1 − α) thìP (θ 1 < θ < θ 2 ) = 1 − α.Khiđó(1 − α) = γ gọilàđộtin lượng,α gọilà ýnghĩa,θ 1 làtrái(giátrịtốithiểu),θ 2 là phải(giátrịtốiđa), I = |θ 1 − θ 2 |làđộdàikhoảngtin

I/2làbánkính khoảng

Đểgiảimột bàitoán lượngthamsố bằngkhoảngtin ,tatiếnhành

nhưsau:

1.Từ tổngthểlậpmẫungẫunhiênW = (X 1 , X 2 , , X n )

2.Chọnthống kêG = f (X 1 , X 2 , , X n , θ)sao quy luậtphânphối suất G

khôngph vào đốisố nó vàhoàntoàn định

3 Với độ tin γ = (1 − α) thể tìm giá trị α 1 và α 2 sao

α 1 + α 2 = αvà tươngđươngvới tìm phânvị θ 1 = θα 1 vàθ 2 = θα 2 thỏamãn

điềukiện

P (G < θ 1 ) = α 1 ; P (G > θ 2 ) = α 2 ⇒ P (θ 1 < G < θ 2 ) = 1 − (α 1 + α 2 ) = 1 − α.

Nhưvậy,vớiđộtin (1 −α)tađãxâydựng khoảngtin (θ 1 , θ 2 ) G.Bằng phpbiến đổitương đươngbao giờ thểđưa trênvề dạng biểu tương đương

P (G 1 < θ < G 2 ) = 1 − α, với G 1 = f (X 1 , X 2 , , X n , θ 1 )và G 2 = f (X 1 , X 2 , , X n , θ 2 )

Đó làkhoảngtin tìm

Chú ý4.2.2 (i) Khi tiến hành một php thử với mẫu ngẫu nhiênW = (X 1 , X 2 , , X n ) tathu một mẫu thể w = (x 1 , x 2 , , x n ), dođó tính giá trị θ 1 và θ 2 ứng vớimẫu thể.Khiđó kết luậnlàquamẫu thểw,vớiđộtin 1 − α,thamsốθ biếnngẫu nhiên X sẽnằmtrongkhoảng(θ 1 , θ 2 )

(ii)Vớiđộtin 1 − α ta thểtìm vô số (θ 1 , θ 2 )thỏamãnđiềukiện

α 1 + α 2 = α.Vìthế vôsốkhoảngtin tươngứngvới độtin đã

4.2.2 lượng kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối

Bài toán Chobiến ngẫunhiên X phânphối N(a, σ 2 ).Thamsố kỳvọng θ = a

biết.Hãy lượng a?

Giải Taxt trườnghợpsau

a) Đãbiếtphươngsaiσ 2

biếnngẫu nhiên X:

1.Từtổngthểlậpmột mẫungẫunhiênW = (X 1 , X 2 , , X n ) n

2.Chọnthốngkê

G = U = (X − a) √ n

trongđó X làtrungbìnhmẫu Khiđó,theoĐịnhlýgiớihạntrung tâm,ta thốngkêU xấp

xỉ phânphối hóaN(0, 1).Vớiđộtin 1 − α tìm giátrị α 1 và α 2

sao α 1 + α 2 = α Từ đótìm hai phânvị làu α 1 và u 1−α 2 thỏa mãnđiều kiện

P (U < u α 1 ) = α 1 ; P (U > u 1−α 2 ) = α 2 SuyraP (u α 1 < U < u 1−α 2 ) = 1 −(α 1 +α 2 ) = 1 −α.Vì u α 1 = −u 1−α 1 nênthaythốngkêU vào biểu trênvà giảiraẩna tathu

-Khoảngtin bênphải(dùngđể lượnggiátrịtốithiểu a):Nếuα 1 = 0, α 2 = α

thìu 1−α 1 = + ∞.Dođókhoảngtin bênphải alà:

(X − √ σ

-Khoảngtin bêntrái(dùngđể lượnggiátrịtốiđa a):Nếuα 2 = 0, α 1 = αthì

u 1−α 2 = + ∞.Do đókhoảngtin bêntrái a là:

u 2 1− α 2

 +1 =  σ 2

ε 2 0

u 2 1− α 2

 +1.

Ví d4.2.4 Trọnglượng mộtloạisảnphẩmlàmộtbiến ngẫunhiên phânphối

với độ là1.Cần phảiđiềutramộtmẫu tốithiểulà baonhiêuđểvới

độtin lượnglà0, 95 thìsaisố php khôngvượtquá0, 1

Giải Theo giả thiết ta ε 0 = 0, 1; σ = 1 và với 1 − α = 0, 95, tra bảng Ph 2 ta

t (n−1) α 1 = −t (n−1) 1−α 1 nên P ( −t (n−1) 1−α 1 < T < t (n−1) 1−α 2 ) = 1 − α Thaythống kêT vào biểu trên

và giảitheoẩna ta khoảngtin a vớiđộ tin 1 − αlà

(X − √ S ′

n t

(n−1) 1−α 2 ; X + S

Ta trườnghợp biệt khoảngtin

-Khoảngtin đốixứng:Nếuα 1 = α 2 = α 2 thìkhoảngtin a là

(X − √ S ′

n t

(n−1) 1− α

2 ; X + √ S ′

n t

(n−1) 1− α

-Khoảngtin bên phải(dùngđể lượnggiátrịtối thiểu a):Khiα 1 = 0, α 2 = α

thì khoảngtin bênphải alà

thì 4.6trởthành(X − ε; X + ε)vàđộdàikhoảngtin

I = 2εsẽngắnnhất

(ii) giá trị tớihạn t (n−1) 1− α

2 t (n−1) 1−α phânphối Studentvới n − 1 tự dotra trongPh 3(Phân vị Studentt n

α)

(iii) mẫun phảiđođểthỏamãnđộtin vàđộ ε 0 là

n ≥  s ′2

ε 2 0

(ii) lượng phítrung bìnhtốiđa hàngtháng nhuyếuphẩm mộthộdân

3ngườiởđịa phươngnàyvới độtin 99%

(iii)Phảiphỏngvấn thêmtốithiểu baonhiêu hộdân 3người đểvớiđộ tin 95% sai

số lượng phítrungbìnhhàngtháng nhuyếuphẩmkhôngvượtquá25ngàn

đồng.Giảthiết phíhàngtháng nhuyếuphẩmlàbiếnngẫu nhiênphânphối

Giải.GọiX là phíhàngtháng nhuyếuphẩm hộdân3người địaphươngđangxt Theogiả thiếtX phânphối Vậy phítrungbình làgiátrịa

(i)Đâylàbàitoán lượngbằngkhoảngtin đốixứng kỳvọngtoán biếnngẫu

nhiên phânphối khi biếtphươngsai với mẫunhỏ.Khoảngtin đối xứng

a tính theo (4.6) Với n = 10; 1 − α = 0, 95, tra bảng Ph 3, ta

Từ bảngta kếtquả sau:

u = 1 n

X

n i u i = 27

10 = 2, 7; u

2 = 1 n

(ii)Đâylàbàitoán lượngbằngkhoảngtin bêntrái kỳvọngtoán biếnngẫu

nhiên phânphối khi biếtphươngsaivới mẫunhỏ.Ta n = 10; 1 −α = 0, 99,suy rat (n−1) 1−α = t (9) 0,99 = 2, 821.Thay giátrị thể x, s ′

25 2 (2, 262) 2

 +1 = 14.

Nhưvậy phảiphỏngvấnthêm14 − 10 = 4giađìnhnữa

trong khoảng tin với mẫu nhỏ tương ứng bằng giá trị phân vị

u 1−α/2 , u 1−α (nghĩa là thay tra bảng Ph 3 bằngPh 2) Khi đó, trường hợpkhoảngtin anhư sau:

-Khoảngtin đốixứng.Nếuα 1 = α 2 = α 2 thìkhoảngtin alà

(X − √ S ′

n u 1− α 2 ; X + √ S ′

-Khoảngtin bên phải(dùngđể lượnggiátrịtối thiểu a):Khiα 1 = 0, α 2 = α

thì khoảngtin bênphải alà

(u 1− α

2 ) 2



Víd4.2.8 Đểkhảosát năngsuất mộtgiốnglúaAmớinhậptừNhậtBản,ngườitatrồng

thửtrên100 thửaruộngvà thu kếtquảsau:

phânphối khi biếtphươngsaivới mẫulớn

Khi đó, khoảng tin bên phải và bên trái a định theo

(4.11) và (4.12) Theo giả thiết, ta n = 100; 1 − α = 0, 95 nên tra bảng Ph 2 ta

(ii) Đây là bài toán định mẫu khi độ dài khoảng tin đối xứng

TheogiảthiếtI 6 1; ε 6 0, 5 vàvì γ = 0, 99nênu 1− α

2 = 2, 576.ápdng (4.13) ta

n ≥ [ s ′2

ε 2 0

(u 1− α

2 ) 2 ] + 1 = [ (2, 4856)

2 ì (2, 576) 2 ) (0, 5) 2 ] + 1 = 164.

Vậy,đểđápứng yêu đềbàithì phảithínghiệmtrêntốithiểulà164thửaruộng.

4.2.3 lượng kì vọng toán biến ngẫu nhiên không theo quy luật

phân phối

Giảsử ta lượng kỳ vọng a một biến ngẫunhiên X phânphối theo mộtquyluậtnàođó quyluật VìtheoĐịnhlýgiớihạntrungtâmởChương 2,khi

mẫu đủ lớn thì thống kê G là phân phối nên để lượng a taphải mẫu lớnvà tiếnhành lượngtươngtự trườnghợp biến

ngẫn nhiên phânphối

Giả sử tổng thể là N, trong đó M phần tử mang tính A và N − M

phần tử không mang tínhA Nếulấy ngẫu nhiên ra một phầntử và gọiX là số phần tửmang tínhA lấyrathìX làbiếnngẫunhiênphânphốitheoquyluậtkhông-mộtvới

p = P (A) = M/N là suất đểlấy ngẫunhiên một phầntử trongtổng thểmangtính A và p xem là tần suất tổng thể, khi đó q = P (A) = 1 − p tính

plàgặpnhiềukhókhăn,dođóta lượng tỷlệpvới độtin (pkhôngquá lớn khôngquáb) Tađãbiếttrongquy luậtphânphốikhông-mộtthì E(X) = pvà

V (X) = pq,như vậy lượng kỳ vọng toán quy luật này là lượngsuấtp.Vìvậy ta bàitoán lượng tỷlệpnhưsau:

Bài toán1 Cho X là biến ngẫunhiên quy luậtphân phốikhông - mộtA(p),và θ = plàthamsố biết.Hãy lượngp

Giải 1 Từ tổngthể rútra mẫu ngẫunhiên W = (X 1 , X 2 , , X n ) n,trong

đó X i lànhữngbiếnngẫunhiên lậpvới nhauvà phânphốikhông-mộtvới thamsốp

2.Chọnthốngkê

U = (f − p) p

f (1 − f)

√ n,

trong đó f là tần suất mẫu Theo Định lý giới hạn trung tâm ở Chương 2, khi n đủ lớn

(n > 30)vàf khôngquábvà khôngquálớnthìU xấpxỉphânphối hóaN(0, 1)

3.Vớiđộtin 1 −α tìm giátrịα 1vàα 2sao α 1 +α 2 = α.Từđótìm hai phânvị làu α 1 và u 1−α 2 sao P (U < u α 1 ) = α 1 ; P (U > u 1−α 2 ) = α 2

Từ đósuyravới độtin 1 − α,thamsốp biến ngẫunhiên sẽnằmtrongkhoảng

Từ (4.14),ta loạikhoảngtin thườngdùngnhưsau:

-Khoảngtin đối xứng p(khiα 1 = α 2 = α/2):

4.15sẽlà(f − ε, f + ε)và khoảngtin đốixứng độdài ngắnnhấtlàI = 2ε.

tin 1 − α vàsaisố phpkhôngvượt quáε 0 là

n ≥  f(1 − f)

ε 2 0

u 2 1− α 2

(i)Tỷlệ nảymầmtốiđađạtbaonhiêu, vớiđộ tin 95%?

(ii)Đểđảmbảođộ là0, 01thì phảigieotốithiểubaonhiêuhạtvới độtin như trên?

Giải (i)Gọiplà tỷlệhạt nảymầm.Đâylàbàitoán lượngtỷlệ bằngkhoảngtin bêntrái biến ngẫu nhiên trong tổng thể Khi đó khoảng tin bên trái p tính

Do đó,khoảngtin bêntrái plà

( −∞; f + ε) = (−∞; 0, 875 + 0, 0272) = (−∞; 0, 902).

Kếtluận: Vớiđộtin 95%,tỷlệnảy mầmtốiđalà90, 2%

(ii)Đây là bài toán định mẫu tốithiểu khi biết độ lượng

Sửdng (4.18),ta

n ≥  f(1 − f)

ε 2 0

u 2 1− α 2

 +1 =  0, 875 ì 0, 125

0, 01 2 ì 1, 96 2

 +1 = [4201, 75] + 1 = 4202.

Do đó,đểđảmbảođộ 0, 01thì gieotốithiểu 4202hạt

Tiếptheotaxtmộtsốbàitoánthườnggặptrong tếliênquanđếnbàitoán lượng

tỷ lệ, hạn đưa ra lượng vềsố người một loạibệnh trongmộtkhu dân

N người lượngvềsốphếphẩmtrongmộtkhohànggồmN sảnphẩm, .Bài toán2 lượng số thể tínhAtrong tổngthểgồm N thể

Giải Gọi M là số thể mang tính A trong tổng thể gồm N thể Lấy từ tổng thể ramột mẫu ngẫu nhiên(không hoànlại) gồm n thể Gọi X làsố thể tính A trong

n thể Khi đó,tỷlệ p = M

N phầntử mang tínhA trongtổng thể thể địnhbằngphươngpháp lượng khoảngtin tỷlệ VớiN đãbiếttasẽ lượng M

Dựavào bài toán lượng tỷlệ người ta thể tiếnhành bài toán lượng

tổngthểbằng tạoramộtdấuhiệu trưng mộtsốnhấtđịnh phầntửtrong

tổngthể sauđótiếnhành lượngtỷ lệphầntửmangdấuhiệu trưng này.Dựavàotỷ lệ

Bàitoán3 lượng tổngthể

Giải hết, tađi lượng tỷlệp = M

N thể đánhdấutrongtổng thể Từđólượng N vìM đãbiết là

Giải.GọiN làsố tronghồ(N nguyên,dương) Tỷlệ bịđánhdấulàp = 2000

N Talượngpbằngkhoảngtin đốixứng.Từmẫu thểta f = 80

400 = 0, 2.TheoChúý4.2.9,(iii),tathấybàitoánthỏamãnđiềukiện0, 1 < f = 0, 2 < 0, 9; nf > 10; n(1 − f) > 10.Với

Vớiđộtin 95%,hãy lượngkhoảngtin trung bìnha

2 nn tối đa một loại vật liệu là một biến ngẫu nhiên phân phối

10

nntốiđa X(kg/cm 2 ) 250 270 300 330 350

Tìmkhoảngtin nntrungbình loạivậtliệutrênvớiđộtin 95%

3 DoanhthuhàngthángX hàngkinhdoanh giốnglàbiếnngẫunhiên phânphối Theodõidoanhthutại 10 hàng ta kếtquảsau:

Doanh thuX (triệuđồng) 29 31 33 35 37 39 41

Hãytìm khoảngtin doanhthutrungbìnhvới độtin 98%

4 Trọng lượng trứng gàlà mộtbiến ngẫu nhiên phân phối Cân thử 100 quả ta

bảngsố liệusau:

Trọng lượng(g) 25 − 30 30 − 35 35 − 40 40 − 45 45 − 50

Bằng khoảngtin đốixứng,hãy lượngtrọng lượng trungbình loạitrứng gà

này vớiđộtin 95%

5 Để định giá trungbình đốivới mộtloại hànghóa trên thịtrường, ngườita điều tra

ngẫunhiên tại100 hàng, thu sốliệusau:

(a)Tìmkhoảngtin khối lượngtrungbình trứngvớiđộ tin 0, 95

(b)Trứng khốilượngnhỏhơn165g làtrứngloạihai.Tìmkhoảng lượng

tỉ lệtrứngloạihaivới độtin 99%

7 Giả sửkết quảthi môn suất thốngkê một lớplà biếnngẫu nhiên phânphối

Kiểmtrathử30sinhviên ta bảngsốliệusau:

Điểm thi(X) 3 4 5 6 7 8 9 10

n i 2 3 5 10 4 3 2 1

(a)Hãytìmkhoảngtin điểmtrungbình lớptrênvới độtin 95%.(b) Sinhviên đạt điểm thilớn hơn haybằng 7 xếp loạikhá giỏi Hãy tìm khoảngtin tỷ lệsinhviênkhá giỏivới ýnghĩa5%.

8 Giả sử trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối Kiểm tra ngẫu

nhiêntrọnglượng 28sảnphẩm loạidomộtmáysảnxuất, tathu kếtquả:

(b)Hãy lượngnăngsuấtlúatrungbìnhtốiđa huyệntrênvớiđộ tin 98%

10 Điềutradoanhsốhàngtháng(tínhbằngtriệuđồng) 100hộkinhdoanhmộtloạimặthàngngườitathu bảngsốliệu:

Doanh số(X) 11, 5 11, 6 11, 7 11, 8 11, 9 20

Bằngkhoảngtin đốixứnghãy lượngdoanhsốtrungbìnhhàngtháng hộ

kinhdoanh mặthàng nàyvới độtin 95% Giảthiếtdoanh sốlàbiến ngẫunhiênphânphối

11 Để định trungbình đàn trongmột lâmtrường ngườita tiến

hànhđo35 và thu bảngsốliệusau:

Chiều X(m) 6, 5 7, 0 7, 5 8, 0 8, 5 9, 0

7, 0 7, 5 8, 0 8, 5 9, 0 9, 5

Giảthiết đànlàbiếnngẫunhiên phânphối

(a)Vớiđộtin 95% thểnói trungbình đàntronglâmtrườngtrên nằmtrongkhoảngnào

12 Đo sốmỡsữa 100 bòlaiHà-ấnF 1, bảngsố liệusau:

Chỉsố mỡsữa 3, 0 3, 6 4, 2 4, 8 5, 4 6, 0 6, 6 (X) 3, 6 4, 2 4, 8 5, 4 6, 0 6, 6 7, 2

Vớiđộ tin 95%,hãy lượngáp trungbình loạithùng trên Giảthiết

áp thùng làbiếnngẫunhiên phânphối

14 Đểđịnh thờigianhoànthànhmột tiếtmáy,ngườitatheodõiquátrìnhgia

25 tiết máyvàthu bảngsốliệu:

Thời giangia (phút) 15 − 17 17 − 19 19 − 21 21 − 23 23 − 25 25 − 27

Bằngkhoảngtin đối xứng,hãy lượngthờigiangia trungbình một tiết

máy vớiđộtin 95%.Giảthiếtthờigiangia tiếtmáylàbiếnngẫu nhiênphânphối

15 Để địnhlượng xănghaophítrungbình mộtloạixeô tôtrênquãngđườngtừ A

đến B,ngườita thử30lầnvà ghinhận kếtquả trongbảng sốliệusau:

Lượngxăng 9, 6 9, 8 10, 0 10, 2 10, 4

haophí(lít) 9, 8 10, 0 10, 2 10, 4 10, 6

Sốlầntươngứngn i 3 5 10 8 4

Hãy lượng xănghaophítrung bình loạixe đótrênđoạn đườngABvới độ

tin 95%.Giảthiết lượngxănghaophílàbiếnngẫunhiên phânphối

16 Kết quảtheo dõisinh trưởng 30 keolai tạimột lâmtrường bởi

Đườngkính 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) Tìmkhoảng tin trungbình keolai ở lâm trườngtrên với

độtin 95%.Giảthiết làbiếnngẫunhiên phânphối

(b)Cây lớnhơnhaybằng7 là sinhtrưởngtốt.Tìmkhoảngtin

tỷ lệ sinhtrưởngtốtởlâmtrường trênvới ý nghĩa5%

17 Sốkhuyếttật mộtsảnphẩm mộtxínghiệp làbiếnngẫunhiên phânphối

Saukhiđổimớithiếtbị,kiểmtrangẫunhiên36sảnphẩmthu kếtquả sau:

Sốkhuyếttậttrên1sảnphẩm 0 1 2 3 4 5 6

Sốsảnphẩmn i 7 4 4 6 8 6 1

Với độtin 95% hãy lượng sốkhuyết tậttrung bìnhtốithiểu mỗi sảnphẩmsaukhiđổi mớithiếtbị

18 Hàm lượngđường mộtloại trái là biến ngẫu nhiên phânphối Người

ta bón bằngmộtloạiphânN vàsau mộtthờigiankiểmtrahàmlượngđườngmộtsốtrái thu kếtquảsau:

Hàmlượng 1 5 9 13 17 21 25 29 37

(X% 5 9 13 17 21 25 29 33 41

Sốtráin i 51 47 39 36 32 8 7 3 2

lượnghàmlượngđườngtrungbìnhtốiđa loạitrái đóvới độtin 99%

thu kếtquả sau:

Chiều 14, 5 15, 1 15, 3 16, 2 15, 2 14, 1 16, 3 15, 6 16, 1

Hãy lượng trung bình lô quế với α = 0, 05 Nếu sai sốlượng khôngvượt quá3% thì quan sátmẫuvới baonhiêu? Cho biết

quế là biếnngẫunhiêntuântheoquyluậtphânphối

20 Một ty than 10000 nhân làm tiếp tại hầm lò Để định

số nhân bệnh về phổi, ngườita tiếnhành kểm tra820 người thấy 120

người bệnhvềphổi Vớiđộtin 95%,hãytìmkhoảngtin số nhân

21 Để lượngsốlượng tạimộtvườn lớnởđồngbằngsôngCửuLong,ngườitabắt

ngẫunhiên800 và mỗi đeomộtvòngnhômnhỏsauđóthảlạivườn.Mộttháng saubắtlại320 thấy 80 đeovòng nhôm.Hãy lượngsố trongvườn vớiđộtin 0, 95

22 Kiểmtra200 gàtạimộttrạigàthấy 80 bệnhA.Hãytìmkhoảngtin

tỉ lệgà bệnhAở trạigànóitrênvới độtin 0, 95

23 Để lượngsốngườinghiệnmatúytrongmộtvùngngườitaghidanh1000ngườitrả về đồng sau khi nghiện Một nămsau tới trung tâm nghiện ngẫu

nhiên800ngườithấy 480ngườitrongsố1000người trảvề đồngnămphảiquaylạitrại Hãy tínhsố ngườinghiệntrongvùngvới độtin 0, 95

Kiểm định giả thuyết thống kê

Kiểmđịnhgiả thuyếtthốngkê hypothesistesting)làphươngphápđưara quyết

định sử dngdữ liệu, từ thí nghiệm, từ nghiên quan sát Trong thống kê, một

kết quả gọi làđủ độtin mang tínhthốngkê nếunó ít khảnăngdiễn ratheo một

ngưỡng suất hạn5%hay10%).Kiểmđịnhgiảthuyếtđôikhi gọilàphân dữliệuđể khẳngđịnh,đểsosánh vớiphân dữliệuđể khámphá.Trong

này taxt bài toánkiểmđịnh giảthuyết thốngkê về tham số trưngθ biếnngẫunhiên X

5.1.1 Giả thuyết thống kê

Giảthuyếtthốngkê hypothesis)làgiảthuyếtvềdạngphânphối suất,về

thamsố trưng biếnngẫunhiên vềtính lập biếnngẫunhiên

Giả thuyết đưa ra kiểm nghiệm kí hiệu là H 0, gọi là giả thuyết không (nullhypothesis) Đó là giả thuyết mà ta nghi ngờ muốn bỏ giả thuyết ta muốn bảo vệ

Ngoài giả thuyết H 0, ta phải định ra một giả thuyết tranh với H 0 gọi là đốithuyết(alternativehypothesis), kíhiệulàH 1

Cần ý rằngđốithuyếtH 1 khôngnhất thiếtlàphủđịnh giảthuyếtH 0.Chẳnghạn,nhu trungbình thịtrườngvềmộtloạihànghóalàa = 1000đơnvị/tháng.Nếutanghingờ rằngý kiếnnàykhông đúngthìđối thuyếtH 1 làa 6= 1000,nhưngnếu dotiếpthị tốt,do

hậumãitốtngườitanghĩrằngnhu vềloạimặthàngnàytănglênthìđốithuyết

H 1 làa > 1000

Quy kiểmđịnhdựatrênhainguyên lýsau:

-Nguyên lý suất nhỏ: Nếu một biến suất xảy ra rấtnhỏ thì trong một hay

vài phpthửthì biến đó nhưkhôngxảyra

-Phươngpháp phản Để bỏA,tagiả sửAđúngthìdẫn đếnmộtđiềuvôlý

Dựavàohainguyênlýnàytađưaraphươngpháp đểkiểmđịnhmộtgiảthuyếtthống

kênhưsau:Để kiểmđịnhH 0 hếttagiảsửH 0 đúngtừđótìmra biến Amàsuất xuất hiệnbiến Alà rấtb và ta thể xem làA không xảyra trongmột php thửvềbiến này đó nếu trênmột mẫu thể quan sát mà biến A xuất hiệnthì điềunày trái với nguyên lý suất nhỏ Vậy H 0 sai và bỏ nó Còn nếu A không xảy ra thì

sởđể bỏ H 0

5.1.2 Tiêu kiểm định giả thuyếtthống kê

Lập mẫungẫunhiênW = (X 1 , X 2 , , X n )và thốngkê

G = f (X 1 , X 2 , , X n , θ 0 ), (5.1)

trong đó θ 0 là tham số liên quan đến giả thuyết kiểm định Nếu H 0 đúng thì G quy luậtphânphối suất định.ThốngkêG gọi làtiêu kiểmđịnh

5.1.3 Miền bỏ giả thuyết thống kê

Saukhi tiêu kiểm địnhG,doquy luậtphânphối suất Gđã biếtnên với suất kháb α (thườngα = 0, 05 0, 01)và với điềukiện H 0 đúngthểtìm miềnW α sao Gnhậngiátrịtrongmiền W α với suấtbằngα

Giátrịα gọilà ýnghĩa kiểmđịnhvàW α gọilàmiền bỏgiảthuyếtH 0

với ýnghĩa α MiềnW α gọilà miềnkhông bỏ giảthuyết Điểmgiới hạnphânmiền bỏvà miềnkhông bỏ gọilà giátrịtới hạn

5.1.4 Giá trị quan sát tiêu kiểmđịnh

hiệnmột phpthử đối vớimẫu ngẫunhiên W = (X 1 , X 2 , , X n )ta thu mẫuthể w = (x 1 , x 2 , , x n ), thay giá trị này vào tiêu kiểm định (5.1) ta giá trịquan sát tiêu kiểmđịnh

G qs = f (x 1 , x 2 , , x n , θ α ). (5.3)

5.1.5 Quy kiểmđịnh giảthuyết

Saukhitính G qs,sosánhgiátrịnàyvớimiền bỏW α vàkếtluậntheoquy sau:

-NếuG qs ∈ W α,theonguyên kiểmđịnhthìH 0 saivàdođó bỏH 0,thừanhậnH 1

- Nếu G qs ∈ W / α thì điều đó khẳng định H 0 đúng mà nghĩa qua mẫu thểnày khẳngđịnh H 0 làsai Do đóta thểnóiquamẫu thể sởđể