các phép biến đổi đồ thị và tính cơ sở bất biến của đại số đường đi leavitt

11 2 Một số phép biến đổi đồ thị và tính chất số cơ sở bất biến cho đại số đường đi Leavitt 15 2.1 Tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt.. 15 2.2 Sự thay đổi tính chất

Đồng Tháp, 6/2019

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

fg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gh

ab b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bc d

Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài

Giảng viên hướng dẫn Tăng Võ Nhật Trung

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS.Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

fg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gh

MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu iii

Information on research results v

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu của đề tài 2

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành, môđun và đại số 4

1.2 Đại số đường đi Leavitt 11

2 Một số phép biến đổi đồ thị và tính chất số cơ sở bất biến cho đại số đường đi Leavitt 15 2.1 Tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt 15

2.2 Sự thay đổi tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt qua một số phép biến đổi đồ thị 19

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CƠ SỞ BẤT BIẾNCỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT

- Mã số: SPD2018.02.51

- Chủ nhiệm đề tài: Tăng Võ Nhật Trung

- Thời gian thực hiện: 7/2018 đến 6/2019

2 Mục tiêu: Xét sự thay đổi về tính chất cơ sở bất biến của đại số đường

đi Leavitt qua một số phép biến đổi đồ thị

3 Tính mới và sáng tạo: Đề tài đã đưa ra khái niệm chu trình gần nhất

Từ đó, tiêu chuẩn để đại số đường đi Leavitt thỏa mãn tính chất số phần tửsinh vô hạn được mô tả một cách đơn giản hơn

4 Kết quả nghiên cứu:

- Chương 1 Khái quát lý thuyết đồ thị và đại số đường đi Leavitt

- Chương 2 Một số phép biến đổi đồ thị và tính chất số cơ sở bất biến chođại số đường đi Leavitt

5 Sản phẩm:

- Một báo cáo tổng kết các kết quả nghiên cứu

- Một bài báo khoa học đăng trên tạp chí khoa học có chỉ số ISSN

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi íchmang lại của kết quả nghiên cứu:

Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ được chuyển giao đến những người quantâm thông qua báo cáo tổng kết và việc công bố các bài báo trên các tạp chíkhoa học

Kết quả nghiên cứu có thể chuyển giao ứng dụng tại thư viện của Trường

Đại học Đồng Tháp và các trường đại học, cao đẳng khác hoặc các tạp chí khoahọc công bố kết quả nghiên cứu của đề tài.

Kết quả nghiên cứu sẽ góp phần phát triển về đại số kết hợp nói riêng vàToán học nói chung

Kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần bồi dưỡng phát triển năng lựcnghiên cứu của sinh viên ngành Toán qua đó nâng cao chất lượng đào tạo chonhà trường

Chủ nhiệm đề tài

Tăng Võ Nhật Trung

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM

DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: THE GRAPH TRANSFORMATIONS AND INVARIANTBASIS NUMBER PROPERTY OF LEAVITT PATH ALGEBRAS

- Code number: SPD2018.02.51

- Coordinator: Tăng Võ Nhật Trung

- Duration: from 2018, May to 2019, June

2 Objective(s): To investigate the invariant basis number property of theassociated Leavitt path algebras under the graph tranformations

3 Creativeness and innovativeness: The research introduced the nearestcycles Thereby, the criterion for the Leavitt path algebras have unboundedgenerating number property was described simpler

4 Research results:

- Chapter 1 Introduction to Leavitt path algebras

- Chapter 2 The graph tranformations and invariant basis number property

of Leavitt path algebras

5 Products:

- The scientific report presents the research results

- One article were published on the ISSN journal

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and efits of research results:

ben-The research results of the project be transferred to interested people throughthe scientific report and the publication in scientific journals

The research results can be transferred at the library of Dong Thap versity and others or the scientific journals where publish the results of theproject

Uni-The research results contribute to the development of noncommutative bra and mathematics in general.

alge-The research results contribute to motivate the researching of mathematicalstudents, thereby improving the quality of training for our school

Coordinator

Tăng Võ Nhật Trung

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Năm 2005, đại số đường đi Leavitt được đề xuất một cách độc lập bởi Abrams

- Pino trong [2] và Ara - Moreno - Pardo trong [6] Đây là một lĩnh vực nghiêncứu sử dụng các kết quả, ý tưởng và phương pháp của cả giải tích, đại số hiệnđại cũng như cổ điển

Trong chuyên ngành Đại số kết hợp người ta thường xét tính chất của cácvành thông qua lớp môđun trên vành đó Một trong những tính chất như vậy làtính chất số cơ sở bất biến Một vành được gọi là có tính chất số cơ sở bất biếnnếu hai cơ sở bất kỳ của một môđun tự do hữu hạn sinh trên vành đó đều cócùng số phần tử Tính chất này được đề xuất nghiên cứu trong [9] và hiện nayđược rất nhiều tác giả quan tâm Một ví dụ cổ điển minh họa cho các vành vàlớp các môđun thỏa mãn các điều kiện trên là trường và các môđun trên trường(hay còn gọi là các không gian vectơ)

Gần đây, các tác giả nghiên cứu về đại số đường đi Leavitt đang quan tâmđến vấn đề xét tính chất số cơ sở bất biến của các đại số đường đi Leavitt vàcác đại số có liên quan Một số kết quả gần đây về hướng nghiên cứu này là cáccông trình [3], [4], [8], [10], [12] và [13] Từ các công trình này ta cũng suy rađược rằng, khi đồ thị được biến đổi thì tính chất số cơ sở bất biến của đại sốđường đi Leavitt trên đồ thị mới cũng có thể thay đổi

Các công trình [1] và [5] đã chỉ ra một số phép biến đổi đồ thị đóng vai tròquan trọng trong việc phân loại các đại số đường đi Leavitt Vấn đề đặt ra làqua các phép biến đổi đồ thị này, tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường

đi Leavitt trên đồ thị mới có còn giữ nguyên như đối với đồ thị ban đầu haykhông? Chúng tôi chọn vấn đề “Các phép biến đổi đồ thị và tính chất số cơ sởbất biến của đại số đường đi Leavitt” làm đề tài nghiên cứu của mình vì ý nghĩa

và tính thời sự của nó như đã trình bày ở trên

1

2 Tính cấp thiết của đề tài

Trong các nghiên cứu về tính chất của đại số đường đi Leavitt, người ta quantâm đến các phép biến đổi đồ thị, chẳng hạn như phép thu gọn gốc:

khi và chỉ khi đại số đường đi Leavitt LK E/v
của đồ thị E/v có tính chất ρ.Nhờ vào việc biết được các bất biếnρnày, người ta có thể chuyển bài toán từđại số đường đi Leavitt của đồ thị ban đầu phức tạp về đại số đường đi Leavittcủa đồ thị đơn giản hơn (rõ ràng E/v đơn giản hơn E)

Cho đến nay thì tính chất số cơ sở bất biến có là tính chất bất biến qua cácphép biến đổi đồ thị hay không vẫn là câu hỏi mở Chúng tôi sẽ tìm câu trả lờiqua đề tài này

3 Mục tiêu của đề tài

Xét sự thay đổi về tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavittqua một số phép biến đổi đồ thị

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi áp dụng các kĩ thuật trong [8] và [10] để xét tính chất số cơ sởbất biến cho đại số đường đi Leavitt của đồ thị ban đầu và đồ thị sau các phépbiến đổi đồ thị Từ đó thu được kết quả theo các mục tiêu đề ra

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về đại số đường đi Leavitt và các điều kiện trong lí thuyếtvành như tính chất số phần tử sinh vô hạn và tính chất số cơ sở bất biến

6 Nội dung nghiên cứu

Ngoài Mở đầu, Mục lục, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của

đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1: Khái quát lý thuyết đồ thị và đại số đường đi Leavitt

Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị và tính chất số cơ sở bất biến cho đại

số đường đi Leavitt

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về vành, môđun,đại số, đồ thị có hướng và đại số đường đi Leavitt Chúng tôi chỉ nêu lại tómlược các kiến thức cơ bản mà không có chứng minh cho các kết quả Những kiếnthức về đại số trừu tượng chúng tôi dựa vào tài liệu [9] và [11] Những kiến thức

cơ bản về đại số đường đi Leavitt chúng tôi chủ yếu dựa vào [1], [2], [6] và [7]

(6) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng, nghĩa là

∀x, y, z ∈ R, x.(y + z) = x.y + y.z và (x + y).z = x.z + y.z

Có thể nói một cách tóm tắt là: Vành là tập hợp R có trang bị hai phéptoán "+" và "." sao cho (R, +) là nhóm abel, (R, ) là nửa nhóm và phép toánnhân phân phối hai phía đối với phép cộng Khi không có gì nhầm lẫn, ta kíhiệu phần tử không là 0 thay cho 0R

1.1.2 Ví dụ (i) Các tập số Z,Q,R,C và tập Zn cùng với các phép toán cộng

và nhân thông thường lập thành các vành giao hoán có đơn vị Trong đó

Q,R,C và Zp với p là số nguyên tố là các trường

(ii) Cho K là một trường Tập K[x] các đa thức một biến x có hệ số trên K

cùng với phép cộng và phép nhân các đa thức thông thường lập thành mộtvành giao hoán có đơn vị

(iii) Cho R là một vành và Mn(R), (n > 0) là tập hợp các ma trận vuông cấp

n với hệ số trên R Khi đó, Mn(R) cùng với phép cộng và phép nhân các

ma trận lập thành một vành không giao hoán Nếu Rcó đơn vị thì Mn(R)

có đơn vị là In

(iv) Cho K là một trường vàV là mộtK-không gian vectơ Ký hiệuEndK(V )

là tập các tự đồng cấu (ánh xạ tuyến tính) trênV Khi đó, EndK(V )cùngvới phép cộng và phép nhân ánh xạ lập thành một vành có đơn vị khônggiao hoán

1.1.3 Định nghĩa ChoR là một vành Iđêan phải (trái ) của vành R là nhómcon I của nhóm cộng R thỏa điều kiện: với mọi r ∈ R, mọi x ∈ I, xr ∈ I(rx ∈ I).Khi I vừa là iđêan phải vừa là iđêan trái, thì I được gọi là iđêan (haiphía) của R

Đối với vành giao hoán, ta có ngay iđêan phải là iđêan trái và ngược lại.Theo định nghĩa, nếu I là iđêan phải hay trái của vành R thì I là vành concủa R nhưng điều ngược lại nói chung không đúng, chẳng hạn Z là vành concủa Q, nhưng không phải là iđêan của Q

Trong vành R (có nhiều hơn 1 phần tử) bao giờ cũng có các iđêan là {0}

được gọi là iđêan tầm thường và R được gọi là iđêan không thực sự của vành

R

Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết một bộ phận của vành có phải là iđêan haykhông.

1.1.4 Định lí Cho I là một bộ phận của vành R Các điều kiện sau là tươngđương:

1 I là iđêan phải (trái) của vành R,

Khi P = {a} ⊂ R, ta bảo |{a}) (({a} | , ({a})) là các iđêan phải ( trái, haiphía ) chính của R Ta cũng quy ước kí hiệu iđêan chính sinh ra bởi phần tử a

là (a) , thay cho ({a})

1.1.6 Định lí Cho R là vành có đơn vị và r1, , rn ∈ R Khi đó,

1 |{r1, r2, , rn}) = r1R + r2R + + rnR,

2 ({r1, r2, , rn}| = Rr1+ Rr2+ = Rrn

1.1.7 Định nghĩa Giả sử cho R và S là hai vành (có thể không có đơn vị).Đồng cấu vành từ R vào S là ánh xạ ϕ : R → S thỏa mãn các tính chất: Vớimọi r1, r2 ∈ R

2 Đồng cấu nửa nhóm từ nửa nhóm nhân R vào nửa nhóm nhân S.

1.1.8 Định nghĩa Đồng cấu α : R → S được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳngcấu nếu α là đơn ánh, toàn ánh, song ánh từ R vào S Đồng cấu α : R → R

được gọi là tự đồng cấu của vành R

1.1.9 Định nghĩa Giả sử R là một vành có đơn vị 1 6= 0, M là một nhómabel (phép toán viết theo lối cộng) và R × M là tích descartes của các tập hợp

R và M Nhóm aben M cùng với ánh xạ

R × M → M, (a, x) 7→ a.x

được gọi là một môđun trái trên vành cơ sở R (hay R-môđun trái, kí hiệu RM)nếu:

(1) a.(x + y) = a.x + a.y, ∀a ∈ R, ∀x, y ∈ M,

(2) (a + b).x = a.x + b.y, ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ M,

(3) (a.b).x = a.(b.x), ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ M,

(4) 1.x = x, ∀x ∈ M

Ảnh a.x của cặp (a, x) là tích với vô hướng (hay tích ngoài) của phần tử

a ∈ R và phần tử x ∈ M Các tích với vô hướng này xác định phép nhân vôhướng giữa vành R và nhóm aben M với tác động trái của R lên A Khi đócác tiên đề (i), (ii), (iii), (iv) trong định nghĩa trên lần lượt thể hiện tính phânphối của phép nhân vô hướng với phép cộng trong nhóm M, tính phân phốicủa phép nhân vô hướng với phép cộng trong vành R, phép nhân trong vành R

kết hợp được với phép nhân vô hướng, tích với vô hướng của đơn vị trong vành

R và mỗi phần tử của nhóm M bằng chính phần tử đó của M

1.1.10 Ví dụ (i) Mọi nhóm Abel (M, +) đều có thể xem là Z-môđun.(ii) Không gian vectơ là môđun trên trường.

(iii) Một vành có đơn vị R có thể xem là một môđun trên chính nó với phépnhân với vô hướng chính là phép nhân của vành Do đó một iđêan trái(phải) của R là một R-môđun trái (phải)

(iv) Cho R là một vành có đơn vị và M, N là những R-môđun Khi đó,

HomR(M, N ) là một R-môđun trái với phép cộng và nhân vô hướngxác định như sau:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (rf )(x) = rf (x),

trong đó f, g ∈ HomR(M, N ), ∀r ∈ R, ∀x ∈ M

1.1.11 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai R-môđun trái Khi đó X và Y làhai nhóm abel đối với phép cộng trong các môđun trái Một đồng cấu nhóm

ϕ : X → Y gọi là đồng cấu môđun hay ánh xạ tuyến tính từ R-môđun trái X

vào R-môđun trái Y (gọi tắt R-đồng cấu môđun) nếu:

ϕ(a.x) = a.ϕ(x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ X

1.1.12 Ví dụ (i) Cho X, Y là hai R-môđun trái bất kì, các ánh xạ sau đây

là những R-đồng cấu môđun: Θ : X → Y, x → 0Y, (gọi là đồng cấu tầmthường), còn 1X : X → X, x → x, (gọi là phép đồng nhất hay là tự đồngcấu đồng nhất )

(ii) Mỗi đồng cấu của nhóm abel là một Z-đồng cấu môđun

(iii) Các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vectơ là các đồng cấu môđun.(iv) Giả sửM là mộtR-môđun trái Ánh xạ sau đây là mộtR-đồng cấu môđun:

fx : R → M, r → r.x, trong đó x là một phần tử cố định của R-môđuntrái M

1.1.13 Mệnh đề Cho X, Y là hai R-môđun trái Ánh xạ ϕ : X → Y là một

R-đồng cấu môđun khi và chỉ khi ϕ(a.x + a0.x0) = a.ϕ(x) + a0.ϕ(x0) với mọi

a, a0 ∈ R và mọi x, x0 ∈ X

Một R-đồng cấu môđun ϕ : X → Y gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu

ϕ lần lượt là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Đồng cấu ϕ của các R-môđun phảicũng được định nghĩa tương tự như đồng cấu của các R-môđun trái, trong đó

ϕ bảo toàn tích vô hướng với các phần tử của vành R ở bên phải

1.1.14 Định lí Một tập hợp con H 6= ∅ của R-môđun trái M là một môđuncon của M khi và chỉ khi với mọi a ∈ R và mọi x, y ∈ H, ta có:

(1) x + y ∈ H,

(2) a.x ∈ H

1.1.15 Ví dụ (i) Mỗi không gian vecto con của một không gian vectơ bất

kì là một ví dụ quen thuộc về môđun con

(ii) Mỗi nhóm con của một nhóm abel A là một môđun con của Z-môđun A.(iii) Tập con 0củaR-môđun tráiM và chính bản thânM là hai môđun con của

R-môđun trái M; 0 gọi là môđun con không hay môđun con tầm thường.Các môđun con củaR-môđun tráiM không trùng với M gọi là các môđuncon thật sự; bản thân M được gọi là môđun con không thật sự

1.1.16 Định lí Giả sử M là một R-môđun trái và H là môđun con của M.(i) Quy tắc

R × (M/H) → M/H(r, x + H) 7→ r.x + H

là một ánh xạ nên nó là phép nhân vô hướng giữa vành R với nhóm abel

1.1.18 Ví dụ (i) Các không gian thương của các không gian vectơ là các ví

dụ quen thuộc về môđun thương

(ii) Mỗi nhóm thương của một nhóm abel A theo một nhóm conH tùy ý của

nó là môđun thương của Z-môđun A theo môđun con H

1.1.19 Định nghĩa Một R-môđun M có một hệ sinh S độc lập tuyến tínhthì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở của M.1.1.20 Ví dụ (i) Vành R là môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1} Tổngquát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, R(I) là một R-môđun tự do với

cơ sở {ei, i ∈ I}, trong đó ei có thành phần thứ i bằng 1, các thành phầncòn lại bằng 0 Cơ sở này được gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắccủa R(I)

(ii) Mỗi không gian vectơ trên trường đều là các môđun tự do vì luôn có cơsở

(iii) Vành Zn tất cả các lớp thặng dư theo môđun nlà một Z-môđun không có

cơ sở vì nx = 0 với mọi x ∈ Zn

1.1.21 Định nghĩa (i) Cho R là một vành có đơn vị Một tập hợp A đượcgọi là một R-đại số, hay còn gọi là đại số trên R, nếu A là một R-môđun

và tồn tại một phép toán hai ngôi

A × A → A, (a, b) 7→ ab,

gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

r(ab) = (ra)b = a(rb),c(a + b) = ca + cb,(a + b)c = ac + bc