HOC SINH GIOI TOAN 9 2020 2021 VONG 1 NGUYEN TAT THANH TOAN THCS VN

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo.. Để hạn chế, mỗi tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo.. Chứng min

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

THCS&THPTNTT

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

NĂM HỌC: 2020 - 2021 Môn: Toán lớp 9 – Vòng 1

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

:

A

1) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức

2) Tìm giá trị của đểA  0

Bài 2. (4,0 điểm) Giải phương trình:

1) x2 3x 2 x1 0

2

Bài 3 (4, 0 điểm)

ab a  bc b  ac c   biết abc  1

2 Tìm số tự nhiên n để D n 5 n là số chính phương2

Bài 4 (6,0 điểm) Cho  ABCvuông tại (A ACAB), đường caoAH H( BC).Trên tia HClấy

điểm D sao cho HD HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1) Chứng minh rằng: BEC∽ADC Tính BE theo aAB

2) Gọi M là trung điểm của BE Chứng minh rằng: BHM ∽ BEC Tính AHM

3) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

BC AH HC

Bài 5 (2 điểm)

1 Choa0,b và 0 a b 1 Tìm GTNN của biểu thức

2 Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo Để hạn chế, mỗi tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào

đó bà mẹ đã cho con tổng số 13 chiếc kẹo

 HẾT 

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN 9 (2020 – 2021)

:

A

1) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị của x để A 0

Lời giải

1) ĐKXĐ: x2;x0;x3

:

A

   

 

 

2

:

   

 

 

2

3

:

x x





   

 

 

2







 





2

4

3

x

x





Vậy

2

4

3

x A

x



 với x2;x0;x 3 2)

2

4

3

x A

x



Mà x  (do 2 0 x  )0

Kết hợp ĐKXĐ ta được:

2; 0 3

x









Vậy với

2; 0 3

x







 thì A  0

1) x2 3x 2 x1 0

2

Lời giải

1) Với x 1 thì x1  , phương trình trở thành:x 1

 

x  x  x 

x 1 x 2 x 1 0

x 12 0 x 1

     (thỏa mãn)

Với x  thì1 x1 1  x, phương trình trở thành

x  x  x   x x  x 

 1  3 0 1

3

x

x





 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trìnhS  1

2) ĐKXĐ: x 0

 

2

 

2

2

                   

 

2

x 42 16

4 4

x x

 



   



 

 

0





 





Vậy tập nghiệm của phương trình làS   8 .

1 Chứng minh rằng

1

2 Tìm số tự nhiên n để D n 5 n là số chính phương2

Lời giải

VT

1 1

ab a abc bc b ac c

1





1



1 1 1

ac c

ac c

 

 

2 Có D n 5 n 2 n n 41 2 n n 21 n21 2 n n 1 n1 n212

Ta thấy n n 1 n1 3  D2(mod 3)

Mà a2 0;1(mod 3)(a N )

Vậy không có số tự nhiên n nào để D n 5 n là số chính phương2

Bài 4 Cho  ABCvuông tại (A ACAB), đường caoAH H( BC).Trên tia HClấy điểm D sao cho

HD HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng BEC∽ADC Tính BE theo aAB

2 Gọi M là trung điểm của BE Chứng minh rằng: BHM ∽ BEC Tính AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

BC AH HC

Lời giải

I

G M

E D H

B

1) Chứng minh rằng: BEC ∽ ADC

Tính BE theo aAB

Kẻ EIAH

AHD

 cân tại H  HAD HDA 450  ADC1350

Xét AHB và EIA có:

AEI BHA EI ; HD AH BHA EIA ; 

( AHB EIA cgc) AE AB

ABE

  cân ở A

Xét BEC và ADC có: Chung C ,  ADC BEC 1350(cmt)

BEC

Áp dụng ĐL Pytago vào ABE vuông cân tại A, ta cóBE a 2

2) Gọi M là trung điểm của BE Chứng minh rằng: BHM ∽ BEC Tính AHM

,

BDE ABE

  có AM BD là trung tuyến ,

1 2

Ta có: tan AHM =  tan DHM 



AHM DHM 450

    BHM BHA AHM 135 0

Xét BHM và BECcó: Chung góc B, BHM BEC 1350

BHM

  ∽ BEC(gg)

3) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

BC AH HC

ABE

 cân tại A, có AG là đường trung tuyến nên AG là đường phân giác

Mà

AC HC

mà AH HD

1 Choa0,b và 0 a b 1 Tìm GTNN của biểu thức

2 Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo Để hạn chế, mỗi tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào

đó bà mẹ đã cho con tổng số 13 chiếc kẹo

Lời giải

1 Ta có

2

Mà

2 3 5

min

2 Cách 1

Xét các tổng S n=a1+a2+…+a n với a n là số kẹo ăn trong ngày thứ n

Ta xét đến n=14 Theo nguyên tắc Dirickle thì phải tồn tại 2 tổng S i , S j cùng số dư khi chia

cho 13

Khi đó S j−S i=a i+1+ +aj chia hết cho 13 mà dễ nhất

S j−S i<S j ≤ S14≤ 2.10=20⇒ a i+ 1+ + aj=13

Cách 2

Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi n n n n1; ; ; 2 3 4 n là số kẹo em bé ăn các ngày theo thứ14

tự

Gọi a7 a 10

là số kẹo em bé ăn tuần thứ nhất +)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn đúng 7 cái kẹo dễ thấy thỏa mãn

+)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn 10 chiếc kẹo suy ra

n n  n   n n n n n  a

ta xét các tổng liên tiếp S1n1 n S8; 2 n1 n9; S7 n1 n14

Các tổng này là 7 số khác nhau trong 10 số liên tiếp từ a 1 tới a 10 nên phải có ít nhất một

số là một trong bốn số 13; 13n1;13n1n2;13n1n2n3 nếu có một tổng là 13 thì các tổng trên có một tổng thỏa mãn Nếu có một tổng là 13 n 1 thì ta lấy tổng đó bỏ đi số hạng n sẽ1

được một tổng thỏa mãn Tương tự nếu có hai số 13n1n2;13n1n2n3 ta lấy tổng đó

bỏ đi n1n2 ( hoặc n1n2 n3) cũng được một tổng thỏa mãn

+) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần 2 em bé ăn 8 hoặc 9 chiếc kẹo

Cách 3

Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi n n n n1; ; ; 2 3 4 n là số kẹo em bé ăn các ngày theo thứ14

tự

Gọi a7 a 10

là số kẹo em bé ăn tuần thứ nhất +)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn đúng 7 cái kẹo dễ thấy thỏa mãn

+)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn 10 chiếc kẹo suy ra

n n  n   n n n n n  a

ta xét các tổng liên tiếp S1n1 n S8; 2 n1 n9; S7 n1 n14

Các tổng này là 7 số khác nhau trong 10 số liên tiếp từ a  tới 1 a 10 nên phải có ít nhất một

số là một trong bốn số 13; 13n1;13n1n2;13n1n2n3 nếu có một tổng là 13 thì các tổng trên có một tổng thỏa mãn Nếu có một tổng là 13 n 1 thì ta lấy tổng đó bỏ đi số hạng n sẽ1

được một tổng thỏa mãn Tương tự nếu có hai số 13n1n2;13n1n2n3 ta lấy tổng đó

bỏ đi n1n2 ( hoặc n1n2 n3) cũng được một tổng thỏa mãn

+) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần 2 em bé ăn 8 hoặc 9 chiếc kẹo

 HẾT 