Chuyên đề số chính phương nhóm toán THCS việt nam

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.. Từ tính chất 2 ta có các hệ quả: a Nế

CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Định nghĩa:

 Tức là, nếu A là số chính phương thì A k (2 k��).

 1 1 2

 36 6 2

 121 11 2

II Tính chất

1 Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0; 1; 4 ; 5; 6; 9, không có chữ

số tận cùng là 2 ; 3; 7; 8.

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số

mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.

Chứng minh

Giả sử A k với 2 k��.

Phân tích k ra thừa số nguyên tố ta có: k a b c x .y z (trong đó: a, b, c, là các số nguyên tố đôi

một khác nhau và x , y , z , �� )*

A a b c a b c

(đpcm).

Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a) Nếu A là một số chính phương, p là số nguyên tố và A pM thì A pM 2

b)Tích của các số chính phương là một số chính phương

3 Số các ước của một số chính phương (khác 0) là số lẻ Ngược lại, một số có số các ước là

lẻ thì số đó là số chính phương.

Chứng minh

Gọi A là số tự nhiên khác 0

- Nếu A  thì A là số chính phương có một ước.1

- Nếu A  thì A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là:1

A a b c x .y z (a, b, c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau)

� Số lượng các ước của A là S x1  y1 z1

 Nếu A là số chính phương thì x , y , z , là các số chẵn, nên x1, y , 11 z , là các số lẻ, do đó S là số lẻ

 Đảo lại, nếu S là số lẻ thì x1 y1 z1 là số lẻ � các thừa số x1, y ,1

1

z  , đều là số lẻ � x, y , z , là các số chẵn.

 Đặt x2 'x , y2 'y , z2 'z , (x', 'y , 'z , ��) thì  ' ' '2

A a b c nên A là số

chính phương (đpcm)

4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc4n1 Không có số chính phương nào có dạng 4n2 hoặc 4n3 (n��).

5 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n2 (n��).

6 Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính

phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

7 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

8 Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng: 2 2  2

2

 2

Chứng minh

Chứng minh đẳng thức (1)

Ta có:

             2

2

a  ab b  a ab  ab b a a b b a b  a b a b   a b

Chứng minh tương tự ta cũng có đẳng thức (2)

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG

I Dạng 1 Toán chứng minh một số là số chính phương:

 Phương pháp giải:

 A là số chính phương thì A k (2 k��).

 Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0; 1; 4 ; 5; 6; 9, không

có chữ số tận cùng là 2 ; 3; 7; 8

 Nếu số A nẵm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số

1

 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc4n1 Không có số chính phương nào có dạng 4n2 hoặc 4n3 (n��).

 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n2 (n��).

 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

1 Dạng 1.1 Chứng minh một số là số chính phương

Ví dụ 1 Các số sau có phải là số chính phương hay không? Vì sao?

a) P1020 8

b) P100! 7

Chứng minh

a) Ta có P1020 8 10000 0008 có chữ số tận cùng là 8 nên P không phải là số chính

phương

b) Ta có P100! 7 có chữ số tận cùng là 7 nên P không phải là số chính phương.

 Nhận xét: Các số sau: A10n ; 2 B15!3; không phải là số chính phương

Ví dụ 2 Các số sau có phải là số chính phương hay không? Vì sao?

a) A    3 32 33 320

b) B1010 5

c)C101001050 1

Chứng minh

a) Ta có 3 9nM với mọi n�2 nên 32  33 320M9

Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương.

b)Ta có 1010 có chữ số tận cùng là 5 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận cùng là 05) nên B không phải là số chính phương.

c) Ta có 101001050  có tổng các chữ số là 1 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên C không phải là số chính phương

 Nhận xét: Chứng minh tương tự: các tổng sau:

 A 2 22 23 24  2n chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4, nên A

không phải là số chính phương

 A      chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 25, nên A 5 52 53 54 5n

không phải là số chính phương

 P10n10m1n m  có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia

hết cho 9 nên P không phải là số chính phương.

Ví dụ 3 Cho F     31 32 33 3100 Chứng minh rằng 2F3 không là số chính phương

Chứng minh

Ta có: F     31 32 33 3100

Nên 3F     32 33 34 3101�3F F 31013.

không là số chính phương, vì 3 không phải là số chính phương

Ví dụ 4 Chứng minh rằng mọi số nguyên x ; y thì:

   2   3   4  4

Chứng minh

Ta có: Ax  y x  2 y x  3 y x  4 yy4

  x2 5 xy  4 y2  x2 5 xy  6 y2  y4

Đặt: tx25xy5y2, t�� thì:

5 5

A   t y t y   y   t y  y   t x  xy  y

Vì x; y �� nên x2��,5xy��,5y2� �� x25xy5y2��

Vậy A là số chính phương.

Ví dụ 5 Chứng minh các số sau là số chính phương:

2

22499 9100 09

A





1

11 155 56

B





Chứng minh:

a) A224.102n99.9.10n210n19

224.10 n 10n 1 10n 10n 9

2

15.10n 3

Vậy A là số chính phương

b) 111 1555 5 1 11 1.10{ n 5.11 1 1{

n

2

9

n n n 



2 2

Vậy B là số chính phương

2 Dạng 1.2 Chứng minh một số không là số chính phương

 Phương pháp giải:

Chứng minh số A không là số chính phương ta thường sử dụng một trong các cách sau:

 Cách 1 : chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các số 2 ; 3;7; 8

 Cách 2 : chứng minh A pM (với p là số nguyên tố) nhưng A pM 2

1

Ví dụ 6 Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y khác 0 sao cho x2 và y x y là số 2

chính phương

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x y�

x x y x�  x x x  x

2

x y

(nếu x y� thì chứng minh tương tự ta có x y không là số chính phương).2

Vậy không tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho x2 và y x y là số chính phương.2

 Nhận xét: Chứng minh rằng tích của bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.

Chứng minh

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a1, a2, a3 (a��)

Xét T a a 1 a2 a 3 1

 3  1  2 1

a2 3a a  2 3a 2 1

Đặt x a 23a, ta có:

T  a  a .

Vậy T là số chính phương (đpcm)

 Nhận xét: Trong ví dụ trên ta không chỉ biết được T là một số chính phương mà còn biết được nó

còn là bình phương của số nào Ví dụ:

 1.2.3.4 1 25 5   2

 2.3.4.5 1 121 11   2

 3.4.5.6 1 361 19   2

 4.5.6.7 1 841 29   2

Ví dụ 7 Giả sử N 1.3.5.7 2007 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N1, 2N và 2N1

không có số nào là số chính phương

Chứng minh

 2N 1 2.1.3.5 2007 1

Ta có 2NM3�2N1 không chia hết cho 3 và 2N 1 3k2 k��.

2N1

 2N 2.1.3.5 2007

Vì N lẻ �N không chia hết cho 2 và 2NM nhưng 2 2N không chia hết cho 4

2N chẵn nên 2N không chia hết cho 4 dư 1�2N không là số chính phương

 2N 1 2.1.3.5 2007 1

2N1 lẻ nên 2N1 không chia hết cho 4.

2N không chia hết cho 4 nên 2N1 không chia hết cho 4 dư 1.

2N1

2008 chữ số 1 2007 chữ số 0

Chứng minh là số tự nhiên.

Chứng minh Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5

2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0

ab+1 = + 1 = =

= =

Ta thấy 102008 + 2 = 100…02 3 nên �� hay là số tự nhiên.

2007 chữ số 0

Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6

2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9

ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2

= = 3a + 1 ��

Ví dụ 9 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chình

phương

Chứng minh

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n2,n1, ,n n1,n 2 n �,n 2 .

n  n n  n  n  n 

Vì n không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó 2 n2 không thể chia hết cho 5.2

5 n 2

�

không là số chính phương

II Dạng 2 Lập số chính phương từ các chữ số đã cho

Ví dụ 10 Tìm số chính phương có bốn chữ số là 3, 6, 8, 8

Chứng minh

Gọi A là số chính phương phải tìm.

Vì số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên do đó A phải tận cùng bằng 6

� hai chữ số tận cùng của A là 86 hoặc 36

- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 86 thì A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên

A không phải là số chính phương (loại).

- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 36 thì A8836.

Thử lại, ta có: 8836 94 2 là số chính phương.

Vậy số cần tìm là 8836

Ví dụ 11 Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta

được số chính phương B Hãy tìm các số A và B

Hướng dẫn giải:

Gọi A  abcd    k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

B  a b c d  m với ,  k m��và 32 100 k  m 

, , ,   

a b c d ��; 1 9 ; 0 , , 9� �a �b c d �

2

2

d 1111 d

�

� �

�

m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích m k m k     0 nên m k và m k là hai số nguyên dương.

Và m k m k   200 nên  * có thể viết m k m k     11.101 .

Do đó

Ví dụ 12 Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các

chữ số của số đó

Hướng dẫn giải:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab 0 � � �a 9,0 b 9, ,a b��.

Ta có : ab a b   a3b3

 2

10a b a b 3ab

3a 3 b a b a b  1

�

a b  và a b 1 nguyên tố cùng nhau do đó

8

7

a

1 3 a 3

a

b

b

   

�

Vậy ab48 hoặc ab37.

Ví dụ 13 Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?

Chứng minh Cách 1:

Gọi A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6

- Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60 A

� chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 52 25 (vì 60 25M )

A

- Nếu A có chữ số tận cùng là 6 �A có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc 66

A

� chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 , do vậy A không phải là số chính phương.

Vậy A không phải là số chính phương.

Cách 2: Sử dụng kết quả “Số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

III Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:

a) n22n 12 b) 13n3

Chứng minh Hướng dẫn giải: Ta chuyển bài toán về dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên” a) Vì n22n là số chính phương nên đặt 12 n22n 12 k k2 ��

  n  n  k �k  n    � k n  k n  

Nhận xét thấy k n    1 k n 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết:

b) Đặt 13n 3 y2 y� �� 13n 1 y216

�

y4  y4 13

y k  

   2  

13 n 1  13k   4 16 13 13k k  8

2

13k 8  k 1

n

Vậy n13k2�8  k  1 (với k��) thì 13n3 là số chính phương.

Ví dụ 15 Tìm số tự nhiên n�1 sao cho tổng P 1! 2! 3!   � ! n là một số chính phương.

Chứng minh

Hướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét những giá trị đặc biệt thỏa mãn, những trường hợp còn

lại chứng minh không thỏa)

 Với n1 thì P   là số chính phương.1! 1 12

 Với n2 thì P   1! 2! 1 1.2 3 không là số chính phương.

 Với n3 thì P        là số chính phương.1! 2! 3! 1 2 6 9 32

 Với n�4 ta có 1! 2! 3! 4! 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 33        còn 5!;6!; ; !� n đều tận cùng

bởi 0 do đó P 1! 2! 3!   � ! n có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là

số chính phương

 Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n1; n3.

Ví dụ 16 Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì được một số chính phương

Chứng minh

Gọi số phải tìm là n, ta có 135n a (2 a��) hay 3 5.n a3  2

Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n3.5.k2 (k��).

Vì n là số có hai chữ số nên 10 3.5.� k2 �k2� 1; 4 .

- Nếu k2  thì 1 n15

- Nếu k2  thì 4 n60.

Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60

Ví dụ 17 Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống

nhau

Chứng minh

Gọi số chính phương cần tìm là n2 aabb (a,b�� và 1� �a 9, 0� �b 9).

Ta có n2 aabb1100a11b11 100 a b  11 99 a a b   (1)

99a a b   11 a b  11 a b 11

Thay a b 11 vào (1) ta được n2 11 99 a11 11 92 a1.

9a1

Ta thấy chỉ có a7 thì 9a 1 64 8 là số chính phương.2

Vậy a7�b4 và số cần tìm là: 7744 11 8 2 2 882.

Ví dụ 18. Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Chứng minh

Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)

Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn

(m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Ví dụ 19. Biết x�� và x2 Tìm x sao cho x x 1  x x  1 x 2 xx x1

Giải:

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x x 1 2 x 2 xx x1

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)

Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x�� và 2 �x 9 (2)

Từ (1) và (2) xchỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776

Ví dụ 20. (Đề HSG Toán 9 – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại của THCS X

thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương

Chứng minh

Ta có: xxyy11 0x y là số chính phương nên

11 11

0 0

11

x y

x y

x y

x y

x y

 

�



 

�

M

Ta có: xxyy11 0x y11(99x x y  ) 11(99 x11) 11 (9 2 x1)

9x1

x y

Vậy xxyy7744; xxyy0000.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n1 và 3n1 đều là các số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Ta có 10� �n 99 nên 21 2�n1 199� Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n1bằng

25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84

Số 3n1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy n40

Bài 2 (Đề HSG Toán 9 – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1

là số chính phương

Hướng dẫn giải:

Đặt A n 4 n3 1.

Với n thì 1 A không thỏa mãn.3

Với n� ta có 2 4A4n44n34

4A 2n  n 1

�

Bài 3 (Đề HSG Toán 9 – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên n sao cho A n 22n8 là số

chính phương

Hướng dẫn giải:

Đặt n22n 8 a2 �a n 1 a n  1 7 với a nguyên dương.

Vì a n     nên 1 a n 1

�

Với n2�A 22 2.2 8 16 4   2 là số chính phương.

Bài 4 (Đề HSG Toán 9 – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, ,625 chọn

ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625 Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương

Hướng dẫn giải:

Ta phân chia 625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau:

+) nhóm thứ 1 gồm năm số chính phương 49; 225; 400;576;625

+) và 310 nhóm còn lại mỗi nhóm gồm hai số có tổng bằng 625(không chứa các số của nhóm 1) Nếu trong 311 số được chọn không có số nào thuộc nhóm thứ 1, thì 311 số này thuộc các nhóm còn

lại Theo nguyên tắc Dirichle phải có ít nhất hai số thuộc cùng một nhóm Hai số này có tổng bằng 625(vô lí) Vậy chắc chắn trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm thứ

1 Số này là số chính phương