Đối với mỗi câu, thí sinh có thể giải bằng cách khác với đáp án, khi đó người chấm thi, trên cơ sở thang điểm đã có của câu này, đề nghị thang điểm và trao đổi trực tiếp với Tổ trưởng đ[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 2
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề
Đề số 1 Câu 1.(1.5đ) Khảo sát sự liên tục tại điểm (0,0) của hàm số
0 y x khi 0
0 y x khi ) y x cos(
1
) y x ( y x ) y , x (
2 2
2 2 2
2
2 2 3 2
Câu 2.(1.5đ) Tìm cực trị của hàm số (x,y)x yx2 y6x8
Câu 3.(1.5đ) Tính tích phân hai lớp 2
0
x 4
0
y
2
dy y 4
xe 2 dx
Câu 4.(1.5đ) Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi các mặt 2 2
y x
z , x2 y2 z2 2
Câu 5.(1.5đ) Cho tích phân đường loại hai
L
2 2
dx y dy x
I với L là biên của nửa hình tròn
0
y
1 y
x2 2
định hướng dương Tính I theo 2 cách: Tính trực tiếp và dùng định lý Green, so sánh 2 kết quả thu được
Câu 6.(1.5đ) Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = 0 với điều
kiện ban đầu
2 ) 0 (
Câu 7.(1.0đ) Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’ + ycosx = sinxcosx đi qua điểm (x,y) = (0,1)
-
TailieuVNU.com
Trang 2Câu 1 (1,5đ)
Điều kiện để hàm số
0 y x khi 0
0 y x khi ) y x cos(
1
) y x ( y x ) y , x (
2 2
2 2 2
2
2 2 3 2
có nghĩa là 1 – cos(x2 + y2)
0 cos(x2 + y2) 1 x2 + y2 2k (kN*) do đó miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = {(x,y)R2 x2 + y2 2k (kN*)}.(0,25đ)
2
y x sin ) y x (
2
y x y x 2
2
y x sin 2
) y x ( y x ) y x cos(
1
) y x ( y x ) y , x
2 2 2
2 2 2 3 2
2 2 2
2 2 3 2 2 2
2 2 3 2
2
2 2
2 2 )
0 , 0 ( ) y , x ( 2 2
3 2
) 0 , 0 ( ) y , x ( )
0 , 0 ( ) y , x ( 2
2 2
2 2 2
2
3
2
2
y x 2
y x sin
1 lim
y x
y x 2 lim )
y , x ( lim
2
y x
2
y x sin
1
y
x
y
x
x
y x y
x
y x
3 2 2
2
3 2
y x
y x 2
3 2
)
0
,
0
(
)
y
,
x
2
y x t
2 2
t
t sin lim 2
y x 2
y x sin lim
0 t 2 2
2 2
) 0 , 0 ( ) y , x (
1 1 1
2
y x 2
y x sin lim
1
2
y x
2
y x sin
1
2 2
2 2
) 0 , 0 ( ) y , x (
2
2 2
2 2 )
0
,
0
(
)
y
,
x
Thay (2) và (3) vào (1) ta được lim (x,y) 0.1 0 (0,0)
) 0 , 0 ( ) y , x
f(x,y) đang xét liên tục tại điểm (0,0).(0,25đ)
Cách khác
) y x cos(
1 ) y x cos(
1
) y x cos(
1 ) y x ( y x ) y x cos(
1
) y x ( y x ) y , x
2 2 2
2 3 2 2
2
2 2 3 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2 3
2 2
2 2
2 2 2
2 3 2 2
2 2
2 2 2
2
3
2
y x
) y x sin(
) y x (
) y x cos(
1 y x )
y x ( sin
) y x cos(
1 ) y x ( y x )
y x ( cos
1
) y x cos(
1 ) y
x
(
y
x
Trang 3Vì y 2y 0
x
y x 2 y x
y x 2
3 2 2
2
3 2
0 y x
y
x
3 2
)
0
,
0
(
)
y
,
x
) 0 , 0 ( ) y , x
y x
) y x sin(
2 2
) 0 , 0 ( ) y , x
) 0 , 0 ( 0 1
2 0 ) y
,
x
(
lim
2 )
0
,
0
(
)
y
,
x
nên theo định nghĩa thì hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại điểm (0,0)
) y x ( ) y x (
y x ) y x cos(
1
) y x ( y x ) y , x
2 2 2 2
2
3 2 2
2
2 2 3 2
x
y x y
x
y x
3 2 2
2
3 2
y x
y x 2
3 2
)
0
,
0
(
)
y
,
x
- Mặt khác, đặt tx2 y2 t 0 khi (x,y) (0,0) và 1 – cost 0 khi t 0
2 1
2 t cos
2 lim t sin
t 2 lim t cos 1
t lim ) y x cos(
1
) y x ( lim
0 t
) ' L (
0 t
) ' L ( 2
0 t 2 2
2 2 2
)
0
,
0
(
)
y
,
x
Do đó lim (x,y) 0.2 0 (0,0)
) 0 , 0 ( ) y , x
nên theo định nghĩa thì hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại điểm (0,0)
Câu 2 (1,5đ)
Miền xác định của hàm số (x,y)x yx2 y6x8 đang xét là D = {(x,y)R2y0}
- Ta có
1 y 2
x y
) y , x (
6 x 2 y x
) y , x (
(0,25đ)
Do đó hệ phương trình để xác định các điểm dừng của hàm số đang xét là
4 y
4 x 0
1 y 2 x
0 6 x y
0 y
) y , x (
0 x
) y , x (
Như vậy, hàm số đang xét có điểm dừng duy nhất là P(4,4).(0,25đ)
- Ta có
16
3 AC B
8
1 y
) 4 , 4 ( f C
4
1 y x
) 4 , 4 ( B
2 x
) 4 , 4 ( A
y y 4
x y
) y , x ( f
y 2
1 y
x
) y , x (
2 x
) y , x (
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
(0,5đ)
Tại điểm dừng P(4,4) ta có
0 A
0 nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại là fcđ = f(4,4) =
20.(0,5đ)
TailieuVNU.com
Trang 4Từ các cận của tích phân
2
0
x 4
0
y
2
dy y 4
xe 2 dx
I ta vẽ miền lấy tích phân D trong hệ tọa độ Oxy là
Nếu tính theo chiều dương của trục Oy thì
x 4 y 0
2 x 0
D , còn nếu tính theo chiều dương
của trục Ox thì
y 4 x 0
4 y 0
Để tính I được dễ dàng, ta đổi thứ tự lấy tích phân
4
0
y 4
0
y
dx y 4
xe 2 dy
2
1 e 2
e ) y 2 ( d e 2
1 dy e dy y
4
x
0
y 4
0 y 4
0 y 4
0
y
4
0
2
.(0,5đ)
Câu 4 (1,5đ)
Thể tính cần tính là
V
dxdydz
2 2
2 2
y x 2 z 2 z y
dưới là mặt nón 2 2
2
vật thể V lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền D là hình tròn x2 + y2 1 vì giao tuyến của mặt cầu
Trang 52 z
y
x2 2 2 với mặt nón 2 2
y x
z là nghiệm của hệ phương trình
2 2
2 2 2
y x z
2 z y x
chính là đường tròn x2 + y2 = 1.(0,25đ)
Cách 1
2 2 2 2 D
y x 2 y x D
y x 2
y x
dxdy y
x y x 2 dxdy
z dz
dxdy V
2 2 2 2
2 2
2 2
(4)
Để tính tích phân hai lớp trên, ta đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)
sin
r
y
cos
r
x
khi đó J = r và
2 2
2
2 2
r 2 y
x 2
r y x
(5) Qua phép đổi biến này, miền D sẽ biến thành
miền D’ Trong tọa độ cực (r,) miền D’ được xác định như sau:
- Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình hình tròn x2 + y2 1 ta được r2 1 0
r 1(6);
- Đối với tọa độ : 0 2(7).(0,5đ)
0 2 1
0
2 2
0 2
0 1
0
2
dr r dr r 2 r rdr
r r 2 d V
0 2 1
0
2 2
1
0 2 1
0
2 2
dr r ) r 2 ( d r 2 2
1 2 dr r ) r 2 ( d r 2 2
1
2
3
) 1 2 ( 4 3
1 3
2 2 3
1 2 2
r ) r 2 ( 3
2 2
1
2
1
0
3 1
0 2 3 2
.(0,5đ)
Cách 2
Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y,z) sang tọa độ trụ (r,,z)
z z
sin r y
cos r x
khi đó J = r Qua phép đổi
biến này, miền V sẽ biến thành miền V’
Trong hệ tọa độ trụ, miền V’ được xác định như sau:
- Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình hình tròn x2 + y2 1 ta được r2 1 0
r 1;
- Đối với tọa độ : 0 2
- Đối với tọa độ z: Vì
sin r y
cos r x
nên từ x2 y2 z 2x2 y2 suy ra rz 2r2
(0,5đ)
0
r 2 r 2
0 2
0 1
0
r 2
r '
V V
dr z
r dz
rdr d dz rdrd dxdydz
V
2 2
TailieuVNU.com
Trang 6
3
) 1 2 ( 4 3
1 3
2 2 3
1 2 2
r ) r 2 ( 3
2 2
1
2
0 0
2 2
.(0,5đ)
Câu 5 (1,5đ)
(*)Tính trực tiếp tích phân
L
2 2
dx y dy x
I với L là biên của nửa hình tròn
0 y
1 y
x2 2
định hướng dương
L
2 2
I I dx y dy x
với
2 1
L
2 2
2 L
2 2
1
dx y dy x I
dx y dy x I
trong đó L1 là đoạn thẳng có điểm đầu
B(-1,0) và điểm cuối A(1,0), L2 là nửa đường tròn (cung AB) x2 + y2 = 1 (y 0)
- Trên đoạn BA: y = 0 với -1 x 1 dy = 0 I x dy y dx x 0 0.dx 0dx 0
1
1 1
1
2 2
L
2 2
1
1
- Trên cung AB: Phương trình tham số của nửa đường tròn AB là
t sin y
t cos x
với 0 t , khi đó
0 3
0
3 3
0
2 2
L
2 2
I tdt
cos
dy
tdt
sin
dx
2
3
4 3
4 0 3
t cos t cos 3
t sin t sin ) t (cos d ) t cos 1 ( ) t (sin d ) t sin 1
(
tdt
sin
0 3
0 3
0
2
0
2
0
Suy ra
3
4 3
4 0 I I
I 1 2 (0,5đ)
(**)Tính tích phân
L
2 2
dx y dy x
I với L là biên của nửa hình tròn
0 y
1 y
x2 2
định hướng dương, bằng cách dùng định lý Green
L
dxdy y
) y , x ( P x
) y , x ( Q dy
) y , x ( Q dx ) y , x (
) y x ( 2 y
) y , x ( P x
) y , x ( Q x
x
) y , x ( Q
y 2 y
) y , x ( P
x ) y , x ( Q
y ) y , x ( P dx y
dy
x
I
2 2
L
2
L
2 2
dxdy ) y x ( 2 dxdy ) y x ( 2 dx y dy
x
0 y
1 y
x2 2
.(0,5đ)
Trang 7Để tính
D
dxdy ) y x ( được thuận lợi, ta đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)
sin
r
y
cos
r
x
khi đó J = r Qua phép đổi biến này, miền D sẽ biến thành miền D’
Trong hệ tọa độ cực, miền D’ được xác định như sau:
- Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình của hình tròn x2 + y2 1 ta được r2 1
0 r 1;
- Đối với tọa độ : 0
0 1
0 2
0 1
0 D
d ) sin (cos dr
r rdr ) sin r cos r d dxdy ) y x
3
2 2 3
1 cos
sin
3
r
0 1
0
3
Suy ra
3
4 3
2 2 dxdy ) y x ( 2 dx y dy x I
D L
2
.(0,5đ)
Như vậy, kết quả tính tích phân I bằng hai cách theo yêu cầu có cùng một giá trị
Câu 6 (1,5đ)
Từ phương trình vi phân (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = 0 suy ra
y cos e x ) y , x ( Q
y sin e y ) y , x ( P
x x
x
) y , x ( Q y
) y , x ( P y cos e 1 x
) y , x ( Q
y cos e 1 y
) y , x (
P
x
x
do đó biểu thức (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần (cấp 1) của một hàm số u(x,y) nào đó, tức là dy P(x,y)dx Q(x,y)dy
y
) y , x ( u dx x
) y , x ( u ) y , x (
trình vi phân đã cho trở thành du(x,y) = 0 (8).(0,5đ)
dx P(x,y)dx (y) x
) y , x ( u ) y , x ( u ) y , x ( P x
) y , x ( u
) y ( y sin e xy ) y , x ( u ) y ( dx ) y sin e y ( ) y ,
x
(
dy
) y ( d y cos e x ) y , x ( Q dy
) y ( d y cos e x y
) y , x
(
K ) y ( 0 dy
) y ( d dy
) y ( d y cos e x y cos e
Như vậy, ta được u(x,y) = xy + exsiny + K với K là hằng số tùy ý Thay u(x,y) vừa tìm được vào
(8) ta được du(x,y) = d(xy + exsiny + K) = 0 xy + exsiny = C với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho
Thay điều kiện ban đầu
2 ) 0 (
y vào nghiệm tổng quát vừa tìm được:
TailieuVNU.com
Trang 8Cách khác Thay
y cos e x ) y , x ( Q
y sin e y ) y , x ( P
x vào công thức u(x,y) P(t,y )dt Q(x,t)dt K
y x
0
0 0
K là hằng số tùy ý và x0 = y0 = 0, ta được u(x,y)(0e sin0)dt(xe cost)dtK
y
0
x x
0 t
K y sin e xy K ) t sin
e
xt
(
0
Thay u(x,y) vừa tìm được vào (8) ta được du(x,y) = d(xy + exsiny + K) = 0 xy + exsiny = C với
C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho
Thay điều kiện ban đầu
2 ) 0 (
vào nghiệm tổng quát vừa tìm được:
1 C C 2 sin e
2
0 0 nên nghiệm riêng cần tìm là xy + exsiny = 1.(0,5đ)
Câu 7 (1,0đ)
Phương trình y’ + ycosx = sinxcosx là phương trình vi phân tuyến tính với
x cos x sin ) x ( q
x cos ) x ( p
(0,25đ)
Ta có
x sin dx ) x ( p
e e
e e
x sin xdx cos dx
) x (
p q(x)ep(x)dxdxsinxcosxesinxdx
x sin x
sin x
sin x
sin x
sin x sin x
sin
e ) 1 x (sin e
x sin e ) x (sin d e x sin e ) e ( xd sin ) x (sin
d
xe
dx ) x ( p dx
) x ( p
e
C 1 x sin e
C e
) 1 x (sin e
C dx e
)
x
(
q
e
C 1 0 1 e
C 1 0 sin
1 sin0 sin0
e
2 x sin
y sinx (0,25đ)
Ghi chú:
1 Theo Quy chế đào tạo, điểm được cho lẻ đến 0,1
2 Đối với mỗi câu, thí sinh có thể giải bằng cách khác với đáp án, khi đó người chấm thi, trên cơ
sở thang điểm đã có của câu này, đề nghị thang điểm và trao đổi trực tiếp với Tổ trưởng để thống nhất, nhằm bảo đảm tính chính xác và công bằng