mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Cho hình chóp. S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Cho hình chóp. S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cho hình chóp.. H [r]
Trang 1I N
M O
( ) P
MẶT CẦU – KHỐI CẦUCâu 1 Cho đường tròn ( )C đường kính AB và đường thẳng D Để hình tròn xoay sinhbởi ( )C khi quay quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
(I)Đường kính AB thuộc D
(II)D cố định và đường kính AB thuộc D
(III)D cố định và hai điểm , A B cố định trênD
Câu 2 Cho mặt cầu ( )S tâm O , bán kính R và mặt phẳng ( )P có khoảng cách đến O
bằng R Một điểm M tùy ý thuộc ( )S Đường thẳng OM cắt ( )P tại N Hình chiếu
của O trên ( )P là I Mệnh đề nào sau đây đúng?
A NI tiếp xúc với ( )S
B ON =R 2Û IN =R.
C Cả A và B đều sai.
D Cả A và B đều đúng.
Câu 3 Cho mặt cầu S O R và một điểm A, biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ một tiếp tuyến
tiếp xúc với ( )S tại B Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
Trang 2H r( ) a
060
Câu 5 Cho mặt cầu S O R và mặt phẳng ( ; ) ( )a Biết
khoảng cách từ O đến ( )a bằng 2R Khi đó thiết diện
tạo bởi mặt phẳng ( )a với S O R là một đường tròn( ; )
R
Câu 6 Cho mặt cầu tâm I bán kính R=2,6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm
I một khoảng bằng 2, 4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặtcầu tạo nên là:
Câu 8 Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn
có độ dài là 2,4 mp Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Câu 9 Cho mặt cầu S O R , A là một điểm ở trên mặt cầu ( ; ) ( )S và ( )P là mặt phẳng
qua A sao cho góc giữa OA và ( )P bằng 0
60
Trang 2
Trang 3Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
2.2
R p
R p
Câu 10 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a Khi đó
mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:
A
(1 3)
.2
a +
B
( 6 2)
.4
-C
( 6 2)
.4
D
( 3 1)
.2
-Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC= aCạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S ABC là:
a
C
6.2
a
D
2.3
a
Trang 3
Trang 4Câu 14 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
216
7
1
2
Câu 15 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt
đáy một góc 60 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp 0 S ABCD là:
a p
C
3
.9
a p
D
3
.27
a p
Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
AB=BC=CD= Cạnh bên a SA=2a và vuông góc với đáy Gọi R là bán kínhmặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số
R
a nhận giá trị nào sau đây?
Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a , AD=a
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45 Gọi N là trung0điểm SA , h là chiều cao của khối chóp S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếpkhối chóp N ABC Biểu thức liên hệ giữa R và h là:
A 4R= 5 h B 5R=4 h C
4
5 5
D
5 5.4
Câu 18 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Đường
thẳng SA=a 2 vuông góc với đáy (ABCD Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng) ( )a đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại
,
E F Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm , , , , S A E M F nhận giá trị nào sau đây?
2.2
Trang 5vuông góc đáy (ABCD Gọi ) H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?
2.2
a
D 2.
a
Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC= a
Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC Gọi , ) H K lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên cạnh bên SB và SC Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình
a
p
B 2p a3. C
3.6
a p
D
3.2
a p
Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD a= Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD là trung điểm OD.)
Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình0chóp S ABCD nhận giá trị nào sau đây?
góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC là trung điểm ) H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC bằng ) 0
60 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC ,
R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB Đẳng thức nào sau)
Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là
tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABCD là:
Trang 5
Trang 6A
3
2
.3
a p
C
3.6
a p
D
3.3
a p
Câu 24 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a Cạnh
bên SA=a 3 và vuông góc với đáy (ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp)
a
C
39.6
a
D
15.4
a
C
6.2
a
D
14.2
a
Câu 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB AC a= =
Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với)
đáy (ABC một góc ) 0
60 Gọi , S V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số
V
S bằng ?
14.12
a
C
3 14
.4
a
D
2.6
a
C
13.3
a
D
13
Trang 730 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ' (ABC)
bằng 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện '0 A ABC bằng:
a
C
21.2
a
D
21.8
a
Câu 30 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a Mặt phẳng
(AB C tạo với mặt đáy góc ' ') 0
60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' ' 'G A B C bằng:
a
3.4
a
D
31.36
a
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu 1 Chọn C.
Câu 2 Vì I là hình chiếu của O trên ( )P nên d O Péë ,( )ù=û OI
mà d O Péë ,( )ù=û R
nên I
là tiếp điểm của ( )P và ( )S
Đường thẳng OM cắt ( )P tại N nên IN vuông góc với OI tại I Suy ra IN tiếp xúc
với ( )S
Tam giác OIN vuông tại I nên ON =R 2Û IN = Chọn D.R
Câu 3 Vì AB tiếp xúc với ( )S tại B nên AB^OB.
Suy ra AB= OA2- OB2 = 4R2- R2 =R 3. Chọn D.
Câu 4 Gọi H là hình chiếu của O lên BC
Trang 7
Trang 8Ta có OB=OC= , suy ra R H là trung điểm của BC nên
Câu 6 Mặt phẳng cắt mặt cầu S I( ;2,6cm) theo một đường tròn (H r ; )
Chọn C.
Câu 7 Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua
tâm của hình cầu Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R
Theo giả thiết, ta có
Câu 8 Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có d2=R2- r2.
Theo giả thiết R=2m và
Câu 9 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ( )P thì
Trang 8
Trang 9A
B
C M
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD
Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.
Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường
phân giác trong của góc SMH I· ( Î SH)
.Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán
kính r=IH .
Ta có
; 23
Chọn B Câu 11 Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I là trung điểm SC , suy ra
IM SAP nên IM ^(ABC).
Trang 9
Trang 10O B
D
C A
Câu 12 Gọi O=AC BDÇ , suy ra O là tâm đường tròn
ngoại tiếp hình vuông ABCD
Gọi I là trung điểm SC , suy ra
Vậy diện tích mặt cầu S=4p R2=8p a2 (đvdt) Chọn B.
Câu 13 Gọi M là trung điểm AC , suy ra SM ^(ABC)Þ SM ^AC
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S
Ta có AC= AB2+BC2 =a 2, suy ra tam giác SAC đều.
Trang 10
Trang 11Gọi G là trọng tâm SACD , suy ra GS =GA GC= . ( )1
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh
huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Lại có SM ^(ABC) nên SM là trục của tam giác ABC
Mà G thuộc SM nên suy ra GA=GB=GC ( )2
Trang 12a
SO=OB SBO=
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD
Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của
Câu 16 Ta có SA^AD hay SAD· =90 0
Gọi E là trung điểm AD
Ta có EA=AB=BC nên ABCE là hình thoi.
Trang 12
Trang 13F
Suy ra
12
Ta có SAD· =SBD· =SCD· =900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I của SD
làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
Lại có NA^AC Do đó hai điểm , A B cùng nhìn đoạn
NC dưới một góc vuông nên hình chóp N ABC nội tiếp
mặt cầu tâm J là trung điểm NC , bán kính
2 2
Trang 14Do đó SEA· =SMA· =SFA· =900 nên năm điểm , , , , S A E M F cùng thuộc mặt cầu
tâm I là trung điểm của SA , bán kính
Suy ra AH ^(SBC)Þ AH ^HC nên tam giác
AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền
AC nên suy ra OH OC= .( )2
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra
2.2
Trang 15xuống AC dưới một góc 90 nên hình chóp 0 A HKCB
nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC , bán kính
a
SB= SH +HB =
Xét tam giác SBD , ta có SB2+SD2=a2=BD2
Suy ra tam giác SBD vuông tại S
Vậy các đỉnh , , S A C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầungoại tiếp hình chóp S ABCD là O , bán kính
Câu 22 Ta có 600=SA ABC· ,( )=SA HA· , =SAH· .
Tam giác ABC đều cạnh a nên
32
a
AH =
Trang 15
Trang 16Trong tam giác vuông SHA, ta có
d G SABéë ùû= d C SABéë ùû= d H SABéë ùû
Gọi M E lần lượt là trung điểm , AB và MB
Suy ra
32
a CM
Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB
vuông tại S nên MS=MA=MB.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB
Trang 16
Trang 17Từ giả thiết suy ra SH ^(ABCD).
Câu 24 Gọi G là trọng tâm ABCD , suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD .
Từ G dựng tia Gx^(ABC) (như hình vẽ)
Suy ra Gx là trục của tam giác ABC
Trang 18Trong tam giác vuông OGA , ta có
.6
a
R=OA= OG +AG =
Chọn C.
Câu 25 Gọi M là trung điểm BC ,
suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp DOBC.
Kẻ Mx^(OBC) (như hình vẽ).
Suy ra Mx là trục của OBCD .
Trong mặt phẳng (OA Mx , kẻ trung trực d của đoạn, )
a
R=IO= IM +OM =
Chọn D.
Câu 26 Ta có 60o=SI ABC· ,( )=SI AI· , =SIA· .
Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra
Suy ra Ix là trục của ABCD .
Trong mặt phẳng (SA Ix , kẻ trung trực d của đoạn, )
thẳng SA cắt Ix tại J Khi đó J chính là tâm mặt cầu
Trang 19Trong mặt phẳng (SA Gx , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I , )
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
a
R=IA= IG +GA =
Chọn A.
Câu 28 Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM ^AB và SM ^(ABC).
Do đó SM là trục của tam giác ABC
Trong mặt phẳng (SMB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại ) I Khi đó
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R=SI
Trang 20B' G'
C' A'
Gọi N là trung điểm AC ,
suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD .
Gọi I là trung điểm 'A C ,
suy ra IN AAP 'Þ IN ^(ABC)
Do đó IN là trục của ABCD , suy ra IA=IB=IC.( )1
Hơn nữa, tam giác 'A AC vuông tại A có I là trung điểm ' A C nên ' IA =IC=IA ( )2
Từ ( )1 và ( )2 , ta có 'IA =IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình
Trang 21Gọi 'G là trọng tâm tam giác đều ' ' ' A B C , suy ra ' G
cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp DA B C' ' '.
Vì lặng trụ đứng nên GG'^(A B C' ' ')
Do đó GG là trục của tam giác ' ' '' A B C
Trong mặt phẳng (GC G , kẻ trung trực d của đoạn thẳng '' ') GC cắt GG tại I Khi'
đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' ' ' G A B C , bán kính R=GI
Ta có
'' '