Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9 tổng hợp bài toán chọn lọc

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC. A.[r]

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Nếu y a  f x( )2 thì min y = a khi f(x) = 0

Nếu y a  f x( )2 thì max y = a khi f(x) = 0

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2)

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

x 

.b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2  x 3

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2  x 3

b) N 2x12 3 2x1 2 2x12 3 2x1 2

Đặt t2x1 thì t  0

Do đó N = t2 – 3t + 2 =

2 3 2

1 ( )

x 

Theo giả thiết ta có: 1 – a  0; 1 – b  0; 1 – c  0;

- Xét x y  2

Dấu “=” xảy ra

2 2 2

Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị của x và y

để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN ấy

Giải:

Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1

Đặt t = xy thì:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t

Bài toán 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 2

4 3 1

x y x

  Dấu “=” xảy ra khi x = -2

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

- Với a = 4 ta có:

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.

Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1

2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:

2 2

1 1

x x A

 Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

 Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là   0, tứclà:

Với

1 3

a 

thì x = 1Với a = 3 thì x = -1

Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:

GTNN của

1 3

A 

khi và chỉ khi x = 1GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1

m n

m n

x y xy

  





 

 Thỏa điều kiện xy = 1

Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2

1 1

y 

Dấu “=” xảy ra

1 2

x

 

.Vậy: GTLN của

4 3

y 

tại

1 2

x

Bài toán 6: Cho t > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

1 ( )

t 

Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1 ( )

1

t

g t t

t  đạt GTLN Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN

Ta có: t2 + 1  1  min (t2 + 1) = 1 tại t = 0  min g(t) = 1 – 2 = -1

Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0

Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của

b c c a a b      (1)

Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z

 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]

Thay vào (*) ta được:

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

M =

2 2

(1)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

1 2

Do đó:

25 2

M 

khi và chỉ khi

1 2

x y

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.

Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y x 2 4 x

Dấu “=” xảy ra  x 2 4 x  x 2 4  x x3 (Thỏa mãn (*))

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3

Do đó y   2 2 2 4

Dấu “=” xảy ra  x 2 4   x x 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y3 x1 4 5  x(1 x 5)

25 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của y là10 khi x =

61 25

Vậy GTNN của B = 5 <=> a =

3 5



 

và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0 <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 3 2 1 1

2  x

Bài toán 6:

Tìm GTNN của biểu thức: A = 2

5 3 1

x x



hay x =

2 2



Bài toán 8:

Tìm GTLN của biểu thức: y = x1996 1998 x

Biểu thức có nghĩa khi 1996  x 1998

Vì y  0với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996  x 1998

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)

Trong trường hợp này thì: 2 a1 4

<=> 4 a 1 16 

<=> 5 a 17

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:

GTNN của M = 2 tương ứng với: 5  a 17

Bài 2:

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:

x x 

với m =

3 4

<=> 3A = 8 + (x + y)2  8

=> A

8 3

Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:

B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước

Gợi ý:

2 2

Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4

Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7

Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:

E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3

Gợi ý:

Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2

=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3

Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2x4y 5z

Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169

¿y=❑

❑

¿z=13√5

5 {} { | } {}

1 1

2

1

x x

 Min C = - 1 khi x = 0

Với x 0  Với mọi x Với mọi x

Bài toán 13:

Tìm GTNN của biểu thức A =

2 2

2 2000

;( 0)

x x

2 1

Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trịtương ứng của x, y, z, t Biết rằng:

Bài 23:

Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1)

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:

Giải điều kiện này được m4 - m2  0 <=> m(m – 1)    0 0 m 1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1

Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2

(1) (2)

Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t =

2 2

2 2 1

2 2 1

3 với x = y ; max A = 3 với x = - y

Bài 26: Cho a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức: