Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng P, ta cĩ thể dựa vào cơng thức tính thể tích khối chĩp với đỉnh là A và đáy nằm trên mặt phẳng P cĩ diện tích S... B3: Tính khoảng cách từ M đến α
Trang 1c b
a
M
B A
CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN -KHOẢNG CÁCH
NĂM HỌC 2018-2019
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng : Cho ∆ABCvuơng ở A ta cĩ :
Định lý Pitago : BC2 = AB2+AC2
BA2 =BH.BC; CA2 =CH.CB
AB AC = BC AH
1 2 1 2 1 2
AC AB
AH2 = BH.CH
BC = 2AM sinB b, osc B c, tanB b, cotB c
= = = = b = a sinB = a.cosC,
c = a sinC = a.cosB, a =
sin cos
B = C , b = c tanB = c.cot C
2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Cơsin: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA
* Định lý hàm số Sin: 2
sin sin sin
R
A= B= C =
3 Các cơng thức tính diện tích.
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:
2
S = a.ha =1
a b c
R
2
a b c
p= + +
Đặc biệt :*∆ ABC vuơngở A : 1
2
4
a
S = đường cao AH = AB 3
b/ Diện tích hình vuơng : S = AB 2 = cạnh x cạnh Đường chéo AC = AB 2
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S = 1
2(chéo dài x chéo ngắn) ·
1 2
=
e/ Diện tích hình thang : 1
2
S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 1( )
chiều cao)
f)Tứ giác có hai đường chéo AC ,BD vuông góc: 1
2
2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP:
1 Phương pháp chứng minh đường thẳng a ⊥ đường thẳng b:
@ PP1 :Ta đi chứng minh đường thẳng a ⊥ mp(P) chứa đường thẳng b => a ⊥b.
@PP2 : Dùng định lí 3 đường vuơng gĩc :
Cho a⊥ ( ),P b⊂( )P , a′ là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥
a′
2 Phương pháp chứng minh đường thẳng a ⊥ mp(P):
MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CƠNG THỨC TÍNH DIỆN
TÍCH
1
Trang 2PP1/ Ta đi chứng minh đường thẳng a ⊥ với 2 đường thẳng b, c cắt nhau nằm trong mp(P)=> a ⊥(P)
PP2/ Ta đi chứng minh đường thẳng a // b, đường thẳng b ⊥ mp(P) => a ⊥ mp(P)
PP3/ Ta đi chứng minh
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b
⊂
⊥
PP4 : Ta đi chứng minh
(R) (Q) a (R) (P) a (P) (Q) (P)
PP5:Chứng minh a vuông góc với (Q) và (Q) // (P)= > a ⊥ mp(P)
Chú ý Dùng tìm thiết diện của hình chĩp ,lăng trụ với mp(P)
1)
( ) ( )
/ / / / ( ) ,( )
/ /
d a b
d a d b
( ) ,( ) ( )
,( )
3 Phương pháp chứng minh mp(P) ⊥ mp(Q):
Ta đi chứng minh trong mp(P) cĩ một đường thẳng a ⊥ mp(Q) (hoặc ngược lại.)=> mp(P) ⊥ mp(Q):
4 Pp xác định Gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) :
+ Xác định hình chíếu vuơng gĩc a’ của a trên (P)
+ Gĩc giữa đường thẳng a và hình chíếu a’của a trên (P)là Gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
5 pp xác định Gĩc giữa mặt phẳng (P) và (Q):
+ Xác định giao tuyến ∆ của (P) và (Q)
+ Xác định a ⊂ ( ) P va a ⊥ ∆ ; b ⊂ ( ) Q va b ⊥ ∆; a cắt b tại O
+ Gĩc giữa đường thẳng a và b là Gĩc giữa mặt phẳng (P) và (Q)
6 Phương pháp xác định k/c từ A đến mp(P).
Cách 1 Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Trong khơng gian cho mp(P) và một điểm M khơng nằm trên mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:
Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuơng gĩc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuơng gĩc với d tại H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH
Cách 2 Phương pháp tính gián tiếp
Việc tính gián tiếp thơng qua điểm khác dựa vào các tính chất hình học sau:
a) Nếu đường thẳng Δ qua A và Δ // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với ∀ ∈ ∆B
b) Cho mp(P) và 2 điểm A, B khơng nằm trên (P) Gọi I = AB ∩ (P) và AI=k.BI => ( ,( ))d A P =k d B P ( ,( ))
c) Mặt phẳng (Q) qua A và (Q) // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với ∀ ∈B ( )Q
Cách 3 Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P), ta cĩ thể dựa vào cơng thức tính thể tích khối chĩp
với đỉnh là A và đáy nằm trên mặt phẳng (P) cĩ diện tích S Khi đĩ,
3 ( ;( )) V
d A P
S
Trang 33 Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
TH1: a,b chéo nhau và vuông góc với nhau ( Dùng định lí ba đường vuông góc kiểm tra )
Xác định m(P) chứa b và vuông góc với a tại A Kẻ AB ⊥b tại B ⇒ d(a,b) = AB
TH2: a,b chéo nhau và không vuông góc
B1: Dựng mp(α) chứa b và song song với a.( a : cạnh đáy , b : cạnh bên )
B2: d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), trong đó M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a
B3: Tính khoảng cách từ M đến (α)
SƠ ĐỒ TƯ DUY QUAN HỆ VUÔNG GÓC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh bằng a.
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh a.
Bài 3: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Bài 4: Tính thể tích khối lập phương có đường chéo bằng 3a.
Bài 5: Tính thể tích khối hộp chữ nhật 3 kích thước là a,2a,3a.
Bài 6 Cho hình chóp S.ABC Trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm M,N,P.
CMR : .
.
S MNP
S ABC
V = SA SB SC
Bài 7.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
một góc 60o
Tính V S ABCD.
Bài 8.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 30
1)Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2)Gọi M là điểm cạnh SA sao cho MA=2/3SA,mp(MBC) chia khối
chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích k (0<k<1) giữa hai khối đó
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
,góc giữa mp(SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60 1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (TN2010)0
Trang 42)Gọi M là trung điểm cạnh SA ,mp(MBD) chia khối chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích k (0<k<1) giữa hai
khối đó
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a,cạnh bênSA vuông góc với mặt phẳng đáy ,góc giữa SD và mặt
phẳng (SAB) bằng 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 0
Bài 11.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5 Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) là 60°
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD CD a AB= = ; =3a
Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 45 Tính thể 0
tích của khối chóp S.ABCD theo a
Bài 13 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông
góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2 a 3 và ·SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a Góc giữa
đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Bài 16.Cho lăng trụ ABC.A B C¢ ¢ ¢ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a Biết hình chiếu vuông góc của A¢ trên mp(ABC) là trung điểm của BC, và góc giữa cạnh bên với đáy là 600
Tính thể tích lăng trụ ABC.A B C¢ ¢ ¢ theo a
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ?
A 6 B 10 C 12 D 11
Câu 2 Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều
Câu 3 M1–18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 4 mặt phẳng B 3 mặt phẳng C 6 mặt phẳng D 9 mặt phẳng
Câu 4 M2–25. Mặt phẳng (AB C chia khối lăng trụ ' ') ABC A B C ' ' ' thành các khối đa diện nào?
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C Hai khối chóp tam giác.
D Hai khối chóp tứ giác.
Câu 5 M3–23. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 4 mặt phẳng B 1 mặt phẳng C 2 mặt phẳng D 3 mặt phẳng
Câu 6 M3–23. Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6 mặt phẳng B 9 mặt phẳng C 8 mặt phẳng D 12 mặt phẳng
Trang 5Câu 7 M3–23. Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6 mặt phẳng B 8 mặt phẳng C 9 mặt phẳng D 12 mặt phẳng
Câu 8 M3–23. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6 mặt phẳng B 8 mặt phẳng C 9 mặt phẳng D 4 mặt phẳng
Câu 9: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:
3
6
V = Bh C V =Bh D 1
2
V = Bh
Câu 10: Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:
3
6
V = Bh C V =Bh D 1
2
V = Bh
Câu 11: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
3a
Câu 12: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A 4 3
Câu 13: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng
3 4
3
16a
Câu 14: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
A 2 3
Câu 15: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC’ = a 3
A. 3
3
3 6 4
a
3 3
3
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA= 2 a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. 2 3
6
a
4
a
3
a
Câu 17: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a
A 3 3
6
a
12
a
2
a
4
a
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc bằng 30 o Tính thể tích V của khối chóp S ABCD
A
3 6 18
a
3
3 6 3
a
3 3 3
a
Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2avà thể tích bẳng a3.Tính chiều cao hcủa
hình chóp đã cho
6
a
h = B 3
2
a
3
a
h = D h = 3 a
Câu 20: Cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD Tính thể tích V của khối
chóp A GBC
A V = 3 B V = 4 C V = 6 D V = 5
Trang 6Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC=2 2
Biết '
AC tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 và AC' =4 Tính thể tích V của khối đa diện
' ' ' A B C
A)
3
8
=
3
16
=
3
3 8
=
3
3 16
=
V
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD
= 4a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
A. 7 3
2
3
Câu 23 M4–27. Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể
tích V của khối chóp S ABC
A = 13 3
12
a
12
a
6
a
4
a
Câu 24 M3–16. Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA=4,AB=6,BC=10 và CA =8 Tính thể tích V của khối chóp S ABC
A V =40 B V =192 C V =32 D V =24
Câu 25 M2–36. Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a AD a= , = 3, SA vuông góc với
đáy và mặt phẳng (SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc ) 60 Tính thể tích V của khối chóp 0 S ABCD.
A = 3
3
a
3
a
Câu 26 M1–21. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy Tính thể tích
V của khối chóp đã cho.
A = 2 3
2
a
6
a
2
a
6
a
Câu 27 M1–43. Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với đáy và SC tạo
với mặt phẳng (SAB một góc ) 30 ° Tính thể tích V của khối chóp
A = 6 3×
3
a
3
a
3
a
Câu 28 M3–34. Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy và khoảng, cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng ) 2
2
a Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A = 3
2
a
9
a
3
a V
Câu 29 M4–23. Cho hình bát diện đều cạnh a Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A S=4 3a 2 B S= 3a 2 C S=2 3a 2 D S=8a 2
Câu 30 M2–18. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và AC a= 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A V =a 3 B = 3
3
a
6
a
2
a
Trang 7Câu 31 M4–39. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với ′ ′ ′ AB AC a= = ,
BAC = ° Mặt phẳng (AB C tạo với đáy một góc ′ ′) 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.°
A = 3 3
8
a
8
a
8
a
4
a
Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a= , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA=2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng)
A. 2 5
5
3
3
5
a.
Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = , SA vuông góc với mặt phẳng đáy a
và SA= Khoảng cách từ a A đến mặt phẳng (SBC bằng)
A.
2
a
3
2
a.
Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= , a BC=2a , SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA= Khoảng cách giữa hai đường thẳng a BD và SC bằng
A. 30
6
21
21
12
a.
Câu 35: Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BB′ bằng 5 , khoảng
cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C là trung điểm M của B C' ' ') ′ ′ và ' 15
3
A M = Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
A 15
2 5
2 15
3 .
Câu 36: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
2
SA= a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
Câu 37: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AC a BC= , = 2a SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA a= Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
Câu 38: Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi ' ' ' ' I là tâm của hình vuông ABCD và M là
điểm thuộc OI sao cho 1
2
MO= MI ( tham khảo hình vẽ) Khi đó, côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng
(MC D và ' ') (MAB bằng)
A.6 13
7 85
6 85
85 . D 17 1365
Câu 39: Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau, OA OB a, , = = và OC=2a Gọi M là
trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng
Trang 8A 2
3
a
5
a
2
a
3
a
Câu 40: Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ bằng 2, khoảng cách từ A đến
các đường thẳng BB′ và CC′lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
(A B C′ ′ ′) là trung điểm M của B C′ ′ và A M′ =2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt
bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3
3a Tính khoảng
cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).
A h = 2
3a B h = 4
3a C h = 8
3a D h = 3
4a
Câu 42: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi ' V là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm
của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V'
V
A ' 1
2
V
4
V
3
V
8
V
Câu 43 M1–44. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB BC và,
E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện) trong đó khối đa diện chứa A có thể tích là V Tính V
A =7 2 3×
216
a
216
a
216
a
18
a V
Câu 44 M3–44. Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A SA vuông góc với đáy, khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng ) 3 Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (ABC tính), α
cos khi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất.
A cosα = 1
3 B cosα = 3
3 C cosα = 2
2 D cosα = 2
3
Câu 45: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a Tính khoảng cách d
giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
A .
6
a
4
a
3
a
6
a
d=
Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, ·ABC= 120 0, AB a= , SB vuông góc với mặt phẳng (ABC) Góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt đáy bằng 450 Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm của
SM Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (ABN).
A 21 .
7
a
7
a
7
a
7
a
d=
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB, AC.
A 3 .
5
a
5
a
5
a
5
a
d=
Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC= 2 ,a ACB· = 30 0 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH= 2a Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng
(SAB).
Trang 9A 33 .
11
a
11
a
11
a
11
a
d=