Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chưa căn bậc hai ( đưa thừa số ra ngoài dấu căn, t[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1:
RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC I-CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chưa căn bậc hai ( đưa thừa số ra ngoài dấu căn, trục căn thức ở mẫu, )
Khi phối hợp các phép biến đổi căn thức với các phép biến đổi biểu thức cá dạng phân thức cần chú ý:
1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức
-Mẫu khác 0; A xác định khi A 0; biểu thức chia khác 0
2 Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
A A
A A
A A
3 Một số hắng đẳng thức(x>=0)
1 ( 1)( 1)
x x x ; x 2 x 1 ( x 1)2 ; x x 1 ( x 1)(x x 1)
4 Chú ý :
Một số bài toán như : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… cũng quy về Rút gọn biểu thức
Sau khi rút gọn có thể có những câu hỏi tiếp theo, chẳng hạn tìm x để: biểu thức có giá trị nguyên, biểu thức có giá trị dương, biểu thức có giá trị bằng k , biểu thức có giá trị nhỏ nhất,
Cho biểu thức m n p
hoặc m n p
, nếu tìm được a và b sao cho
a2+b2= m và 2ab= n p thì m n p = (a+b)2
Trang 2II MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1:
:
x x
x x
có nghĩa khi x+2 0; x-1 0; x+3 0;
x-2 0 x > -2; x1; x2
Ví dụ 2:
* Nhận xét: ta dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử căn thức ở mẫu,
525 ; 20=4.5;
24;
9 9.2 4,5
;
12,5=
10 2 4 ; 45=9.5; 18=9.2; 72= 36.2; 200=100.2; 0,08 = 4.2/100; 50=25.2
Bài giải
a)
2 2 =
5
5
2 2 5
b)
1
4.5 12,5
4 4 4 =
2 2 2 = (
1 3 5
2 2 2 ). 2=
9 2 2
c) 20 45 3 18 72
Trang 3= 2 5 3 5 3.3 2 6 2 = 5 15 2
d) 0,1 200 2 0,08 0,4 20
= 2 0,1.2 2 0,8 5 = 1,2 2 0,8 5
Ví dụ 3: Tình giá trị biểu thức
a) 4 2 3 4 2 3
b) 2 3 2 3
Phân tích
Câu a, Ta tìm được a=1 và b= 3 thỏa mãn a2+b2=4 và 2ab= 2 3 nên
4 2 3 = (1+ 3)2 và 4 2 3 = (1- 3)2
* Bài giải
4 2 3 4 2 3 =
( 1 3 ) ( 1 3 )
= 1 3
- 1 3
= 1+ 3 - ( 3- 1) = 2 b) Nhận xét: 2( 2 3 2 3)=
2(2 3) 2(2 3 )= 4 2 3 4 2 3
Như vậy ta chỉ việc tính như câu a rồi chia cho 2 là được kết quả
câu b
Cách khác: kết quả câu b là một số âm Bình phương ta được:
( 2 3 2 3 ) 2 =(2 3)–2.(2 3)(2 3) +(2 3) = 4
-2.( 4-3) = 4-2 =2= (- 2)2 =( 2)2
Vì giá trị biểu thức là số âm nên 2 3 2 3 = - 2
Trang 4Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
A= x 2 2 x 1 x 2 2 x1
Phân tích
Ta tìm được a=1 và b= x thỏa mãn a1 2+ b2= x+2 và 2ab= 2 x 1
Ta có x 2 2 x 1 = (1 x1)2 = 1 x1
Bài giải
Điều kiện xác định:
Với x xét (x+2)1 2 4(x+1) x2 0 ( luôn đúng với mọi giá trị của
x) Vậy ĐKXĐ của biểu thức là x 1
Cách giải thứ nhất:
A= (1 x1)2 - (1 x1)2 = 1 x1 - 1 x1
Nếu
1 0
x x
1 x+10 -1 x 0 ta có:
A= 1- x -1-1 x = -21 x 1
Nếu
1 0
x x
A= x -1 – 1-1 x = -21
Cách thứ hai: A< 0 ta tính A2 = 2x+4 - 2 x
Nếu x0 ta có A2= 4 <=> A= -2 ( vì A <0)
Nếu x<0 ta có A2= 4x+4 suy ra A=- 2 x ( vì A<0)1
Ví dụ 5: cho biểu thức
Trang 5* Phân tích bài toán: Ta thực hiện theo quy tắc thực hiện trong ngoặc
trước, nhân sau
- Trong ngoặc ta rút gọn các biểu thức ( nếu được) rồi quy đồng mẫu
Ví dụ 6:
Trang 6Bài giải
Gợi ý: Để rút gon ta biến đổi làm cho tử và mẫu có nhân tử chung
a)
3
x
b)
3
với a>0; a khác 1
3.2 Bài tập
Bài 1 : Rút gọn biểu thức
1)
1 2
3
1 1
2
1
3)
4) 9 a 16 a 49 a Víi a 0
5)
ab
6) 9 4 5 9 80 7) 2 3 48 75 243 8) 32 2 6 4 2
9) 4 8. 2 2 2. 2 2 2
8 2 2 2 3 2 2 10)
11) 6 11 6 11
Bài 2 Cho biểu thức A =
1
x
a Tìm điều kiện xác định
Trang 7b Chứng minh A = 1
2
x x
c Tính giá trị của A tại x = 8 - 28
d Tìm max A
* Gợi ý: b) Trước khi quy đồng mẫu ta phân tích các mẫu ra thừa số rồi tim Mẫu chung là đâ thức chia hết cho đa thức mẫu
1
x x = x 3 1 = ( x 1).( x+ x +1)
c) Để tính giái trị của A, trước hết ta rút gọn x
x=
2
8 28 8 2 7 7 2 7 1 ( 7 1)
Chú ý
0
A
; trong bài này 7 1 0
d) Vì tử bằng 2 là một số dương không đổi, suy ra Biểu thức A có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu x x 1 có giá trj nhỏ nhất;
Chẳng hạn: Y2+Y+1 = (Y2+ Y+ ¼) +3/4 = (Y+1/2)2 +3/4 >=3/4 với mọi giá trị của Y, dấu = xảy ra khi Y =-1/2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
¾ khi Y=-1/2
4 n 4 2 n
1 n 2 n
3 n
(với n ;0 n 4)
a Rút gọn P
b Tính giá trị của P với n = 9
Bài 4 Cho biểu thức M =
2
a Rút gọn biểu thức M
b Tìm a , b để M = 2 2006
* Gợi ý: Ta rút gọn
a b b a ab
trước rồi thực hiện
Trang 8Bài 5: Cho biểu thức : M =
x x
x
x x
x
1
1 1 :
1 a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 c) Tìm x sao cho M =1/2
Gợi ý : Tập xác định của M là x>0, x 1, x 3 (1)
b) Viết x = 7 4 3 dưới dạng bình phương rồi thay vào biểu thưc M đã rút gọn
c) sau khi tìm x chú ý kết hợp với điều kiện (1) rồi kết luận xem x tìm được có thỏa mãn hay không
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x
x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 3 5
8
* Gợi ý: a)
2
2
x x
x x
=
x 4
x
x x
=
4
x x
0 với mọi x
TXĐ: x 4; x 0
P= 1- x
b) biến đổi x= 3 5
8
bằng cách trục căn thức ở mẫu ta được x= 6-2 5 =
\= ( 5 1) 2 ; thay vào P ta được P = 1-( 5-1) = 2- 5
1
2 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a) Rút gọn B
b) Tìm x để : 2.B < 1
Trang 9c) Với giá trị nào của x thì B x = 4/5
Gợi ý:
2 1
1
x
x x
2 1
1
x
x x
1
x x x
x x
=
3
1
x
x x
> 0 với mọi x, TXĐ của B là x >0; x 1;
x
x với x >0; x 1;
b) 2.B<1
2
3
x
x <1
3 0 3
x x
Đối chiếu với điều kiện tập xác định ta có x >0; x 1; x<9
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn M
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên c) Tìm x sao cho : M > 1
TXĐ: x>0; x 9;
a) M=
1 3
x
x
với x>0; x 9;
b) M=
1
M có giá trị nguyên nếu 2 chia hết cho x 3
1
1 1
1 1
2 2
x x
x
x x
x
x x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3
Trang 10c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
x
x x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 2
3 4
7 c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 11: Cho biểu thức : A = 3
.
1
x
x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu x = 2
3
2
1 1
2
x
x x
x x x x
x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A < 0
2 2 : 1
2 1
1
x
x x x
x x x x
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2 5 c) Tìm x nguyên để B nguyên
x x
x x
x
2
1 6
5 3
2
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu x = 2 3
2
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Trang 11Bài 15: Cho biểu thức : M =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a) Rút gọn M
b) Tìm x để M < 1 c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên
2
3 1
: 3
1 3
2
4
x
x x
x x
x
x x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A > 1
3 : 2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4
x x
x x
x x
: 1
1 3 1 a) Rút gọn M
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên c) Tìm x thoả mãn M < 0
x
x x
x x
x x
x
1
5 2 1
3 : 1 1
1 2 3 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 3 5
8
c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên d) Tìm x để P < -1
x x
x x
x x
x
x
2
2 2
3 :
4
2 3 2
3 2 a) Rút gọn B
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 5
Trang 12c) Tìm x sao cho B.( x – 1 ) = 3 x
1 1 1
1 :
1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y = 1 3
1 3
6 3 2
6 6
3 2
3 2
y x xy
xy y
x xy
y x
a) Rút gọn B
b) Cho B= 10 ( 10).
10
y y
y
9
y x
Bài 22 : Cho biểu thức :
1 2
: 3
2 2
3 6
5
2
x
x x
x x
x x
x
x P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để 2
5 1
P
Bài 23 : Cho biểu thức :
1
1 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức P
x
Q2
nhận giá trị là số nguyên
Bài 24: Cho biểu thức :
2
2 2
1 1
1 1
1
x x
x x
x P
a) Rút gọn P b) Tìm x để x 2
P
Trang 13Bài 25: Cho biểu thức :
2
2 : 2
4 5 2
1
x
x x
x x
x
x x
P
a) Rút gọn P b)*Tìm m để có x thoả mãn : Pmx x 2mx1
Bài26: Cho biểu thức A =
2 2
2
x 1 2
1 x x 1
1 x
1
1
1 Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
2 Rút gọn biểu thức A
3 Giải phương trình theo x khi A = - 2