Bài tập cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số chọn lọc - Giáo viên Việt Nam

Tổng các số hạng của cấp số nhân mới tạo thành bằng cách thay mỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu bằng số nghịch đảo của nó là:A. A..[r]

CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị

nguyên dương n p, ta thực hiện như sau

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Bước 1: Với n 1, vế trái bằng 9 chi hết cho 3 Mệnh đề đã cho đúng

Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n k , tức là: u k k33k25k

Vậy u k1chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh.

III BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

a) 1 + 2 + … + n =

( 1)2

e)

( 1)( 2)1.2 2.3 ( 1)

2 Dãy số tăng, dãy số giảm:

 (u n ) là dãy số tăng  u n+1 > u n với  n  N*.

Nên là dãy số giảm.

Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số:

Dự đoán: Un=3.2n-1.Sau đó khẳng định bằng quy nạp

III BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a)

2 2

u n

n n

n n

u n

11

n u

21

u

n

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào thõa mãn

n n



2 cos ) 1 (  1

Câu 8: Cho dãy số (u n) với 2 1

Khi đó u n 1 bằng:

n u

n u

u   Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

Câu 13: Dãy số

1 1

n u n



 là dãy số có tính chất?

2

u u u

Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng:

A (1) là dãy đơn điệu giảm, (2) là dãy đơn điệu giảm, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)

là dạy đơn điệu không tăng

B (1) là dãy đơn điệu tăng, (2) là dãy đơn điệu tăng, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)

là dạy đơn điệu không tăng

C (1) là dãy đơn điệu tăng, (2) là dãy đơn điệu giảm, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)

là dạy đơn điệu không giảm

D Cả ba câu trên đều sai.

Câu 25: Dãy số  un xác định bởi công thức un = 2n + 1 với mọi n = 0, 1, 2, … chính là:

A Dãy số tự nhiên lẻ

B Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17

C Dãy các số tự nhiên chẵn.

D Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn

Câu 26: Trong các dãy số sau, dãy số nào thoả mãn:

u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - 1 - 2un - 2 , n = 2, 3, …?

A 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

B 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, …

C Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n + 1 với n = 0, 1, 2, …

D Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n với n = 0, 1, 2, …

Câu 27: Xét các câu sau:

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai.

n n



sin ) 1 (  1





3 2

u n

D.

) 1 3

n

n u

212

n

n

u u

n





7

Câu 36: Cho tổng S n   12 22 n2 Khi đó công thức của S(n) là?

Câu 41: Cho dãy số hữu hạn được xác định như sau:

u0 = 1; u1 = -1; u2 = -1; u3 = 1; u4 = 5; u5 = 11; u6 = 19; u7 = 29; u8 = 41; u9 = 55Hãy tìm công thức tổng quát cho 10 số hạng trên

A u n  n2 3n 1, n   0,1, , 9 B u n  n2  3n 1, n   0,1, , 9

C u n  n2 3n 1, n   0,1, , 9 D Kết quả khác

Câu 42: Trong dãy số 1, 3, 2, … mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước

nó trừ đi số hạng đứng trước số hạng này, tức là un un 1  un 2 với n ≥ 3 Tính tổng 100 sốhạng đầu tiên của dãy số đó Đáp số của bài toán là:

Câu 43: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi:

1

* 1

312

12

III BÀI TẬP TỰ LUẬN

và công sai của nó:

3 25

1518

u u

a) Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số thứ 2 bằng

105, số cuối bằng 999

b) Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1/3, số thứ 2 bằng-1/3, số cuối bằng -2007

Bài 4: Cho cấp số cộng có d > 0: và có u13u153 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585.tìm cấp số cộng đó

Bài 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng

Bài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây,

hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, … Hỏi có bao nhiêu hàng?

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Nếu cấp số cộng (u n)) với công sai d có u5 0 và u10 10 thì:

A Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng

B Bình Phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng

C c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành cấp số cộng

D Tất cả các khẳng định trên đều sai

Câu 9: Cho CSC có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên lần lượt là 100 và 10.

Khi đó tổng của 110 số hạng đầu tiên là?

có d khác khôngkhiđó:



s

C 5

5 4



s

D 5

4 5



u

D 1

1 16

A S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của CSC

B S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của CSC

C S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của CSC

Câu 21: Cho CSC có u4 12,u14 18 Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là

11

12

x y

x y

x y

x y

x y

x y

Câu 35: Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 và u5 = 1995 Khi đó u1001 bằng

S100 = 10 Khi đó, tổng của 110 sốhạng đầu tiên là:

Câu 37: Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dơng lập thành một cấp

số cộng Thế thì một cạnh có thể có độ dài bằng:

Câu 38: Cho ba s thực a, b, c khác 0 Xét hai câu sau:

(1) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng (công sai khác 0) thì ba số

1 1 1 , ,

a b c

theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng

(2) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ba số

1 1 1 , ,

a b c theo thứ tự đócũng lập thành cấp số nhân

Trong hai câu trên:

đầu là p và công sai là 2p - 1 Khi đó, S1 + S2 + … + S10 bằng:

Câu 41: Biết C , C , C1n 2n 3n lập thành cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng:

Câu 42: Xét các câu sau:

(1) Dãy số u , u , u , 1 2 3 được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như un = un - 1 + dvới mọi n = 2, 3, …

(2) Nếu dãy số u , u , u , 1 2 3 là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như un = u1 + (n + 1)d vớimọi n = 2, 3, …

Trong hai câu trên:

Câu 43: Xét các câu sau

(1) Dãy số u , u , u , 1 2 3 được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0 thì

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị của x để 1 sinx;sin ;1 sin 3 2x  x là 3 số hạng liên tiếp của mộtCSC

1(1 )

11

n

n n

Ví dụ 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân ( )u n có 5 số hạng, biết: u3 3,u5 27

1, 1, 3, 9, 27

Theo giả thiết ta có:

Bài 5: Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số

nhân ấy có mấy số hạng

Bài 6: Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là

728

Bài 7: Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của

5 số hạng sau bằng 62

Bài 8: Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng

27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72

Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng đầu, số hạng

thứ 3 và thứ 9 của 1 CSC Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13

15

Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng thời các số

x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai khác 0 Tìm q

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 4,

Câu 8: Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3 ; u2 = -6 Hãy chọn kết quả đúng:



Câu 11: Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , … là một cấp số nhân với:

Câu 12: Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, … Đây là một cấp số nhân với

Câu 13: Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4

là 576 và hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9 Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp

q 

Câu 25: Cho cấp số nhân u n , biết: u19,u2 3 Lựa chọn đáp án đúng.

17

Câu 29: Cho cấp số nhân u n có 1

1 1;

u 

C

8

1 64

S 

D

8

1 264

S 

Câu 31: Trong các dãy số  u n

n n

u  

C

1 3

Câu 36: Cho cấp số nhân u n có

8272

Câu 37: Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời

các số x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 Tìm q?

q 

C

1 3

S 

C

10

63 232(1 2)

S 



3 13

n

n n

Số hạng thứ 5 củacấp số nhân?

D Tất cả các khẳng định trên đều sai

Câu 41: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.

A

1

2 1

25

n n

u  

1 3

n n

u  

C

1 3

D Không có giá trị nào của x

Câu 44: Cho dãy số (xn) xác định bởi

1 1

Tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số (xn) là:

19

Câu 45: Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y Kết quả nào sau đây là đúng?





x=-6y=-54





x=-6y=54

13

Câu 47: Dãy u , u , u , 1 2 3 được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu như ta có

A q là số tuỳ ý và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, …

B q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q + un - 2q với mọi n = 3, 4, …

C q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, 4, …

D q là số khác 0 và un = un - 1 + q với mọi n = 2, 3, …

Câu 48: Xét các câu sau:

(1) Nếu dãy số u , u , u , , u1 2 3 n là cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) thì un = u0qn - 1

với n = 1, 2, 3, …

(2) Nếu dãy số u , u , u , , u1 2 3 n là cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) thì

Trong hai câu trên:

u q 1S

Câu 50: Nếu s hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi vô hạn là một số nguyên dương, công

bội là nghịch đảo của một số nguyên dương và tổng của dãy là 3, thế thì tổng của hai số hạngđầu tiên là:

A Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân với mọi giá trị dương của a và a2

B Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = a2

C Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = 1

D Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = a2 = 1

Câu 52: Cho một cấp số nhân có n số hạng, số hạng đầu tiên là 1, công bội r và tổng là s,

trong đó r và s đều khác 0 Tổng các số hạng của cấp số nhân mới tạo thành bằng cách thaymỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu bằng số nghịch đảo của nó là:

Câu 53: Các số x; 4; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân và các số x; 5; y theo thứ tự đó

25