Tích phân hàm ẩn, thủ thuật và bài tập vận dụng - Giáo viên Việt Nam

Khi đó áp dụng công thức (Xem phần chú ý sau lời giải Câu 3) ta có:.. Các kết quả đặc biệt:.[r]

Vậy

1ln(2 1) 2

2( )

1ln(1 2 ) 1

3 1

Với điều kiện bài toán ta có

f x = ′f x x+ ( )

( )

( ) ( )

Lời giải

Biến đổi:

min ( ) 3

( ) 3 11

f x Max f x

b là phân số tối giản

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 = −



 =

 ⇒ − =b a 3029

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 7

Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả

Câu 1 [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số ( ) 3 2 khi 0 1

f   = Giá trị của biểu thức f( )− +1 f ( )3 bằng

Câu 7 [Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\{−2;1} thỏa

215

f = C. 2( ) 324

215

215

Câu 15 [Sở Nam Định – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên (0;+∞ , biết )

b là phân số tối giản

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a 1

b> C. a+ =b 1010 D. b− =a 3029

Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017] Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên

(0; +∞ và thỏa mãn ) f ( )1 = , 1 f x( )= ′f ( )x 3x+ , với mọi 1 x> Mệnh đề nào sau 0

đây đúng?

A. 4< f ( )5 < 5 B. 2< f ( )5 < 3 C. 3< f ( )5 < 4 D.1< f ( )5 < 2

Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018] Cho ( )f x xác định, có đạo hàm, liên tục

và đồng biến trên [ ]1;4 thỏa mãn ( ) ( )2 [ ] ( ) 3

2

x+ xf x =f′ x  ∀ ∈x f = Giá trị f ( )4bằng:

4 4

1

f x dx

TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số   3 2 khi 0 1

Câu 3 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm s ố ( ) f x xác định trên \ 1

2( )

1ln(1 2 ) 1

3 1

3 2

f    Giá trị của biểu thức f     1 f   3 bằng

Câu 6. Cho hàm số f x   xác định trên  \   2;2  và thỏa mãn   24 ;   3 0

22

2

x

C khi x x

x

C khi x x

x

C khi x x

2 ln 5

C C C

22

2

x

khi x x

x

khi x x

x

khi x x

x x

f x

C khi x x

f x

x

khi x x

n +1 khi 1;1 1

x

x x

12 12

11

12 1112

Câu 11. Cho hàm số y  f x   xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y  36 x  30

Câu 13. Cho hàm số y  f x   có đạo hàm và liên tục trên đoạn   1;1  , thỏa mãn f x      0, x 

2

f

A 2  313

2 15

2 15

2 15

2 15

Câu 15 [Sở Nam Định – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên  0;  , biết 

Phương trình   * có 2 nghiệm trái dấu do ac0

Câu 17. Cho hàm số f x    thỏa mãn điều kiện 0 f '   x  2 x  3  f2  x và   0 1

b là phân số tối giản Mệnh

đề nào sau đây đúng?



Với điều kiện , a b thỏa mãn bài toán, suy ra: 1009

2020

a b

  



 

   b a 3029.

Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017] Giả sử hàm số y  f x   liên tục, nhận giá trị dương trên

 0;  và thỏa mãn  f   1  , 1 f x     f x   3 x  , với mọi 1 x0 Mệnh đề nào sau đây

   f   5  f   1 e43  3,79    3; 4 

Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018] Cho f x ( ) xác định, có đạo hàm, liên tục

và đồng biến trên   1; 4 thỏa mãn    2     3

2

x  xf x    f  x     x f  Giá trị f   4 bằng:

1 1

( ) 3 11

f x Max f x

4 4

2 4

 

6

2 4

a

f x dx   f x 



Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A B C, ,

Nếu f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì b ( ) b ( )

1 2

x

 

+  = Suy ra :

DẠNG 4 HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI ẨN DƯỚI CẬN TÍCH PHÂN

Phương pháp giải: Sử dụng công thức ( )

u x a

DẠNG 5 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f u x( ( ) )=v x( ) và v x( ) là hàm đơn điệu (luôn đồng

biến hoặc nghịch biến) trên ℝ Hãy đi tính tích phân ( )

b a

DẠNG 6 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn g f x ( ) = x và g t( ) là hàm đơn điệu ( luôn đồng

biến hoặc nghịch biến) trên R.Hãy tính tích phân b ( )

Ví dụ Cho hàm số f x( ) liên tục trên R thỏa mãn 3( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

x I

f x

=+

x I

f x

=+

2I

( )

( ) ( )

b b

a a

I =∫ f x g x dx hoặc min{ ( ) ( ); }

b a

BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 8

Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả

Câu 1 [Trường Đức Thọ - Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 thỏa

Câu 3 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện f x( )+f (2− =x) 2x

Tính giá trị của tích phân ( )

Câu 9 [Chuyên Vinh- Lần 3 – 2018] Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ,

2

1 2

2f 2x + f 1− =x 12x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )

tại điểm có hoành độ bằng 1 là

Câu 25 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 3( ) 2( ) ( )

2f x −3f x +6f x =x, ∀ ∈ ℝx Tính tích phân ( )

x I

f x

=+

x I

f x

=+

TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 [Trường Đức Thọ - Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn

Câu 3 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện f x( )+ f (2− =x) 2x Tính

giá trị của tích phân 2 ( )

1 1 x dx

=+ ∫

2 2

0

2

x

=2

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A B C, ,

Nếu f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì ( ) ( )

Câu 6 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn ( ) ( 2) ( ) 1

1 x

x

=+

.1

t tdt t

1

3

t t

2

.1

t tdt t

−

2 2

1

3

t t

2 2

02

1 2

x

 

+  = Suy ra :

Câu 13 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ( ) 2018 ( ) x

f − +x f x =e Tính giá trị của 1 ( )

2f 2x + f 1− =x 12x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )

tại điểm có hoành độ bằng 1 là

 ′ , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=4x−2

Câu 15 [Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ thỏa

Sử dụng công thức

( )

u x a

Chú ý: Đây là lớp câu hỏi thuộc dạng 5, ta có thể tóm tắt hàm ẩn dạng 5 dưới phát biểu của

bài toán sau:

Bài toán: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f u x( ( ) )=v x( ) và v x là hàm đơn điệu (luôn ( )

đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ Hãy đi tính tích phân ( )

b a

b a

I f t dt v x u x dx

β α

Chú ý: Đây là lớp câu hỏi thuộc Dạng 6, ta có thể TÓM TẮT HÀM ẨN DẠNG 6 dưới phát

biểu của bài toán sau:

Bài toán: “ Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn g f x ( ) = x và g t( ) là hàm đơn điệu ( luôn

đồng biến hoặc nghịch biến) trên R.Hãy tính tích phân b ( )

x I

f x

=+

x I

f x

=+

2I

( )

( ) ( )

Chú ý: Đây là câu hỏi thuộc Dạng 7, ta có thể TÓM TẮC HÀM ẨN DẠNG 7 dưới phát biểu

của bài toán sau:

Bài toán: “ Cho ( ) ( ) 2

( )

( )

( ) ( )

x I

f x

=+

Câu 29 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(4− =x) f x( ) Biết

Chú ý: Đây là câu hỏi thuộc dạng 8, ta có thể TÓM TẮT HÀM ẨN DẠNG 8 dưới phát biểu

của bài toán sau:

Bài toán: Cho

2dd

b b

a a

Chú ý: Đây là câu hỏi thuộc Dạng 9 (Tích phân cho bởi nhiều công thức dưới hình thức

bài toán min, max) ta có thể TÓM TẮT HÀM ẨN DẠNG 9 dưới phát biểu của bài toán sau:

Bài toán: Tính tích phân max{ ( ) ( ); }

b a

I =∫ f x g x dx hoặc min{ ( ) ( ); }

b a