Vẽ thêm đoạn song song kết nối các giả thiết tìm lời giải 1 câu hình học thú vịCho tam giác ABC có ba góc nhọn ;ba đường cao AD BE CF và có trực tâm là ; ; H .Vẽ hai đường thẳng qua ;B C
Trang 1Vẽ thêm đoạn song song kết nối các giả thiết tìm lời giải 1 câu hình học thú vị
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ;ba đường cao AD BE CF và có trực tâm là ; ; H Vẽ hai đường thẳng qua ;B C lần lượt vuông góc EF tại M N Chứng minh : MN DE DF; = +
( nguồn tham khảo ý cuối bài hình học đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thái Bình năm 2019-2020)
Phân tích và tìm hướng giải :
Ta nhận định đây là bài toán khai thác 1 cấu hình bài toán quen thuộc :”Tam giác nhọn có ba chân đường cao và cho thêm điểm trực tâm “ tuy nhiên vấn đề câu hỏi đặt ra không quen lắm đối với các bài toán xoay quanh mô hình này
Đề toán yêu cầu chứng minh 1 đẳng thức đoạn thẳng có dạng : A B+ = thì thông thường đối với C loại toán này ta thường có hai hướng giải quyết :
( loại này thường áp dụng cho các bài toán đã xuất hiện sự song song trong hình vẽ và ; ;A B C là các đoạn song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng
Nhìn vào hình vẽ cần cm : DE+DF =MN do các đoạn này không thỏa tiêu chí đã đưa ra ở trên nên
có lẽ ta không nên đi theo hướng này
Hướng 2: tách đoạn C thành 2 đoạn ; E F nào đó C E F= + rồi chứng minh A=E B; = hoặcF
;
A=F B=E
+)Mình cố xoay xở theo hướng này đã thử lấy 1 điểm T trên đoạn MN sao cho MT =DF TN; =DE tuy nhiên loay hoay mãi vẫn không định vị được vị trí điểm T để thỏa yêu cầu trên
Trang 2-Mình chuyển qua nghĩ theo hướng : ‘Hay là cố tạo ra 1 đoạn trung gian PQ nào đó rồi bằng kiến thức
hình học đang có của bản thân chứng minh : DE+DF=PQ PQ; =MN (tách PQ ra 2 đoạn ; 1 đoạn
= DE; 1 đoạn =DF )
Để tạo ra 1 quan hệ bằng nhau dạng PQ=MN thì mình thấy rằng bài toán này đã xuất hiện yếu tố vuông góc và cả yếu tố song song (BM//CN) mà M N lại là chân hai đường vuông góc từ ;; B C lên
EF nên từ ;B C có thể dựng đường song song BP/ / MN hay CQ NM để tạo ra các hình chữ nhật / /
và BP=MN CQ; =MN
Tuy nhiên mình đã thử dựng và vẫn không thể tìm ra kết quả cminh được
hay C
BP=DE+DF Q=DE+DF
Như thế ta cần tạo ra 1 đoạn song song và = MN và đoạn song song này vẫn có thể nối kết được
quan hệ với DE DF ;
Ta nhận thấy DE là 1 dây cung nội tiếp đường tròn đường kính CH ; DF là 1 dây cung nội tiếp đường tròn đường kính BH mà ta biết rằng để chứng minh hai dây cung bằng nhau trong một đường tròn thường không khó lắm ( chuyển hóa qua góc bằng nhau –rất thích hợp chương trình toán 9 HK2 ) (có lẽ điểm H lúc này không còn “vô dụng “)
Do vậy qua H kẻ đường //MN cắt BM CN lần lượt ở ;; P Q khi đó PQ MN=
Khi đó ; ; ; ;P F H D B cùng thuộc đường tròn đường kính BH ; các điểm ; ; ; ;Q E H C D cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Ta đi cm : HP=�=۰-=�-�=DF FBD� �PBH 90 FAH� 90 FEH� FEH� FAH� ( đúng vì tứ giác
EAFH nội tiếp )
Tương tự dễ dang chứng minh được : ECD� =QCH�
nên HQ=DE Vậy DE+DF =HP HQ+ =PQ=MN �dpcm
Nhận xét :
+)Ta đã sử dụng pp chứng minh 2 vế cùng bằng 1 vế trung gian thông qua việc kẻ song song tạo hình chữ nhật
+) việc chứng minh 2 đoạn bằng nhau ( 2 đoạn đã là 2 dây cung trong 1 đường tròn ) thường không quá khó như các pp chứng minh bằng nhau đã học ở lớp 7 và lớp 8
+Bài toán còn có một số cách giải khác ( đã xuất hiện trong sách hoặc đáp án của sở Thái bình và mình
có tham khảo thêm lời giải của thầy Hồng trí quang trên Facebook ) nhưng do mình chỉ giải quyết đúng
1 câu này nên không để ý nội dung các câu a;b;c( có thể gợi ý ra lời giải câu cuối này )
Học toán nâng cao THCS: https://www.facebook.com/groups/1642715989103591/
Youtube : https://www.youtube.com/channel/UCZtu4RtJ5cw6J8B5oI8YhDg?view_as=subscriber