Trắc nghiệm giới hạn dãy số - Giáo viên Việt Nam

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương. cộng với 1[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ

d) Nếu lim un = a thì lim u n a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

11

u q

  q 1

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n  limn k (k )

  limq n (q1)



d) Nếu lim un = +, lim vn = athì lim(un.vn) =

00

neáu a neáu a

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự

nhiên n sao cho M u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu  n

, thì limu  n B Nếu limu  n

, thì limu   n

C Nếu limu  , thì lim n 0 u  n 0. D Nếu limu n a, thì limu n  a

Câu 2 Giá trị của

1lim

n bằng:

Câu 7 Giá trị của

2lim

3lim n n

n bằng:

Câu 11 Giá trị của

2lim

n bằng:

Câu 15 Giá trị của

2lim2

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹthừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhấtcủa tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số  u n

với n 4n

n u

u

u Chọn giá trị đúng của limu trong các số sau: n

Câu 3 Giá trị của

2 1lim

n bằng:

23



D 1

Câu 4 Giá trị của

2 2

lim(3 1)



12

Câu 11 Giá trị của

3

4 4

1lim



n n

Câu 22 Chọn kết quả đúng của

2 2

1 1lim 3

a n a n a D

b n b n b (Trong đó k p, là các số nguyên dương;



bằng :

Câu 30

1 4

I

A  B   C

11

Câu 44 Giá trị của K lim3n3n2 1 3 4 n2  n 1 5n

bằng:

512

2 sin 2 1lim

2





n B

n n bằng:

1lim



n

n n T

D 1 2

q q

Câu 62 Tính giới hạn của dãy số  1 2







n n k

n u

A  B   C

112012!



D

112012!

Câu 72 Tìm limu biết n 2

1 1 khi 0( )

Câu 77 Cho dãy số

Câu 80 Tìm giá trị đúng của

d) Nếu lim un = a thì lim u n a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

11

u q

  q 1

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n  limn k (k )

  limq n (q1)

u v

= 0c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0

thì lim

n n

u v

=

n n 0

neáu a v neáu a v

d) Nếu lim un = +, lim vn = athì lim(un.vn) =

00

neáu a neáu a

B – BÀI TẬP

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự

nhiên n sao cho M u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu  n

, thì limu  n B Nếu limu  n

, thì limu   n

C Nếu limu  , thì lim n 0 u  n 0

D Nếu limu n a, thì limu n  a

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Theo nội dung định lý.

Câu 2 Giá trị của

1lim

 

a n

a n n

1lim k 0

Câu 4 Giá trị của

2

sinlim

 

a n

Câu 5 Giá trị của lim(2n1) bằng:





M

M n

Ta có: 2n 1 2n M  1 M  n n M  lim(2n1).

Câu 6 Giá trị của

2

1lim  n

n

M n

Với mọi số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 2

3lim n n

n bằng:

Hướng dẫn giải:

a n

 

a n a

Tóm lại ta luôn có: limn a 1 với a0.

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

 Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

 Khi tìm

( )lim( )

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹthừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhấtcủa tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số  u n

với n 4n

n u

Câu 2 Kết quả đúng của 2

cos 2lim 5

n bằng:

23

lim(3 1)



12



1

2

n n

Câu 10 Giá trị của

1lim

n n

1 1lim 3

a n a n a D

Câu 24 Kết quả đúng của

2

2 5lim



Câu 28 Giá trị của 1 1

3.2 3lim

lim

32

bằng :

n n n

344

23

44

Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho n k, ta được

Câu 48 Giá trị của Alim n22n 2 n

2 sin 2 1lim

2





n B

Câu 53 Giá trị của Elim( n2  n 1 2 )n bằng:

Suy ra

2 3





n

n n T

D 1 2

q q

q

q Suy ra lim n 1 2

q u

n u

Câu 63 Tính giới hạn của dãy số

Câu 66 Cho dãy số ( )x xác định bởi n 1 1 2

Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n,  n 1, 2,

Nên dãy ( )x là dãy số tăng n

Giả sử dãy ( )x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim  n x n x

Với x là nghiệm của phương trình : xx2x x 0 x1 vô lí

Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim  n x n .



D

112012!



n u

Câu 71 Tìm limu biết n

n n n nên suy ra limu n 1.

Câu 75 Tìm limu biết n dau can

2 2 2



    

n n u

1 1 2

  n 

n r

n ab

12

n n A

n n n

x x

và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơnhoặc lớn hơn)

11