chuyên đề về dấu hiệu chia hết - Giáo viên Việt Nam

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhan[r]

A PH N M ẦN MỞ ĐẦU Ở ĐẦU ĐẦN MỞ ĐẦU U

Cùng v i s phát tri n c a ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ưới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng khôngt n c, s nghi p giáo d c c ng khôngự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ệp giáo dục cũng không ục cũng không ũng không

ng ng đ i m i Các nh trới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượngng ã ng y c ng chú tr ng h n đ à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ọng hơn đến chất lượng ơn đến chất lượng đến chất lượngn ch t lất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ượngnggiáo d c to n di n bên c nh s ục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ệp giáo dục cũng không ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ưu t thích áng cho giáo d c m i nh n.đ ục cũng không ũng không ọng hơn đến chất lượng

V i vai trò l môn h c công c , b môn toán ã góp ph n t o i u ki n choới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ọng hơn đến chất lượng ục cũng không ộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho đ ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn đ ều kiện cho ệp giáo dục cũng khôngcác em h c t t các b môn khoa h c t nhiên khác.ọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho ọng hơn đến chất lượng ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

D y nh th n o ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ư ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ọng hơn đến chất lượng h c sinh không nh ng n m ch c ki n th c cững nắm chắc kiến thức cơ ắm chắc kiến thức cơ ắm chắc kiến thức cơ ến chất lượng ức cơ ơn đến chất lượng

b n m t cách h th ng m ph i ộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho ệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đượngc nâng cao đển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không các em có h ng thú, sayức cơ

mê h c t p l m t câu h i m m i th y cô chúng ta luôn ọng hơn đến chất lượng ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn đặt ra cho mình.t ra cho mình

áp ng c yêu c u c a s nghi p giáo d c v nhu c u h c t p

Đển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đ ức cơ đượng ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ệp giáo dục cũng không ục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ọng hơn đến chất lượng ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

c a h c sinh ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ọng hơn đến chất lượng đặt ra cho mình.c bi t l h c sinh khá, gi i i u ó òi h i trong gi ng d yệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ọng hơn đến chất lượng ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình Đ ều kiện cho đ đ ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn.chúng ta ph i bi t ch t l c ki n th c, ph i i t d ến chất lượng ắm chắc kiến thức cơ ọng hơn đến chất lượng ến chất lượng ức cơ đ ễ đến khó, từ cụ thể đến đến chất lượngn khó, t c th ục cũng không ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đến chất lượngn

tr u tượngng v phát tri n th nh t ng quát giúp h c sinh có th phát tri n t t tà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ọng hơn đến chất lượng ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ưduy toán h c.ọng hơn đến chất lượng

V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ượngi t ng h c sinh khá gi i, các em có t duy nh y bén, có nhuọng hơn đến chất lượng ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ư ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn

c u hi u bi t ng y c ng cao, l m th n o ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không các em h c sinh n y phát huyọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

h t kh n ng c a mình, ó l trách nhi m c a các giáo viên chúng ta “phépến chất lượng " ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đ à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ệp giáo dục cũng không ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng khôngchia h t” l ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đều kiện cho à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng t i lí thú, phong phú v a d ng c a s h c THCS v khôngà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đ ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

th thi u khi b i dển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng ồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán THCS ưỡng học sinh khá giỏi môn toán THCS ng h c sinh khá gi i môn toán THCS ọng hơn đến chất lượng ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Trong khuôn kh đều kiện cho à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng t i n y, tôi trình b y “m t s phà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ươn đến chất lượngng pháp ch ngức cơminh chia h t”, c th l : s d ng d u hi u chia h t, s d ng tính ch t chiaến chất lượng ục cũng không ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia ục cũng không ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ệp giáo dục cũng không ến chất lượng ử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia ục cũng không ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

h t, xét t p h p s d trong phép chia, s d ng phến chất lượng ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ợng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư ử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia ục cũng không ươn đến chất lượngng pháp phân tích th nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượngnhân t ử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia

B NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới là dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng ,

vì thế những gì gọi là chuẩn – là cơ bản nhất cần phải nắm vững Rèn kỹ năng giải toán chia hết cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm Hệ thống bài tập thể hiện dạng toán chia hết có vai trò quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vân dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và logic Đó cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngồi trên ghế

nhà trường Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là phát huy hết tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học.

II/ CƠ SỞ THỰC TIỂN

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán

“chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán

“chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từng chương Có thể nói rằng dạng toán

“chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này.

Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiết luyện tập Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều.

III/ NỘI DUNG VẤN ĐỀ

Hệ thống hóa lý thuyết chia hết và bài tập vận dụng tương ứng, từ dạng cơ bản nhất đến tương đối và khó hơn Trong quá trình giải nhiều dạng bài tập là đã hình thành khắc sâu cho các em kỹ năng giải các dạng toán chia hết.Giáo viên nêu ra các dấu hiệu chia hết hay là các phương pháp chứng minh chia hết trong SGK ,ngoài ra bổ sung thêm một số phương pháp cần thiết nhất để vận dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau.

1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA NH NGH A PHÉP CHIA ĨA PHÉP CHIA

Cho 2 s nguyên a v b trong ó b ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đ  0 ta luôn tìm đượngc hai s nguyên q v rốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượngduy nh t sao cho:ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

a = bq + r V i 0 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  r <  b

Trong ó đó : a l s b chia, b l s chia, q l thà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ươn đến chất lượngng, r l s d à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư

Khi a chia cho b có th x y ra ển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ẩy ra  b s dốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư

r  {0; 1; 2; …;  b-1};

c bi t: r = 0 thì a = bq, khi ó ta nói a chia h t cho b hay b chia h t a

Đặt ra cho mình ệp giáo dục cũng không đ ến chất lượng ến chất lượng

Ký hi u: aệp giáo dục cũng không b hay b\ a

V y:ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình a  b  Có s nguyên q sao cho a =ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

bq

2 C C T NH CH T ÁC TÍNH CHẤT ÍNH CHẤT ẤT

1 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  a  0  a  a

2 N u a ến chất lượng  b v b à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  c  a  c

3 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  a  0  0  a

4 N u a, b > 0 v a ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  b ; b  a  a = b

5 N u a ến chất lượng  b v c b t k à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ỳ  ac  b

6 N u a ến chất lượng  b  (a)  (b)

7 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  a  a  (1)

8 N u a ến chất lượng  b v c à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  b  a  c  b

9 N u a + b ến chất lượng  c v a à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  c  b  c

10 N u a ến chất lượng  b v n > 0 à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  an  bn

11 N u ac ến chất lượng  b v (a, b) =1 à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  c  b

12 N u a ến chất lượng  b, c  b v m, n b t k am + cn à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ỳ  b

13 N u a ến chất lượng  b v c à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  d  ac  bd

14 Tích n s nguyên liên ti p chia h t cho n!ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng

3 M T S D U HI U CHIA H T ỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Ố DẤU HIỆU CHIA HẾT ẤT ỆU CHIA HẾT ẾT



G i N = ọng hơn đến chất lượng

3.1 D u hi u chia h t cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125



+ N  2  2  {0;2; 4; 6; 8}



+ N  5  5  {0;5}

34 5 x y

2 78 x

+ N  4 (ho c 25) ặt ra cho mình  4 (ho c 25)ặt ra cho mình

dcba

+ N  8 (ho c 125) ặt ra cho mình  8 (ho c 125)ặt ra cho mình

3.2 D u hi u chia h t cho 3 v 9 ấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 à 9

+ N  3 (ho c 9) ặt ra cho mình  3 (ho c 9)ặt ra cho mình

3.3 M t s d u hi u khác ột số dấu hiệu khác ố dấu hiệu khác ấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 ệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125

4.1 Định nghĩa nh ngh a ĩa : Cho m l s nguyên dà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ươn đến chất lượngng N u hai s nguyên a v b choến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

cùng s d khi chia cho m thì ta nói a ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư đồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán THCS ng d v i b theo modun m.ư ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

Ký hi u: a ệp giáo dục cũng không  b (modun)

V y: a ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình  b (modun)  a - b  m

4.2 Các tính ch t ấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125

1 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  a  a  a (modun)

2 N u a ến chất lượng  b (modun)  b  a (modun)

3 N u a ến chất lượng  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)

4 N u a ến chất lượng  b (modun) v c à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  d (modun)  a+c  b+d (modun)

5 N u a ến chất lượng  b (modun) v c à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  d (modun)  ac  bd (modun)

6 N u a ến chất lượng  b (modun), d  Uc(a, b) v (d, m) =1 à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

37

cab  (modun)

7 N u a ến chất lượng  b (modun), d > 0 v d à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  Uc (a, b, m)

2 78 x

ba

ba

 (modun )

5 M T S ỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Ố DẤU HIỆU CHIA HẾT ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA NH LÝ

5.1 Định nghĩa nh lý Euler

N u m l 1 s nguyên dến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ươn đến chất lượngng (m) l s các s nguyên dà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ươn đến chất lượngng nh h nỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ơn đến chất lượng

m v nguyên t cùng nhau v i m, (a, m) = 1à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

Thì a(m)  1 (modun)Công th c tính ức cơ (m)

Phân tích m ra th a s nguyên tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

m = p11 p22…; pk k v i pới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không i  p; i  N *

C C PH ÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT NG PH P GI I B I TO N CHIA H T ÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ÀI TOÁN CHIA HẾT ÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ẾT

1 Ph ương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ng pháp 1: S D NG D U HI U CHIA H T Ử DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ẤT ỆU CHIA HẾT ẾT

1980

A

 

V y: a = 7 v b = 0 ta có s 7560ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác.

a = 2 v b = 5 ta có s 256à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác 5

Ví d 2 ụ 1 : Bi t t ng các ch s c a 1 s l không ến chất lượng ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng đ i khi nhân s ó v i 5.ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

Ch ng minh rức cơ ằng s ó chia h t cho 9.ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ ến chất lượng

Gi i ải

G i s ã cho l aọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

Ta có: a v 5a khi chia cho 9 cùng có 1 s d à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư

 5a - a  9  4a  9 m (4 ; 9) = 1à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

19 ab19 ab Vì chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và chia hết cho 8 nên suy ra b=0

19 a 019 a 0a 0 19 a 09 a 0Mặt khác , chia hết cho 8 nên chia hết cho 4 khi chia hết cho 4

suy ra a {0;2;4;6;8} Ta có chia hết cho 8 khi chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6 Vậy

nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cần tìm là 1920 và 1960

aaaaa 96Ví d ụ 1 5 Chữ số a là bao nhiêu để chia hết cho cả 3 và 8

 1 aaa 1⋮⋮

112a – (a + 2)11

a 211

a 2=0

-

a = 2 .Vậy a=2

B I T P T ÀI TOÁN CHIA HẾT ẬP TƯƠNG TỰ ƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT NG T Ự

B i 1 ài 1 : Tìm các ch s x, y sao cho ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

34 5 x y

a  4 v 9à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

b  17

B i 3 ài 1 : Tìm t t c các s có 2 ch s sao cho m i s g p 2 l n tích các chất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ững nắm chắc kiến thức cơ

s c a s ó.ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ

B i 4 ài 1 : Vi t liên ti p t t c các s có 2 ch s t 19 ến chất lượng ến chất lượng ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đến chất lượngn 80 ta đượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác.c s

A = 192021…; 7980 H i s A có chia h t cho 1980 không ? Vì sao?ỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng

B i 5 ài 1 : T ng c a 46 s t nhiên liên ti p có chia h t cho 46 không? Vì sao?ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng ến chất lượng

abc bca 37 cab 37B i ài 1 7 : Chứng minh rằng nếu thì và

H ƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ NG D N - ẪN - ĐÁP SỐ ĐÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT P S Ố

B i 1 ài 1 :

a x =4 v y = 2à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ta có s 34452ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

x =0 v y = 6à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ta có s 34056ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

2 78 x

b = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17  x = 2

Ta có s 2278ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

B i 2 ài 1 :

c Có 1000(d + 3c + 9b + 27a) - 29

m (1000, 29) =1à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

29

 (d + 3c + 9b + 27a) 29

B i 3 ài 1 :

ab Gọng hơn đến chất lượng

i l s có 2 ch sà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

ab The

o b i ra ta có:à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng = 10a + b = 2ab (1)

Vì 2 ch s t n cùng c a a l 80 ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  4 v 5à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

 A 4 v 5à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

T ng các s h ng l 1+(2+3+ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 …; +7).10+8 = 279

T ng các s h ng ch n 9+(0+1+ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ẵn …; +9).6+0 = 279

Có 279 + 279 = 558  9  A  9

279 - 279 = 0  11  A  11

A

B i 5 ài 1 :

T ng 2 s t nhiên liên ti p l 1 s l nên không chia h t cho 2 ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 ến chất lượng

Có 46 s t nhiên liên ti p ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng  có 23 c p s m i c p có t ng l 1 s l ặt ra cho mình ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ặt ra cho mình à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279  t ng

23 c p không chia h t cho 2 V y t ng c a 46 s t nhiên liên ti p không chiaặt ra cho mình ến chất lượng ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng

2 Ph ương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ng pháp 2: S D NG T NH CH T CHIA H T Ử DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ÍNH CHẤT ẤT ẾT

* Chú ý: Trong n s nguyên liên ti p có 1 v ch 1 s chia h t cho n.ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ỉ 1 số chia hết cho n ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng

C

h ng minhức cơ :

G i n l s nguyên liên ti pọng hơn đến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng : m + 1; m + 2; m + n v i m …; ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  Z, n  N*

L y n s nguyên liên ti p trên chia cho n thì ta ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng đượng ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.c t p h p s d l : ợng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

{0; 1; 2; …; n - 1}

* N u t n t i 1 s d l 0: gi s m + i = nqến chất lượng ồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán THCS ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia i ;

 m + i  n

* N u không t n t i s d l 0 ến chất lượng ồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán THCS ạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  không có s nguyên n o trong dãy chia h tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ến chất lượng

cho n  ph i có ít nh t 2 s d trùng nhau.ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ư

m i nq r 1 i; j n

m j nq r

i j

a Tích c a 2 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 2ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng

b Tích c a 3 s nguyên liên ti p chia h t cho 6.ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng

Gi i ải

a Trong 2 s nguyên liên ti p bao gi c ng có 1 s ch nốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ờng đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẵn

 S ch n ó chia h t cho 2.ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẵn đ ến chất lượng

V y tích c a 2 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 2.ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng

b Tích 2 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 2 nên tích c a 3 s nguyênốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

liên ti p luôn chia h t cho 2ến chất lượng ến chất lượng

Trong 3 sốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác nguyên liên ti p bao giến chất lượng ờng đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng c ng có 1 s chia h t cho 3.ũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng

 Tích 3 s ó chia h t cho 3 m (ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng 2; 3) = 1

V y tích c a 3 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 6.ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng ến chất lượng

Ví d 2 ụ 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ : T ng l p phập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ươn đến chất lượngng c a 3 s nguyên liên ti p luônủa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng

chia h t cho 9.ến chất lượng

V i k ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k l 4 s t nhiên liên ti p nên trong 4 s óà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác đ

có 1 s chia h t cho 2 v 1 s chia h t cho 4 ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ến chất lượng

 (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8

M (k - 2) (k - 1)k à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng  3 ; (3,8)=1

 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24

 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  16.24

V y nập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình 4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 v i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n ch n, n ẵn  4

Ví d ụ 1 4 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

a) n 5 - n chia hết cho 30 với n  N ;

Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2,

3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16 24 = 384

B I T P T ÀI TOÁN CHIA HẾT ẬP TƯƠNG TỰ ƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT NG T Ự

B i 1 ài 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ :

a n(n + 1) (2n + 1)  6

b n5 - 5n3 + 4n  120 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N

B i 2 ài 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  Z

B i 3 ài 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ : V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n l thìẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279

B i ài 1 5 : Ch ng minh r ngức cơ ằ :

H ƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ NG D N - ẪN - ĐÁP SỐ ĐÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT P S Ố

= 16k2 (k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) v i n = 2k + 1 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không

Mà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng n2 + 1 v nà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng 4 + 1 l nh ng s ch n à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ững nắm chắc kiến thức cơ ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẵn  (n2 + 1)2  22 v à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng n4 + 1  2

 n12 - n8 - n4 + 1  (24.22 22.21)

V y nập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình 12 - n8 - n4 + 1  512

3 Ph ương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ng pháp 3: XÉT T P H P S D TRONG PHÉP CHIA ẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA ỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Ố DẤU HIỆU CHIA HẾT Ư THỨC

Ví d 1 ụ 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ : V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N

Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia h t cho 6ến chất lượng

Gi i ải

Ta th y 1 trong 2 th a s n v 7n + ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng 1 l s ch n V i à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ẵn ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N  A(n)  2

Ta ch ng minh Aức cơ (n)  3

L y n chia cho 3 ta ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đượngc n = 3k + r (k  N)

V i r ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  {0; 1; 2}

V i r = 0 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k  n  3  A(n)  3

V i r = 1 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3

V i r = 2 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3

 A(n)  3 v i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n m (2, 3) = 1à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng

V y Aập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình (n)  6 v i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N

Ví d 2 ụ 1 : Ch ng minh r ngức cơ ằ : N u n ến chất lượng không chia h t choến chất lượng 3 thì

A(n) = 32n + 3n + 1  13 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N

V y v i n ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không không chia h t choến chất lượng 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1  13 V i ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n  N

Ví d 3 ụ 1 : Tìm t t c các s t nhiên n ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác ự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không đển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không 2n - 1  7

Gi i ải

L y n chia cho 3 ta có n = 3k + ất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không r (k  N); r  {0; 1; 2}

V i r = 0 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k ta có

2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M  7

v i r =1 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k + 1 ta có:

2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1

m 2à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng 3k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 d 1ư

v i r = 2 ới sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không  n = 3k + 2 ta có :

2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3

m 2à trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng 3k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 d 3ư

V y 2ập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình 3k - 1  7  n = 3k (k  N)

cho 9

Nếu n = 3k + 1 thì 5 n – 2 n = 5.5 3k – 2.2 3k

= 5(5 3k – 2 3k ) + 3 2 3k = 5 9M + 3 8 k

=5 9M + 3 (9-1) k



Bài 61 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

với mọi số tự nhiên n

  n2 + n + 2 3

mọi số tự nhiên n

Bài 62 : Chứng minh rằng :

   ta có : = 1 – 4(1 – 9k ) = 36k – 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho

9 nên không là số chính phương (vô lý )

( vì n + 9 – ( n + 2) = 7 7 )

  (n +9)(n+2) 49

Lưu ý : Các cách khác được tiến hành tương tự như trên

2.Bài tập đề nghị :

Bài 63 : Cho n là một số tự nhiên , chứng minh :