Bài tập nguyên hàm, tích phân đầy đủ dạng - Giáo viên Việt Nam

Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại[r]

Trang 1

Giaovienvietnam.com Bài tập trắc nghiệm full cả chương: Nguyên hàm tích phân

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Loại  HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 5

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 7

Loại  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 9

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 14

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 15

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 19

Loại  TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 20

Loại  TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 23

Loại  HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( )

xác định trên khoảng K Hàm số F x( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )

nếu F x'( )=f x( )

với mọi x KÎ

Nhận xét Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì F x( )+C C, ( Î ¡) cũng là nguyên hàm của f x( ).

Ký hiệu: òf x x( )d =F x( )+C.

2 Tính chất

 ( òf x x( )d )/ =f x( ).

 òa f x x a ( )d = òf x x a( )d ( Î ¡, a¹ 0)

 òéëf x( )±g x x( )ùûd =òf x x( )d ±òg x x( )d .

3 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm

d

k x kx C= +

ò , k là hằng số

1

x

x x a a C a a

+

-+

1 1

1

ax b

a

a a

a

+ +

+

ò

1dx lnx C

ax b+ =a + +

ò

d

e x e= +C

a

ò

d ln

x

a

.ln

mx n

mx n a

m a

+

ò

cos dx x=sinx C+

a

ò

sin dx x=- cosx C+

a

ò

2

1

cos x x= x C+

cos ax b+ x=a ax b+ +C

ò

2

1

sin x x=- x C+

sin ax b+ x=- a ax b+ +C

ò

Trang 2

Câu 1. Hàm số f x( )

có nguyên hàm trên K nếu:

A f x( ) xác định trên K B f x( ) có giá trị lớn nhất trên K

C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K D. f x( ) liên tục trên K

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; ) và C là hằng số thì òf x x( )d =F x( )+C.

B Mọi hàm số liên tục trên (a b; ) đều có nguyên hàm trên (a b; ).

liên tục trên đoạn [a b; ]

đều có đạo hàm trên đoạn đó

(II) Mọi hàm số f x( )

đều có nguyên hàm trên đoạn đó

Trong hai khẳng định trên:

Câu 4. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [a b; ] nếu:

Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D , câu nào là sai?

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F x: '( )=f x( ).

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

A. Không có câu nào sai B Câu (I) sai.

Câu 6 Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng (a b; ) Giả sử G x( ) cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên

C F x( )=G x( )+C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.

D Cả ba câu trên đều sai.

Câu 7 Xét hai câu sau:

là tích của a với một nguyên hàm của f x( )

.Trong hai câu trên:

Câu 8 Các khẳng định nào sau đây là sai?

Trang 3

C Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )- G x( )=C (hằng số).

D.òéëf x1( )+f x2( )ùûdx=òf x x1( )d +òf x x2( )d .

Câu 10 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) thì mọi nguyên hàm của f x( ) đều có dạng F x( )+C (C là hằng số).

Câu 14 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) 2sin  x

A  2sin xdx  2 cos x C  B  2sin xdx  sin2 x C 

x

F x = - +x

535

x

F x = - +

5315

.Tìm F x ( ).

A

2 3 ( )

2

x

F x  e  x 

Trang 4

C

2 5 ( )

x e

f x

x

= D f x( )=x e3 x3 - 1.

f x = +e

B f x( )=3x2+e x. C ( ) 4

12

x x

Câu 26 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số   1

Câu 27 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A f x( )=sin2x và g x( )=cos2x. B f x( )=tan2x và ( ) 12 2

Trang 5

1

x

xdx C x

x>

Để hàm số F x( )

là một nguyênhàm của hàm số f x( )

F      

 

A F x ( ) cos  x  sin x  3 B F x ( )  cos x  sin x  3

C F x ( )  cos x  sin x  1 D F x ( )  cos x  sin x  1

Câu 38 Cho hàm số f x( ) 4m sin2x

m=

34

43

Câu 40 Giả sử F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( )=4x- 1 Đồ thị của hàm số F x( ) và f x( ) cắt nhau tại một điểm trên

trục tung Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:

Trang 6

A (0; 1- ). B

5

;92

æ ö÷

çè ø

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1 Phương pháp đổi biến số

Nếu òf x x( )d =F x( )+C thì òf u x u x xéë( )ùû '( )d =F u xéë( )ùû+C.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =òf x x( )d , trong đó ta có thể phân tích f x( )=g u x u x( ( ) ) '( )

thì ta thực hiện phép đổibiến số t u x= ( )

, suy ra dt u x x= '( )d

Khi đó ta được nguyên hàm: òg t t G t( )d = ( )+ =C G u xéë( )ùû+C

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x= ( ).

Câu 34 Câu nào sau đây sai?

x e x x

=

Câu 43 F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y xe= x2.

Hàm số nào sau đây không phải là F x( )



1 2

=

Trang 7

Nếu F e =( )2 4

thì

lnd

x x x

Câu 48 Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I) òtan dx x=- ln cos( x)+C.

cos sin d 2 sin cos

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a b; ] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a b; ]

Khi đó: òu v uvd = - òv ud ( )*

Để tính nguyên hàm òf x x( )d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn , u v sao cho f x x u v( )d = d (chú ý dv v x x= '( )d

)

Sau đó tính v=òdv và du u x= '.d .

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính òv ud .

Chú ý Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân òv ud dễ tính hơn òu vd Ta thườnggặp các dạng sau

● Dạng 1

( ) sin dcos

Trang 8

x x

x u

d cos d

u x

ìï =ïí

cos

v x x

ì =ïï

íï =

2cos

ìï =ïí

2

x x x

f x e  x   e  C

C

Câu 54 Một nguyên hàm của f x( )=x xln

là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = ?1

Trang 9

A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=sinx

B Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=cosx

C. Biến đổi lượng giác

D Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u=sin , d4x v=cos d4x x

Loại  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Trang 10

Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

C Chỉ có (I) và (II) sai D Cả ba đều đúng.

Câu 63 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

-D

5.6

Trang 11

Câu 67 Cho

( ) 2

0

3d1

x t

t

-=+

ò

Xét các mệnh đề:

I ( ) 2

3'

II Hàm số F x( ) đạt cực tiểu tại x = 3.

III Hàm số F x( ) đạt cực đại tại x = 3.

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ I B Chỉ II C. I và II D I và III.

Câu 68 Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

x t

F x

t

=+

ò

là /( ) 1 ( )

01

Trang 12

I 

C

17 2

I 

D

11 2

a

x

x e x

Trang 13

Câu 86 Nếu kết quả của

2

1

d3

x x+

ò

được viết ở dạng ln

a

b với , a b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a b, bằng 1.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A 3a b- <12 B a+2b=13 C a b- > 2 D a2+b2=41

Câu 87 Tính tích phân

2

2 1

+ Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao

nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 18,82m B.11,81m C 4,06m D 7,28m

Câu 93 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

1 6 2

Câu 95 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )=- 5t+10

(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc

bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

Câu 96 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

1 6 3

Câu 97 Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t( )= +3t t2

(m/s2) Quãng đường vật đi được trong khoảngthời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ?

=+ Vận tốc ban đầu của vật là 6m/ s Vậntốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Trang 14

Câu 99 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ

thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu

chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song

với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

A. 264.334 con B 257.167 con C 258.959 con D 253.584 con.

Câu 102 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h)

phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh

1

;8 2

I    

  và trục đối

xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng

thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

Câu 104 Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 105. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ

thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu

chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với

trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường

s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trang 15

thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong

cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng ?

Câu 107 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động

trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian

t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

(2;9)

I và trục đối xứng song song với trục tung như

hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1

1 Phương pháp đổi biến số

a) Phương pháp đổi biến số loại 1

x a t t

p p p

t

p p

Trang 16

d4

x I

t I

t p

1d

x t

= thì:

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2

b) Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau:

x a t u a

x b t u b

ìï = Þ =ïí

ï = Þ =ïî

Bước 2 Thay vào ta có

f x e x =

ò

Trang 17

Câu 116 Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm trên ¡ Xét các mệnh đề:

I

1 2

A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I, II và III

Câu 117 Cho f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên [- a a; ] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

-Câu 121 Cho

2 2

I =ò u u

3 3 2

0

23

1d

d1

t t I

t

=+

d1

t t I

t

=-

ò

3

2 2

d1

t t I

t

=+

d1

x I

23

d ln1

Trang 18

A a b   2 B a  2 b  0 C a b   2 D a  2 b  0

Câu 127 Cho ( )

2 4 0

I =

2

ln 2.2

I

=-Câu 129 Đổi biến u=lnx thì tích phân

2 1

1 ln d

e x

1

2

d 3

I = òt t

C

2 3

1

29

I = t

14.9

- B f t( ) 12 2

t t

C f t( ) 22 1

t t

D f t( ) 22 1

t t

e

I = +

C

1.2

0d

I =òt t

3 1 0

23

t

I =

23

Câu 136 Tìm a biết

1

dln2

x x

e x ae e I

ae b e

-+

++

a=- C a= 2 D a=- 2

Câu 137 Để tính tích phân

2 sin

0cos d

Trang 19

A Đặt t=e sinx B. Đặt t=sinx C Đặt t=cosx D Đặt t= e x

Câu 138 Cho tích phân

2

0sin cos d

0sin2 1 sin d

I =

314

I =

74

I n

=

1.2

I n

=

D

1

I n

Trang 20

ax

f x ax x e

d axd

ax u

e

I =

-C

2 1.4

e

I = +

D

2 1.4

Trang 21

I =

34

x x x m

t x

p

=ò

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t=sinxÞ dt=cos dx x Đổi cận

A Bài giải trên sai từ Bước 1 B Bài giải trên sai từ Bước 2.

C Bài giải trên hoàn toàn đúng D Bài giải trên sai từ Bước 3.

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

15

liên tục, không âm trên đoạn [a b; ]

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y=f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = là :

21

Trang 22

x O

3-2

( ) d

b

a

Bài toán 1 Cho hàm số y=f x( )

Khi đó diện tích S của hình phẳng ( )D

Câu 163 Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( )

, trục hoành và hai đường thẳng

S =

16

S =

C

81.12

S =

D S =13.

Câu 168 Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=- x3+3x2- 2, trục hoành, trục tung và đường thẳng

Trang 23

S=

-C

2 2 1.3

y x

=+, trục hoành, đường thẳng x = và đường thẳng 0 x =4là:

S =

C

2.25

S =

D

4.25

e

S= +

2 18

e

S= +

2 12

e

S=

24

S = +

3

3 ln2

S = +

3

2 ln2

S =

-

Câu 178 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P y x: = 2- 2x+2

, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5)

và trục Oy là giá

trị nào sau đây?

A S = 4 B S =27 C.S = 9 D.S =12

Câu 179 Cho hàm số y x= 2- 2x+ có đồ thị 2 ( )C Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ bằng 3 có đồ thị

D Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C , đường thẳng V và trục tung Giá trị của S là:

A.S = 9 B.

92

S =

94

S =

910

S =

Câu 180 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

14

Trang 24

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a x b a b= , = ( < ) Một mặt phẳng

bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a x b( £ £ ) cắt C theo một thiết diện có diện tích S x( ) Giả sử S x( ) là hàm liên tục trên

Bài toán 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi

quay miền D được giới hạn bởi các đường

Câu 183 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay

hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < ), xung quanh trục

Trang 25

Câu 187 Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 0 x = , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với3

trục Ox tại điểm có hoành độ x(0£ £x 3)

là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x- 2 , bằng:

A V = 3 B V =18. C V =20. D V =22.

Câu 188 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x = và 0 x = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt2

phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x Î [0;2] là một phần tư đường tròn bán kính 2

2x , ta được kết quả nào sau

đây?

A V=32 p B V =64 p C

16 .5

x  x  

Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A V    1 B V ( 1) C.V ( 1) D V    1

Câu 190 Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y x= 2+ , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y x= 2+ tại điểm 1 (1;2)

, khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

V = p

C

8 .15

V = p

C

12 .15

V= p

D

4 .15

V = p

Câu 192. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2 sin  x, trục hoành và các

đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A V  2(   1) B.V  2 (    1) C V  2 2 D V  2 

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	2,33 MB