Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau... 2) Trong mặt phẳng vớ[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
Tháng 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1( 4,0 điểm)
1) Cho hàm số y x 2 4x có đồ thị là (P3 1) và hàm số y x 22x có đồ thị là (P3 2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P2) tại hai điểm C, D Tìm m để
2
2) Giải bất phương trình
2 2
1
x x
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos 4 4cos tan tan2 2 0.
x
2) Giải hệ phương trình
2
Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương , , x y z Chứng minh rằng
5
2) Cho dãy số u n
xác định như sau
1
1 1
2 3
n n
n
u
n u
u
n u
Tính tổng của 2019 số
hạng đầu tiên của dãy số u n
Câu 4( 4,0 điểm)
1) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối Do không còn phù hợp bác muốn thay
thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không
có hai cây nào gần nhau
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và
nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng
AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI Các đường thẳng AC và
KH lần lượt có phương trình là x+ + =y 1 0 và x+2y- 1=0 Biết điểm B thuộc
đường thẳng y - 5= và điểm I thuộc đường thẳng 0 x + = Tìm tọa độ điểm C.1 0
Câu 5( 4,0 điểm)
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB =3a và AD =a 3 Cạnh bên
2
SA = a và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD)
Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (AHK)
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Trang 22 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC)
và P là điểm bất kỳ trong tam giác ABC Chứng minh
rằng
OA +OB +OC = +OH
HẾT
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
Tháng 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút)
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020
1a Xét 2 phương trình: x2 4x 3 m (1) và 0 x22x 3 m (2)0
ĐK:
1 2
1 0
2
2 0
m
m m
( ) 4 2[( ) 4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 5
1b
(2 điểm) + Điều kiện
0
x
+ Ta có
2
x x x
nên 1 2 x2 x 1 0
Do đó bất phương trình
1 2 x 2 x 3x 1 1 2 x x 1
+ Nếu x 0 thì bất phương trình trở thành 1 1 (vô lý)
+ Nếu x thì bất phương trình 0
0,5
+ Đặt
1
x
với t 2, bất phương trình trở thành 1 t1 t3 13
4
0.5
+ Với
13 4
t
thì
2
x
+ Vậy bất phương trình có nghiệm là
0.5 2a
(2 điểm)
+ Với điều kiện
cos 0 2
cos 0 cos 0
x
x x x
0.5
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Trang 4sin sin 2
cos cos 2
x x
x x
sin sin cos cos
cos cos 2
x x
0,5
1
2 cos 2 4 cos 1 0
cos
x
2 cos 2 cosx x 4 cos x cosx 1 0
2 cos 2 cosx x cosx 4 cos x 1 0
2 cos 2 cosx x cosx 2 cos 2x 1 0
2 cos 2x 1 cos x 1 0
1 cos 2
2 cos 1
x x
3 2
x k
+ So sánh với điều kiện ta được
3 2
k
x k
0.5 2b
(2 điểm) 2
2
Từ PT đầu của hệ và kết hợp với điều kiện xác định suy ra x7,y 0
Do đó (1) 9y2 2y3 y x 3x4 xy 4x0
2
2
4
0
xy x
xy x
2
0
y x
xy x
xy
+ Thế vào (2), ta được: 7x2 25x19 x2 2x 35 7 x2
3x211x 22 7 x2 x5 x 7
3x2 5x144x5 7 x5 x2 5x14
Đặt a x2 5x14 ;b x5a0,b0
Khi đó phương trình trở thành
0.5
Trang 5Với a b x 3 2 7 (thỏa mãn) và x 3 2 7 (loại)
Với
61 11137
18
a b x
(thỏa mãn) và
61 11137 18
x
(loại) Kết luận: Hệ có 2 nghiệm của hệ là:
3 2 7;3 2 7
và
61 11137 61 11137
;
3.a
(2 điểm)
+ Đặt
P
và 1x2 a, 1y2 b, 1z2 c với a b c , , 1
+ Ta có 1y3 1y 1 y y 2
+ Theo cô-si 2 2 2
2
y
2
1
2
y
1
b c
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có
2
c a
3
a b
+ Cộng các bất đẳng thức 1 , 2 , 3 theo vế ta được
P
P
ab ca bc ab ca bc
2
5
a b c P
ab bc ca
ab bc ca P
ab bc ca
+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z 2 0.5
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Trang 6(2 điểm)
Cho dãy số u n
xác định như sau
1
1 1
2 3
n n
n
u
n u
u
n u
Tính tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy số u n .
Ta có
2
n
Tương tự ta sẽ có 2 2
Suy ra
2 2
1
n n
n u
i
u
4.a
(2 điểm) + n(Ω)=C20
4
=4845 Trường hợp 1: Cả 4 cây được chặt ở gần nhau có 20 cách 0.5
+ Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau
- Chặt 3 cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi 3 cây gần nhau có 15 cây không gần 3 cây đó Vậy trường hợp này có:
Trường hợp 3: Trong 4 cây được chặt có đúng 2 cây gần nhau:
- Chặt đúng 2 cây ở gần nhau có 20 cách
- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này Trong 16 cây lại có 15
cặp cây gần nhau Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: C162
−15=105
Vậy trường hợp này có: 20.105 = 2100 cách
0.5
+ Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau
- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách
- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16
cây Vậy trường hợp này có 20 15=150 cách
0.5
Trang 7Suy ra: P( A)=2275
4845=
455 969
Bài 4 b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là x+ + =y 1 0 và x+2y- 1=0 Biết điểm B
thuộc đường thẳng y - 5= và điểm I thuộc đường thẳng 0 x + = Tìm tọa độ điểm 1 0
C.
Hướng dẫn.
K là giao điểm của HK và AC nên có tọa độ là K(-3; 2) Đường thẳng BK vuông góc với AC nên có phương trình: x - y + 5 = 0 Vì B thuộc đường thẳng y - 5 = 0 nên tọa
độ B(0; 5).
Gọi
3 7;
2 2
Eæççç- ö÷÷÷
÷
çè ø là trung điểm của BK, M là trung điểm BC thì EM // AC nên phương trình EM là: x + y - 2 = 0 Suy ra tọa độ của M là: M m( ;2- m)
Do MH = MK nên tam giác HMK cân tại M, có MD là trung tuyến cũng là trung trực, nên phương trình
đường thẳng MD có dạng: 2 2
x m t
ìï = + ïí
ïî , thay vào phương trình của HK ta có:
5
m
m t+ + - m+ t - = Û t=
-, suy ra tọa độ của D là:
;
Dæççç - - ö÷÷÷
÷
N
D H
E
K
M I
A
C B
Từ tọa độ của D và K suy ra tọa độ của
;
Hæççç + - - ö÷÷÷
÷
BHuuur là:
12 9; 27 6
BH = çæçç + - - ö÷÷÷÷
uuur
Mặt khác gọi I (- 1;n)
, ta có BIuur = -( 1;n- 5)
cùng hướng với
BHuuur nên ( 5 12)( 9) 27 6 ( 5 4)( 3) 9 2 22 24
m
m
+
+ (1)
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Trang 8Ngoài ra BM IM =. 0
uuur uuur
nên ta có: m m( + -1) (m+3 2)( - m n- ) =0
2
(2) Thế (1) vào (2) ta được:
m
m
+
+
2
-
Khi đó tọa độ 3 7; 3 7; ( 3;2) ( 3;2)
Mæçççç- ö÷÷÷÷º Eæçççç- ö÷÷÷÷Þ C - º K
C.
Câu 5
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB =3a và AD =a 3 Cạnh
bên SA =2a và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD)
Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng
(AHK)
2,0
Ta có AH ^SB, mà BC SA BC (SAB) BC AH
BC BA
ìï ^
íï ^ ïî
Suy ra: AH ^(SBC) Þ AH ^SC ( )1
0,50
Tương tự: AK ^SC ( )2
Gọi I =SC Ç(AHK)
, từ ( )1
và ( )2
S
A
B
D
H
K I
C
4
Trang 9Do đó: ( ( ) )
,
Mà:
AS
KL: ( ( ) ) 0
2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC)
và P là điểm bất kỳ trong tam giác
ABC Chứng minh rằng
OA +OB +OC = +OH
2,0
Ta có: OP = xOA+yOB +zOC ( )1
Do điểm P nằm trong tam giác ABC nên x y z+ + = 1 0,25
Từ ( )1
2
OA
Suy ra:
1 1
2
x
= çç + - ÷÷
0,50
Tương tự:
1 1 2
y
= çç + - ÷÷
1 1 2
z
= çç + - ÷÷
Mà ta có: x y z+ + =1
Þ çç + - ÷÷+ çç + - ÷÷+ çç + - ÷÷=
0,50
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
O A
B
C
H
P
.
5
Trang 102 2 2 2 2 2
2
OA +OB +OC =OH và OP2=OH2+PH2 0,25
Do đó:
+
KL:
OA +OB +OC = +OH (đpcm).
0,25
Mời bạn đọc cùng tham khảo