Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của[r]
Trang 1BÀI TẬP TOÁN 11 TUẦN 4 THÁNG 3 – 2020
BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
A TÓM TẮT LÝ TUYẾT
I Định nghĩa: đường thẳng d được gọi là vuông góc
với mặt phẳng ( ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng
a nằm trong mặt phẳng ( )
Nghĩa là: d ⊥( ) ⊥d a, a ( )
II Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
( ) ( )
,
d a
d b
d
a b
⊥
⊥
=
III Tính chất:
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng
AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB
IV Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
•
( ) ( )
a b
b
⊥
⊥
• ( )
( )
a b
b
⊥
• ( ) ( )
( ) a ( )
a
⊥
⊥
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a
• ( )
( )
a
a b b
⊥
⊥
( ) ( ) ( )
a
b
V Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
1 Phép chiếu vuông góc
' 'A B là hình chiếu của AB lên mặt phẳng ( )
theo phương vuông góc với mặt phẳng ( )
Trang 22 Định lí ba đường vuông góc:
Cho a( ) và b( ) , 'b là hình chiếu của 'b lên ( )
Khi đó: a⊥ ⊥ b a b'
3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
• Nếu d ⊥( ) thì ta nói góc giữa d và ( ) bằng 90
• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mp ( ) thì góc giữa d và hình chiếu
'
d của nó lên mp ( ) gọi là góc giữa d và ( )
• Kí hiệu: (d,( ) )
( )
(d, )=( )d d, ' = trong đó ' d là hình chiếu của d lên mp ( ) và 0 90
B VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC)
a) Chứng minh BC⊥(SAB)
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC)
c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC Chứng minh SC⊥HK
Giải
a) Chứng minh BC⊥(SAB)
Ta có: SA⊥(ABC) mà BC(ABC) suy ra SA⊥BC Lại có BC⊥AB và
( )
,
SA AB SAB ; SAAB= nên A BC ⊥(SAB)
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC)
Ta có BC⊥(SAB) mà AH (SAB) suy ra BC⊥ AH Lại có AH⊥SB và
( )
SB BC SBC SBBC= nên B AH ⊥(SBC)
Trang 3c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC Chứng minh SC⊥HK
Ta có AH ⊥(SBC) mà SC(SBC) suy ra AH ⊥SC Lại có AK⊥SC và
( )
AK AH AHK AKAH = nên A SC⊥(AHK) do HK (AHK)SC⊥HK
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc mặt
phẳng (ABCD) và SA=a 3
a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
b) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
Giải
a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
• Ta có SA⊥(ABCD) và SC(ABCD)= nên AC là hình chiếu của SC lên C
mặt phẳng (ABCD) suy ra (SC ABCD,( ) )=(SC AC, )=SCA
• Xét tam giác SAC vuông tại A có: tan 3 6 50 46 '
2 2
SA a
AC a
Vậy (SC ABCD,( ) ) 50 46 '
b) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
• Ta có SA⊥(ABCD) mà AB(ABCD) suy ra SA⊥ AB Lại có AB⊥AD và
( )
SA AD SAD SAAD= nên A AB⊥(SAD) mặt khác SB(SAD)= Do đó S
SA là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) suy ra (SB SAD,( ) )=(SB SA, )=ASB
3 3
SA a
Vậy (SB SAD,( ) )= 30
Trang 4C BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG d VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG ( )
( ) ( )
,
d
a b
⊥
⊥
=
Bài 3.1 Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm S trên đường thẳng vuông góc mặt phẳng
(ABC) tại A Dựng AH AK, lần lượt là hai đường cao của tam giác SAB SAC, Gọi
I là giao điểm của BK và CH Chứng minh:
a) BC⊥SA b) AB⊥(SAC) c)AC⊥(SAB) d) SC⊥KB
e) SI ⊥BC f) AI ⊥(SBC).
Bài 3.2 Cho tứ diện S ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC vuông tại B Trong (SAB)
kẻ AM ⊥SB tại M Trên SC lấy điểm N sao cho SM SN
SB = SC Chứng minh rằng: a) BC⊥(SAB) b) AM ⊥(SBC) c) SB⊥AN
Bài 3.3 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy
BC Gọi I là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh rằng BC⊥(ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI Chứng minh AH ⊥(BCD)
Bài 3.4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA SB= =SC=SD Gọi O là
giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:
a) SO⊥(ABCD) b) AC⊥(SBD) c) BD⊥(SAC)
Bài 3.5 Trên mặt phẳng ( )P cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của AC và
BD S là một điểm nằm ngoài ( )P sao cho SA=SC SB, =SD Chứng minh rằng: a) SO⊥(ABCD)
b) Nếu trong tam giác SAB kẻ SH ⊥AB tại H thì AB⊥(SHO)
Bài 3.6 Cho tam giác ABC vuông tại A , có SA⊥(ABC) Vẽ AK là đường cao của tam giác
ABC , AH là đường cao của tam giác SAK Chứng minh rằng:
AH = AS + AB + AC
Bài 3.7 Cho tứ diện ABCD có DA⊥(ABC) Kẻ AI ⊥BC,(IBC) Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC Kẻ HK ⊥DI,(KDI) Chứng minh HK ⊥(BCD) và K là trực tâm của tam giác BCD
Trang 5Bài 3.8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥(ABCD) Gọi E F H, ,
lần lượt là hình chiếu của A lên SB SD và SBD, ( ) Chứng minh:
a) Các mặt bên của hình chóp đều là tam giác vuông
b) BD⊥SC
c) SC ⊥(AEF)
d) H là trực tâm của tam giác SBD
Bài 3.9 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC không vuông Gọi H K, lần
lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC Chứng minh:
a) AH SK BC, , đồng quy
b) SC ⊥(BHK)
c) HK ⊥(SBC)
Bài 3.10 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA⊥(ABCD) và SA a=
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S ABCD là các tam giác vuông
b) Từ A kẻ AH ⊥SB,(HSB);AK ⊥SC K,( SC) Chứng tỏ rằng SC⊥(AHK) c) Gọi I =SC(AHK) Chứng minh rằng tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông
góc và tính diện tích tứ giác đó
Bài 3.11 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác cân DA⊥(ABC) biết AB=AC= , a
6 5
BC= a Gọi M là trung điểm BC Vẽ AH ⊥DM H( DM)
a) Chứng minh rằng: AH ⊥(BCD)
4
AD= a Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM c) Gọi G G1, 2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và BCD Chứng minh
rằng G G1 2 ⊥(ABC)
Bài 3.12 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , vuông góc với nhau từng đôi một và
, ,
OA=a OB=b OC=c
a) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh: OH ⊥(ABC)
b) Tính OH theo a b c, ,
Bài 3.13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA vuông góc với đáy
Dựng H K, lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên SB SD, Chứng minh rằng:
c) SC⊥(AHK)tại M Xác định M Chứng minh rằng AHMK là tứ giác nội tiếp có
hai đường chéo vuông góc
d) Gọi I là hình chiếu vuông góc của của O lên SC Chứng minh rằng: SC⊥(BDI)
Bài 3.14 Cho hình thang ABCD vuông tại A và tại B có đáy AD=2BC và AB=BC Lấy
điểm S trên đường thẳng vuông góc mặt phẳng (ABCD) tại A Gọi I là trung điểm của AD Dựng AK là đường cao tam giác SAC Chứng minh rằng:
Trang 6a) Các mặt bên là các tam giác vuông b) SD⊥CI
Bài 3.15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông SI ⊥(ABCD) với I là trung
điểm AB
a) Chứng minh rằng: SAD SBC, là các tam giác vuông
b) Gọi K là trung điểm DC , H là hình chiếu của A lên SK Chứng minh rằng
( )
IH ⊥ SCD
c) Gọi J là trung điểm AD Chứng minh: CJ ⊥SD
DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
• Nếu d ⊥( ) thì ta nói góc giữa d và ( ) bằng 90
• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mp ( ) thì góc giữa d và hình chiếu
'
d của nó lên mp ( ) gọi là góc giữa d và ( )
• Kí hiệu: (d,( ) )
( )
(d, )=( )d d, ' = trong đó ' d là hình chiếu của d lên mp ( ) và 0 90
Bài 3.16 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại C , AB=2 ,a BAC = 60
( )
SA⊥ ABC và SA a = Gọi I là trung điểm của SC
a) Chứng minh rằng: BC⊥(SAC); AI ⊥(SBC)
b) Tính góc giữa: SB và (ABC); SA và (SBC); SB và (SAC); SC và (SAB)
Bài 3.17 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a SA⊥(ABCD) và
3
SA=a Tính góc giữa:
a) SC và các mp (ABCD) (; SAB) (; SBD)
b) SA và các mp (SBC) (; SCD) (; SBD)
Bài 3.18 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA vuông với mặt
phẳng đáy Biết BSC= 30 , ACB = Gọi I là hình chiếu của B trên SC Xác định
để góc giữa BI và (SAC) bằng 60
Bài 3.19 Cho hình chóp S ABCcó 2 3
3
a
SA=SB=SC= và đáy ABC là tam giác đều cạnh a a) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) Tính SH
b) Tính góc giữa SA và (ABC)
Bài 3.20 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA=a 6 và vuông góc với
đáy
a) Tính góc giữa SB và CD
Trang 7b) Tính góc giữa SC và (ABCD)
c) Tính góc giữa SC và (SAB); SB và (SAC); AC và (SBC)
Bài 3.21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
2 ,
AD= a AB=BC=a SA vuông với đáy và SA=2a
a) Chứng minh SCD là tam giác vuông
b) Tính góc giữa SD và (SAC)
Bài 3.22 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O Gọi M N, lần lượt
là trung điểm củaSA BC, Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
a) Tính góc giữa MN và SO
b) Tính góc giữa MN và (SBD)