a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P) đạt giá trị lớn nhất... Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác v[r]
Trang 1Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 2, 3, 4 chương 3
Câu 16 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Trả lời:
a) Vì BC // AD
nên góc giữa SD
và BC bằng góc
giữa SD và AD
Từ giả thiết, ta
có SA BC nên⊥BC nên
SA AD mặt⊥BC nên
khác SA bằng
cạnh của hình
thoi ABCD, nên
ˆSDA=450 là
góc phải tìm
Vậy góc giữa
BC và SD bằng 45°
b) Do ABCD là hình thoi nên AC BD Mặt khác IJ // BD nên AC IJ tức là⊥BC nên ⊥BC nên góc giữa IJ và AC bằng 90° không đổi
Câu 17 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, ˆBAD=600,ˆBAA′=ˆDAA
′=1200
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’
Trang 2Trả lời
Đặt
AB→=x→,AD→=
y→,AA′→=z→ thì
x2→=y2→=z2→=a2
x→.y→=a2/2;
x→.z→=−a2/2;
x→.z→=−a2/2;
a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc ˆDA′B′ hoặc 1800−ˆDA′B′
Đặt ˆDA′B′=α
Ta có:
A′D=a√3,A′B′=a
DB′→=x→−y→+z→
⇒DB′2→=3a2−a2−a2+a2=2a2
Vậy 2a2=a2+3a2−2a.a√3cosα cosα=1/√3⇒
Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà cosα=1/√3
AC′→=x→+y→+z→
⇒AC′2→=3a2+a2−a2−a2=2a2
Dễ thấy AB’ = a
Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông Vậy AC’ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.⊥BC nên b)
SA′B′CD=A′D.A′B′sinˆDA′B′=a√3.a.√6/3
Vậy SA′B′CD=a2√2
Trang 3Đặt ˆACC′=β thì AC′2=AC2+CC′2−2AC.CC′.cosβ
hay
2a2=3a2+a2−2a√3.a.cosβ
⇒cosβ=1/√3 sinβ=√6/3⇒
Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a√3.a.√6/3=a2√2
c) Do zAC′→=x→+y→+z→
Suy ra:
AC′→.AB→=(x→+y→+z→)x→
=a2+a2/2−a2/2=a2
hay
|AC′→||AB→|cos γ=a2
⇒cos γ=1/ γ=45⇒ 0
Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°
AC′→.AD→=(x→+y→+z→)y→
=a2/2+a2−a2/2=a2
hay
AC′→|.|AD→|cos φ=a2⇒cos φ=1/ φ=45⇒ 0
Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°
AC′→.AA′→=(x→+y→+z→)z→=−a2/2−a2/2+a2=0
Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°
Câu 18 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α Gọi
M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0< x < AC) Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD
Trang 4a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P) đạt giá trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD
Trả lời
a) Dễ thấy thiết
diện là hình
SMNPQ=NM.NQ
.sinˆMNQ
Do MN // AB,
NQ // CD nên
góc giữa MN
và NQ bằng góc giữa AB và CD do đó sinˆMNQ=sinα
Ta có:
MN/AB=AC−x/AC MN=AB/AC(AC−x)⇒
NQ=MR,MR/CD=AM/AC=x/AC
⇒MR=CD/AC.x
Vậy SMNQR=AB.CD/AC2(AC−x)xsinα
Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x=AC/2 Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất
b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:
p=MN+MR=AB/AC(AC−x)+CD/AC.x
=CD−AB/AC.x+AB
Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:
CD–AB=0 hay AB=CD
Trang 5Câu 19 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với SA, CD
a) Thiết diệm của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(α) là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB = a, SA = b, M là trung điểm của AD
Trả lời
a) Dễ thấy thiết
diện là tứ giác
MNPQ trong đó
MN // QP // CD,
MQ // SA
Do SA ⊥BC nên AB,
AB //MN, MQ //
SA nên thiết diện
MNPQ là hình
thang vuông tại
M
b) SMNPQ=1/2(MN+PQ).MQ
Do M là trung điểm của AD nên:
MQ=1/2SA=1/2b
PQ=1/2CD=1/2a
Vậy SMNPQ=1/2(a+a/2).b/2=3ab/8
Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC
và AD sao cho MB→=kMC→ và NA→=kND→ với k là số thực khác 0 cho trước Đặt α là góc giữa hai vectơ NMN→ và BA→; β là góc giữa hai vectơ MN→ và
CD→ Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α=β=450
Trả lời
Trang 6Kẻ MP // AB thì
dễ thấy NP //
CD Từ đó, góc
giữa MN→ và
BA→ bằng góc
giữa MN→ và
MP→, đó là góc
PMN^ Góc
giữa MN→ và
CD→ bằng góc
giữa MN→ và
PN→, đó là góc
PNM^
Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:
MP = NP và ˆMPN=900
Từ đó, suy ra CP/CA.AB=AP/AC.CD và AB CD⊥BC nên
hay AB/CD=AP/CP và AB CD⊥BC nên
Mặt khác, ta có PA→=kPC→⇒AP/PC=|k|
Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ
AB/CD=|k| và AB CD⊥BC nên
thì góc giữa hai vectơ MN→ và BA→ bằng góc giữa hai vectơ MN→ và CD→, cùng bằng 45°)
Câu 21 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD, BD Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH=√3IJ
b) Tứ giác IJHK
là hình chữ nhật
Trả lời
Trang 7Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng IJ và IK,
đó là góc ˆJIK hoặc 1800−ˆJIK
a) Vì hình tứ giác IJHK là hình thoi mà IH=√3IJ, nên từ IK2+IH2=4IJ2
ta có: IK2=IJ2
hay IK = IJ
Như vậy JIK là tam giác đều, do đó ˆJIK=600
Vậy góc giữa AB và CD trong trường hợp này bằng 60°
b) Khi tứ giác IJHK là hình chữ nhật thì ˆJIK=900 Do đó, góc giữa AB và CD bằng 90°
Câu 22 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB
b) Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho
MA→=kMB→,ND→=kNB→ Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC
Trả lời:
a) Gọi I là trung
điểm của BC thì
AI BC,DI BC⊥BC nên ⊥BC nên
AD→=AI→+ID→
Xét
BC→.AD→=BC→(A
I→+ID→)
=BC→.AI→+BC→.I
D→=0
Vậy BC AD⊥BC nên
Trang 8b) Từ giả thiết
MA→=kMB
ND→=kNB→
ta có MN // AD
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng góc giữa hai đường thẳng AD
và BC Theo câu a) thì AD vuông góc BC, nên góc giữa MN và BC bằng 90°
Câu 23 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD có CD=4/3AB Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC,
AC, BD Cho biết JK=5/6AB, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB
Trả lời:
Ta có:
IJ=1/2AB
IK=1/2CD=2/3AB
IJ2+IK2=1/4AB2+4/
9AB2=25/36AB2
IJ=12ABIK=12CD=23ABIJ2+IK2=14AB2+49AB2=2536AB2
mà IK2=25/36AB2
nên IJ2+IK2=JK2
Vậy JI IK⊥BC nên
Do IJ // AB, IK // CD nên góc giữa AB và CD bằng 90°
Mặt khác IJ // AB mà AB CD nên IJ CD⊥BC nên ⊥BC nên
Trang 9Vậy góc giữa IJ và CD bằng 90°.
Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD Chứng minh rằng trong ba số hạng a2cosα,b2cosβ,c2cosγ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại
Trả lời:
Ta có:
cos (BC→,DA→)=2c
2−2b2/2a2=c2−b2/a2
Vậy nếu góc giữa
BC và AD bằng α
thì:
cosα= c∣c 2−b2∣c/a2
hay a2cosα= c∣c 2−b2∣c
Tương tự như trên,
nếu gọi β là góc
giữa AC và BD thì:
b2cos β=|a2−c2|
và γ là góc giữa AB và CD thì
c2cos γ=|b2−a2|
Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a ≥ b ≥ c Khi đó:
a2cosα=b2−c2
b2cosβ=a2−c2
c2cosγ=a2−b2
Từ đó, trong trường hợp này ta có b2cosβ=a2cosα+c2cosγ
Câu 25 trang 119Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Trang 10Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC,
AC, AD sao cho IB→=kIC→,JA→=kJC→,KA→=kKD→ trong đó k là số khác 0 cho trước Chứng minh rằng:
a) MN IJ và MN IK⊥BC nên ⊥BC nên
b) AB CD⊥BC nên
Trả lời
a) Từ
IB→=kIC→JA→=
kJC→
ta có IJ // AB
Tương tự, ta có
IK // CD
Do các cạnh của
tứ diện ABCD
bằng nhau và N
là trung điểm
của CD nên NA = NB
Mặt khác MA = MB do đó MN AB, suy ra MN IJ.⊥BC nên ⊥BC nên
Tương tự như trên, ta có MN CD và IK // CD nên MN JK.⊥BC nên ⊥BC nên
b) Ta có AB→=AN→+NB→
Từ giả thiết, ta có:
AN CD tức là AN⊥BC nên →.CD→=0;
BN CDBN CD tức là BN⊥BC nên ⊥BC nên →.CD→=0
Vậy AB→.CD→=(AN→+NB→).CD→=0 tức là AB CD⊥BC nên
Xem thêm các bài tiếp theo tại: