Giải thuật di truyền và ứng dụng đối với bài toán vận tải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ---VŨ THỊ KHÁNH TRÌNH GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢI Chuyên ngành: Khoa học máy tính Thá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

-VŨ THỊ KHÁNH TRÌNH

GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI

BÀI TOÁN VẬN TẢI

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Thái Nguyên - 2014

Sau qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i Tr÷íng ⁄i håc Cæng ngh» thæng tin vTruy•n thæng, vîi nhœng ki‚n thøc lþ thuy‚t v thüc h nh ¢ t‰ch lôy

÷æc, vîi vi»c v“n döng c¡c ki‚n thøc v o thüc t‚, em ¢ tü nghi¶n cøuc¡c t i li»u, c¡c cæng tr…nh nghi¶n cøu, çng thíi câ sü ph¥n t‰ch,tŒng hæp, óc k‚t v ph¡t tri”n ” ho n th nh lu“n v«n th⁄c s¾ cıa m…nh

Em xin cam oan lu“n v«n n y l cæng tr…nh do b£n th¥n em tü t…mhi”u, nghi¶n cøu v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa thƒy gi¡o, TS VôVinh Quang

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 7 n«m 2014

Håc vi¶n

Vô Thà Kh¡nh Tr…nh

L˝IC MÌN

Trong thíi gian hai n«m cıa ch÷ìng tr…nh o t⁄o th⁄c s¾, trong âgƒn mºt nßa thíi gian d nh cho c¡c mæn håc, thíi gian cÆn l⁄i d nhcho vi»c lüa chån lu“n v«n, gi¡o vi¶n h÷îng d¤n, t“p trung v o nghi¶ncøu, vi‚t, ch¿nh sßa v ho n thi»n lu“n v«n Vîi quÿ thíi gian nh÷ v“y vvîi và tr‰ cæng vi»c ang ph£i £m nh“n, khæng ri¶ng b£n th¥n em mhƒu h‚t c¡c sinh vi¶n cao håc muŁn ho n th nh tŁt lu“n v«n cıa m…nhtr÷îc h‚t •u ph£i câ sü s›p x‚p thíi gian hæp lþ, câ sü t“p trung håc t“p

v nghi¶n cøu vîi tinh thƒn nghi¶m tóc, nØ lüc h‚t m…nh; ti‚p ‚n l câ süıng hº v• tinh thƒn, sü gióp ï v• chuy¶n mæn - mºt trong nhœng i•uki»n khæng th” thi‚u quy‚t ành ‚n vi»c th nh cæng cıa lu“n v«n

” ho n th nh ÷æc lu“n v«n n y tr÷îc ti¶n em xin gßi líi c£m ìn s¥us›c ‚n thƒy gi¡o h÷îng d¤n TS Vô Vinh Quang, l ng÷íi ành h÷îng nºidung, h÷îng ph¡t tri”n cıa lu“n v«n v câ nhi•u þ ki‚n âng gâp quantrång v• nhœng v§n • chuy¶n mæn cıa lu“n v«n, gióp em th¡o gï kàpthíi nhœng v÷îng m›c trong qu¡ tr…nh l m lu“n v«n

Em công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy, cæ gi¡o Tr÷íng ⁄i håcCæng ngh» thæng tin v Truy•n thæng v b⁄n b– còng lîp ¢ câ nhœng

þ ki‚n bŒ ‰ch ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn Xin c£m ìn gia …nh,ng÷íi th¥n, çng nghi»p luæn quan t¥m, ıng hº v• tinh thƒn trong suŁt thíigian håc t“p v ho n th nh lu“n v«n

Em xin høa s‡ cŁ g›ng tü nghi¶n cøu, n¥ng cao n«ng lüc chuy¶nmæn cıa m…nh ” sau khi ho n th nh lu“n v«n n y s‡ câ h÷îng t“ptrung nghi¶n cøu s¥u hìn, ti‚p töc ho n thi»n lu“n v«n n y ” câ nhœngøng döng thi‚t thüc trong thüc t‚

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 7 n«m 2014

Håc vi¶n

Vô Thà Kh¡nh Tr…nh

MÖC LÖC

Líi cam oan i

Líi c¡m ìn

ii Danh möc c¡c chœ vi‚t t›t vi

Danh möc c¡c b£ng

vii Danh möc c¡c h…nh

viii L˝I M— U 1

Ch÷ìng 1 B i to¡n v“n t£i 3

1.1 B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh 3

1.1.1 Mæ h…nh mºt sŁ b i to¡n thüc t‚ 3

1.1.2 B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

6 1.2 B i to¡n v“n t£i .

11 1.3 Thu“t to¡n ph¥n phŁi gi£i b i to¡n v“n t£i 13

1.3.1 ành ngh¾a 13

1.3.2 Cì sð lþ lu“n cıa thu“t to¡n

14 1.3.3 Thu“t to¡n ph¥n phŁi

16 1.3.4 V§n • chån ph÷ìng ¡n ban ƒu

17 1.4 C¡c d⁄ng kh¡c cıa b i to¡n v“n t£i 18

1.4.1 B i to¡n v“n t£i khæng c¥n b‹ng thu ph¡t 18

1.4.2 B i to¡n v“n t£i d⁄ng cüc ⁄i

20

Ch÷ìng 2 Gi£i thu“t di truy•n v øng döng Łi vîi b i to¡n v“n

t£i 282.1 Giîi thi»u v• Gi£i thu“t di truy•n

28

2.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 29

2.2.1 C¡ th”, nhi„m s›c th” 29 2.2.2 Quƒn th”

2.5.2 Khði t⁄o quƒn th” ban ƒu

2.7.2 C¡c to¡n tß cıa RCGA .

41

2.8 Thu“t to¡n di truy•n vîi b i to¡n v“n t£i c¥n b‹ng 46

2.8.1 Bi”u di„n líi gi£i b i to¡n v“n t£i b‹ng v†c tì 46

2.8.2 Bi”u di„n líi gi£i b i to¡n v“n t£i b‹ng ma tr“n 51 Ch÷ìng

3 Mºt sŁ k‚t qu£ thüc nghi»m 56 3.1 Mæ t£ c¡cthu“t to¡n di truy•n 56 3.1.1 To¡n

tß khði t⁄o 56

3.1.2 To¡n tß lai gh†p 58

3.1.3 To¡n tß ºt bi‚n

58 3.1.4 To¡n tß lüa chån

59 3.2 Mºt sŁ k‚t qu£ c i °t

59 Phƒn k‚t lu“n 63

T i li»u tham kh£o 64

Phƒn phö löc 65

DANHMÖCC CCHÚVI TT T

GA Genetic Algorithm: gi£i thu“t di truy•n

EC - Evolutionary computation: t‰nh to¡n ti‚n hâa

EP - Evolutionary Programming: quy ho⁄ch ti‚n hâa

ES - Evolutionary Strategies: c¡c chi‚n l÷æc ti‚n hâa

GP - Genetic Programming: l“p tr…nh di truy•n

CS - Classifier Systems: c¡c h» thŁng ph¥n lo⁄i

NST: nhi„m s›c th”

Selection: chån låcCrossover: lai gh†pMutation: ºt bi‚nReproduction: sinh s£npop_size: k‰ch cï quƒn th”RCGA: thu“t to¡n di truy•n

m¢ hâa sŁ thücArithmetic Crossover: lai sŁ håc

- Blend Crossover: lai gh†p UNDX - Unimodal Normal

BLX-Distributed Crossover: lai gh†p UNDXCMX - Center of Mass Crossover: lai gh†p CMX

MFX - Multi-parentFeature-wise Crossover: lai gh†p - MFX

SX - Seed Crossover: lai gh†p SX

B£ng 3.1: K‚t qu£ sau 10 lƒn ch⁄y ng¤u nhi¶n.

B£ng 3.2: K‚t qu£ sau 10 lƒn ch⁄y ng¤u nhi¶n

H…nh 3.1: ç thà nghi»m t⁄i lƒn ch⁄y thø 10

H…nh 3.2: ç thà nghi»m t⁄i lƒn ch⁄y thø 10

Trong thüc t‚, vi»c t…m ki‚m c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i lîp c¡c b i to¡ntŁi ÷u l mºt l¾nh vüc ÷æc c¡c nh khoa håc tr¶n th‚ giîi °c bi»t quant¥m ¢ câ r§t nhi•u c¡c cæng tr…nh nghi¶n cøu v• l¾nh vüc n y, chıy‚u ÷æc ph¡t tri”n trong lþ thuy‚t tŁi ÷u hâa ¡p döng trong lþ thuy‚t quyho⁄ch to¡n håc v mæ h…nh c¡c b i to¡n trong cæng ngh» thæng tin ”t…m ki‚m c¡c thu“t to¡n gi£i c¡c lîp b i to¡n NPC Trong thíi gian gƒn

¥y mºt h÷îng nghi¶n cøu quan trång ÷æc ph¡t tri”n trong l¾nh vüc t

‰nh to¡n ti‚n hâa, â ch‰nh l nghi¶n cøu v• thu“t to¡n di truy•n(Genetic Algorithm - GA)

Xu§t ph¡t tł thuy‚t ti‚n hâa muæn lo i cıa Darwin, c¡c nh to¡n håcJohn Holland (1975) v Goldberg (1989) ¢ • xu§t v ph¡t tri”n GA ¥y lmºt kÿ thu“t chung t…m c¡ch gi£i quy‚t b i to¡n b‹ng vi»c mæ phäng

sü ti‚n hâa cıa con ng÷íi hay cıa sinh v“t nâi chung düa tr¶n nhœngi•u ki»n ÷æc qui ành sfin cıa b i to¡n

GA l mºt thu“t to¡n ÷a ra líi gi£i t÷ìng Łi tŁi ÷u T÷ t÷ðng ch‰nhcıa thu“t to¡n l t…m ki‚m líi gi£i tŁi ÷u düa tr¶n cì ch‚ lai gh†p, chånlåc, sß döng c¡c nguy¶n lþ v• t‰nh di truy•n, sü th‰ch nghi v süsŁng c¡c c¡ th” th‰ch nghi nh§t trong tü nhi¶n tł â ti‚p c“n ‚n líi gi£i tŁi

÷u cıa b i to¡n ang x†t

Łi vîi lþ thuy‚t quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh nâi chung th… b i to¡n v“nt£i l mºt mæ h…nh câ øng döng quan trång trong thüc t‚, ¥y l b i to¡nkinh i”n ¢ ÷æc nghi¶n cøu ¢ câ nhi•u thu“t to¡n ÷æc • xu§t trong lþthuy‚t tŁi ÷u ” gi£i b i to¡n n y nh÷: C¡c thu“t to¡n th‚ và (thu“t to¡nph¥n phŁi, thu“t to¡n quy khæng æ chån), b i to¡n quy ho⁄ch nguy¶n

Vîi nhœng lþ do tr¶n, em chån • t i "Gi£i thu“t di truy•n v øng döng Łi vîi b i to¡n v“n t£i" l m lu“n v«n tŁt nghi»p

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n gçm 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 - B i to¡n v“n t£i: tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n nh§tv• b i to¡n v“n t£i - mºt d⁄ng °c bi»t cıa b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh vthu“t to¡n ph¥n phŁi ” gi£i b i to¡n v“n t£i

Ch÷ìng 2 - Gi£i thu“t di truy•n v øng döng Łi vîi b i to¡n v“n t£i:tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n, mæ h…nh, c¡c tham sŁ cì b£n, c¡cph†p to¡n, cì ch‚ thüc hi»n tŒng qu¡t cıa thu“t to¡n di truy•n, thu“tto¡n di truy•n kinh i”n, thu“t to¡n di truy•n m¢ hâa sŁ thüc, thu“t to¡n ditruy•n vîi b i to¡n v“n t£i c¥n b‹ng

Ch÷ìng 3 - Mºt sŁ k‚t qu£ thüc nghi»m: tr…nh b y c¡c k‚t qu£ c i °tthß nghi»m khi gi£i b i to¡n v“n t£i b‹ng thu“t to¡n GA

C¡c k‚t qu£ lþ thuy‚t v• b i to¡n v“n t£i ki”m nghi»m thæng qua c¡cch÷ìng tr…nh thüc nghi»m vi‚t tr¶n Matlab version 7.0

Ch֓ng 1 BITONVNTI

Nºi dung cıa ch÷ìng ÷æc tham kh£o ð c¡c t i li»u [1], [2], [3], [4]

1.1 B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

1.1.1 Mæ h…nh mºt sŁ b i to¡n thüc t‚

Ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n nh§t cıa b i to¡nquy ho⁄ch tuy‚n t‰nh N«m 1947, G B Dantzig ¢ ÷a ra mæ h…nhto¡n håc n y sau khi nghi¶n cøu c¡c b i to¡n l“p k‚ ho⁄ch cho lüc l÷ængkhæng qu¥n Mÿ Ban ƒu, æng gåi l "Quy ho⁄ch trong c§u tróc tuy‚n t

‰nh" (Programming in a linear structure) Mòa h– n«m 1948, G B.Dantzig ¢ çng þ sß döng t¶n gåi ng›n gån l "Quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh"(Linear Programming) sau khi ÷æc Tijalling Koopmans gâp þ Nhi•un«m sau, Albert Tuckey dòng thu“t ngœ ng›n hìn l "Linear Program".Ngay sau khi G B Dantzig ÷a ra mæ h…nh quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh,ng÷íi ta th§y nhi•u b i to¡n thüc t‚ thuºc nhi•u l¾nh vüc kh¡c nhau câth” mæ t£ b‹ng mæ h…nh b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

V‰ dö 1.1 B i to¡n l“p k‚ ho⁄ch s£n xu§t (Production Planning lem) Cæng ty Reddy Mikks s£n xu§t hai lo⁄i s£n ph'm l sìn nºi th§t

Prob-v sìn ngo i tríi Nguy¶n li»u gçm hai lo⁄i A v B vîi nguçn dü trœ t÷ìngøng l 60 t§n v 80 t§n ” s£n xu§t mºt t§n sìn nºi th§t cƒn 2 t§n nguy¶nli»u A, 1 t§n nguy¶n li»u B v ” s£n xu§t mºt t§n sìn ngo i tríi cƒn 1 t§nnguy¶n li»u A, 2 t§n nguy¶n li»u B ÷æc bi‚t nhu cƒu thà tr÷íng sß dönghai lo⁄i s£n ph'm n y trong mºt ng y l :

- Nhu cƒu sìn nºi th§t khæng hìn nhu cƒu sìn ngo i tríi qu¡ 1 t§n;

- Nhu cƒu cüc ⁄i cıa sìn nºi th§t l 2 t§n

Gi¡ b¡n buæn 1 t§n sìn nºi th§t l 2000 USD, 1 t§n sìn ngo i tríi

V§n • °t ra l cƒn s£n xu§t mØi ng y nh÷ th‚ n o ” doanh thu l lîn

nh§t

Gåi x1 l sŁ l÷æng sìn nºi th§t cƒn s£n xu§t trong mºt ng y;

Gåi x2 l sŁ l÷æng sìn ngo i tríi cƒn s£n xu§t trong mºt ng y;

x1; x2 gåi l c¡c bi‚n (variable) hay l mºt ph÷ìng ¡n (alternative) cıa

qu¡ sŁ l÷æng nguy¶n li»u dü trœ h⁄n ch‚ C¡c h⁄n ch‚ tr¶n c¡c bi‚n x1;

x2 gåi l c¡c r ng buºc (constraint), cö th” l :

(feasible) n‚u nâ tho£ m¢n måi r ng buºc Khi â (x1; x2) ÷æc gåi l

nghi»m ch§p nh“n ÷æc (feasible solution)

Ta câ mæ h…nh to¡n håc cıa b i to¡n l“p k‚ ho⁄ch s£n xu§t nh÷ sau:

¥y:

Mºt ºi s£n xu§t cƒn ph¥n cæng mºt sŁ ng÷íi i g°t, sŁ cÆn l⁄i th… ð

nh “p lóa C£ ºi câ 12 lao ºng lo⁄i A, 26 lao ºng lo⁄i B v 16 lao ºng lo⁄i

C N«ng su§t l m vi»c cıa lao ºng lo⁄i A trong mºt ng y g°t ÷æc 2 s o v

“p ÷æc 5 s o; t÷ìng øng vîi lao ºng lo⁄i B l 1; 8 v

3; 6; lao ºng lo⁄i C l 1; 5 v 2; 4 H¢y ph¥n cæng lao ºng sao cho g°t

÷æc nhi•u nh§t v sŁ lóa ÷æc g°t v• công ÷æc “p h‚t trong ng y

Gåi x; y; z lƒn l÷æt l sŁ lao ºng c¡c lo⁄i A, B, C ÷æc ph¥n cæng ”

i g°t lóa, x 0; y 0; z 0 Khi â sŁ lao ºng ð nh “p lóa t÷ìngøng l : 12 x; 26 y v 16 z

M°t kh¡c, hai cæng vi»c ph£i £m b£o c¥n Łi, n¶n:

2x + 1; 8y + 1; 5z = 5(12 x) + 3; 6(26 y) + 2; 4(16 z)

hay

7x + 5; 4y + 3; 9z = 192Khi â mæ h…nh to¡n håc cıa b i to¡n n y l :

b i to¡n tŒng qu¡t

Trong qu¡ tr…nh s£n xu§t, h ng ho¡ ÷æc v“n chuy”n tł 02 kho A,

B ‚n 02 cßa h ng b¡n l· I, II L÷æng h ng ð kho A 15 t§n, kho B 15 t§n

v nhu cƒu ti¶u thö ð kho I l 10 t§n, kho II l 20 t§n C÷îc ph‰ v“n

chuy”n mºt t§n h ng ho¡ tł kho A ‚n hai cßa h ng I, II t÷ìng øng l 1

tri»u VN , 3 tri»u VN v kho B ‚n hai cßa h ng I, II t÷ìng øng l 2 tri»u

VN , 5 tri»u VN :

Y¶u cƒu °t ra l h¢y l“p k‚ ho⁄ch v“n chuy”n h ng ho¡ tł kho A, B ‚ncßa h ng thø I, II sao cho tŒng chi ph‰ l ‰t nh§t, vîi i•u ki»n c¡ckho ph¡t h‚t h ng v c¡c si¶u thà, cßa h ng nh“n ı sŁ h ng ho¡ theo nhucƒu

Gåi l÷æng h ng v“n chuy”n tł kho i ‚n cßa h ng j l xij (i = 1; 2;

j = 1; 2; xij 0) Ta câ k‚ ho⁄ch v“n chuy”n, hay cÆn gåi l ph÷ìng ¡nv“n chuy”n h ng ho¡ l mºt ma tr“n thüc c§p 2 2, X = (xij) Khi â c÷îc ph

‰ v“n chuy”n h ng ho¡ l

F (x) = x11 + 3x12 + 2x21 + 5x22:

Ta ph£i t…m c¡c xij sao cho F l nhä nh§t Chó þ r‹ng xij 0 khæng

÷æc gi£m tòy þ, v… ph£i £m b£o ph£i ph¡t h‚t h ng ð c¡c kho v c¡ccßa h ng ph£i nh“n ı sŁ h ng theo nhu cƒu Ta câ:

Nh“n x†t 1.1 C¡c b i to¡n tr¶n •u d¤n ‚n mºt mæ h…nh chung l t…mnghi»m cıa h» r ng buºc sao cho mºt h m möc ti¶u F (x) ⁄t max ho°cmin ¥y ch‰nh l mæ h…nh tŒng qu¡t cıa b i to¡n tŁi ÷u

1.1.2 B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh câ d⁄ng tŒng qu¡t ƒy ı nh÷ sau:

X j

aijxj bi; (i = 1; 2; :::; m1)

=1 n

X j

aijxj = bi; (i = m1 + 1; m1 + 2; :::; m)

=1

xj 0 (j = 1; 2; :::; n1; n1 n):

trong â F (x) gåi l h m möc ti¶u

Mºt r ng buºc flng thøc câ th” thay th‚ b‹ng hai r ng buºc d⁄ng

Nh÷ v“y, måi b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh •u câ th” ÷a ÷æc v•

d⁄ng chu'n t›c sau ¥y:

n

X j

F (x) = cjxj ! min(max)

=1 n

Vi»c th¶m 'n phö yi còng i•u ki»n khæng ¥m cıa nâ khæng l m

£nh h÷ðng ‚n k‚t qu£ cıa b i to¡n

Khi â ta câ d⁄ng ch‰nh t›c cıa b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh:

n

X j

F (x) = cjxj ! min(max)

=1

øng vîi mºt nghi»m duy nh§t Y = ( 1; 2; :::; n; n+1) cıa h»:

n

X

=1

9V‰ dö 1.4 ÷a b i to¡n sau ¥y v• d⁄ng ch‰nh t›c:

ƒu ti¶n ta ÷a th¶m hai 'n phö x7

buºc v• d⁄ng flng thøc Ta câ b i to¡n:

Tâm l⁄i: Måi b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh •u câ th” ÷a v• d⁄ng ch

‰nh t›c, ho°c d⁄ng chu'n t›c nhí c¡c ph†p bi‚n Œi ìn gi£n sau:

1 Thay mºt bi‚n xj khæng câ r ng buºc v• d§u b‹ng hi»u cıa hai

j j=1

Chó þ 1.1 Khæng gi£m t‰nh tŒng qu¡t, Łi vîi b i to¡n quy ho⁄chtuy‚n t‰nh d⁄ng ch‰nh t›c, ta °t mºt sŁ gi£ thi‚t sau:

n

1 H» r ng buºc X

aijxj = bi; i = 1; 2; :::; m gçm câ m ph÷ìng tr…nh

j=1

câ duy nh§t nghi»m ho°c khæng câ nghi»m Do â v§n • t…m

ph÷ìng ¡n tŁi ÷u l væ ngh¾a;

max(F (x)) = min( F (x)):

1.2 B i to¡n v“n t£i

Gi£ sß câ m kho h ng (gåi l c¡c tr⁄m ph¡t) v n i”m ti¶u thö (gåi l c¡ctr⁄m thu) Kh£ n«ng cung c§p h ng ð kho thø i t÷ìng øng l ai ìn và, i =1; 2; :::; m v nhu cƒu ti¶u thö ð i”m thø j l bj ìn và,

ng v i”m ti¶u thö nh“n ı sŁ h ng ho¡ theo nhu cƒu

Kþ hi»u xij l sŁ h ng cƒn v“n chuy”n tł i”m i ‚n i”m j (i = 1; 2; :::; m; j

= 1; 2; :::; n; xij 0) Khi â ph÷ìng ¡n v“n chuy”n h ng ho¡ l mºt ma tr“nthüc c§p m n, X = (xij) v c÷îc ph‰ v“n chuy”n h ng ho¡ l :

Chó þ 1.2.1 Mæ h…nh n y l mºt b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh ð d⁄ng

ch‰nh t›c nh÷ng câ c§u tróc °c bi»t MØi 'n câ m°t trong haiph÷ìng tr…nh cıa h» r ng buºc v t§t c£ c¡c h» sŁ cıa 'n trong h»

ph÷ìng ¡n cıa b i to¡n v“n t£i n‚u c¡c gi¡ trà cıa nâ tho£ m¢n çng thíi

c¡c i•u ki»n r ng buºc (1.13), (1.14), (1.15) Mºt ph÷ìng ¡n ÷æc gåi l

ph÷ìng ¡n tŁi ÷u (hay l nghi»m) v kþ hi»u l Xopt n‚u nâ l m h m möc

m + n 1 th… ph÷ìng ¡n cì sð gåi l khæng suy bi‚n, n‚u sŁ æ nhä thua

m + n 1 th… ph÷ìng ¡n cì sð gåi l suy bi‚n

N‚u ph÷ìng ¡n cì sð l suy bi‚n th… ta câ th” bŒ sung v o t“p H

th¶m mºt sŁ æ suy bi‚n vîi gi¡ trà xij = 0 sao cho t“p H câ óng m + n 1

æ v khæng chøa chu tr…nh ˘ chån lo⁄i n y gåi l æ chån 0

Do v“y ta luæn câ th” gi£ thi‚t ph÷ìng ¡n cì sð X øng vîi t“p H

luæn câ óng m + n 1 æ chån v khæng chøa chu tr…nh

1.3.2 Cì sð lþ lu“n cıa thu“t to¡n

ành lþ 1.2 Gåi C = (cij) l ma tr“n c÷îc ph‰ cıa b i to¡n v“n t£i (i = 1;

2; :::; m; j = 1; 2; :::; n) N‚u ta cºng v o mØi phƒn tß cıa h ng i mºt sŁ

ri v cºng v o mØi phƒn tß cıa cºt j mºt sŁ sj tòy þ, ta s‡ ÷æc mºt b i

to¡n v“n t£i mîi, t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n v“n t£i ban ƒu câ còng ph÷ìng

¡n tŁi ÷u

Chøng minh N‚u thay C = (cij) bði ma tr“n C0 = (cij +ri +sj) ta ÷æc

b i to¡n v“n t£i mîi ch¿ kh¡c b i to¡n ð h m möc ti¶u, cÆn t§t c£ c¡c r

ng buºc •u giŁng nhau Ta câ:

Suy ra h m möc ti¶u cıa hai b i to¡n ch¿ kh¡c nhau óng mºt h‹ng

sŁ Do â n‚u X l nghi»m cıa b i to¡n ban ƒu th… X công l nghi»m cıa

b i to¡n mîi v ng÷æc l⁄i

Tr¶n cì sð cıa ành lþ 1.2 ta câ th” t…m ph÷ìng ¡n tŁi ÷u b‹ng c¡ch

quy 0 æ chån, tøc l bi‚n c÷îc ph‰ cıa c¡c æ chån trong mºt ph÷ìng

H» ph÷ìng tr…nh (1.16) câ m + n 'n, nh÷ng ch¿ câ m + n 1ph÷ìng tr…nh ºc l“p vîi nhau, n¶n h» nghi»m phö thuºc óng mºt tham

sŁ v luæn luæn câ væ sŁ nghi»m Do â ta s‡ chån tham sŁ â b‹ng 0

” t‰nh nhanh c¡c 'n cÆn l⁄i Vi»c gi£i h» ph÷ìng tr…nh (1.16) gåi lquy 0 æ chån

ành lþ 1.3 Gi£ sß X = (xij) l mºt ph÷ìng ¡n cì sð vîi t“p hæp c¡c æchån H v cij = 0 vîi (i; j) 2 H

1 N‚u cij > 0 vîi måi æ (i; j) 2= H th… X l ph÷ìng ¡n tŁi ÷u;

2 N‚u câ ‰t nh§t mºt sŁ cij < 0 vîi æ (i; j) 2= H th… X khæng l ph÷ìng ¡n tŁi ÷u Khi â ta câ th” x¥y düng ÷æc mºt ph÷ìng ¡n cì sð mîi X0tŁt hìn ph÷ìng ¡n X

Chøng minh 1 °t z = F (c) V… c¡c cij = 0 vîi (i; j) 2 H, n¶n:

2 Gi£ sß tçn t⁄i cio j o < 0 vîi æ (io; jo) 2= H Khi â t“p hæp H [ f(io;

jo)g s‡ chøa óng mºt chu tr…nh duy nh§t V v sŁ æ cıa chu tr…nh lchfin

B›t ƒu tł æ (io; jo) ta ¡nh sŁ thø tü tł sŁ 1 cho chu tr…nh V Khi â

sŁ c¡c æ tr¶n V chia th nh hai lîp Kþ hi»u V c l t“p hæp c¡c æ chfin,

Trong chu tr…nh V s‡ câ mºt æ chån t÷ìng øng vîi gi¡ trà o =minfxij, (i; j) 2 V cg bà lo⁄i ra v th¶m v o mºt æ (io; jo) 2= H øng vîi cio j o <

0 Ta s‡ ÷æc mºt ph÷ìng ¡n mîi X0 câ óng m + n 1 æ chån v khængchøa chu tr…nh V“y n¶n, X’ l mºt ph÷ìng ¡n cì sð

V… ci o j o < 0, n¶n z0 = ci o j o o < 0 = z, n¶n ph÷ìng ¡n X0 tŁt hìn X.i•u ph£i chøng minh

Chó þ 1.3 N‚u ph÷ìng ¡n cì sð X l khæng suy bi‚n th… o > 0, do â X0

thüc sü tŁt hìn X N‚u X suy bi‚n th… o câ th” b‹ng 0, trong tr÷íng

hæp n y X0 tŁt b‹ng X C£ hai tr÷íng hæp X0 l ph÷ìng ¡n ch§p nh“n

־c

ành lþ 1.3 x¡c ành mºt d§u hi»u tŁi ÷u cıa c¡c ph÷ìng ¡n cì sð v •

ra mºt ph÷ìng ph¡p, thu“t to¡n ” i•u ch¿nh ph÷ìng ¡n cì sð cho gƒn ‚n

ph÷ìng ¡n tŁi ÷u hìn

1.3.3 Thu“t to¡n ph¥n phŁi

Thu“t to¡n ph¥n phŁi t…m ph÷ìng ¡n tŁi ÷u cıa b i to¡n v“n t£i gçm

N‚u c0ij 0; (i; j) 2= H, th… X l ph÷ìng ¡n tŁi ÷u;

N‚u tçn t⁄i ‰t nh§t mºt sŁ c0ij < 0; (i; j) 2= H, th… ta thüc hi»n i•u

ch¿nh ” x¡c ành mºt ph÷ìng ¡n cì sð mîi X0 khæng x§u hìn X, trong â

æ (io; jo) l mºt æ chån trong ph÷ìng ¡n cì sð mîi X0;

B÷îc 3 X¡c ành æ ÷a v o trong sŁ c¡c æ lo⁄i m c÷îc ph‰ gi£ ¥m

câ gi¡ trà nhä nh§t, gi£ sß â l æ (i ; j ) T…m æ ÷a ra trong sŁ c¡c æ

chån thuºc H X¡c ành chu tr…nh V gçm c¡c æ chån thuºc H v i qua

æ (i ; j ), æ (i ; j ) chia V th nh t“p ¿nh chfin V c v t“p ¿nh l· V l, trong

â (i ; j ) 2 V l ˘ ÷a ra l æ (io; jo) m câ o = minfxij; (i; j) 2 V cg;

B÷îc 4 X¥y düng ph÷ìng ¡n mîi X0 = (x0ij) nh÷ sau:

tŁi ÷u hay khæng Qu¡ tr…nh s‡ dłng l⁄i khi x¡c ành ÷æc ph÷ìng ¡n

tŁi ÷u Xopt

Câ nhi•u ph÷ìng ¡n t…m ph÷ìng ¡n cì sð ban ƒu Trong möc n y ta

ch¿ t…m hi”u ph÷ìng ¡n ÷u ti¶n theo ti¶u chu'n câ læi nh§t hay ph÷ìng

¡n ÷u ti¶n æ câ c÷îc ph‰ nhä nh§t Nºi dung ÷æc mæ t£ d÷îi ¥y

Gi£ sß crk l câ gi¡ trà b† nh§t trong ma tr“n c÷îc ph‰ C = (cij) Ta

s‡ ÷u ti¶n ph¥n phŁi v o æ n y luæng h ng tŁi a câ th” ÷æc, tøc l :

ph¡t r ÷æc ph¥n phŁi cho tr⁄m thu thø k Do â tr⁄m ph¡t r khæng cÆn

kh£ n«ng ph¥n phŁi h ng cho c¡c tr⁄m thu j 6= k Vi»c ph¥n phŁi h ng

v o c¡c tr⁄m ð h ng r ¢ ho n th nh Tr¶n cºt thø k cÆn nhu cƒu l bk ar

Ta l⁄i ti‚p töc thüc hi»n ph¥n phŁi theo nguy¶n t›c tr¶n Łi vîi phƒn

cÆn l⁄i cho ‚n h‚t

Tr÷íng hæp thø hai ÷æc thüc hi»n t÷ìng tü Cºt thø k ¢ nh“n ı sŁ

h ng theo nhu cƒu, kh£ n«ng cung c§p h ng ð tr⁄m ph¡t r l ar bk

Ph÷ìng ¡n ÷æc x¥y düng nh÷ tr¶n l khæng chøa chu tr…nh, do â

nâ l mºt ph÷ìng ¡n cì sð Trong tr÷íng hæp ch÷a ı m + n 1 æ chån

Ta câ C130 = 5, f(x) = 830 ch÷a ph£i l gi¡ trà tŁi ÷u ˘ (1,3) l æ duy

nh§t câ c÷îc ph‰ gi£ ¥m, n¶n ta chån æ (1,3) ” ÷a v o chu tr…nh

x¥y düng ph÷ìng ¡n mîi trong b£ng sau:

V… c0ij 0; 8(i; j) n¶n fmin = 730

1.4 C¡c d⁄ng kh¡c cıa b i to¡n v“n t£i

1.4.1 B i to¡n v“n t£i khæng c¥n b‹ng thu ph¡t

N‚u a 6= b th… b i to¡n khæng câ ph÷ìng ¡n Tuy nhi¶n thüc

t‚ khæng Æi häi ph£i chð h‚t h ng tł c¡c tr⁄m ph¡t mîi ¡p øng y¶u cƒu

c¡c tr⁄m thu hay tr¡i l⁄i câ th” l÷æng h ng ð c¡c tr⁄m ph¡t khæng ¡p øng

÷æc y¶u cƒu c¡c tr⁄m thu Khi â ta th¶m tr⁄m thu gi£ am+1 ho°c tr⁄m

ph¡t gi£ bn+1 b‹ng ch¶nh l»ch giœa tŒng thu v tŒng ph¡t:

am+1 = b a n‚u a < bho°c

bn+1 = a b n‚u a > bL÷æng h ng v“n chuy”n tł tr⁄m ph¡t ai ‚n tr⁄m thu gi£ bn+1, ngh¾a l

l÷æng h ng â ÷æc giœ l⁄i ai v l÷æng h ng chuy”n tł tr⁄m ph¡t gi£ am+1

‚n tr⁄m thu bj ngh¾a l t⁄i bj l÷æng h ng §y khæng ÷æc tho£ m¢n

T§t nhi¶n c÷îc ph‰ c¡c æ tr¶n tr⁄m gi£ b‹ng khæng

C÷îc ph‰ ð c¡c tr⁄m gi£ b‹ng khæng, th÷íng nhä nh§t, nh÷ng v¤n

÷u ti¶n ph¥n phŁi cho c¡c æ câ c÷îc ph‰ d÷ìng nhä nh§t ð c¡c æ

khæng ph£i cıa tr⁄m gi£, cuŁi còng h ng cÆn l⁄i ph¥n phŁi v o c¡c æ

cıa tr⁄m gi£

V‰ dö 1.6 a = 120, b = 100 Th¶m tr⁄m thu gi£ vîi b4 = 20

X†t b i to¡n v“n t£i d⁄ng cüc ⁄i max

:

V‰ dö 1.7 B i to¡n ph¥n phŁi lao ºng: Mºt cæng ty v“n t£i bi”n cƒn

tuy”n 110 ng÷íi ” bŁ tr‰ 10 ng÷íi l m m¡y tr÷ðng (MT), 25 thæ 1, 30

Cƒn bŁ tr‰ sao cho sß döng tŁi a n«ng lüc cıa måi ng÷íi

¥y l b i to¡n v“n t£i d⁄ng max khæng c¥n b‹ng thu ph¡t ÷a v o

c023 = 2; f(x) = 380 ch÷a ph£i l gi¡ trà tŁi ÷u ˘ (23) l æ câ c÷îc ph

‰ gi£ ¥m lîn nh§t, ta chån æ n y ” ÷a v o chu tr…nh x¥y düng

ph÷ìng ¡n mîi trong b£ng sau:

c0ij 0 vîi måi 1 i; j 4 Do â, ta suy ra, ¥y l ph÷ìng ¡n tŁi ÷u v fmax =

400 V“y câ ph÷ìng ¡n ph¥n phŁi lao ºng tŁi ÷u nh÷ sau:

V‰ dö 1.8 (B i to¡n bŒ nhi»m) Cƒn ph¥n n vi»c cho n ng÷íi Ng÷íi i

l m vi»c j th… n«ng su§t l cij (i; j = 1; :::; n) H¢y ph¥n cæng vi»c cho

n ng÷íi ” tŒng n«ng su§t cao nh§t

°t xij = 1 n‚u ng÷íi i l m vi»c j; ng÷æc l⁄i °t xij = 0 B i to¡n n y cÆn

gåi l b i to¡n quy ho⁄ch nguy¶n 0 1 B£ng n«ng su§t ÷æc cho d÷îi ¥y: