Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————-LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————-LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH

VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————-LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH

VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 9460112.01

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn

2 GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tôi được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh.Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giảkhi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng đượccông bố trên bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 01 năm 2020

Tác giả

Lê Văn Ngọc

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS TSKHNguyễn Khoa Sơn và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Đầu tiên, tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài toán,dạy dỗ, chỉ bảo tận tình,chu đáo không chỉ trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học mà còn trongcuộc sống suốt quá trình thực hiện luận án

Để hoàn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GShướng dẫn và đồng tác giả PGS TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã nhậnđược sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS TSKH Vũ HoàngLinh, ThS Nguyễn Huyền Mười

Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, tập thể cácThầy Cô giáo trong bộ môn Toán học Tính toán-Toán ứng dụng, Xêmina bộmôn Toán học Tính toán- Toán ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và cónhững ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập vàlàm luận án

Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, cácThầy Cô giáo bộ môn Toán và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học việnCông nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp

đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án

Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TS ĐặngQuang Á, GS TS Cung Thế Anh, PGS Nguyễn Minh Mẫn, PGS TS Lê VănHiện, PGS TS Tạ Duy Phượng, PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn TrungHiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đã đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến

để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn

Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về toán (VIASM) đãtạo điều kiện, giúp đỡ không chỉ bố trí nơi làm việc, hoàn thiện bài báo cùngvới Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa họcthông qua thưởng công trình cho chính bài báo vào năm 2020 Bên cạnh đó tôixin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp và nhữngngười quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và làm nghiên cứu sinh.

Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của mình:

bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh, chia sẻ

và động viên để tôi cố gắng và hoàn thành tốt luận án

tính 261.3.2 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến

tính có trễ 281.4 Kết luận chương 1 33

Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN

2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính 342.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp

hàm Lyapunov toàn phương 342.1.2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương

pháp hàm Lyapunov toàn phương 382.1.3 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách

tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm 45

2.2 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 562.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 562.2.2 Cận dưới bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến

tính có trễ 632.3 Kết luận chương 2 73

Chương 3 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC VỮNG CỦA

HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN

3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắcchuyển tuần hoàn 743.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần

hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 763.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần

hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyểnmạch 863.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tínhvới quy tắc chuyển tuần hoàn 923.3 Kết luận chương 3 103

I Ma trận đơn vị có chiều tương thích

A∗ Ma trận phức liên hợp chuyển vị của ma trận A

λmax(A) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A với A là

ma trận đối xứng hoặc Hermit

λmin(A) Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận A với A là

ma trận đối xứng hoặc Hermit

C([α , β],Kn) Không gian các hàm liên tục trên đoạn[α , β], nhận

giá trị trongKn với chuẩnkxk = max

quadratic Lyapunov functions)FDEs Phương trình vi phân hàm (functional

differential equations)

Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhànghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đâytiêu biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra,

2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); G ¨okcek, 2004 ( [24]); Lin và Antsaklis, 2005( [43]) (xem các bài tổng quan về ổn định và điều khiển của hệ chuyển mạch( [44], [68])) Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về ổnđịnh và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N Phat và cộng sự, 2006 ( [63]);P.K Anh và P.T Linh, 2017 ( [5])

Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệthống cơ khí, ngành công nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi nănglượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71])

Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ conthời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó Dưới biểudiễn toán học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mô tả bằngphương trình vi phân dạng

˙x = fσ(x), t ≥ 0, x(t) ∈ Kn, σ ∈ Σ, (1)trong đóK = R hoặc K = C, N := {1, 2, , N} tập chỉ số,Σ là tập hợp cáchàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng

thái), σ : [0,+∞) ×Kn → N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển mạch Trong trường hợp σ là hàm phụ thuộc thời gian thì σ thường được giả

thiết liên tục phải Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ con dạng

˙x = fk(x), k ∈ N, (2)trong đó F := {fk(x) : k ∈ N} là một họ hữu hạn các trường vectơ liên tụcLipschitz

Một trong các bài toán quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ chuyển mạch

là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyểnmạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãncác ràng buộc cho trước Các kết quả về bài toán này đã được trình bày trongcác bài báo tổng quan (xem Shorten [68] và cộng sự, Lin và Antsaklis [44]).Các phương pháp được sử dụng chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov, bấtđẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie Dưới đây chúng tôi xin dẫn

ra một vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính.Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời giantrongKn dạng

˙x(t) = Aσ(t)x(t), t ≥0, x(t) ∈Kn, σ∈ Σ, (3)trong đó Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ Kn × n, k ∈ N }, t ≥0, là tập hữu hạn cho trướccác ma trận vuông cấp n trên trườngK Khi đó, nghiệm x =0 của hệ chuyểnmạch (3) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con

˙x(t) = Akx(t), t≥ 0, x(t) ∈ Kn, k ∈ N , (4)

có hàm Lyapunov toàn phương chung (gọi tắt là CQLF) dạng V(x) = x∗Px, P

là ma trận Hermit xác định dương (xem [41]) Nói cách khác, tồn tại ma trậnHermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính:

A∗kP+PAk < 0, k =1, 2, , N,trong các trường hợp khi tất cả các ma trận Ak của hệ con đều ổn định Hur-witz (tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặtphẳng phức) và giao hoán từng đôi một (được đưa ra bởi Narendra và Bal-akrishnan [57]) hoặc chuẩn tắc (xem Zhai và cộng sự [76]) hoặc cùng đưa được

về dạng ma trận tam giác trên (tức là tồn tại một ma trận không suy biến T

cấp n sao cho tất cả các ma trận T−1AkT, k ∈ N đều là ma trận tam giác trên,xem Mori và cộng sự [55]) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo bởi

ma trận hệ con Ak, k ∈ N (xem Agrachev và Liberzon [4]).Tuy nhiên đây chỉ

là các điều kiện đủ và một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính

ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và Pyatnitskiy(xem [56]) đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V(x) chung, trong đó V làhàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x

Bên cạnh hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định vữngcác hệ không chuyển mạch và không chắc chắn hoặc chứa tham số nhiễu

đã nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lý thuyết điều khiển hệ thốngnhững thập kỷ qua

Với hệ ổn định tiệm cận ˙x(t) = A0x(t), t ≥ 0, người ta đo độ vững cho tính

ổn định tiệm cận đó bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số

δ0 ≥ 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu ˙x(t) = (A0+∆)x(t), t≥ 0, vẫn ổn định tiệmcận với bất cứ nhiễu ∆ ∈ Kn thỏa mãnk∆k < δ0 Trong trường hợp K = C,

các công thức và thuật toán tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và Pritchard đưa ra năm 1986 (xem [33]) Bài toán tương tự cho bán kính ổn định thực(tức là khi K = R) phức tạp hơn và được nghiên cứu những năm 1995

bởi Qiu và cộng sự [64]

Về mặt hình học, bán kính ổn định là khoảng cách từ hệ gốc ổn định đếntập tất cả các hệ không ổn định Xuất phát từ quan điểm lý thuyết cũng nhưthực tiễn, vấn đề mô tả và tính toán bán kính ổn định có tầm quan trọngrất lớn Do đó, đã thu hút nhiều các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu,đáng chú ý đối với các nhiễu tổng quát hơn, ví dụ nhiễu có cấu trúc A0

A0 +D∆E và đa nhiễu A0 A0+ ∑N

i = 1

Di∆iEi cho nhiều hệ động lực tuyếntính, bao gồm hệ không dừng và hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương cũng như hệtuyến tính trong không gian vô hạn chiều, trong cả thời gian liên tục và rờirạc Bài toán ổn định vững của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu đượcviết có hệ thống trong cuốn chuyên khảo của Hinrichsen và Pritchard năm

2005 (xem [35]), ngoài những kết quả thú vị về toán học còn có một danh mụctài liệu tham khảo phong phú Ngoài ra, một số kết quả ổn định vững của hệkhông dừng đã được nghiên cứu (xem [16], [30], [37], [45])

Một câu hỏi đặt ra liệu có thể xác định thước đo độ vững (bán kính ổnđịnh) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay không? Hơn nữa, làm thế nào để

mô tả và tính toán được bán kính ổn định đó? Theo chúng tôi, câu hỏi nhưvậy cho đến nay chưa được giải quyết, mặc dù các khía cạnh phân tích ổnđịnh vững của lớp hệ chuyển mạch đã được nghiên cứu bởi một số nhóm tácgiả như Liberzon; Y Sun; Letel; Bagherzadeh; Zhang và các cộng sự (xem [6],[28], [41], [71], [75], [77]) Luận án này sẽ trả lời một phần cho các câu hỏi trên.Phần đầu Chương 2, chúng tôi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định cho hệchuyển mạch tuyến tính (3) với quy tắc chuyển bất kỳ giả thiết ma trận củacác hệ con (4) chịu nhiễu Ak Ak+Dk∆kEk, k ∈ N và sẽ thiết lập một số cậntrên và cận dưới cho bán kính ổn định Trong một số trường hợp đặc biệt, cáccận này đưa ra công thức bán kính ổn định cho một số lớp hệ chuyển mạchtuyến tính chịu nhiễu không có cấu trúc Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằnghầu hết các công trình đã biết về ổn định vững của hệ chuyển mạch luôn giảthiết ma trận nhiễu∆k bị ràng buộc Các kết quả của luận án không yêu cầugiả thiết nói trên, do đó đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt.

Tiếp theo, Chương 2 của Luận án nghiên cứu bài toán ổn định vững đốivới các hệ chuyển mạch tuyến tính được mô tả bởi phương trình vi phân cótrễ Trong đó, tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạngthái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái trong quá khứ.Cho đến nay, hầu hết các công trình trong lĩnh vực này đã tập trung vào phântích độ ổn định cho các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng

˙x(t) = A0σ(t)x(t) +A1σ(t)x(t−h(t)), t ≥0, σ ∈ Σ, (5)trong đó h(t) là hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > 0 cho trước thỏa mãn

0 ≤ h(t) ≤ h, t ≥ 0 (xem [48], [49]) Thông thường, việc nghiên cứu tính

ổn định của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov toàn phươngchung (CQLF) cổ điển đã được thay bằng các phương pháp hàm Lyapunov-Krasovski (xem, [38, 54, 73]) Để xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chungcho hệ có trễ dạng tổng quát là rất khó Tuy nhiên, trong trường hợp hệchuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta có thể xây dựng được hàmLyapunov đồng dương tuyến tính chung (common linear co-positive Lya-punov function) (tức là V(x) = ξ>x, ξ ∈ Rn, ξ  0) (xem [46, 50, 72]) Ngoài

ra, các tính chất phổ của ma trận không âm và kết quả lý thuyết về hệ dương(xem [9, 18, 25]) cũng được sử dụng hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định củacác hệ chuyển mạch tuyến tính dương (xem [7, 19, 20, 53])

Phần cuối Chương 2, dựa trên cùng cách tiếp cận trên, chúng tôi đưa ra

một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quátđược mô tả bởi phương trình vi phân hàm (FDEs) tuyến tính

˙x(t) = A0σ(t)x(t) +Lσ(t)xt, t ≥0, σ ∈ Σ, (6)trong đó, với mỗi t≥ 0, xt(θ) := x(t+θ), θ ∈ [−h, 0]và Lσ(t) là toán tử tuyếntính bị chặn từ C([−h, 0],Rn) vào Rn Các tiêu chuẩn thu được sẽ bao gồmnhiều kết quả đã biết (liên quan đến sự ổn định tiệm cận của các hệ chuyểnmạch trễ rời rạc và trễ phân phối) như là các trường hợp đặc biệt Áp dụng kếtquả này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyếntính có trễ tổng quát dạng (6) với luật chuyển bất kỳ khi dữ liệu của hệ A0σ, Lσchịu nhiễu cấu trúc và đưa ra một số ước lượng cho các bán kính ổn định.Song song với hướng nghiên cứu bài toán ổn định vững hệ chuyển mạchvới quy tắc chuyển bất kỳ, bài toán ổn định vững đối với các lớp tín hiệuchuyển mạch thỏa mãn các điều kiện hoặc ràng buộc, đặc biệt là các hệ chuyển

mạch tuần hoàn cũng được nghiên cứu nhiều Trong thực tế, hệ chuyển mạch

tuần hoàn đóng vai trò quan trọng, chẳng hạn như trong mạch điện, bộ điềukhiển, bộ lọc chuyển đổi và hộp số xe đã được đưa ra bởi Bolzern & Colaneri;Tokarzewski (xem [10,74]) Mô hình toán học của hệ chuyển mạch với quy tắcchuyển tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân

Hệ (7) có thể được biểu diễn dưới dạng hệ chuyển mạch (3) với tín hiệu

chuyển mạch σ là hàm liên tục phải, tuần hoàn chu kỳ T, hằng từng khúc

Đến năm 2009, Liberzon và Trenn (xem [42]) nghiên cứu và đưa ra kết quả

về hệ chuyển mạch suy biến dạng

Eσ(t) ˙x(t) = Aσ(t)x(t), t ≥0, σ ∈ Σ, (8)

trong đó, Eσ(t) là tập hữu hạn các ma trận suy biến.

Trong Chương 3, luận án đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định hệ chuyểnmạch tuyến tính (7) với quy tắc chuyển tuần hoàn và thiết lập một số ướclượng bán kính ổn định dưới tác động của nhiễu lên cả hệ thống và các thờiđiểm chuyển mạch

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóađược vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháphàm Lyapunov toàn phương chung nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ

và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa được vữngcủa hệ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ chuyển mạch tuyếntính thời gian liên tục với luật chuyển phụ thuộc thời gian chịu nhiễu cấu trúcaffine sau đây:

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp của lý thuyết ổn định phương trình viphân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết Floquet),các phương pháp giải tích, giải tích hàm và đại số tuyến tính (lý thuyết Perron-Frobenius, Định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, )

5 Kết quả của luận án

Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa được vữngcho hệ chuyển mạch tuyến tính và đã thu được các kết quả chính sau:

• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch tuyếntính với tín hiệu chuyển bất kỳ Đánh giá bán kính ổn định của hệ dựatrên hàm Lyapunov toàn phương chung.

• Chứng minh một số điều kiện đủ về ổn định mũ cho hệ chuyển mạchtuyến tính có trễ tổng quát với tín hiệu chuyển bất kỳ được mô tả bởiphương trình vi phân hàm và sử dụng điều kiện thu được để đánh giá

độ ổn định vững của hệ khi các ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine

• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá các cận của bánkính ổn định và ổn định hóa được vững cho hệ chuyển mạch tuyến tínhvới quy tắc chuyển tuần hoàn

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ môn Toánhọc tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

- Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 25/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì, HàNội, 20-22/4/2017) và lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019)

23 The second Vietnam International Applied Mathematics Conference, HCMCity, 12-2017

- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018

- European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, May 12-15, 2020

Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Applied ematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory & Applications (xem

Math-[CT2]), tiền ấn phẩm (xem [CT3])

6 Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục các công trình công

bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một

số khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, chuẩn toán tử tuyến tính vàmột số kết quả bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình

vi phân tổng quát, hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ chuyển mạchtổng quát cũng như hệ chuyển mạch tuyến tính; bài toán ổn định vững các hệ

chịu nhiễu đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình viphân có trễ.

Chương 2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắcchuyển mạch bất kỳ Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chúng tôi thiếtlập các điều kiện đủ ổn định mũ Tiếp theo, chúng tôi sử dụng điều kiện ổnđịnh mũ thu được đánh giá độ ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính

và hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ thông qua khái niệm bán kính ổn định

có cấu trúc

Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạchtuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn Chúng tôi đưa ra định nghĩa bánkính ổn định của hệ chuyển mạch chịu nhiễu cấu trúc hệ thống hoặc nhiễu cả

hệ thống và các thời điểm chuyển mạch Từ đó, chúng tôi đưa ra đánh giá cậntrên/dưới cho các bán kính ổn định Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm, cácđịnh lý về ổn định hóa được nhanh và ổn định hóa được chậm của hệ chuyểnmạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả

đã biết về lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung, các bài toán về ổnđịnh vững của hệ tuyến tính và một số kết quả bổ trợ sử dụng trong luận án(xem [1, 2, 17, 24, 35, 41, 71])

1.1 Vectơ và ma trận

Cho các số nguyên dương l, q và tập hợp tất cả các ma trận cỡ l ×q vớicác phần tử trong K (K = C hoặc K = R) được kí hiệu bởi Kl × q Đối vớihai ma trận thực cỡ l×q là A = (aij) và B = (bij) bất đẳng thức A ≥ B cónghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l := {1, 2, , l}, j ∈ q := {1, 2, , q} Đặc biệtnếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q thì ta viết A  B thay cho A ≥ B Ma trận

A = (aij) ∈ Rl × q được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥0 với mọi i ∈ l, j ∈ q

(tương tự chúng ta cũng phát biểu cho các vectơ) Ma trận A = (aij) đượcgọi là đối xứng nếu A = A> = (aji), ma trận chuyển vị của A và gọi làHermit nếu A = A∗ = (¯aji), ma trận phức liên hợp chuyển vị của A Với

x = (x1, x2, , xm)> ∈ Rm và P = (pij) ∈ Rl × q ta định nghĩa giá trị tuyệt đối

của vectơ và ma trận như sau |x| = (|x1|,|x2|, ,|xm|)> và |P| = (|pij|) Chotrước hai ma trận C và D (với kích thước phù hợp) chúng ta kiểm tra được

|C+D| ≤ |C| + |D|và|CD| ≤ |C||D|.

Định nghĩa 1.1 (xem [17]) Cho X là không gian vectơ trên trường K Ánh xạ

k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) kxk ≥0,∀x ∈ X,kxk = 0⇔ x= 0;

ii) kλxk = |λ|kxk, ∀x ∈ X,∀λ ∈ K;

iii) kx+yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X.

Giá trị kxk được gọi là chuẩn của vectơ x Không gian vectơ X cùng vớichuẩn k · k được gọi là một không gian định chuẩn và kí hiệu (X,k · k) Một

không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.

Chẳng hạn nhưKn là một không gian Banach với một trong các chuẩn sau

Trên không gian Kn mọi chuẩn vectơ là tương đương, có nghĩa là, nếu

k · k1 và k · k2 là các chuẩn xác định trên cùng một không gian vectơ Kn khi

đó tồn tại các số dương α và β sao cho αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 với mọi x ∈ Kn

(xem [36])

Sau đây chúng ta đưa ra một số khái niệm về ma trận Cho ma trận

A ∈ Kn × n ta định nghĩa và kí hiệu hoành độ phổ, bán kính phổ của A lầnlượt là

µ(A):=max{Reλ : λ ∈ λ(A)},

ρ(A) :=max{|λ| : λ ∈ λ(A)},

trong đó λ(A) := {z ∈ C : det(zI−A) = 0 là phổ của ma trận A (tập hợptất cả các giá trị riêng của A) Nếu ma trận A ∈ Kn × n là ma trận đối xứng(A= A>) hoặc Hermit (A = A∗) thì các giá trị riêng của A đều là số thực

Định nghĩa 1.2. Một ma trận thực cấp n được gọi là ma trận Metzler nếu cácphần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm Điều đó có nghĩa là matrận A := aij
∈ Rn × n, i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với

Nói cách khác, ma trận A ∈ Rn × n là ma trận Metzler khi và chỉ khi tồn tại số

α ≥ 0 sao cho A+αI ∈ Rn × n

+ Từ đó suy ra phổ của ma trận A sẽ nhận đượcbằng cách dịch chuyển sang trái phổ của ma trận không âm A+αI Do đócác ma trận Metzler có nhiều tính chất phổ tương tự như ma trận không âm,trong đó có định lý nổi tiếng Perron-Frobenius

Định lý 1.1 (Định lý Perron-Frobenius ) Giả sử A ∈ Rn × n là ma trận Metzler

và t∈ R Khi đó

i) µ(A)là một giá trị riêng của A và tồn tại một vectơ không âm x∈ Rn

+, x 6= 0

sao cho Ax =µ(A)x

ii) Giả sử α ∈ R cho trước Khi đó, tồn tại một vectơ không âm x ∈ Rn, x 6= 0,

sao cho Ax ≥αx khi và chỉ khi µ(A) ≥ α

iii) (tI−A)−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t >µ(A)

Từ định lý trên suy ra kết quả sau đây sẽ được sử dụng nhiều trong Chương

ra ii) Cuối cùng giả sử rằng ii) đúng Vì A> cũng là ma trận Metzler, theoĐịnh lý 1.1 i) tồn tại x ≥ 0, x 6= 0 sao cho x>A = µ(A>)x> = µ(A)x> Do

µ(A)x>p= x>Ap <0 và µ(A) < 0 nên từ ii) suy ra i)

Dễ dàng chứng minh kết quả sau đây (xem [65])

Bổ đề 1.1 Giả sử A ∈ Rn × n là ma trận Metzler, B ∈ Rn × n

+ và C ∈ Cn × n Khi đó,

|C| ≤ B ⇒ µ(A+C) ≤ µ(A+B) (1.2)

Định nghĩa 1.3. (Chuẩn toán tử của ma trận)Cho ma trận M ∈ Kl × q chuẩncủa toán tử tuyến tính M : Kq → Kl, x 7→ Mxxác định bởi

TrênKqvàKl được trang bị chuẩnk · k1 thì chuẩn toán tử của ma trận

M = (mij) ∈ Kl × q được cho bởi kMk1 = max

k · k∞ thì chuẩn toán tử của M được cho bởi kMk∞ = max

k · k2 thì chuẩn toán tử của M được cho bởi kMk2 = pλmax(A∗A), trong đó

λmax(A∗A)là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A∗A(xem [36])

Cũng như chuẩn vectơ, mọi chuẩn toán tử của ma trận trên Kl × q đềutương đương

Giả sử Kl và Kq được trang bị các chuẩn đơn điệu khi đó chuẩn toán tửtương ứngk · kcủa ma trận trênKl × q có tính chất sau (xem [32])

P ∈ Kl × q, Q∈ Rl+×q, |P| ≤ Q ⇒ kPk ≤ k|P|k ≤ kQk. (1.3)Phần cuối mục này, chúng tôi trình bày một số bổ đề cần thiết để chứngminh các kết quả chương 3 của luận án

Bổ đề 1.2 Cho ma trận A ∈ Kn × n và ma trận eAđược định nghĩa:

s1(eA∗eA) ≤ s1meA

∗

m eAm

.Cho m → ∞ và sử dụng tích Lie

eA+B = lim

m → ∞(e

A

memB)m,chúng ta có

Cho ma trận Hermit D ∈ Cn × n Ký hiệu λmax(D)là giá trị riêng lớn nhất của

ma trận D Ta luôn có λmax(D) = max

k v k= 1vTDv(xem [8]) Hơn nữa, ta có bổ đềsau

Bổ đề 1.3 Cho A, B là các ma trận Hermit Khi đó

i) λmax(A+B) ≤ λmax(A) +λmax(B);

ii) −λmax(A) ≤ λmax(−A);

iii) Chú ý rằng A là ma trận Hermit thì eAcũng là ma trận Hermit

b) Hàm f(x, y) = x+yliên tục và bức trênΩ vì

(x, y) ∈ Ω,k(x, y)k → ∞=⇒ f(x, y) = x+y → ∞

Hàm f(x, y) liên tục và bức trên tập đóngΩ do đó đạt cực tiểu trên Ω, nghĩa

là bài toán có nghiệm cực tiểu Để tìm cực tiểu của bài toán, ta dùng điều kiệncần Karush-Kuhn-Tucker (gọi tắt là KKT) (xem [3], trang 240 và [11])

Giải các hệ bất phương trình (1.6)- (1.11) để tìm các điểm KKT

Nếu λ = 0 theo hệ (1.7) và (1.9) ta có x = y = 0, trái với giả thiết (1.11) do

Do điều kiện (1.6) thỏa mãn nên αβ+γ ≤ β2.

Ngoài ra, αβ< αβ+2γ≤ β2 với α < β

Trong trường hợp này chỉ có duy nhất điểm KKT đồng thời là điểm cực tiểutoàn cục

1.2 Bài toán ổn định Lyapunov

Lý thuyết ổn định các hệ động lực được nhà toán học Nga A.M Lyapunovđặt nền móng trong các công trình kinh điển được công bố năm 1892 Ông

sử dụng một hàm số đặc trưng cho năng lượng của hệ thống và chứng minhrằng nếu hàm năng lượng này giảm dần dọc theo quỹ đạo của hệ thì trạngthái cân bằng của hệ là ổn định Cho đến nay, lý thuyết ổn định Lyapunovvẫn là một trong các công cụ hữu hiệu nhất để nghiên cứu dáng điệu tiệmcận của các hệ động lực nói chung Trong mục này sẽ dẫn ra một số kết quảquan trọng của lý thuyết Lyapunov được sử dụng trong Chương 2 để nghiêncứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính

Xét hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

˙x = f(x), t ≥0, x(t) ∈Rn, (1.13)trong đó f : D → Rn là hàm Lipschitz địa phương trên tập mở D, 0 ∈ D,

f(0) = 0 và thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi x0 ∈ Dthì (1.13) có duy nhấtnghiệm, kí hiệu x(t) := x(t, x0) thỏa mãn x(0) = x0 và xác định trên toàn

Định lý 1.3 (xem [26], Định lý Lyapunov) Xét hệ (1.13) và giả sử tồn tại hàm

khả vi liên tục V : D → R sao cho

hệ con đó Trong trường hợp phi tuyến tổng quát hệ chuyển mạch thời gianliên tục với luật chuyển phụ thuộc thời gian có thể được mô tả bởi phươngtrình sau đây

˙x = fσ(t)(x), t ≥ 0, x(t) ∈ Rn, (1.14)trong đóΣ = {σ : [0,+∞) → N}- tập các tín hiệu chuyển mạch gồm các hàmhằng từng khúc, liên tục phải với tập chỉ số N = {1, 2, , N} và fk, ∀k ∈ N

là các hàm Lipschitz trên toànRn, fk(0) = 0, ∀k ∈ N Ngoài ra, giả thiết rằng

mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ thỏa mãn

τ(σ) := inf

i ∈N(ti+1 −ti) > 0 (1.15)

(τ thường gọi là thời gian dừng (dwell time) của σ) và 0< t1 < t2 < là các

điểm gián đoạn của σ (thường gọi là các điểm chuyển mạch) Từ điều kiện trên

suy ra ti → ∞ khi i → ∞ và{ti, i = 1, 2, } không có điểm tụ trongR Như

vậy, ứng với hệ chuyển mạch (1.14) ta có N hệ con dạng

˙x = fk(x), k ∈ N (1.16)Khi đó, bằng phương pháp nối quỹ đạo của các hệ con (1.16) ta dễ thấy rằng,với mọi x0 ∈ Rn và mọi σ ∈ Σ hệ (1.14) có duy nhất nghiệm x(t) = x(t, x0, σ)

thỏa mãn (1.14), ngoại trừ các điểm chuyển mạch ti, i = 1, 2, và thỏa mãnđiều kiện ban đầu x(0) = x0 Ngoài ra x = 0 cũng là nghiệm của hệ chuyểnmạch (1.14) Tính ổn định của hệ chuyển mạch cũng được định nghĩa tương

tự như Định nghĩa 1.4 và định lý sau đây cho ta điều kiện đủ hệ chuyển mạch(1.14) ổn định

Định lý 1.4(xem [41]) Nếu tất cả các hệ con (1.16) có chung một hàm Lyapunov

Hệ (1.17) được gọi là ổn định tiệm cận nếu kx(t, x0)k → 0 khi t → ∞ Cóthể chứng minh hệ (1.17) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi hệ đó ổn định mũ(kx(t, x0)k ≤ M.e−αtkx0k,∀x0) Điều này cũng tương đương µ(A) < 0 (µ(A)

là hoành độ phổ của ma trận A) và khi đó ta nói ma trận A là ổn định Hurwitz.

Như vậy, việc kiểm tra tính ổn định tiệm cận đối với hệ tuyến tính (1.17) đượcđưa về tính giá trị riêng của ma trận A Mặc dù vậy lý thuyết Lyapunov vẫnđóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ Trongtrường hợp này, người ta thường xét hàm Lyapunov toàn phương dạng

V(x) = x>Px,

trong đó P ∈ Rn × n là ma trận đối xứng xác định dương (tức là P = P> > 0)theo nghĩa xTPx > 0, x 6= 0 Khi đó, theo Định lý 1.3 thì hệ (1.17) là ổn định

mũ nếu tồn tại ma trận P = P> >0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận

A>P+PA <0 (1.18)Định lý đảo Lyapunov cũng đúng, cụ thể: Nếu hệ (1.17) ổn định mũ thì vớimọi ma trận Q đối xứng xác định dương (Q = Q> > 0) tồn tại duy nhất matrận đối xứng xác định dương P thoả mãn phương trình (gọi là phương trìnhLyanupov)

A>P+PA= −Q

Hơn thế, ma trận P được xác định bởi

P =

+ ∞ Z

0

eAtQeA>tdt

Áp dụng kết quả trên đây và Định lý 1.4 vào hệ chuyển mạch, ta có thể suy rađiều kiện đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định mũ Xét hệ chuyển mạchtuyến tính có dạng

˙x = Aσ(t)x, t ≥0, x(t) ∈Rn, σ ∈ Σ (1.19)Ứng với hệ chuyển mạch (1.19) ta có N hệ con tuyến tính

˙x = Akx, t ≥ 0, x(t) ∈ Rn, k ∈ N (1.20)

Với mỗi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ, các điểm chuyển mạch ti, i = 1, 2,

và điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0, hệ (1.19) có duy nhất nghiệm x(t) =

x(t, x0, σ)xác định trên[t0, +∞)và biểu diễn bởi công thức

hệ chuyển mạch tuyến tính các khái niệm ổn định tiệm cận và ổn định mũ làtương đương:kx(t, x0, σ)k → 0 khi t → ∞ với mọi x0 ∈ Rn và với mọi σ ∈ Σ(xem [71]) Do đó theo Định lý 1.4, ta có ngay định lý sau đây

Định lý 1.5(xem [41]) Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P thỏa mãn

hệ bất đẳng thức ma trận

A>k P+PAk <0 với mọi k =1, 2, , N (1.21)

thì hệ chuyển mạch tuyến tính (1.19) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch

σ ∈ Σ

Khi đó, hàm V(x) = x>Px được gọi là hàm Lyapunov toàn phương chung(common quadratic Lyapunov funtion) của hệ (1.19) Nói cách khác, việc tồntại CQLF là điều kiện đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính (1.19) ổn định mũ

Nhận xét 1.2. Câu hỏi đặt ra là khi nào có thể tìm được ma trận P thỏa mãn

hệ bất đẳng thức (1.21) Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng nếu Ak,∀k ∈ N

là các ma trận Hurwitz thì có thể chứng minh được sự tồn tại hàm CQLFthêm các giả thiết: i) Các ma trận Ak,∀k ∈ N giao hoán từng cặp (tức là,với mọi k, j ∈ N ta có AkAj = AjAk (xem [57]) hoặc ii) Ak chuẩn tắc (tức là

AkA∗k = A∗kAk với mọi k) (xem [76]) hoặc iii) các ma trận Ak cùng đưa được

về dạng ma trận chéo trên bởi một ma trận không suy biến T (xem [55])

1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu

Mục này giới thiệu các kết quả về tính ổn định vững của hệ phương trình

vi phân tuyến tính dạng

˙x = Ax, t ≥0, x(t) ∈Kn (1.22)Giả thiết rằng hệ (1.22) ổn định tiệm cận, hay ma trận A là ổn định Hurwitz,

nghĩa là µ(A) < 0 Khi đó, do tính chất phụ thuộc liên tục của các giá trị riêng

của một ma trận vào các thành phần của nó, suy ra µ(A+D∆E) < 0 đối vớimọi∆ đủ bé Nói cách khác, mọi hệ nhiễu dạng

˙x = (A+D∆E)x, t ≥ 0, x(t) ∈ Kn, (1.23)đều ổn định tiệm cận với mọi∆ mà k∆k < e đủ bé, trong đó∆ ∈ Kl × q là matrận nhiễu chưa biết, D ∈ Kn × l, E ∈ Kq × n là các ma trận cho trước xác địnhcấu trúc nhiễu Bằng cách lựa chọn các ma trận cấu trúc D, E khác nhau ta

có thể mô tả các nhiễu ảnh hưởng đến tất cả các yếu tố hàng, cột hoặc thànhphần riêng lẻ của A Chẳng hạn, ta có thể chọn D = [0 01]>, E = I, để mô

tả lớp nhiễu chỉ ảnh hưởng đến hàng cuối cùng của ma trận A

Năm 1986, Hinrichsen-Pritchard (xem [34]) đã đưa ra khái niệm bán kính

ổn định có cấu trúc

Định nghĩa 1.5.

rK(A, D, E) := inf{k∆k : ∆ ∈ Kn × n, A+D∆E không ổn định Hurwitz}

(1.24)

để đo độ ổn định vững của hệ (1.22) với hệ nhiễu có cấu trúc (1.23)

Bán kính ổn định rK(A, D, E) = +∞ nếu và chỉ nếu A+D∆E là Hurwitz

ổn định với mọi nhiễu∆ ∈ Kl × q Khi các ma trận cấu trúc D =E = I sẽ nhậnđược bán kính ổn định không cấu trúc rK(A) = rK(A, I, I) (xem [33]) TừĐịnh nghĩa 1.5 ta thu được hai khái niệm bán kính ổn định phức với∆ ∈ Cl × q,bán kính ổn định thực với∆ ∈ Rl × q và rõ ràng bán kính ổn định phức là cậndưới của bán kính thực (tức là 0 < rC ≤ rR) Nói chung, hai bán kính này làkhác nhau và có ví dụ cho thấy tỷ lệ rR

rC có thể lớn tùy ý Nếu hệ (1.22) là thựchoặc A ∈ Rn × n thì việc tính toán bán kính ổn định thực (với ma trận cấu trúc

D, E thực) sẽ phức tạp hơn bán kính ổn định phức (xem [64]) Công trình vềbán kính ổn định phức (xem [33, 34]) dạng tường minh qua kết quả sau

Định lý 1.6 (xem [34]) Nếu hệ tuyến tính (1.17) ổn định tiệm cận chịu nhiễu cấu

trúc (1.23) thì bán kính ổn định phức là

rC(A, D, E) =

(sup

λ∈Rsmax

(E(ıλI−A)−1D)

)− 1

trong đó smaxlà giá trị kỳ dị lớn nhất của ma trận (xem [31, 34]) và ı là đơn vị ảo.

Đối với bán kính ổn định thực, người ta nghiên cứu, cải tiến và đưa ra một

số thuật toán số để tính toán bán kính ổn định thực

Định lý 1.7(xem [64]) Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.17) ổn định

tiệm cận Khi đó bán kính ổn định thực là

rR(A, D, E) =

(sup

Trong trường hệ dương tính bán kính ổn định trở nên đơn giản hơn (xem[32, 60, 65]).

Định lý 1.8(xem [65]) Giả sử A∈ Rn × n là ma trận Metzler và ổn định Hurwitz, các ma trận xác định cấu trúc nhiễu D ∈ Rn × l

+ , E ∈ Rq+×n (nghĩa là ma trận không âm) thì bán kính ổn định có cấu trúc thực và phức bằng nhau và có công thức

tả bởi các phương trình vi phân phiếm hàm Dưới đây chúng tôi trình bày một

số kết quả sẽ được sử dụng trong Chương 3

Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính dạng

˙x(t) = Ax(t) +

Z 0

− hd[η(θ)]x(t+θ), t ≥0, x(t) ∈ Rn, (1.28)trong đó h> 0 cố định, A ∈ Rn × n và η(·) là hàm ma trận từ[−h, 0]vàoRn × n

có biến phân bị chặn và ϕ ∈ C([−h, 0],Rn)là một điều kiện đầu của phươngtrình (1.28) xác định bởi

∀φ ∈ C([−h, 0],Rn và tích phân R−0hd[ηij(θ)]φj(θ) được hiểu theo nghĩa tíchphân Riemann-Stieltjes.

Vì hệ phương trình (1.28) xác định hoàn toàn bởi ma trận A và hàm biến

phân bị chặn η(·) nên dưới đây ta gọi tắt là hệ(A, η)

Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm δ(·) : [−h, 0] → Kp × q là có biến phân bị chặntrên đoạn [−h, 0], nghĩa là var[−h, 0]δ (·) < +∞, i ∈ p, j ∈ p và thỏa mãn

δ(−h) = 0 Khi đó ma trận

V(δ) =

var[−h, 0]δ (·)

1 ≤ γ ≤ +∞) Khi đó, dựa trên tính dương của ma trận V(δ) có thể chứngminh đượckδklà chuẩn

Kí hiệu NBV([−h, 0],Kp × q)là không gian Banach các hàm ma trận δ(·)cóbiến phân bị chặn trên[−h, 0], liên tục trái trên(−h, 0)thỏa mãn δ(−h) =0

và được trang bị chuẩn xác định bởi (1.33)

Nếu chuẩn vectơ trong cảRp vàRqlà k · k1 hoặck · k∞thì với mọi ma trận

Định lý 1.9 Giả sử η(·) ∈ NBV([−h, 0],Rn × n)và các chuẩn vectơ làk · kγ , γ =

Định lý 1.10(xem [29], định lý biểu diễn Riesz) Giả sử L : C([−h, 0],Rn) →Rn

là toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó, tồn tại duy nhất η(·) ∈ NBV([−h, 0],Rn × n)

sao cho

Lϕ =

Z 0

− hd[η(θ)]ϕ(θ), ∀ϕ ∈ C([−h, 0],Rn),

trong đó tích phân vế phải được hiểu theo Định nghĩa 1.31.

Hàm ϕ(·) : [−h, 0] → Rn được gọi là không âm và được kí hiệu ϕ ≥ 0

θ ∈ [−h, 0]khi đó, hệ (1.28) được viết lại dưới dạng

Định lý 1.11(xem [27]) Hệ (1.28) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu

det zI−A−

Z 0

− hezθd[η(θ)]

6= 0, ∀z∈ C+ := {z ∈ C : Rez ≥0}.

Nói cách khác, hệ có trễ(A, η)là ổn định mũ nếu và chỉ nếu tựa đa thức đặc trưng det H(z) = 0 không có nghiệm trên nửa mặt phẳng phức bên phải C+

với

H(z) = zI−A−

Z 0

− hezθd[η(θ)].Giả sử hệ có trễ (1.28) ổn định mũ và chịu nhiễu cấu trúc affine dạng

A A :e = A+D0∆E0, ∆ ∈ Kl0× q0,

η ηeδ :=η+D1δE1, δ∈ NBV([−h, 0],Kl1× q1), (1.36)

trong đó Di ∈ Kn × li, Ei ∈ Kqi× n, i ∈ M = {0, 1} là các ma trận xác định cấutrúc nhiễu,∆ và δ(·) là các nhiễu chưa biết Kích thước nhiễu

e

∆ := [∆, δ], ∆ ∈ Kl0× q0, δ∈ NBV([−h, 0],Kl1× q1)

được đo bởi giá trị

k∆ek := k∆k + kδk, kδk = kV(δ)k (1.37)Khi đó, bán kính ổn định có cấu trúc của hệ(A, η)được định nghĩa

Nhận xét 1.3. Trường hợp tổng quát các đánh giá đối với bán kính ổn địnhthực phức tạp hơn bán kính ổn định phức nhưng đối với hệ dương thì bánkính ổn định thực và bán kính ổn định phức cùng bằng bán kính ổn địnhdương.

Định nghĩa 1.10 (xem [67]) Hệ (1.28) được gọi là dương nếu với bất kỳ hàm

giá trị ban đầu ϕ ∈ C([−h, 0],Rn

+) thì mọi nghiệm của hệ (1.28) thỏa mãnđiều kiện x(t, ϕ) ∈ Rn

+ với mọi t ≥0

Định lý 1.13(xem [2, 67]) Các mệnh đề sau đây là tương đương :

i) Hệ (1.28) là hệ dương.

ii) A∈ Rn × n là ma trận Metzler và L là toán tử dương.

iii) A ∈ Rn × n là ma trận Metzler và η(·) là đơn điệu tăng.

Đối với hệ dương, tính chất ổn định mũ dễ dàng kiểm tra bởi định lý sau

Định lý 1.14(xem [2]) Hệ dương (1.28) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu

µ(A+η(0)) <0,

trong đó µ(B)là hoành độ phổ của ma trận B.

Giả sử hệ dương (1.28) ổn định mũ và chịu nhiễu cấu trúc dạng (1.36) với các

ma trận cấu trúc Di ∈ Rn × li

+ , Ei ∈ Rq+i×n, i ∈ M = {0, 1}, khi đó ta địnhnghĩa bán kính ổn định của hệ

r+(A, η):=infnk∆ek; e∆ := [∆, δ] ∈ D+, sao cho hệ

nhiễu(A,e ηeδ) không ổn định mũo, (1.39)trong đó

i ∈ M kEi(−A−η(0))−1Dik.

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ

Chương này chúng tôi trình bày điều kiện đủ để hệ chuyển mạch tuyếntính với tín hiệu chuyển mạch bất kỳ và hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổngquát ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch Đưa ra khái niệm bán kính

ổn định và đánh giá các cận của các bán kính đó Kết quả của chương đã đượccông bố trong bài báo [CT2] và tiền ấn phẩm [CT3]

2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính

Lyapunov toàn phương

Trước tiên ta nghiên cứu lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình

(tương đương µ(A) < 0 hay hệ ˙x(t) = Ax(t)ổn định tiệm cận) khi và chỉ khitập hàm Lyapunov

UA := {P ∈ Hn+ : LA(P) ∈ Hn+} (2.2)

là khác rỗng Hơn nữa P∈ UAkhi và chỉ khi hàm toàn phương VP(x) = x∗Px

là hàm Lyapunov của (2.1) Chúng ta có thể kiểm tra được UA là một nón lồi

mở trong Hn Đối với bất kỳ ma trận Hermit Q ∈ H+n đều tồn tại duy nhất

ma trận PQ ∈ UA sao cho

LA(PQ) = −(PQA+A∗PQ) = Q

Nói cách khác, ánh xạ Lyapunov LA khả nghịch và là ánh xạ từ nón lồi mở

UA ⊂ H+n lên toàn bộ nón lồi mở H+n (xem [21]) Ánh xạ ngược L−A1 có thểđược biểu diễn với mọi ma trận Q ∈ H+

n như sau

L−A1(Q) =

Z ∞

0 eAtQeA∗tdt := PQ.Giả thiết rằng hệ (2.1) là ổn định Hurwitz và ma trận P ∈ UA 6= ∅ điều nàytương đương P ∈ Hn+ và LA(P) ∈ Hn+ Vì ánh xạ LA phụ thuộc liên tục vào

ma trận A và nónH+

n là mở, khi đóLA+D∆E(P) ∈ Hn+ với mọi nhiễu đủ nhỏ

∆ ∈ Kl × q và D ∈ Kn × l, E ∈ Kq × n là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu Vớimỗi ma trận P ∈ UAta có thể đo chất lượng (hay độ vững) của hàm Lyapunov

VP(x) = x∗Px bằng đại lượng sau

dK(A, P, D, E):=inf{k∆k:∆∈Kl × q,LA+D∆E(P) 6∈ H+n} (2.3)Trong trường hợp thực (tức là K = R) tập H+n được thay bằng nón Sn+ làtập của các ma trận đối xứng xác định dương Nếu hệ (2.1) ổn định Hur-witz và P ∈ UA là một hàm Lyapunov toàn phương tương ứng với các nhiễuthực (K = R) hoặc nhiễu phức (K = C) ta có hai giá trị d R(A, P, D, E) và

dC(A, P, D, E)để đo chất lượng P trong công thức (2.3) Rõ ràng

0< dC(A, P, D, E) ≤ dR(A, P, D, E).Định lý sau đây cho một cận dưới của độ tốt hàm Lyapunov P

Định lý 2.1 Nếu hệ tuyến tính (2.1) ổn định Hurwitz và VP(x) = x∗Px, P ∈ UA

là hàm QLF của hệ thì độ vững dK(A, P, D, E)của VP(x) theo công thức (2.3) thỏa mãn

dK(A, P, D, E) ≥ λmin(LA(P))

2kDkkEkλmax(P) (2.4)