Khi ca nô khởi hành từ A thì lúc đó một đám bèo trôi tự do với vận tốc của dòng nước trôi từ A và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km.. Tính vận tốc riêng của ca nô và[r]
Trang 1Bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bản quyền tài liệu thuộc về upload.123doc.net
A Lý thuyết
1 Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình bằng cách:
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho chúng (thông thường bài toán hỏi gì ta sẽ đặt ẩn như thế)
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích
hợp với bài toán và kết luận
2 Các dạng toán hay gặp
+ Dạng toán về chuyển động
+ Dạng toán về quan hệ các số
+ Dạng toán làm chung công việc
+ Dạng toán có nội dung hình học – hóa học
+ Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
B Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua khởi hành cùng một lúc Mỗi
giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ
ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên
Lời giải:
+ Đối 12 phút =
1
5giờ, 3 phút =
1
20giờ
+ Gọi x (km/h) là vận tốc của người thứ hai x 3
, y(km) là chiều dài quãng đường đua y 0
+ Ta có vận tốc của mô tô thứ nhất là x 15(km/h), vận tốc của mô tô thứ hai là
3
x (km/h).
+ Theo đề bài ta có hệ phương trình:
1
75
15 5
x x
+ Vậy vận tốc của mô tô thứ nhất là 90km/h, vận tốc mô tô thứ hai là 75km/h và vận tốc mô tô thứ ba là 72km/h
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bài 1: Một đoàn khách du lịch đi tham quan bằng ô tô Họ quyết định mỗi chiếc ô
tô phải chở một số hành khách như nhau Ban đầu họ định cho mỗi ô tô chở 22 hành khách những như vậy thì thừa ra một người Về sau khi bớt đi một ô tô thì
có thể phân phối số khách hành như nhau lên mỗi xe ô tô còn lại Hỏi ban đầu có
Trang 2bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu hành khách du lịch, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 người
Đáp số: 24 chiếc ô tô và 529 hành khách
Bài 2: Đoạn đường AB dài 160km Một ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B
đến A khởi hành cùng vào một thời điểm Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 120km Khi đi tới B, ô tô liền quay trở lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D Tính vận tốc của hai xe biết từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc của hai xe không đổi?
Đáp số: 60km/h và 20km/h
Bài 3: Một bè nứa trôi tự do với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước Một ca nô
cùng rời bến A để xuôi dòng song Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay trở về bến A ngay Thời gian cả đi lẫn về hết 21 giờ Trên đường ca nô trở về A, khi còn cách bến A 36km thì gặp bè nứa Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
Đáp số: 14km/h và 2km/h
Bài 4: Cùng một thời điểm, một chiếc xe tải xuất phát từ thành phố A đến thành
phố B và một chiếc xe con xuất phát từ thành phố B về thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc không đổi và gặp nhau tại một điểm cách A 20km Cả hai xe đến A và B lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần 2 tại điểm C Biết thời gian xe con đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ
Đáp số: 40km/h và 60km/h
Bài 5: Trên một đường giao thông đi qua 3 tỉnh A, B và C (B nằm giữa A và C) có
người thứ nhất chuyển động đều bằng ô tô xuất phát từ A, người thứ hai chuyển động đều bằng xe máy xuất phát từ B Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía
C Đến C thì người thứ nhất quay trở lại ngay và về đến B đúng vào lúc người thứ hai đến C Tính quãng đường AC Biết rằng quãng đường BC dài gấp đôi quãng đường AB và khoảng cách giữa 2 địa điểm họ gặp nhau trên một đường đi (một lần họ đi cùng chiều, một lần khi họ đi ngược chiều) là 8km
Đáp số: AC = 31,5km
Bài 6: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc tại hai địa điểm A và B, đi ngược chiều
nhau Sau khi khởi hành được 2 giờ thì họ gặp nhau cách trung điểm AB 15km Nếu vận tốc xe nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút Tìm vận tốc của mỗi xe?
Đáp số: 60km/h và 45km/h
Bài 7: Trên một quãng đường nối hai tỉnh A và B có hai người chuyển động đều.
Người X xuất phát từ A đi bằng ô tô đến B rồi quay trở lại A ngay Người Y xuất phát từ B đi bằng xe máy đến A rồi quay trở lại B ngay Họ khởi hành cùng một lúc Lượt đi họ gặp nhau tại I và lượt về gặp nhau tại K Biết AB = 120km, IB = 50km, tính AK?
Đáp số: AK – 30km
Trang 3Bài 8: Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h Sau đó một thời gian, một xe
con xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp
xe tải tại B Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường thì xe con tăng vận tốc thành 45km/h nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB?
Đáp số: 120km
Bài 9: Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ A đến B và một chiếc xe ô tô
xuất phát từ B đến A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km Cả hai chiếc xe đến A và B lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần 2 tại điểm C Biết thời gian xe máy đi từ C tới B là
10 phút và thời gian giữa 2 lần gặp nhau là 1 giờ
Đáp số: 40km/h và 60km/h
Bài 10: Hai bến sông A và B cách nhau 40km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi
quay về A ngay với vận tốc riêng không đổi hết 2 giờ 15 phút Khi ca nô khởi hành từ A thì lúc đó một đám bèo trôi tự do với vận tốc của dòng nước trôi từ A
và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
Đáp số: 36km/h và 4km/h
Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
lớn hơn số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tại thành là 99 Tìm số đã cho
Lời giải:
+ Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (đơn vị, x9,x *) và chữ số hàng đơn vị là y(đơn vị, y9,y )
+ Theo đề bài số mới hơn số đã cho 63 đơn vị Hơn nữa tổng của hai số là 99 đơn
vị Suy ra ta được hệ phương trình:
1 99
8 63
x tm
xy yx
y tm
yx xy
+ Vậy số cần tìm là 18
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ
chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị
Đáp số: 47
Bài 2: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng
chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị
Đáp số: 746
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 2 Biết rằng nếu xen vào giữa hai chữ số trên chính chữ số phải tìm thì
số đó tăng thêm 5480 đơn vị
Đáp số: 53
Trang 4Bài 4: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5
thì thương thứ nhất kém thương thứ hai 4 đơn vị Tìm hai số đó
Đáp số: 40 và 28
Bài 5: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6 Nếu cộng thêm 18 đơn vị
vào số đó thì số mới chính là số cũ viết theo thứ tự ngược lại (hàng chục đổi thành hàng đơn vị và hàng đơn vị đổi thành hàng chục) Hãy tìm số đó
Đáp số: 24
Bài 6: Có 37 cây táo với số trái bằng nhau Có 17 trái bị hỏng, số còn lại đem chia
đều cho 79 người Hỏi mỗi cây có ít nhất bao nhiêu trái táo?
Đáp số: 9 trái
Bài 7: Một người dán tất cả các tem của mình vào 1 quyển vở Nếu dán 20 tem
trên một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem Nếu mỗi tờ dán 23 tem thì
ít nhất 1 tờ để trống Nếu giả sử trên quyển vở đó, một tờ dán 21 tem thì tổng số tem đem dán trên quyển vở đó với số tem thực của người đó có 500 tem Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có là bao nhiêu?
Đáp số: 248 tem và 12 quyển vở
Ví dụ 3: Ba công nhân cùng làm 1 công việc thì xong sớm hơn 18h so với người
thứ 3 làm một mình, sớm hơn 3h so với người thứ 2 làm một mình và bằng một nửa thời gian so với người 1 làm một mình Tình thời gian của mỗi người khi làm một mình
Lời giải:
+ Gọi thời gian người 1, 2, 3 làm xong công việc lần lượt là x y z, , (giờ, x y z , , 0)
+ Trong một giờ mỗi người làm được
1 1 1 , ,
x y z công việc Thời gian cả 3 người cùng
làm xong công việc là
1
1 1 1
x yz giờ Theo bài ta có phương trình:
1
x
x y z
+ Giải phương trình trên bằng cách tách thành những phương trình nhỏ, ta được:
x y z
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ Người A và C làm xong
công việc trong 63 giờ, người B và C làm xong công việc trong 56 giờ Hỏi ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?
Đáp số: 42 giờ
Bài 2: Có ba thùng đựng nước:
Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng 1 sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có
Trang 5Lần thứ hai, người ta đổ ở thùng 2 sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số nước ở mỗi thùng đó đang có
Lần thức ba, người ra đổ ở thùng 3 sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có
Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước Tính số nước ở mỗi thùng lúc đầu
Đáp số: 38 lít, 26 lít, 8 lít
Bài 3: Cho ba vòi nước A, B, C cùng chảy vào một cái bể Vòi A, B chảy đầy bể
trong 71 phút Vòi A, C chảy đầy bể trong 63 phút Vòi B, C chảy đầy bể trong 56 phút
a, Mỗi vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút, cả ba vòi cùng mở một lúc thì trong bao phút thì đầy bể?
b, Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vòi A, B cùng chảy một lúc Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi?
Đáp số: a, 168 phút, 126 phút,
504
5 phút, 42 phút
b, 2520 lít, 20 lít/phút, 20 lít/phút, 25 lít/phút
Ví dụ 4: Để lựa chọn học sinh khối 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để
tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kì II , với tổng số 99 học sinh được các thầy cô lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán, 45 học sinh giỏi Văn, 48 học sinh giỏi Tiếng Anh, 25 học sinh giỏi cả Toán và Văn, 22 học sinh giỏi cả Toán và Anh, 15 học sinh giỏi cả Văn và Anh, 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Văn, Anh
Lời giải:
+ Gọi số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Văn, Anh là x (học sinh, x0,x )
+ Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là y50 25 22 x
học sinh
+ Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là z44 25 15 x
học sinh
+ Số học sinh chỉ giỏi môn Anh là t48 22 15 x
học sinh
+ Do có 6 học sinh không giỏi bất kì môn nào nên ta có: 99 6 y z t x12 + Vậy số học sinh giỏi cả 3 môn là 12 học sinh
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi
chọn các môn Toán, Văn và Anh trên tổng số 111 học sinh Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 63 học sinh giỏi Anh Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả Toán và Anh và 34 học sinh giỏi cả Văn và Anh Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu, xác định số học sinh giỏi
cả 3 môn Toán, Văn, Anh
Đáp số: 23 học sinh
Bài 2: Một trường có 2392 học sinh Trong đó có một học sinh đạt giải trong kì thi
quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc qua, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt
Trang 6giải của trường (không có học sinh nào đạt cả hai giải) Biết rằng số các học sinh đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số của học sinh còn lại, và số học sinh đạt giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít hơn số học sinh đạt giải tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ít hơn số học sinh đạt giải trường Hãy cho biết số học sinh đạt mỗi giải nói trên và số học sinh còn lại không đạt giải
Đáp số: 2; 3; 5; 17; 2375 học sinh
Bài 3: Một đàn ngựa giá 204 triệu đồng Có ba người mua ngựa nhưng mỗi người
đều không đủ tiền Nên:
Người thứ nhất nói với 2 người kia là cho tôi vay một nửa tổng số tiền của họ thì đủ tiền mua
Người thứ hai nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/3 tổng số tiền của họ thì đủ tiền mua
Người thứ ba nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/4 tổng số tiền của học thì đủ tiền mua
Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền?
Đáp số: 60; 132; 156 triệu đồng
Bài 4: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu
hết tất cả 30 đồng Biết rằng 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng
và mỗi con chim bồ câu giá 2 đồng Hỏi mỗi loại có mấy con?
Đáp số: 9; 10; 11 đồng
Bài 5: Bốn người góp vốn kinh doanh tổng số tiền là 6 tỷ đồng Số tiền người thứ
nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt bằng 1/3, 1/3 và 1/5 tổng số tiền của ba người còn lại Hỏi người thứ tư góp bao nhiêu tiền?
Đáp số: 2,3 tỷ đồng
Bài 6: Trong một buổi liên hoan lớp học, có 15 vị khách đến dự Vì lớp có 40 học
sinh nên phải kê thêm một dẫy ghế nữa mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế
số người ngồi như nhau và ngồi không quá 5 người Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế?
Đáp số: 10 dãy ghế
Tải thêm tài liệu tại: