Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. 2.[r]

x  qx  d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có

một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

  c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử

và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau:

Bµi tËp 5 Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt .

Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và

Bµi gi¶i: Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

  x23x 4 0 Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình :

a b 

1 2

Bµi tËp 9 Cho phương trình : có 2 nghiệm Lập hệ thức liên hệ

giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

HD : Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

11

Bµi tËp 10 Gọi là nghiệm của phương trình :

Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.

HD: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

11

   

x  m x m  x x1; 2 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 11Cho phương trình : có 2 nghiệm Hãy lập hệ

thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.

        H ướ ng d ẫ n: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2

nghiệm phân biệt x1 và x2

x x2 x1x2 x x1 2 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

x x

m m

trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

ax bx c  Bµi tËp 16 Cho phương trình: (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2

nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

có 2 nghiệm trái dấu

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

minA8 2m 3 0 hay

32

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

2

B  m

Vậy

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

12

B B

B B

1

2

B  m

Bài 19: (Bài toán tổng quát)

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

2 Vô nghiệm   < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

6 Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1

Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

k



1 1 k x1 = 1- ; x2 = 1+

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

k



1 1 k Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

2

11

3

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

3

2

với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 4

3

Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10 e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

33

10

)

3

(

0)

m

Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó A = x1 +x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0

230230

03

2

0

03

2

0

m m

m m m m

2

22

)3(

)1(

2

2 1

2 1 2

1

2

1

m x

x

m x x m

Bài 23: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

1

x x

21

1

02

 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - y + = 0 (m≠1)

Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

Bµi 24: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

9

25

3625

35

36

5 = 5(k

2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k Vậy

ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2 ⇔ Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0

2

14

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 |x1− x2| Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

19

4 = m

2 + 2.m + + = (m + )2 + > 0 với mọi m Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

|x1− x2| √19 12 Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = -

Bài 29 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

2 Giải phơng trình khi m = - 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

2(m− 3) 2(m+2)=

m− 3 m+2 x1 = = x2 =

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

2 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

5

15

1

3 x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài)

Bài 30: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

-4 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn

4

94

94

94

9

4 ⇔ *) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -.Sau đó thay m = - vào phơng trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0

7

9 x2 = - x1 = - 3 = 9

4 Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm

219

Δ❑ C¸ch 2 : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 C¸ch gi¶i lµ:

Cho phơng trình: x - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.

a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này

b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng

0 m 1 2(m 1)

x x 0 m 1

2 0 2(m 1)

x x 0

0

m 1

2m 3 3

m 2

x x 2 / 3 x x 2 / 3 x 1 / 3

x x m / 3 x x m / 3 m 7

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

❑1 x2 d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa xvà độc lập đối với m

x2−2 (m− 1) x +m2− 2=0 Bài 41: Cho phơng trình (I)

a) Giải phơng trình (I) khi m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt?

c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?

d) x1; x2 x12+x22=4 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện

e) x1; x2 x1=2 x2 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện

f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm

h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng

i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại

j) x1; x2 2 x1−4 x2=−3 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện

⇔ a+b+c =0 ⇔1− 2 (m−1)+m2−2=0 ⇔m2− 2m+1=0 ⇔ (m− 1)2=0⇔m=1 i) Ph¬ng tr×nh (I)

cã mét nghiÖm b»ng 1

2 x1−4 x2=−3 j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK:

m≤3

2 ĐK: (để phơng trình có nghiệm)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình

2

a) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊub) Cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖtHíng dÉn :

0

a ac

1 0,

m m

a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=> <=> <=> m <

1 3

VËy m < th× ph¬ng tr×nh

cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

b) Ph¬ng tr×nh cã hainghiÖm ©m ph©n biÖt

<=> <=>

0 0 0 0

a

P S

<=> <=>

VËy th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt

29 12

1 3

Bài 43: Cho phơng trình (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

e)

Híng dÉn:

9 4 m 0

9 4

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 <=> <=> m <

1 2

3 2

x x

Theo định lí Vi- ét: m =

Vậy m = - 754

Bài 45: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

có hai nghiệm thỏa mãn :

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị

Bài 46: Cho phơng trình bậc hai

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Bài 47: Cho phơng trình bậc hai

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

b) => m = - 4

c) m = 11 và

Bài 49: Cho phơng trình

a) Tìm những giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 Tìm nốt nghiệm kia

Theo hệ thức Vi- et

Thay x = x1; x = x2vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số

Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 2 và 3 làm nghiệm

x x

a

LËp ph¬ng tr×nh khi biÕt ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 3 - ; x2 = 3 +

Bµi 55: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm liªn l¹c víi nhau bëi hÖ thøc

2 2

1 , 2

x x

- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 là <=>

m  

- Theo định lí Vi – ét, ta có : <=> => S - P = - 1

Hay , đó là hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phơng trình

Bài 57: Cho phơng trình Tìm hệ thức độc lập với k giữa những nghiệm số của phơng trình

a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m

T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.

b) Gäi x1; x2

nghiÖm cñaph¬ngtr×nh H·ytÝnh gi¸ trÞcña biÓuthøc

x 2    4 2 3  

2 3 2.1

x     

= VËy = - 52

Bµi 61 Cho ph¬ng tr×nh gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

u + v

 19

4



V× 2 sè u vµ v cã tæng u + v vµ tÝch u v Nªn u ; v lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai:

VËy ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ:

Bµi 62: Cho ph¬ng tr×nh gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

2) §Æt u = vµ v =

2 2 x x 2   3 3 x x 1

 93

2





Nªn u; v lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai:

VËy ph¬ng

tr×nh cÇnt×m lµ:

b) Gäi x1; x2

nghiÖm cñaph¬ngtr×nh H·ytÝnh gi¸ trÞcña biÓuthøc: B =Gi¶i:

Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

( V× A >

0 )

VËy =

Bµi 65: Chøng minh víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña k, ph¬ng tr×nh:

a) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất

b) TÝnh =>

2 11 ( 3 )

3 3

x  2 x  m 2  

1 2

11 3

x  x 

2 2

2 3

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi = 0 <=> m =

Bài 67 Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất

Hớng dẫn:

a) Tính

b) MinA = 32 <=> m = 4

Bài 68 Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Cho B = Tìm m để B đạt giá trị nhỏ nhất

a) => ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt

2

' (m 2) 1 0

Bµi 69 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai

a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt

b) Cho P = x1 + x2 – 26x1x2 - x1 x22 Chøng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P kh«ng phô thuéc vµo tham sè

Bài 71 Cho phơng trình

a) Giải phơng trình khi m = 1

b) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức A = không phụ thuộc vào giá trị của tham số m

Kết quả:

a)

b) , với mọi m

c) A = 10 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của tham số m

Bài 72 Cho phơng trình Tìm m sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn A = đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 74: Tìm giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm

nghiệm chung đó :

Giải:

Cách 1:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ có nghiệm

- Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - 1 (*)

+) Nếu m = 1 Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có:

Hai phơng trình này đều vô nghiệm nên không có nghiệm chung

 NÕu x = 0, ta thÊy ph¬ng tr×nh thø nhÊt <=> 1 = 0 (v« lÝ) VËy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña

ph-¬ng tr×nh thø nhÊt => kh«ng lµ nghiÖm chung cña hai phph-¬ng tr×nh

Ta có: <=> , đây là nghiệm chung của hai phơng trình => m = - 2Vậy m = - 2 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

Bài 75: Tìm giá trị của tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm

chung đó :

Giải:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

có nghiệm

- Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (k + 2)x = 4

+) Nếu k = - 2 Thay vào phơng trình (1), ta có:

Giải phơng trình này ta đợc hai nghiệm là

2x (3k 1)x 9 0 (1) 6x + (7k - 1)x -19 = 0 (2)

Thay k = - 2 vào phơng trình (2), ta có:

Giải phơng trình này ta đợc hai nghiệm là

=> k = - 2 thì hai phơng trình không có nghiệm chung

+) Nếu Từ phơng trình (*) => x = Thay vào phơng trình (1), ta có:

=> th× hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung x = 1

T¬ng tù víi , hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung x =

Bài 76: Cho hai phơng trình sau:

Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Hớng dẫn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

có nghiệm

- Rút m từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta có

Phơng trình = 0 vô nghiệm => Nghiệm chung là x = - 2, khi đó m = - 1

Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ có nghiệm

- Trừ vế với vế của hai phơng trình, ta có: (k + 3)x = - (k + 3) (*)

+) Nếu k = - 3, thay vào hai phơng trình và nhận thấy hai phơng trình đều vô nghiệm nên không cónghiệm chung

+) Nếu k => x = - 1, đây là nghiệm chung của hai phơng trình Thay vào một trong hai phơng trình thu đợc k = 4

Bài 79 : Chứng minh rằng hệ số của hai phơng trình bậc hai:

liên lạc với nhau bởi hệ thức

2 2

th× cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm

Xác định a biết phơng trình có một nghiệm là - Tìm nốt nghiệm kia

3 2