Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F.. b) Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề thi có 01 trang)
Môn thi: TOÁN - Lớp: 11
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm)
a Tính tổng các nghiệm của phương trình: sinx 5 6cos2x trên đoạn 2 ;
b Giải phương trình: 3cosx 1 4 cos x3 3sin x3
Câu 2 (4,0 điểm)
a Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy u biết: n
(n N*)
n
u
b Cho dãy u biết n u và 1 2 1 3 4n
u u với n N *
Tìm số hạng tổng quát của dãy u Tính n 1
lim n n
u
u .
Câu 3 (4,0 điểm)
a Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau ) được thành lập từ các chữ số 2,0,1,8 Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X Tính xác suất để
phần tử được chọn là số chia hết cho 3
b Trên 2 đường thẳng song song và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n điểm
sao cho m n 17 ( ,m n N *) Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17
điểm phân biệt ở trên là lớn nhất
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số
2
6
2
| 2 |
x x
khi x
khi x
Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm x 2
Câu 5 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2y2 2x4y 4 0 và điểm
1
( 3, )
A Gọi I là tâm của đường tròn C M là điểm thay đổi trên C sao cho ba
điểm , ,A M I không thẳng hàng Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại N
Gọi K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên C Viết phương trình đường K
Câu 6 (4,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BD a Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a
a Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD
b Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S ABCD
––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Môn thi: TOÁN Lớp : 11
()
1
a Tính tổng các nghiệm của phương trình: sinx 5 6 cos2x trên đoạn 2 ;
.
1,5
sinx 5 6cos x 6sin xsinx1 0
sinx ; sinx
1 sinx
2
( x[ 2 , ]
) x = 6
1 sinx
3
( x[ 2 , ]
) x =
1 arcsin
3 , x =
1 arcsin 3
0.25 0.25 0.25
0.25
Tổng các nghiệm phương trình trên [ 2 , ]
là 6
+
1 arcsin
3 +
1 arcsin
3 =
5 6
0.5
b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4coscos 3 x 3 sin3x. 1,5
3cosx 1 = 4cos3x 3 sin3x 1 = 4cos3x 3cosx 3 sin3x
1 = cos3x 3 sin3x 3 sin3x cos3x =1
sin ( 3x 6
) =
1
2 sin ( 3x 6
) = sin 6
3x 6
= 6
+ k2 hoặc 3x 6
=
5 6
+ k2 ( k )
0.25 0.25 0.25
0.25 +0,5
2
a Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy (un) biết
n
u
Ta có: 0 < un =
n
n n n n n , n N*
(un) bị chặn
1
0
2 1 2( 1) 1 2 1 2( 1)
(u ) là dãy tăng
0,25 + 0,25 0.25 02.5
0.25
Trang 4b Cho dãy (un) biết u1 = 2 và 1 3 4n
u u với nN*.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Tính 1
lim n n
u
u
2,5
+ Tìm số hạng tổng quát của dãy (u n )
Ta có: 1 3 4n
Tìm số α : 1 4n 1 3.( 4 )n
1 (1),(2) (3.4n 4 ) 4n n 1
(2) viết lại: 1 4n 1 3.( 4 )n
Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n 1) - ở đây vn =un4n
Khi đó vn = 2 3n1 un4n = 2 3n1 un = 4n 2 3n1
0.5 0.25
0.25 0.5 0.5
+ Tính 1
lim n n
u
u
1
1
n
n
u
u
0.5
3 a Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một
khác nhau ) được thành lập từ các chữ số 2,0,1,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ
tập X Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3
2,0
Gọi số được chọn là a a a a 1 2 3 ( 1 0)
Tính số phần tử của không gian mẫu: n 3.4.4 48
0.5
Gọi A là biến cố: ‘‘ số được chọn là số chia hết cho 3 ’’
1 2 3
a a a chia hết cho 3 khi: a1a2a3
chia hết cho 3
Liệt kê các số gồm: 111,222,888, và hoán vị của các bộ số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;
(1;8;0) (Lưu y, chữ số a ) 1 0
Do đó số kết quả thuận lợi để có A là n A 17
Vậy xác suất cần tìm:
(A) 17 ( ) 48
n
P A
n
0.5
0.5
0.5
b Trên 2đường thẳng song song và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và
n điểm sao cho m n 17 ( m n N, *) Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là
3 điểm trong 17 điểm phân biệt đã cho là lớn nhất.
2.0
Mỗi tam giác cần xác lập có 1 đỉnh nằm trên một đường thẳng và 2 đỉnh nằm trên
đường thẳng còn lại
Trường hợp 1: Một trong hai số m hoặc n là bằng 1 chẳng hạn m =1, khi đó n =16 và
số các tam giác có được từ 17 điểm này là 1.C 162 120 0.5
Trang 5Trường hợp 2: m, n đều lớn hơn 1
Số các tam giác có được từ 17 điểm này là
( 1) ( 1)
15 ( 2)
.4 [( ) ( ) ]
15 [17 ( ) ] 8
(17 1 ) 288 540
mn
m n
Dấu bằng xảy ra khi |mn| =1, m,n N*
m=9 , n=8 hoặc ngược lại
Kết luận : Số tam giác là lớn nhất khi m=9, n=8 hoặc ngược lại
0.5
0,25
0.25 0.25 0.25 4
Cho hàm số
2 6
2
| 2 |
x x
khi x
khi x
Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm x 2.
2,0
2
2
lim ( ) lim lim
( 2)( 3)
lim
( 2) lim ( 3) 5
x
x
f x
x x
0.25
0.25 0.25
2
2
lim ( ) lim lim
( 2)( 3)
lim
2 lim ( 3) 5
x
x
f x
x x
0.25
0.25 0.25
Vì lim ( )2 lim ( )2
x f x x f x
nên hàm số không có giới hạn tại x=2 nên không thể liên tục tại x=2
0.5
5
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2y2 2x4y 4 0 và điểm
1
( 3, )
A Gọi I là tâm của đường tròn C M là điểm thay đổi trên C sao cho 3
điểm , A M I không thẳng hàng , Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại
N Gọi K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên C . Viết phương trình
3,0
Trang 6đường K
Hình vẽ:
M
N
(C) có tâm I(1,2) và bán kính R =3 Tính được IA = 5
Vì IN là tia phân giác của góc AIM nên
3 5
5 8
(*) (do N nằm giữa A và M )
Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số
5 8
k
biến điểm M thành điểm N
0.5
0.5 0.25 0.25
Gọi P,Q là 2 giao điểm của đường thẳng IA và (C)
Do đó khi M chạy khắp đường tròn (C) ( M P, M Q) thì N chạy khắp (K) với (K)
đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số
5 8
k
( trừ 2 điểm
là ảnh của P,Q qua phép vị tự trên)
Viết phương trình đường tròn (C’)
Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), ta có:
5 ' 8
1 7 ' ;
2 8
I
R’ là bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ =
5 15
8R 8
Vậy phương trình đường tròn (C’) :
0.5 0.5
0.25 0.25
6 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , biết BD a ; cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a
a Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD
b Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M
sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến
mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp
4.0
Trang 7
a
a
a a
F
E I
A
B
S
M
O
a Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD 1.5
Tính góc SBC
SAB vuông cân tại A SB = a 2
Gọi O là tâm hình thoi ABCD AC = 2 AO = a 3
SA =a, AC = a 3 SC = 2a
Ta có: SC2 = SB2+BC22SB.BC cos B
4a2 = 2a2+ a2 2.a2 2 cos B cosB =
1
2 2
Gọi là góc giữa SB và BC , ta có: cos =
1
2 2
0.25 0.25 0.25
0.5 0.25
b Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S ABCD 2.0
Ta có: AC = a 3 và SA =a SC =2a
d(C, α) = 3 d(S, α) SM =
a
Gọi I là giao điểm của SO và AM
Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F
Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AEMF
Ta có BD ^ (SAC) EF ^ (SAC) EF ^ AM ( SAEMF = ½ AM EF.)
Tính AM, EF
Xét SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta được AM = a
3 2
(có thể kiểm chứng AM ^ SC … AM = a
3
2 ) Xét SAC – Kẻ ON // AM O là trung điểm AC N là trung điểm CM
0.25
0.5 0.25 0.25
Trang 8/ /
N I
M
O
S
MN =
1
2 CM =
2 4SC8SC SN = SI+MN =
4SC8SC =
5
8 SC
ON // AM
1
2 4
8
SC
Xét SBD, EF // BD
5
BD SC SO EF =
a
BD
SAEMF =
1
2 AM EF=
2
2 2 5 10
a
0.25 0.25 0.25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang
điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm
Trang 9SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 25/3/2017 Câu 1 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 2cos 2x 3 2sinx 1 0
b) 3(sin 2xcos ) cos 2x x sinx2
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp:
n n1(n1)n , n N n, 3
b) Cho dãy số ( ) un thỏa:
1
*
2 3
4 n n n 6 n 0,
u
Tìm số hạng tổng quát của ( ) un và tính lim un
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa: là số có 8 chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần
b) Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số
1 ( )
.sin 2017 2
x
f x
x
khi 1
khi 1
x x
Tìm giá trị của m để hàm số ( )f x liên tục tại x 1
Câu 5 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm (1;0), G và trực tâm H Phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA , HB , HC là
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 6 (4,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 10Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a BC a , 3, 3
SA a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M là trung điểm của OB
a) Gọi góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SCD) Tính sin
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a.
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………
Trang 11SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN
(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)
Câu 1 (3,0 điểm)
a 2cos 2 x32sinx1 0
3
cos 2x 3.sin 2x 2sinx 1 0
2sin2x 2 3 sin cosx x2sinx0
2sin (sin 3.cos 1) 0
sin 0
sin 3.cos 1 0
x
0.25 0.25
0.25
sinx 0 x k
1
.2 6 2 2
Vậy phương trình có nghiệm là: x k ,x 6 k.2 ,x 2 k.2
0.25
0.25
0.25
3(sin 2xcos ) cos 2x x sinx2
2
3(2.sin cosx x cos ) (2cosx x 1) sinx 2
2
2 3.sin cosx x 3 cosx sinx 1 2cos x
(3.cos x 2 3 cos sinx x sin x) ( 3 cosx sin ) 0x
2
( 3 cosx sin )x ( 3 cosx sin ) 0x
0.25
0.25 0.25
3 cos sin 0
3 cos sin 1
* 3 cosx sinx 0 cos(x 6) 0 x 3 k.
Trang 121
x x x
.2 6
.2 2
0.25
Vậy phương trình có nghiệm là: x 3 k ,x 6 k.2 ,x 2 k.2
0.25
Câu 2 (4,0 điểm)
a Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp:
n n1(n1)n , n N n, 3. 2,0
- Xét n 3: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 81 64 (đúng)
- Giả sử bất đẳng trên đúng với một số tự nhiên k tùy ý ( k ) tức là:3
k k1(k1)k
+ Ta đi chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng với n k , tức là đi chứng minh1
(k 1)k (k 2)k
Từ giả thiết quy nạp ta có:
1
( 1)
k
k
k
k
Do đó để chứng minh (1), ta chỉ cần chứng minh:
1
( 1)
k
k
k
k
(2)
1
1
( 1)
k
k
k
k
k
(k 1) k k k( 2) k (k 2k 1)k (k 2 )k k
(đúng) Suy ra (1) đúng, hay bất đẳng thức đã cho đúng với n k 1
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số thự nhiên n thỏa n 3
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
b
Cho dãy số ( ) un thỏa:
1
*
2 3
4 n n n 6 n 0,
u
Tìm số hạng tổng quát của ( ) un và tính lim un
2,0
6
4
n
n
u
u
Dễ dàng chứng minh được u n 0, n N*
0.25
0.5
Trang 13Do đó
1
1
n n
u u
Đặt
1 1 2
n
n
v
u
; khi đó từ (1) suy ra:
Suy ra:
1
1
2 3
n
n
u u
0.5
0.5
Do đó
1
1
1 2
2 3
0.25
Trang 14Câu 3 (4,0 điểm)
a Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4cos, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa: là số
có 8 chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà
mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần
2,0
* Bước 1: Xét số có 8 chữ số , trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn
khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu).
- Từ 10 chữ số chọn ra 5 chữ số khác nhau gồm 2 số lẻ và 3 số chẵn có C C cách chọn.52 53
+ Với mỗi cách chọn trên ta có: số các số có 8 chữ số trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau
và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là
8!
2!2!2! số
+ Vậy với C C cách chọn ở trên ta tạo được 52 53 52 53
8!
504000 2!2!2!
số (kể cả số 0 đứng đầu tiên)
* Bước 2: Xét các số thoả mãn điều kiện ở bước 1 mà có chữ số 0 đứng đầu
- Từ 9 số đã cho (bỏ số 0) chọn ra 4cos số khác nhau gồm 2 số lẻ và 2 số chẵn (vì đã có số 0
đứng đầu) có C C cách chọn.52 42
+ Với mỗi cách chọn trên ta có: số các số có 8 chữ số có số 0 đứng đầu, trong đó có mặt
2 chữ số lẻ khác nhau, 3 chữ số chẵn khác nhau và mỗi chữ số chẵn khác 0 có mặt đúng
hai lần là
7!
2!2! số
+ Vậy với C C cách chọn ở trên ta tạo được 52 42 52 42
7!
75600 2!2!
số ( ở bước 2)
* Từ 2 bước trên suy ra số các số thoả đề bài là: 504000 75600 428400 số
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
b b) Một đa giác đều có 24cos đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh
là các đỉnh của đa giác đều trên Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác
suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu.
2,0
Gọi đa giác là A1A2 A24
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= C =2024324
Gọi A là biến cố chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu, ba cạnh này cùng màu đỏ
Gọi B là biến cố chọn được tam giác có đúng 1 cạnh màu xanh (cạnh đa giác)
Giả sử xét cạnh màu xanh A1A2, ta có 20 cách chọn đỉnh Ai ( Ai{A4; A5; ;A23})
Nên số phần tử của B là n(B) = 24.20 = 480
0.25 0.25 0.25 0.25 Gọi C là biến có chọn được tam giác có hai cạnh màu xanh, như vậy tam giác đó có hai
cạnh là hai cạnh liên tiếp của đa giác, nên n(C) = 24
Ta có n(A) + n(B) + n(C) = n()
Suy ra số phần tử biến cố A là
n A = n( ) n(B) n C 2024 480 24 1520
Vậy xác suất của biến cố A là
n(A) 190 P(A)=
0.25 0.25 0.25
0.25
Câu 4 (2,0 điểm)
Trang 15Cho hàm số
1 ( )
.sin 2017 2
x
f x
x
khi 1
khi 1
x x
Tìm giá trị của m để hàm số ( ) f x liên tục tại x 1
(1) sin 2017
2
1
lim ( )
f x
0,25
+ Tính được:
3 1
5 3 2 5 lim
1 12
x
x x
+ Tính được: 1
lim
x
x x
Suy ra 1
11 lim ( )
12
Để ( )f x liên tục tại x thì 1 lim ( ) lim ( )1 1 (1)
Suy ra:
11 12
m
là giá trị cần tìm
0,25
Câu 5 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm (1;0), G và trực tâm
H Phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA, HB , HC là
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC