CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI: CHINH PHỤC ĐỊNH LÝ TA-LÉT

Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiề[r]

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HSG

CHINH PHỤC ĐỊNH LÝ TA-LÉT

TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN CÁC DẠNG BÀI TẬP

(Thân gửi tới các em học sinh 2006 và các em 2005 chuẩn bị thi vào lớp 10)

I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT

Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt

là Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος;

khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), là một triết

gia, một nhà toán học người Hy Lạp sống

trước Socrates, người đứng đầu trong bảy nhà hiền

triết của Hy Lạp Ông cũng được xem là một nhà triết

gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là "cha

đẻ của khoa học" Tên của ông được dùng để đặt cho

một định lý toán học do ông phát hiện ra

Ta-lét sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra

ở thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác Có hai nguồn: một nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ông sống khoảng

80 tuổi

Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn vật qua các câu truyện thần thoại của chúa trời, của các vị thần và các anh hùng Các hiện tượng như sấm, sét hay động đất được cho là do các vị thần trong tự nhiên.Ông quan niệm toàn bộ thế giới của chúng ta được khởi nguồn từ nước Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới Mọi cái trên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân hủy lại biến thành nước

Với quan niệm nước là khởi nguyên của thế giới, của mọi sự vật, hiện tượng Ông

đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới Thế giới được hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do chúa trời hay các vị thần

Định lý Ta-lét:

- Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạn thẳng tỷ lệ

- Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một vuông

- Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau

- Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau

- Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Ta-lét là người đầu tiên nghiên cứu về thiên văn học, hiểu biết về hiện tượng nhật thực diễn ra do mặt trăng che khuất mặt trời

Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ vào bóng của chúng

Ta-lét được coi là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu về Sự sống ngoài Trái Đất Ta-lét chết lúc già một cách đột ngột khi đang xem một thế vận hội Trên mộ ông

khắc dòng chữ: “Nấm mồ này nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang của con người

này, ông vua của các nhà thiên văn, mới vĩ đại làm sao”

II - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Đoạn thẳng tỉ lệ

1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng

- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo

Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn

1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ:

- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’

AB A'B'

CD = C'D' AB CD

A'B' = C'D'nếu ta có tỉ lệ thức thức: hay

- Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng có các tính chất như của tỉ lệ thức giữa các số

*1 Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ

AB A'B'

'D' ' '.CD

CD = C'D'  AB C =A B *2 Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:

AB CD A'B' C'D'

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của

tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác

và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương

ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại

của tam giác

với 3 cạnh của tam giác đã cho

GT ABC, B'C ' BC(B'  AB, C'  AC)

KL AB' AC ' B'C '

AB = AC = BC

Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ quả vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng

a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:

3 Định lý Ta-lét tổng quát:

3.1 Định lý thuận:

Nhiều đường thẳng song song định ra trên hai cát

tuyến bất kỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

GT Cho a//b//c; d cắt a, b, c lần lượt tại

A, B, C; d’ cắt a, b, c lần lượt tại A’,

C B

Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách qua A kẻ một đường thẳng song

B'', C ''song với d’ Đường thẳng này cắt b, c theo thứ tự tại Dễ dàng chứng minh AB'' = A ' B', B''C '' = B'C '

được Sau đó áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác vào

Cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’

tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả mãn

' ' ' '

3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)

Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song

những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Hướng chứng minh:

Ta có thể chứng minh hệ quả này bằng cách xét các tam giác AOB và AOC có

AB//A’B’ và AC//A’C’ Theo hệ quả định lý Ta-lét trong tam giác ta có:

Hệ quả 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng

song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm

O O

A' B'

b

d' d

C' B' A'

C B A

c b a

Ta có thể chứng minh định lý bằng cách gọi giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

là O Ta chứng minh d3 cũng đi qua O

Từ đó suy ra Hay d3 đi qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy

III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT

Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; các bài toán về diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên trong khuân khổ của chuyên đề, tôi chọn hai ứng dụng chính để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy và nhiều điểm thẳng hàng

A' B'

b

Dạng 1 CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG

Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó Nếu như ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lên lớp 8, 9 học sinh sau khi học xong về diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng,

hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các kiến thức về đường tròn thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú Đối với các bài toán lớp 8, 9 thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồng dạng của tam giác là những công cụ để giải toán

Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC,

c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi

qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi

Hướng dẫn tìm lời giải:

EG AE

a) Từ Vậy cần tìm mối liên hệ giữa các tỉ số và

BE BD

Từ đó tìm mối liên hệ của các tỉ số với các tỉ số và

c) Vì giả thiết chỉ cho hình bình hành có các cạnh không đổi nên ta biểu diễn mối quan hệ của tích BK.DG với các cạnh của hình bình hành

BK BE AB BK.DG AB.AD

A

a/ Vì BK//AD và AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có:

Vì BK//AD và AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có :

Ví dụ 2 (lớp 8):  ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác, qua O kẻ HF//BC,

DE//AB, MK//AC với H, K  AB;

A

Qua F kẻ FI//AB, I  CF CI EM

CA = CB = BC BC:

KM BK

AC = AB KM//AC =>

Ví dụ 3 (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O của

hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E

Từ đó dựa vào hệ quả của định lý Ta-lét ta tìm mối

Nhận xét:Nếu thay đổi dữ kiện của bài toán ta có bài toán sau

Ví dụ 4 (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2006)

Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm

tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB cắt

nhau tại G Đường thẳng đi qua G và song song với BC

cắt AB tại E và AC tại F Biết PQ = a và EF = b Tính độ

dài của BC

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sau khi vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC là hình thang có các yếu tố thỏa mãn ví

dụ 3 Từ đó ta có thể vận dụng kết quả của ví dụ 3 vào giải bài toán

a x ax GF

=

−

ab BC 2a b

=

−

Từ đó tìm ra hay

*Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình học

còn được vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Sau đây ta có thể xét một

ví dụ về việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức

0

AD  AB + ACb) Nếu thì

E

Q P

C B

A

AD  AB + ACc) Nếu thì

Hướng dẫn tìm lời giải:

1 1 1 1 b c b b c

= + = = = =Dạng 2:

Ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng 2

Qua C kẻ CF //AD, F  AB, ta có nhận xét gì về  AFC?

FCA CAD (2)

Từ (1) và (2) suy ra  AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào  BFC, AD//FC:

A

F

C

120

AD  AB + ACc) Khi lập luận tương tự ta cũng được

Ví dụ 6(lớp 8) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC =a; CA = b Phân giác AD

2bc AD

b c

 +Chứng minh rằng:

Lời gải tóm tắt:

Kẻ AD là tia phân giác góc A, D∈BC Qua D kẻ

DE song song với AB, E∈AC

Ta có ∆EAD cân tại E Suy ra AE =ED

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét vào ∆ABC ta

AD 2 bc 2 b c

+

Từ kết quả bài toán trên ta có: Áp dụng kết quả

này ta có thể giải bài toán sau:Ví dụ 7 (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a, b,

c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, x là độ dài của các đường phân giác

1 1 1 1 1 1

x + +  + + y z a b ctương ứng Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1 1 1 1

x + +  + + y z a b c (đpcm)

Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O là giao điểm của AD và BC Gọi I, K

,H là chân các đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh rằng :

AD.BI.CH BD.OK.AC

Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013)

ABC AC  AB AA', BB',CC'

Cho tam giác nhọn ( ) có các đường cao và trực tâm

H Gọi ( )O là đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến AM,

AN tới đường tròn ( )O (M, N là các tiếp điểm) Gọi M' là giao điểm thứ hai của

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh là đẳng thức của các tỉ số Để chứng minh các hệ thức giữa các tỉ số ta có thể vận dụng một trong các kiến thức: Định lý Ta-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác; tính chất của cát tuyến cắt nhau với đường tròn Tuy nhiên trong bài toán này sử dụng phương

E O

H K I

B A

pháp loại trừ ta có thể thấy chỉ có thể sử dụng kiến thức về định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng

Để có thể sử dụng được định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O

kẻ đường thẳng d song song với B’C’ Từ đó ta có thể tìm được mối quan hệ giữa các tỉ số và chứng minh được định lí

Ví dụ 8 (lớp 9)(Trích đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 huyện Tam Dương

2014 - 2015)

Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC và AB Cho D là một điểm trên BC Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC Chứng minh rằng:

3 3

N

D C

B A

Ví dụ 9: (Lớp 9)(Trích câu 4b đề thi vào lớp 10 chuyên Toán và chuyên Tin –

A A MK

1

HAB ABC

A A HK S

A A = KA =S

Theo định lý Ta-lét ta có: Kết hợp với (1) suy ra: (2)

1 2 1

HAC ABC

M

H E

A

Ở lớp 7 để chứng minh hai đường thẳng song song thì ta phải tìm các mối quan hệ về góc hoặc các mối quan hệ giữa các đường thẳng Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất của các đường trong tam giác,

Đến lớp 8, sau khi học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức về

độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận 2 đường thẳng song

song

AB = AC =MN BC ABC,

Như vậy định lý Ta-lét đảo cho ta thêm một cách chứng minh 2 đường thẳng song song

Ví dụ 1 (lớp 8):  ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC tại H, phân

giác góc AMB cắt AB tại K Chứng minh rằng HK // BC

Hướng dẫn tìm lời giải:

Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra: (định lý Ta-lét đảo)

Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O của 2 đường chéo tứ giác ABCD, kẻ 1 đường thẳng

tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC

ở E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F Chứng minh BE//CF

C B

K

* Hướng dẫn tìm lời giải:

OB OE

OF OC / /

BE CF  =

Hãy sử dụng các đường thẳng song song

trong giả thiết và định lý Ta-lét để chứng minh hệ

OB OE

/ /

OF = OC =BE CF

Từ (1) và (2) suy ra: (Định lý Ta-lét đảo)

Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh 2 đường thẳng song song về chứng

a c

b = dminh hệ thức dạng

F E

N M

O D

C B

A

* Lời giải:

Gọi AI cắt BC ở D, AG cắt BC tại M

Nối B với I, C với I sử dụng tính chất

đường phân giác trong tam giác ta được:

AI 2

+ Bài toán đảo của bài toán trên vẫn đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC

+ Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC bằng giả thiết AB + AC < 2.BC thì kết luận của bài toán thay đổi như thế nào? (IG cắt tia MC)

Ví dụ 4(lớp 8): ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M, N,

P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA Chứng minh rằng M, N, P,

Q thẳng hàng

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q

thẳng hàng Giả thiết của bài toán cho các đường

thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đường thẳng song

song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng bằng

cách chứng minh nó cùng nằm trên một đường

thẳng song song với EF

* Lời giải tóm tắt:

Từ giả thiết suy ra:

G

M I

B A

C B

H N

M

D A

Ví dụ 5(lớp 8): Cho tứ giác ABCD, vẽ các đường thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD,

BC theo thứ tự tại E và F d2 cắt BA, BC theo thứ tự tại G và H (GH khác EF) Chứng minh rằng EG, DB, HF đồng quy

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Theo giả thiết EF // AC // GH yêu cầu bài

toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng quy,

ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ quả của định lý

Ta-lét tổng quát, EG, BD, FH đồng quy nếu như

ME NG

G

H

E

F D

C

B A

NH MF

NG = ME

Từ (*) và (**) suy ra: mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy

Nhận xét: Hệ quả của định lý Ta-lét tổng quát cho ta một cách chứng minh

đường thẳng đồng quy

Ở bài toán trên nếu GH = EF thì 3 đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nhau như thế nào?

Ví dụ 6(lớp 8): Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC tại I, AC cắt BD tại

O M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Đây là một bài tập khá đơn giản, việc chứng minh

nó có thể sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác hay

phương pháp diện tích ở đây ta trình bày lời giải theo

cách sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét tổng quát

Lời giải:

Theo giả thiết M là trung điểm của AB, N là trung

MB MA

ND = NCđiểm của DC, nên suy ra:

Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O  MN (1)

MA MB

ND = NCLại có: mà AB// DC

I

N

M O

B A

nên suy ra AD, MN, BC đồng quy

“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao

điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm các đường thẳng chứa hai cạnh bên

thì đi qua trung điểm của hai đáy”

Ngược lại: “ Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai cạnh

bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là các điểm thẳng

hàng”

Ta có thể sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm của đoạn thẳng mà

chỉ dùng thước, và có thể vận dụng bổ đề hình thang để vận dụng giải một số bài toán hình học Ta có thể xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 7(lớp 8).Xét ví dụ 5_Dạng 1(Trích đề thi HOMC 2006)

Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F Biết PQ = a và EF = b Tính độ dài của BC

Lời giải (tóm tắt):

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AG với PQ và BC

Áp dụng bổ đề hình thang cho các hình thang: BCQP và

BCEF dễ dàng suy ra được: MP = MQ; GE = GF; NB =

Q P

C B

A