Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

HỒ CHÍ MINHKettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018... HỒ CHÍ MINHKettavong Chinnalone BÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiệndưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu

từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôixin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018

Học viên thực hiện

KETTAVONG Chinnalone

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS NguyễnAnh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rấtnhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin

và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thờigian học tập và làm luận văn tại trường

Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn begần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

KETTAVONG Chinnalone

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

MỞ ĐẦU

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.4 Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

a, b

]

dt

vichuẩn

E – ma trận đơn vị.

2 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khinghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệphương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn chobài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

4 Nội dung của luận văn

Chương1: Các kiến thức chuẩn bi

Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhấtnghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiêncứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duynhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 vàchương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bàitoán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngoài ra, chúng tacũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểmkhi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Véctơ hàm x : I → Rn được gọi là nghiệm của hệ (1.1) , nếu hầu khắp nơi

(1.4)

Xem chứng minh trong [1].

(1.5)

(1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất.

thì bài toán Cauchy (1.1),

Chứng minh

Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2)

dx dt

khi và chỉ khi x(t) là nghiệm của phương trình:

x (t )= C

Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter

 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard

x

x

(1.9)

Ta có:

bằng cách chứng

(1.10)

(1.13) đúng với số tự nhiên k nào đó Ta chứng minh nó đúng với

hội tụ đều trên I về hàm

Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10)

Hay x (t )= lim x k(t ) đều trên I

Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có:

hội tụđều

về hàm x(t) trên I

q(τ

)dτ



 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.

Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2) Theo (1.8) ta có:

Định lý đã được chứng minh

Xét hệ phương trình tuyến tính :

Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ.

(1.15)

Hệ quả 1.1

Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15)

Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng:

pnơitrênI

hay

X

Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15).

(1.20)

 Tồn tại là hiển nhiên.

 Ta chứng minh tính duy nhất:

 C (t, τ )= X (t ) X − 1(τ )= exp ∫t P ( s )ds 

τĐịnh lý được chứng minh

Hệ quả 1.2

Nếu P ∈ R

có dạng:

C (t, τ )= exp (P (t − τ ) ).

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

Xét bài toán Cauchy:

Theo định lý 1.1 bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất Ta tìm công thức

nghiệm của nó theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

dxdt

Ta tìm nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) dưới dạng:

(1.15)

x (t

∫C (

t

(

là nghiệm của hệ (1.1), (1.2) và (1.35) gọi là công thức Cauchy.

n (1.1), (1.2) đượ

c gọilàxấ

p xỉđượ

c nế

u vớimỗi

ε >

và

thỏacác

ξ > 0 điều

(1.39)

và

 P (s )− P (s ) ds < ξ I

Khi đó:

x (t )− y (t ) < ε , ∀t ∈I

Định lý 1.8

(1.40)

(1.41)

Nếu

P∈L(I,Rthì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

Chứng minh

(1.42)

Do (1.42) nên nghiệm x của bài toán (1.1), (1.2) thuộc không gian

C(I,Rn)

Đặt:

ρ 0 = x C + x C

 svà

Khiđó:

Do (1.44) nên với ε > 0, ξ > 0 tồn tại δ > 0



 Xét bài toán (1.36), (1.37) với t

thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40)

Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

Khi đó:

z′( t )= y′(t )− x′(t )

(1.47)

Do đó:

Vậy định lý được chứng minh

Chú ý:

Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu:

Với mọi dãy t

0k

∈I, C0kthỏa các điều kiện:

lim t 0 k = t0

k →+∞

lim C 0 k = C0

k →+∞

đều trên I

và

R+

Giả sử t 0 ∈ R + , C 0 ∈ R + , x(t) lă nghiệm của băi toân

dxdt

x (t0 )= C0

(1.1)

(1.2)Do

P

lẵ

n

định

tiệm

cận

l

ũy thừa nên ta có i Nghiệm x(t)

thỏa điều kiện

lim

t → + ∞

(1.54)

ii. GọiC

(

,τ

)

làm

a trậ

n Cauch

y củ

a h

ệ (1

15) tồ

n tạ

i cá

c s

ố cho:

iii Do

Do (1.54) với c

ho:

ξ0 ,η > 0 sao

(1.55)

(1.56)

1.8 bài toán (1.1),

(1.2) là xấp xỉ được Khi đó tồn tại

sao cho với mọi

thoả

(1.58)

và q∈Lloc(R+,Rn

)

với y(t) là nghiệm của bài toán

Ta cần chứng minh

Khi đó theo (1.61), (1.62) thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

Đặt

z(t ) = x (t ) − y(t )

Khiđóz'

(t

)

= x'

4

C (t, τ)

∂τ

Ta có

Cho t0∈ R+, C0∈Rn, P ∈Lloc(R+, Rn×n) và q∈Lloc(R+, Rn) Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ yếu nếu ∀ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t 0 ∈ R + ,

C0∈ R n , P ∈L loc(R + , Rn×n )và q ∈L loc(R + , Rn) thoảcác điều kiền

Nếu P là ổn định đều thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ yếu.

(1.69)

Chứng minh

Giả sử x(t) là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

Do P là ổn định đều nên tồn tại số ξ0>0 sao cho

(1.70)

x (t )− y(t )

(1.72)

dydt

y (t 0)= C0 Để kết thúc chứng minh định lý ta cần chứng minh

≤ ε exp (−ξ 0Vậy ta có

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cho I = [a, b], xét hệ phương trình vi phân

dx

dtvới P ∈ L(I, R n ×

n ), q ∈ L (I, R n).Nghiệm của (2.1) là vectơ hàm x(t) ∈ C(I, R n ) thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên I Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm x(t) của hệ (2.1) thỏa điều kiện biên

(x) = C

với : C(I,R n)→ R n là toán tử tuyến tính liên tục, C 0 ∈

Bài toán (2.1), (2.2) gọi là bài toán biên tổng quát

Trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) là:

 Bài toán Cauchy:

n R

(2.2)

x (t

• Bài toán biên hai điểm:

A x 1

• Bài toán biên nhiều điểm:

Bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán

0

Với

t

x (t ) = C (t, a ).x (a ) +∫C (t, τ) q (τ) dτ

a t

 Y (t ).x (a )+∫Y (t ).Y − 1(τ) q (τ) d τ

aĐặt: x (a )= C,

+

(

A ( q )

) (

t

)

.

Kh

i đ

ó x(t)lànghiệmdu

y

nhất của bài toán (2.1),(2.2) nghiệm duy nhất của

hệ

(2.5)khi và chỉ khi C

Mặt khác điều kiện (2.7) tương đương với điều kiện bài toán

chỉ có nghiệm tầm thường Vậy bài toánchỉ khi bài toán

đó

Tha

y vào (2.5) ta

có nghi

ệm của

)

là x

Đặt:

là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lý

Riesz tồn tại ma trận hàm H ∈L+∞(I, Rn ×n) sao cho:

b

h (q )=∫H (t ).q (t ).dt

aThay vào (2.10) ta có:

x (t )= x 0(t )+ Y (t ) ∫b H (τ) q (τ) d (τ)+ Y(t) ∫t Y −1(τ) q (τ) d τ

= x 0(t )+∫b G (t, τ ) q (τ ) dτ

aVới

λ( b)= θ

Điều kiện cần và đủ để bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất là tồn tại các

số tự nhiên k và m sao cho ma trận

Chứng minh

Điều kiện đủ:

Giả sử các điều kiện (2.16), (2.17) được thực hiện Ta chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất

Trước hết ta xây dựng các dãy toán tử

x (a )= C.

Khi đó

x (t )= C +(p

1 1

= C + p

t s

∫ P (s )∫ P (τ) d τ ds x Ca

t

aBằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được

 E − M k,m) x C ≤ 0.

Do

r(M k, m ) < 1nên

Suy ra:

hay

Điều kiện cần:

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm Ta chứng minh tồn tại các số tự nhiên k, m sao cho (2.15), (2.16) đúng

Trước hết ta lưu ý

a

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Y(a )= E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên

Đặt

Ta có

Do (2.21) nên chuỗi

i = 1

(2.22)

lim M

k →+∞

Do đó tồn tại k, m đủ lớn sao cho r(M k, m ) < 1.

Định lý đã được chứng minh

Chú ý:

Nếu cho f(t)∈ L(I,R )

(2.23)

texp ∫f(τ) dτ =∑

với (2.24), (2.2) có nghiệm

(2.24)

đủ bé bao nhiêu để

avà

với M k , M k, 1 như trong định lý 2.2.

Theo (2.25) hoặc (2.26), (2.27) thì det M k

sao cho hệ phương trình vi phân

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm.

Chứng minh

(2.29)

(2.30)

Để chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm ta chỉ cần

chứng minh bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Giả sử x(t )=(x i(t) )in= 1 là nghiệm của (2.10), (2.20) Khi đó

dx

= P (t ).x = P x (t )+  P (t )− Pdt

Do (2.28), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lý 2.1 ta có

Ta có điều phải chứng minh

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (2.1), (2.2) ta xét các bài toán sau

(2.2k)

Định nghĩa 2.2 Bài toán (2.1), (2.2) gọi là xấp xỉ được nếu nó có nghiệm

duy nhất x và với mọi dãy

toán tử tuyến tính liên tục,

t

∫ k

Pa t

∫q k a

Định lý 2.4

Nếu bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất thì nó là xấp xỉ được

Trước khi chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau

Chứng minh Định lý 2.4

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Y(a) = E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên theo (2.7) ta có

P ∈ L(I,R

Giả sử

kcác toán tử tuyến tính liên tục thỏa các điều kiện (2.31) → (2.33)

Với mỗi số tự nhiên k, gọi Yk là ma trận cơ bản của hệ

dãy

dtthỏa điều kiện biên

Khi đó theo định lý 1.10 ta có:

Từ (2.33) theo định lý không gian Banach – Steinhaus tồn tại sốcho

kKhi đó

lim h k(q k)= h (q )

k →+∞

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phươngtrình tuyến tính

dx

dtthỏa điều kiện biên hai điểm

Trong đó I=[a, b].

A, A

2gọi là các ma trận điều kiện biên của bài toán đã cho

1

Trong mục 3.1 chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính giải

được của bài toán (3.1), (3.2) Trong mục 3.2 ta xét trường hợp khi điều kiện duy

nhất của (3.1), (3.2) không còn và đưa ra một số tính chất đại số của bài toán

này

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với bài toán (3.1), (3.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

dx

= P (t ).xdt

A1 x (a ) + A 2 x (b ) = 0

Từ định lý 2.1 ta có ngay kết quả sau:

Định lý 3.1

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm duy nhất là bài toán

thuần nhất tương ứng (

Tức là:

det (A1Y (a ) + A 2Y(b) )≠ 0

Trong đó Y là ma trận cơ bản của hệ (3.10 ) Nếu điều kiện (3.3) được

thoả mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán (3.1), (3.2) cho bởi công thức Green:

Trong đó

của bài toán

Dễ thấy hàm Green của bài toán

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có

các số tự nhiên k và m sao cho ma trận:

với ε >0, bé tùy ý Từ định lý 3.2 ta có

2

với điều kiện biên (

λ0 (A )u (b ) ≤ u (a )≤ λ0 (A )u (b ).Khi đó theo bổ đề 1.1 ta có:

λ0 (A )exp 

 ∫b λ0 (P (t ) )dt 

u (b ) ≤ u (b)

 a 

≤ λ 0 (A)exp 

∫b

 a

Khi đó nếu (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được u(b)

< u(b) ) (mẫu thuẫn) Do đó ta có điều phải chứng minh

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần nhất sau:

u(b) > u(b) (hoặc

với điều kiện biên thuần nhất

B y 1

A B*1

A B*1

Do (3.14), (3.18) nên các cột của ma trận sau:

là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:

có dạng:

Hiến nhiên rank (B 01 , B 02)= n và thỏa (3.18) Vì vậy điều kiện biên

(3.16) là đối ngẫu với điều kiện biên (3.20 )

Giả sử điều kiện biên (3.13) là đối ngẫu của điều kiện biên

kiện biên (3.20 ), khi đó bài

độc lập tuyến tính là như sau:

n

và (3.13) là điều kiện biên đối ngẫu của điều

toán (3.10),(3.20 ) và (3.12), (3.13) có số nghiệm

Chứng minh

Giả sử bài toán (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính Ta sẽ

chứng minh bài toán (

Do rank (A1 , A 2

để ma trận H trong (3.21) là chính qui và giả sử

Khi đó điều kiện biên (3.16) sẽ là đối ngẫu của điều kiện biên (3.20 ) Mặt kháctheo bổ để 3.1, tồn tại ma trận chính qui M ∈ R

thoả mãn

Giả sử Y là ma trận cơ bản của hệ (

của hệ (3.12) Vì vậy mỗi nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng

))

AA

2 2

Y Y

((

b a

))









và

− 1 H

) )

b b

))

Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng bởi (3.27) Do

chính qui, do đó suy ra hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy ra hệ

H1

là

(A1Y (a )+ A 2Y (b ) )c = 0 (3.29)

cũng có m nghiệm độc lập tuyến tính, do đó bài toán (3.10), (3.20 ) có đúng m nghiệm độc lập tuyến tính là điều phải chứng minh

Bổ đề 3.4

rank (A1 , A 2 )= n , khi đó với mỗi

khả vi liên tục trên I sao cho:

Từ đó đặt

khi đó u

u

0thỏa (3.30)

A u

0 1

nghiệm của bài toán (

điều có dạng:

x

 3.1),

cơ sở

 3.2)

x (t )= x 0(t )+∑α i

Chứng minh

- Từ bổ đề 3.3 ta có ngay i.)

- Chứng minh ii.)

Thật vậy theo định lý Cauchy 1.8 thì nghiệm của bài toán (3.33) có dạng:

x (t )= Y (t ).c +∫t Y (t ).Y −1(τ) q 0(τ) dτ

a