Phương pháp toán tử FK giải phương trình schrodinger cho exciton hai chiều trong điện trường đều

Công trình này đãtính toán được ảnh hưởng của điện trường đều đến mức năng lượng của excitonWannier hai chiều bằng cách đưa phương trình Schrödinger về tọa độ parabol chứa cáctham số khô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ MỸ HẢO

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG

ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

TP Hồ Chí Minh - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ MỸ HẢO

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG

ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM

TP Hồ Chí Minh - 2019

Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn thầy cô trong phòng Vật lý tính toán của Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn Xin cảm ơn bạn bè và người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian làm luận văn.

Mặc dù tôi đã cố gắng để hoàn thành luận văn nhưng chắc chắn tôi không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót trong quá trình hoàn thành Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019.

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC BẢNG ii

DANH MỤC HÌNH VẼ ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU 6

1.1 Phương pháp toán tử FK 6

1.2 Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều 10

1.3 Phép biến đổi Levi-Civita 13

1.4 Phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường 14 Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH 19

2.1 Chương trình tính toán 19

2.2 Trường hợp điện trường bằng không 2.3 Trường hợp điện trường khác không  1  0, 2

  0  20

  0  26

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

DANH MỤC CÔNG TRÌNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrödinger về dạng không thứ nguyên 36 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita .

Phụ lục 4: Tính giao hoán tử của Hamiltonian và L z

Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hoán ˆ Phụ lục 6: Biểu diễn H , L z theo các toán tử a ˆ, a ˆ Phụ lục 7: Các công thức tác dụng và tìm các yếu tố ma trận H và R .

i

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 Giá trị năng lượng ở các trạng thái n được tính bằng phương pháp toán

tử FK và trong công trình [7] 25Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái cơ bản (n 1) phụ thuộc vào cường độ điện

trường 26Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất n  2  phụ thuộc vào cường

độ điện trường 26

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n  1 

trong trường hợp nmax  50 22Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n  2  trong trường hợp n max  50 22

Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n  3 trong trường hợp nmax  50 23Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n  2  trong trường hợp n max  80 24

Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

n  3 trong trường hợp nmax  80 24Hình 2.6 Phổ năng lượng của exciton theo điện trường 27

ii

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật liệu hai chiều (2D) có tính chất vật lý và hóa học quan trọng đã được nghiêncứu trong nhiều thập kỷ [27], [28], [30] Kể từ báo cáo đầu tiên của Geim vàNovoselov et al vào năm 2004, graphene là một đơn lớp phẳng bao gồm các nguyên

tử carbon được sắp xếp trong mạng tinh thể tổ ong hai chiều (2D), đã nhanh chóng trởthành một trong những chủ đề nóng nhất trong khoa học vật liệu vào thời điểm đó dotính chất hấp dẫn và có tiềm năng lớn Do năng lượng vùng cấm bằng không, cấu trúcsiêu mỏng và phẳng, graphene đã thể hiện các tính chất điện tử, nhiệt, quang và cơ họcđáng chú ý như: tính di động cao của các hạt mang điện ở nhiệt độ phòng, dẫn nhiệtvượt trội, hệ số truyền quang học cao, Dù graphene đã mang lại những tính chất độcđáo nhưng vì năng lượng vùng cấm bằng không nên nó được xem như một kim loại,

đã làm hạn chế những ứng dụng của nó Ngoài graphene còn có các chất bán dẫn haichiều có cấu trúc tương tự ví dụ transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonalboron-nitride (h – BN),… Chất bán dẫn 2D là chất bán dẫn tự nhiên có kích thướcnguyên tử Khi mà kích thước của nó giảm đáng kể, các chất bán dẫn này thể hiện một

số tính chất độc đáo, chẳng hạn như chuyển từ tính chất bán dẫn gián tiếp sang trựctiếp do đó được ứng dụng trong điện tử, lưu trữ năng lượng, cảm biến và vật liệu tổnghợp [27]

Trong các vật liệu 2D, two-dimensional transition metal dichalcogenides (TMDs)trở thành trọng tâm của nghiên cứu cơ bản và ứng dụng công nghệ do cấu trúc tinh thểcủa chúng, một loạt các thành phần hóa học và nhiều tính chất vật liệu [28] Do đó,nghiên cứu về TMDs ngày càng tăng và chiếm tỉ lệ khá cao trong số lượng công bốnghiên cứu về vật liệu 2D [8] 2D TMDs thường được kí hiệu MX2 trong đó M lànhóm kim loại chuyển tiếp (ví dụ như Ti, V, Nb, Mo, Hf, Ta, W) và X là nhómchalcogen (S, Se và Te) TMDs đơn lớp sẽ bao gồm một lớp của nguyên tử kim loạichuyển tiếp được kẹp giữa là hai lớp nguyên tử chalcogen trong cấu trúc lăng trụ tamgiác (trigonal prismatic structure) [20] Do cấu trúc tinh thể dị hướng và độc đáo cao,các tính chất vật liệu của 2D TMD có thể được điều chỉnh một cách hiệu quả thôngqua các phương pháp khác nhau bao gồm giảm kích thước, xen kẽ,… Cụ thể như ta cóthể thay đổi cấu trúc dãy bằng cách làm mỏng lớp 2D thành đơn lớp [28] Đơn lớp 1

TMDs với năng lượng vùng cấm “trực tiếp” nằm trong khoảng vùng gần hồng ngoạiđến khả kiến Hiện nay, các nghiên cứu về đơn lớp TMDs thuộc nhóm VI đang đượcchú ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, và WSe2 Đây là chất bán dẫn với những tính chấtquang học và điện tử đặc biệt, hứa hẹn có nhiều ứng dụng quang điện tử ví dụ như tếbào quang điện, diode phát quang,…[8] Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng dịch chuyểnquang học chủ yếu trong TMDs là hình thành exciton [20].

Exciton là một chuẩn hạt được tạo thành khi có tương tác Coulomb giữa điện tửmang điện tích âm và lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro.Exciton thường được phân loại tùy vào tính chất vật liệu đang xét Đối với chất bándẫn thì exciton này được gọi là exciton Mott-Wannier, với chất cách điện thì người tagọi là exciton Frenkel Trong chất bán dẫn, exciton được tạo thành khi một photon bịhấp thụ, kích thích điện tử từ vùng hóa trị lên vùng dẫn và để lại một lỗ trống mangđiện tích dương Sau đó, điện tử và lỗ trống kết hợp với nhau bằng tương tác Coulombtạo ra giả hạt exciton đồng thời sẽ phát ra một photon [23] Đối với các chất bán dẫnhai chiều (2D), exciton càng có ý nghĩa đặc biệt, bởi khi số chiều giảm làm tăng tươngtác Coulomb [30], đây là nguồn gốc của các hiệu ứng của exciton Hiệu ứng củaexciton lại tham gia nhiều quá trình hình thành cơ sở của một lượng lớn các thiết bịexciton ở kích thước nano và các hiệu ứng vật lý, ví dụ như nguồn photon đơn (singlephoton sources), laser exciton (excitonic lasers), transistor quang điện tử(optoelectronic transistors),… [29]

Phổ năng lượng của exciton là thông tin để tìm hiểu trực tiếp về tính chất vật lýtrong chất bán dẫn Nó cũng là nền tảng để nhận biết hiệu ứng của exciton trong thínghiệm phổ quang học Vì thế việc nghiên cứu phổ năng lượng rất có ý nghĩa Khi sốchiều của hệ giảm thì tương tác giữa điện tử và lỗ trống tăng đáng kể đi nên phổexciton 2D sẽ có cấu trúc rõ nét hơn [16] Tuy nhiên, năng lượng của exciton ở trạngthái kích thích cao khó đo trong thực nghiệm [21] Vì thế người ta thường tìm cách đặttrường ngoài bao gồm điện trường hoặc từ trường vào để dễ đo đạc phổ hơn Ngoài ra,đặt điện trường song song có cường độ lớn vào các vật liệu khác nhau là một phươngpháp hiệu quả để điều chỉnh tính chất quang học của chúng Cụ thể ví dụ như ở côngtrình [15] khi khảo sát phổ quang phát quang của đơn lớp và hai lớp WS2 trong trườnghợp đặt điện trường song song, kết quả cho thấy là khi tăng cường độ điện trường đối

2

với đơn lớp WS2 thì dẫn đến dập tắt quang phát quang (PL quenching) trong khi đốivới hai lớp WS2 thì làm tăng phát xạ quang phát quang; khám phá này có thể giúp íchrất nhiều trong việc phát triển hiệu quả hơn các các thiết bị quang điện tử dựa trên cơ

sở vật liệu 2D TMDs Trong một số nghiên cứu, điện trường ngoài có cường độ lớnđược sử dụng để điều chỉnh năng lượng vùng cấm của hai lớp graphene, hai lớpTMDs,… [25] Đặc biệt, điện trường đóng vai trò quan trọng trong các quá trình ionhóa trong TMDs Trong những vật liệu có năng lượng liên kết exciton lớn như TMDs,việc ion hóa bằng nhiệt không hiệu quả nên thay vào đó người ta thường sử dụng điệntrường mạnh [22] Ngoài ra, thì việc đặt điện trường ngoài vào giúp ta có thể quan sáthiệu ứng vật lý quen thuộc như hiệu ứng Stark [26] Từ đó, ta có thể nói bài toánexciton hai chiều trong điện trường với các cường độ khác nhau đóng vai trò quantrọng đối với cả lý thuyết và thực nghiệm

Việc giải phương trình Schrödinger để tìm ra phổ năng lượng cho bài toánexciton trong điện trường đều đã được một số nhóm nghiên cứu thực hiện Đối vớitrường hợp ba chiều (3D), một số nhóm thực hiện việc chuyển phương trìnhSchrödinger thành cặp hai phương trình trị riêng một chiều [9], [10] Còn đối vớitrường hợp 2D, một số nhóm cũng sử dụng phương tương tự, tác giả đã phân tíchphương trình Schrödinger thành hai phương trình trị riêng một chiều của dao độngtuyến tính phi điều hòa nhưng có những điểm khác nhau, cụ thể như công trình [19]

của tác giả A J Linssen và M J Gelten được đề cập đến năm 1974 Công trình này đãtính toán được ảnh hưởng của điện trường đều đến mức năng lượng của excitonWannier hai chiều bằng cách đưa phương trình Schrödinger về tọa độ parabol chứa cáctham số không thứ nguyên, sử dụng phương pháp tách biến, tách phương trìnhSchrödinger thành hai phương trình Các trị riêng năng lượng của exciton ở trạng tháiliên kết sẽ được tính gần đúng bằng phương pháp WKB Trong công trình [18] đượccông bố bởi Frank L Lederrnan and John D Dow năm 1976, phương trìnhSchrödinger của exciton hai chiều đặt trong điện trường đều cũng được chuyển về tọa

độ parabol tuy nhiên được định nghĩa khác với công trình của Linssen và được táchthành hai phương trình; kết hợp với công thức của Elliott về hệ số hấp thụ của excitontrong vật liệu phân lớp Nhờ đó phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trongđiện trường đều có cường độ tùy ý được giải chính xác (bằng số) Vào năm 2001, S I.Pokutnyi et al đã tìm ra cách để giải quyết bài toán một exciton Wannier-Mott hai

3

chiều trong điện trường đều [24] Tương tự như hai công trình trên, tác giả sử dụng tọa

độ parabol được định nghĩa tương tự công trình của Linssen Cuối cùng, để giảiphương trình Schrödinger một chiều thu được tác giả sử dụng phương pháp số dựa trêncông thức ma trận của phương pháp Numerov và đồng thời sử dụng phương pháp gầnđúng WKB để tính toán được hệ số xuyên ngầm

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp toán tử FK để giải quyếtbài toán trên Phương pháp toán tử FK (viết tắt FK - OM) được đưa ra bởi nhómnghiên cứu của giáo sư Komarov ở Đại học Belarus vào năm 1982 [12] Phương pháp

có ý tưởng chính dựa trên tư tưởng của thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành haithành phần: phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn Tuy nhiên,khác so với phương pháp nhiễu loạn thì việc tách Hamiltonian không chỉ phụ thuộcvào yếu tố vật lý mà phụ thuộc vào hình thức của các toán tử trong Hamiltonian.Phương pháp FK-OM đã ứng dụng thành công cho các bài toán vật lý nguyên tử, vật

lý chất rắn và bài toán lý thuyết trường [5], [6], [11], [13] Cụ thể hơn là phương phápnày đã giải quyết thành công cho các bài toán đặt trong từ trường ví như: nguyên tửhydro trong từ trường với cường độ bất kì [1], exciton hai chiều trong từ trường đều

[2],… Vì thế kế thừa ý tưởng từ những công trình trước, chúng tôi tiếp tục phát triển

FK – OM cho trường hợp trường ngoài là điện trường và bước đầu là áp dụng cho bàitoán exciton hai chiều trong điện trường đều

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là phát triển phương pháp toán tử FK cho bài toán

exciton 2D trong điện trường để xác định nghiệm chính xác bằng số

Mục tiêu trên được thực hiện thông qua những nội dung nghiên cứu sau:

 Tìm hiểu tổng quan

 Thiết lập Hamiltonian của hệ và đưa về dạng toán tử sinh hủy

 Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và tính toán các yếu tố ma trận

 Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số chính xác

 Phân tích, so sánh, nhận xét kết quả

3 Phương pháp nghiên cứu

 Tính toán lý thuyết sử dụng phương pháp toán tử FK

4

 Lập trình FORTRAN sử dụng gói LAPACK.

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận thì luận văn bao gồm hai

chương: Chương 1: Exciton hai chiều trong điện trường đều.

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp toán tử FK và nguyêntắc chính của phương pháp này dựa vào các công trình trước Phần tiếp theo là xâydựng phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường và đưa nó vềdạng không thứ nguyên Sau đó, phép biến đổi Levi-Civita đã đưa phương trìnhSchrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường về phương trình cho dao động tửphi điều hòa Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho bài toán excitonhai chiều để tìm ra yếu tố ma trận, sau đó chương trình tính toán được xây dựng dựavào gói LAPACK của bài toán trị riêng hàm riêng

Chương 2: Kết quả và phân tích.

Chương này, chúng tôi giới thiệu về các yếu tố cần quan tâm khi sử dụng chươngtrình tính toán đã xây dựng để tìm ra nghiệm chính xác của phương trình Schrödingercho exciton hai chiều trong điện trường và chú ý ở đây chính là phổ năng lượng củaexciton Chương trình tính toán được áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợpđiện trường bằng không tức là bài toán trở thành exciton hai chiều, trường hợp điệntrường “nhỏ” Đối với trường hợp không điện trường, chương trình tính toán thu đượcnghiệm chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi viết về dạng chuẩn Còn đốivới trường hợp có điện trường, kết quả thu được phổ năng lượng của trạng thái cơ bản

và một số trạng thái kích thích giúp ta quan sát được hiệu ứng Stark

5

Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU

Phần đầu trong chương trình bày một cách tổng quan, ngắn gọn về phương pháptoán tử FK và quy trình áp dụng phương pháp vào các bài toán đã được trình bày ở cáccông trình [1], [2], [3], [17] bao gồm bốn bước :

Hamiltonian được đưa về dạng toán tử sinh hủy

Hamiltonian được tách thành hai thành phần: thành phần chính đã có

nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn

Chuyển động của hạt tự do

Sau đó, phương trình Schrödinger mô tả chuyển động tương đối của lỗ trống vàelectron được đưa về dạng không thứ nguyên để thuận tiện cho việc tính toán.Hamiltonian trong phương trình thu được ở đây có số hạng gây khó khăn do có thànhphần ở mẫu số, vấn đề này sẽ được giải quyết khi áp dụng phép biến đổi Levi-Civita.Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho exciton hai chiều trong điệntrường để tìm ra nghiệm số chính xác Đặc biệt, ở bước cuối trong quy trình áp dụngphương pháp ngoài việc sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm ra các bổ chính bậc cao để thuđược nghiệm số chính xác, ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ởphần sau

1.1 Phương pháp toán tử FK

Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản của cơ lượng tử,

nó đóng vai trò tương tự phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển Vìvậy các bài toán chuyển động phi tương đối tính của hệ vật lý trong thế giới vi mô đềudẫn tới việc giải phương trình này Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc mộttheo thời gian và bậc hai theo tọa độ, nhờ đó ta có thể khảo sát sự biến đổi trạng tháicủa hệ theo thời gian Trường hợp phương trình Schrödinger có sự phân ly biến số

6

giữa thời gian và tọa độ người ta gọi là phương trình Schrödinger dừng, đây là trường

hợp đặc biệt nhưng chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được nghiên cứu Nghiệm của

nó là hàm sóng mô tả trạng thái và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ

đang xét [14] Tuy nhiên, nghiệm giải tích chính xác của phương trình này chỉ được

xác định trong một số trường hợp đơn giản tiêu biểu như bài toán nguyên tử hydro,

dao động tử điều hòa, hạt chuyển động trong hố thế vuông góc,… Còn đối với bài toán

phức tạp hơn thì phải dùng đến các phương pháp gần đúng có thể kể đến phương pháp

nhiễu loạn và biến phân mà trong đó phương pháp nhiễu loạn được xem là một

phương pháp kinh điển được sử dụng của cơ học lượng tử

Phương pháp toán tử FK được đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk và Komarov

thuộc nhóm nghiên cứu ở đại học Belarus đã xây dựng phương pháp này vào những

năm 1980 cho bài toán dao động tử điều hòa bậc bốn [12] Phương pháp này đã được

phát triển và ứng dụng thành công cho nhiều bài toán vật lý khác nhau như bài toán vật

lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử và phân tử [5], [6], [11], [13] Phương

pháp toán tử FK là một trong những phương pháp tìm nghiệm số chính xác bao gồm cả

hàm sóng lẫn năng lượng cho phương trình Schrödinger

Ý tưởng chính của phương pháp này tương tự như thuyết nhiễu loạn tức là tách

thành phần Hamiltonian thành hai thành phần, trong đó thành phần chính đã có nghiệm

chính xác và phần còn lại là nhiễu loạn Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian trong

lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương

tác trường ngoài và phải đủ nhỏ mới áp dụng phương pháp này Còn đối với phương

pháp toán tử việc phân chia hai thành phần này chỉ dựa vào hình thức toán tử trong

Hamiltonian Ngoài ra, phương pháp toán tử FK còn đưa vào một tham số tự do  để

hiệu chỉnh sự tương quan về độ lớn của thành phần chính và nhiễu loạn nhằm thỏa

mãn điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn Nhờ vậy, bán kính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn

được làm tăng, cho phép xác định nghiệm số chính xác bằng số với độ chính xác tùy ý

Trong một số công trình trước [1], [3] việc áp dụng phương pháp này để giải

phương trình Schrödinger thông thường tuân theo các bước sau:

Bước một: Hamiltonian được đưa về biểu diễn đại số

7

dx bằng cách chuyển các biến số động lực qua các toán tử sinh hủy:

là công cụ chính trong quá trình tính toán

Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần:

thành phần chính đã có nghiệm chính xác, thành phần còn lại là V

coi như là thành phần nhiễu loạn

Như vậy, tương tự phương pháp nhiễu loạn, trong phương pháp toán tử FK,

Hamiltonian cũng được tách thành hai thành phần: thành phần chính

thể thay đổi giá trị  để làm cho thành phần

mãn điều kiện của thuyết nhiễu loạn với độ lớn bất kì của trường ngoài

Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:

ˆ

Ta thấy toán tử H0

Từ hệ thức giao hoán (1.3) ta dễ dàng chứng minh được

ra được trị riêng của

n n n

bậc zero

từ đó có thể suy

Bước bốn: Xác định yếu tố ma trận tìm ra nghiệm số chính xác

Bước này ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chínhbậc cao Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao chúng ta có thể sửdụng sơ đồ vòng lặp có ý tưởng sau:

Hàm sóng chính xác của bài toán có thể được biểu diễn chồng chập các trạng thái(1.6) như sau:

Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đặt theophương song song với bề mặt vật liệu 1 ,2, 0 là phương trình không dừng Vìexciton có thể bị ion hóa và thời gian sống của nó là hữu hạn, nên cần phải sử dụngphương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian Tuy nhiên, giả thuyết rằng thời giansống của exciton tương đối dài, nên ta có có thể áp dụng phương trình Schrödingerdừng có dạng như sau:

Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều:

Ngoài ra, việc electron và lỗ trống trong exciton tương tác với nhau, các hạt nàycòn chịu tương tác của các vi hạt khác trong cấu trúc mạng tinh thể Vì thế ở đây ta sửdụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, mối liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng vớinăng lượng: 1  1 d 2

k 

m* 2dk 2

trong đó k là vector số sóng có độ lớn k  , để

mô tảchuyển động của điện tử và lỗ trống trong trường tinh thể Khối lượng hiệu dụng tỉ lệtuyến tính với khối lượng tĩnh của điện tử me có thể mang giá trị âm, dương hoặc vôcùng tùy vào trạng thái của điện tử

Hamiltonian bao gồm hai thành phần động năng và thế năng do điện trường gây

ra nên có thể tách thành hai phần bao gồm của lỗ trống và electron, tuy nhiên thànhphần thế Coulomb ta không thể thực hiện tương tự Vì vậy, ta viết (1.15) trong hệ tọa

độ chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối hai hạt Với r ,R lần lượt vectortọa độ mô tả chuyển động tương đối của electron và lỗ trống, chuyển động khối tâmcủa hệ giả hạt được định nghĩa như sau:

Áp dụng phương pháp tách biến, phương trình (1.14) có thể tách thành hai

phương trình trị riêng hàm riêng:







với năng lượng và hàm sóng của hệ lần lượt là

Ta có thể tách chuyển động của exciton thành hai chuyển động trong đó là chuyển

động tương đối giữa electron, lỗ trống có khối lượng hiệu dụng

tâm Coulomb; chịu tác dụng của điện trường có phương trình Schrödinger (1.20) và

chuyển động của hạt có khối lượng

(1.21) đã có nghiệm sẵn, do đó phương trình ta cần quan tâm đó là phương trình

(1.20)

Để đơn giản trong quá trình tính toán ta chuyển phương trình (1.20) về dạng

không thứ nguyên với









Ở đây đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R* 

dài là bán kính Bohr hiệu dụng

 , 

2 1

Ngoài ra, toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục

đơn vị nguyên tử:

12

1.3 Phép biến đổi Levi-Civita

Một trong những công đoạn quan trọng khi sử dụng phương pháp toán tử FKchính là đưa Hamiltonian về dạng toán tử sinh hủy, tuy nhiên trong bài toán này nóiriêng và các bài toán về nguyên tử phân tử nói chung thì các số hạng biểu diễn tươngtác Coulomb chứa thành phần tọa độ ở phía mẫu số gây khó khăn trong việc đưa vềdạng chuẩn khi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy Một trong những cách khắc phụckhó khăn trên là sử dụng mối liên hệ giữa bài toán exciton hai chiều và dao động tửđiều hòa hai chiều trong công trình [17]

Ta sẽ giải phương trình (1.22) bằng phương pháp toán tử FK dựa trên ý tưởng lýthuyết nhiễu loạn với thành phần chính là dao động tử điều hòa Các nghiên cứu trước

toán dao động tử phi điều hòa trong không gian (u , v) thông qua phép biến đổi Civita:

Để đảm bảo tính Hermit của Hamiltonian trong tọa độ mới (u, v) phương trình

(1.22) tương đương phương trình sau:

L z

1.4 Phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường

1.4.1 Phương pháp đại số

(1.28)

Phương pháp đại số sẽ được sử dụng để giải phương trình Schrödinger (1.25) –

(1.27) thông qua các toán tử sinh, hủy Dirac được định nghĩa lần lượt sau đây:

uˆ 

vˆ Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán

Khi sử dụng phương pháp toán tử FK người ta thường quan tâm đến tính đối

xứng của bài toán Trong các bài toán exciton hai chiều, exciton hai chiều trong từ

trường vuông góc,…thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục

nghĩa là Hamiltonian và toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục

mới là tổ hợp tuyến tính của toán tử sinh hủy cũ sao cho

dù đối với bài toán này, do ảnh hưởng của điện trường nên đại lượng này không bảo

toàn (Phụ lục 4), nhưng để thống nhất với công trình trước [3], ta vẫn sẽ sử dụng bộ

hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của toán tử

tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa

aˆ 2

aˆ

b 

2

b 2

Các toán tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hoán

 aˆ, aˆ



Ở đây, các toán tử (1.30) được đưa vào một tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc

độ hội tụ Tham số này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả bài toán vì nó không có mặt

trong Hamiltonian toàn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần

nhiễu loạn, nó đóng vai trò điều chỉnh độ lớn của hai thành phần này để áp dụng điều

kiện nhiễu loạn

Hamiltonian (1.27) được biểu diễn dưới dạng toán tử sinh hủy (1.30) như sau (xem

thỏa mãn hệ thức giao hoán

hàm sóng cơ sở (1.37) dạng như sau:



 được định nghĩa từ

(1.38)

(1.39)hợp tuyến tính của các

(1.40)

1.4.3 Các yếu tố ma trận của Hamiltonian

Ta giải phương trình (1.25) với hàm sóng khai triển (1.40) khi đó phương trình được viết lại :

j , k

ta được:

j , k

Thực hiện các tính toán đại số để tìm biểu thức của các yếu tố ma trận (1.42), làm

cơ sở để xác định nghiệm số chính xác của bài toán Kết quả thu được biểu thức của

các yếu tố ma trận khác không như sau:

 Yếu tố ma trận của R :

R n

1

n

2

R n

 Các yếu tố ma trận khác không khác có thể được xác định bằng cách

dựa vào tính chất của toán tử hermit:

17

Các yếu tố ma trận

năng lượng của exciton cũng có dạng phức

của hệ nguyên tử trong điện trường ngoài, trong đó thành phần ảo đặc trưng cho xácsuất ion hóa xuyên ngầm  của nguyên tử [22], là một đại lượng có ý nghĩa trong việcxác định các tính chất vật lý của hệ

1.4.4 Nghiệm số chính xác của phương trình

Phương trình (1.42) tương đương với phương trình sau:

Để giải bài toán exciton hai chiều trong điện trường đều ta xây dựng chươngtrình tính toán dựa trên ngôn ngữ FORTRAN Phần quan trọng nhất trong chương trìnhchính là sử dụng gói LAPACK tìm trị riêng cho bài toán trị riêng, hàm riêng trong thưviện Intel Math Kernel

18

Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH

Trong chương này, đầu tiên ta sẽ giới thiệu về chương trình tính toán cùng một sốtham số liên quan Tiếp theo, chương trình tính toán được áp dụng để tìm năng lượngcủa exciton trong hai trường hợp: trường hợp điện trường bằng không, trường hợp điệntrường khác không Trường hợp điện trường bằng không, tức là bài toán trở thànhexciton hai chiều không chịu tác dụng của trường ngoài, ta sẽ khảo sát năng lượng củaexciton theo các tham số trong bài và so sánh kết quả thu được với nghiệm giải thíchtrong công trình [7] nhằm kiểm tra chương trình tính toán được xây dựng Sau đó,chương trình được áp dụng cho trường hợp điện trường khác không thì ta thu được phổnăng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích, quan sátđược hình ảnh của hiệu ứng Stark

Từ phương trình (2.2) sẽ thu được một hệ phương trình tuyến tính có các yếu tố matrận đã được xác định, có dạng như sau:

trong đó: A là ma trận có các yếu tố ma trận H R jj' ,

kk '

các giá trị năng lượng của exciton

Trị riêng  là chính nghiệm của phương trình

đặc trưng Các giá trị năng lượng của exciton chính là nghiệm của phương trình đặctrưng trên Do đó, chương trình tính toán được xây dựng sử dụng gói LAPACK để giảibài toán trị riêng hàm riêng

2.2 Trường hợp điện trường bằng không

Trước tiên, để kiểm tra tính chính xác của chương trình tính toán, chương trìnhđược áp dụng trường hợp không có điện trường tức là  1   2  0 và kết quả được sosánh với kết quả trong công trình [7] Trong công trình này, nghiệm giải tích của bàitoán exciton hai chiều không chịu tác dụng của trường ngoài, được xác định như sau:

vị là những giá trị  làm

cho

2.2.1 Khảo sát năng lượng theo tham số



Việc lựa chọn tham số

quả Trước tiên, giá trị nmax

bản và các trạng thái kích ứng với những giá trị khác nhau của

Tuy nhiên, trường hợp

ứng với trường hợp nhỏ hơn thì các kết quả thu được chênh lệch lớn rất nhiều so vớikết quả chính xác Nguyên nhân được dự đoán là có thể do khoảng  có ý nghĩa đốivới năng lượng trạng thái kích thích cao nhưng nmax  50 chưa đủ lớn để thu được trạngthái kích thích đó Trong khoảng  được khảo sát thu được giá trị năng lượng chínhxác đến trạng thái n 20 , và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n

tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản 

thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với  0, 6; 3, 4.

Lưu ý: E* E0, 222222222222222 1015

22

Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai

hai thu được kết quả chính xác với

Lưu

*16

 E  0, 080000000000000010

2.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc vào tham số nmax

Khi xây dựng chương trình tính toán thì tham số nmax được sử dụng thay cho vôcùng, nên nmax được chọn phải đủ “lớn” Nhưng vì thời gian khảo sát có hạn nên khitiếp tục tăng nmax

nmax  50 , sự phụ thuộc của năng lượng ở các trạng thái theo cũng được khảo sát Ở

trường hợp nmax

thứ nhất n2

năng lượng ở trạng thái kích thứ ba n  3 chính xác (hình 2.5) Ở cả hai mức nănglượng kích thích thì đoạn  giúp thu kết quả chính xác so với trường hợp nmax  50 đềuđược mở rộng ra về hai phía

Tuy nhiên, tương tự với nmax  50 thì giá trị  có thể khảo sát cũng phải lớn hơn0,1 Và trong khoảng  được khảo sát thì thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạngthái n 24 , và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n 28

23

Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ

24