phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “nguyên hàm tích phân” giải tích 12

Biện pháp 2: Luyện tập cho học sinh phát hiện và vận dụng một số thuật toán, quy trình tựa thuật toán khi học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân”- Giải tích 12 .... Trong đó, một trong những

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

-

LÊ VĂN VẶNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

“NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” - GIẢI TÍCH 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN HỒNG

ĐỒNG THÁP – NĂM 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Văn Vặng

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quý Thầy, quý Cô trong Trường Đại học Đồng Tháp đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và thực hiện đề tài này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hồng,

Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành Luận văn này Nhân dịp này tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ủy Ban Nhân Dân Huyện Cờ Đỏ, cảm ơn Ban Giám đốc, thầy cô trongTrung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên huyện Cờ Đỏ, cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học Bộ môn Toán khóa 6B, các em học sinh, người thân trong gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi thực hiện đề tài này

Cuối cùng, mặc dù bản thân có rất nhiều tâm huyết và hết sức cố gắng nhưng luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Đồng Tháp, tháng 10 năm 2019

Học viên

Lê Văn Vặng

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Một số vấn đề tư duy 6

1.1.1 Khái niệm tư duy 6

1.1.2 Các đặc điểm cơ bản của tư duy 6

1.2 Thuật toán, quy trình thuật toán, quy trình tựa thuật toán 7

1.2.1 Thuật toán 7

1.2.2 Quy trình thuật toán 8

1.2.3 Quy trình tựa thuật toán 9

1.3 Sự cần thiết việc phát triển tư duy thuật toán 12

1.4 Tư duy thuật toán 12

1.4.1 Khái niệm tư duy thuật toán 12

1.4.2 Các tính chất của tư duy thuật toán 14

1.4.3 Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán 15

1.5 Phát triển tư duy thuật toán thông qua các phép suy luận trong toán học và qua dạy học giải bài tập……… 18

1.5.1 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh 17

1.5.2 Phát triển tư duy thuật toán thông qua các phép suy luận trong toán học 20

1.5.3 Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập 26

1.6 Nội dung Chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” - Giải tích 12 29

1.6.1 Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ theo chương trình hiện hành 29

1.6.2 Bảng mô tả các mức độ yêu cầu cần đạt cho mỗi loại câu hỏi trong chủ đề 31

1.6.3 Một số quy trình thuật toán, quy trình tựa thuật toán thường gặp trong chủ đề “Nguyên hàm – Tích phân” - Giải tích 12 33

1.7 Khảo sát thực trạng dạy học phát triển tư duy thuật toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” cho học sinh ở một số trường trung học phổ thông 35

1.7.1 Mục đích khảo sát 35

1.7.2 Nội dung khảo sát 36

1.7.3 Đối tượng khảo sát 36

1.7.4 Phương pháp khảo sát 36

1.7.5 Kết quả khảo sát 36

1.8 Kết luận chương 1 41

Chương 2 BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN” - GIẢI TÍCH 12 42

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh 42

2.2 Một số biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua chủ đề “Nguyên hàm- Tích phân” - Giải tích 12 42

2.2.1 Biện pháp 1: Đưa ra một số thuật toán đơn giản giúp học sinh làm quen với thuật toán 42

2.2.2 Biện pháp 2: Luyện tập cho học sinh phát hiện và vận dụng một số thuật toán, quy trình tựa thuật toán khi học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân”- Giải tích 12 47

2.2.4 Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh giải các dạng bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12 đã tìm được thuật toán 76

2.2.5 Biện pháp 5: So sánh các thuật toán và tìm ra thuật toán tối ưu 89

2.3 Kết luận chương 2 93

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 94

3.1 Mục đích thực nghiệm 94

3.2 Nội dung thực nghiệm 94

3.3 Tổ chức thực nghiệm 95

3.4 Kết quả thực nghiệm 95

3.4.1 Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm sư phạm của giáo viên 95

3.4.2 Kết quả định lượng 97

3.4.3 Kết quả định tính 99

3.5 Kết luận chương 3 100

KẾT LUẬN CHUNG 101

TÀI LIỆU THAM KHẢO 102

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 104 PHỤ LỤC

DANH MỤC BẢNG VÀ HÌNH

Trang

Bảng 1.1: Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ theo chương trình hiện hành 31

Bảng 1.2: Bảng mô tả các mức độ yêu cầu cần đạt cho mỗi loại bài tập trong chủ đề 32

Bảng 1.3: Kết quả điều tra của học sinh 37

Bảng 1.4: Kết quả điều tra của học sinh tính theo tỉ lệ phần trăm 38

Bảng 1 5: Kết quả thăm dò ý kiến của giáo viên 39

Bảng 1.6: Bảng thăm dò ý kiến của giáo viên tính theo tỉ lệ phần trăm 39

Bảng 3.1: Kết quả môn toán học kì 1 năm học 2018 – 2019……… ……….95

Bảng 3.2: Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm sư phạm của giáo viên 96

Bảng 3.3: Kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm 12A và lớp đối chứng 12PC 97

Bảng 3.4: Bảng kiểm định t - test 98

Bảng 3.5: Bảng kiểm định ANOVA 99

Hình 1.1: Sơ đồ các bước hình thành một quy trình tựa thuật toán 18

Hình 1.2: Mô hình nhận biết một dạng – mẫu 20

Hình 1.3: Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo thuộc tính 22

Hình 1.4: Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo quan hệ 22

Hình 1.5: Các thành phần của phép tương tự 23

Hình 1.6: Sơ đồ khái quát hóa từ cái riêng 25

Hình 3.1: Đồ thị điểm kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 97

cho học sinh là cần thiết trong quá trình dạy học toán để phát triển các năng lực tư

duy như: tư duy cụ thể, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy linh hoạt, tư duy tích cực, tư duy sáng tạo, tư duy độc lập,… Bên cạnh đó, nó góp phần rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa,… Hơn nữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất chất trí tuệ và những phẩm chất tốt đẹp của người lao động

Trong chủ đề “Nguyên hàm – Tích phân” – Giải tích 12 là một nội dung khó đối với học sinh, đa số học sinh thường mất sai lầm khi học nội dung này vì các em gặp khó khi vận dụng lý thuyết vào giải bài tập còn giáo viên cũng chưa quan tâm đầu tư cho giờ dạy phần này Nguyên nhân là giáo viên, học sinh chưa biết khai thác, xây dựng tìm ra thuật toán, quy trình tựa thuật toán và vận dụng chúng theo quy trình đó trong quá trình học chủ đề “Nguyên hàm – Tích phân”

Luật giáo dục 2015 nước ta quy định: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là

giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên; phát triển khả năng tự học và học tập suốt đời hoặc tham gia vào cuộc sống lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

(Luật giáo dục 2015, chương II, điều 27, mục 1)

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi

dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Luật giáo dục 2015, chương II, điều 28, mục 2)

11 năm 2013 đã nêu: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể

chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”

Quán triệt những nội dung trên, trong những năm gần đây tất cả giáo viên cả nước đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại Phương pháp dạy học hiện đại chính là yếu tố quyết định đến việc đào tạo ra những con người mới năng động, sáng tạo, đáp ứng được nhu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện hội nhập, phát triển nước ta hiện nay Trong đó, một trong những khâu quan trọng và cần thiết trong hầu hết các quá trình dạy học đó là phát triển tư duy thuật toán cho học sinh nhưng hiện nay việc phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông đa số giáo viên chưa quan tâm, chưa phát huy được vai trò và vị trí quan trọng của nó Tuy nhiên, đã có một số công trình nghiên cứu về tư duy thuật toán như:

Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Thắm (2015): “Phát triển tư duy thuật toán

cho học sinh thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian - Hình học 11”,

Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Luận văn đã đề cập đến cách xác định phương hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh và đề xuất 4 bước tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình tựa thuật toán trong giải toán hình học không gian nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Luận văn thạc sĩ của Lâm Thị Thu Hường (2015): “Rèn luyện tư duy thuật

giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình”,

Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Nội dung luận văn nhằm định hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình

Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Bé Chính (2015): “Phát triển tư duy thuật

toán cho học sinh lớp 12 thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian”,

Trường Đại học Cần Thơ Tác giả đã nêu lên một số định hướng sư phạm nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chủ

đề phương pháp tọa độ trong không gian Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy chưa có tác giả phát triển tư duy thuật toán chủ đề nguyên hàm và tích phân để giúp học sinh hứng thú hơn khi học nội dung này

Với những lí do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho

mình là: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề

Nguyên hàm và Tích phân – Giải tích 12”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về thuật toán và tư duy thuật toán; đề xuất 5 biện pháp sư phạm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong luyện tập giải các dạng bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12 nhằm giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng giải bài toán theo quy trình thuật toán một cách nhanh chóng, thuận lợi và học sinh hứng thú và say mê học toán hơn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu quá trình dạy học nội dung có liên quan đến bài toán xây dựng thuật toán, quy trình tựa thuật toán để giải bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12

Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” - Giải tích

12 của các trường trung học phổ thông ở huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về tư duy, thuật toán, quy trình thuật toán, quy trình tựa thuật toán và tư duy thuật toán

Khảo sát thực trạng dạy và học phát triển tư duy thuật toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12 ở một số trường trung học phổ thông huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ

Định hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12

Phân tích làm rõ 5 biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua chủ đề

“Nguyên hàm- Tích phân” - Giải tích 12

Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả và tính khả thi của các biện

pháp sư phạm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh đã đề xuất

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Cơ sở lí luận về tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học môn toán và các công trình nghiên cứu có liên quan để phân tích và làm cơ sở xây dựng các biện pháp dạy học nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành tìm hiểu về việc phát triển tư duy thuật toán khi dạy và học nguyên hàm và tích phân thông qua các giáo viên và học sinh lớp 12 trong huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ và thông qua các bài kiểm tra của học sinh

Phương pháp thống kê: Tập hợp các số liệu từ việc điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm để so sánh, phân tích kết quả làm được

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm có đối chứng tại Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên Cờ Đỏ, huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ để kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp được đề xuất

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu đề xuất các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua

dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12 phù hợp và vận dụng chúng

trong dạy học một cách thích hợp thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học

sinh lớp 12 trung học phổ thông

7 Kết quả nghiên cứu

Hệ thống hóa cơ sở lý luận về tư duy, thuật toán, quy trình thuật toán, quy trình tựa thuật toán và tư duy thuật toán

Thực trạng việc phát triển tư duy thuật toán trong dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12 tại một số trường trung học phổ thông trong huyện

Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ và sự cần thiết phải có các biện pháp giúp giáo viên toán phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Đề xuất 5 biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” – Giải tích 12

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, tài liệu tham khảo và phụ lục Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học chủ

đề “Nguyên hàm - Tích phân” - Giải tích 12

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯ DUY

1.1.1 Khái niệm tư duy

Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa Hà Nội 2005): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận,…

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [4, trang 117]

1.1.2 Các đặc điểm cơ bản của tư duy

Tư duy có các đặc điểm sau đây [8, trang 15 - 16]:

- Tính có vấn đề của tư duy: Khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết, lúc đó con người rơi vào “hoàn cảnh có vấn đề” (hay còn gọi là “tình huống

có vấn đề”) khi ấy con người phải vượt qua khỏi phạm vi những hiểu biết và đi tìm cái mới, hay nói khác đi là con người phải tư duy

- Tính khái quát của tư duy: Khác với nhận thức cảm tính, tư duy có khả năng

đi sâu vào nhiều sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những thuộc tính chung, những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng, những cái đó nhận thức cảm tính chưa có khả năng nhận thức Vì thế tư duy mang tính khái quát Chính nhờ phản ánh cái khái quát, cái quy luật mà tư duy giúp con người không chỉ nhận thức thế giới mà còn có khả năng cải tạo thế giới

- Tính gián tiếp của tư duy: Ở mức độ cảm tính, con người phản ánh trực tiếp

sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình và ta cũng chỉ có được những hình ảnh cảm tính về sự vật, hiện tượng đó Trong tư duy, con người phản ánh thế giới một cách tiếp bằng ngôn ngữ

- Tư duy của con người có liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy lí được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu,

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức độ nhận thức khác nhau nhưng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng Theo X L Rubinstein “Nội dung cảm tính bao giờ cũng

có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm chỗ dựa cho tư duy” Ngược lại, tư duy

và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, làm cho khả năng cảnh giác của con người tinh vi và nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa

1.2 THUẬT TOÁN, QUY TRÌNH THUẬT TOÁN, QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN

1.2.1 Thuật toán

Theo bách khoa toàn thư mở Wikipedia: Thuật toán (còn gọi thuật giải)

là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán

Theo Bùi Văn Nghị (1996): “Thuật toán là một khái niệm cơ bản, được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định ” [13, trang 16 - 18]

Theo Nguyễn Bá Kim (2011): “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải bài toán đó” [9, trang 376]

Theo Đào Tam [17, trang 34]: “ Theo nghĩa hẹp: Thuật toán là một dãy thứ

tự các thao tác được thực hiện trên một số hữu hạn các số liệu và đảm bảo sau một

số hữu hạn bước sẽ đạt một kết quả nào đó Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước được thực hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một nhiệm vụ nào đó”

Từ những quan niệm trên có thể thấy rằng, quan niệm về thuật toán (thuật giải) của các nhà khoa học có thể có sự khác nhau về mặt ngôn ngữ biểu đạt, nhưng bản chất của chúng thống nhất với nhau, đều quan niệm rằng thuật toán (thuật giải) gồm các bước để giải bài toán, việc thực hiện theo các bước đó sẽ đi đến lời giải bài toán Bởi vậy, trong luận này chúng tôi đồng nhất thuật ngữ

“thuật toán” và “thuật giải”

1.2.2 Quy trình thuật toán

Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó

Một quy trình có thể chia thành các bước; mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích nhất định; một hoạt động có thể có nhiều thao tác Quy trình thuật toán được hiểu là quy trình thực hiện các bước của một thuật toán nào đó [19, trang 6]

Ví dụ 1.1: Thuật toán giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số

phức, ta thực hiện các bước sau:

+ Nếu   0 thì phương trình có một nghiệp thực

2

b x a

  + Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

1,2

2

b x

a



Ví dụ 1.2: Thuật toán dựng đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường

thẳng a, b chéo nhau:

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và (P) // a

Bước 2: Dựng hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P)

Bước 3: Xác định giao điểm B của đường thẳng a’ với b

Bước 4: Dựng qua B đường thẳng d vuông góc với (P) Khi đó, đường thẳng

d là đường thẳng cần dựng

1.2.3 Quy trình tựa thuật toán

Trong luận văn này, chúng tôi đồng nhất một số thuật ngữ sau: “quy trình tựa thuật toán”, “quy trình có tính chất thuật toán”, “quy trình tựa thuật giải”

Những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là quy trình tựa thuật toán

Một quy trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà quy trình đó chỉ tương tự một thuật toán, tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước để giải quyết vấn đề nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta kết quả duy nhất còn quy trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì vấn đề đặt

ra được giải quyết

Một quy trình tựa thuật toán phải có các đặc điểm sau:

- Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định

- Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, các bước là một thao tác sơ cấp, các bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp

- Trong đa số trường hợp, sau khi thực hiện xong tất cả các bước thì đi đến kết quả

Theo Bùi Văn Nghị (1996) [13, trang 19]: Trong nhà trường phổ thông,

“Một quy trình có tính chất thuật toán là; (1) Quy trình có một trình tự xác định, các thao tác nối tiếp nhau được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp; (2) Các thao tác được chỉ dẫn rõ ràng, chính xác;(3) Theo quy trình, người thực hiện nhất định

sẽ đi đến kết quả của bài toán; Nếu kết quả chưa có ở thao tác này thì sẽ có ở các

tả lời giải của bài toán đó.”

Ví dụ 1.3: Quy trình xét tính đơn điệu của hàm số gồm các bước sau:

Ví dụ 1.4: Quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán như sau:

Bước 1: Hiểu bài toán

Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời các câu hỏi như: Cái gì chưa biết? Cái gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn không?… Nếu là bài toán hình học, chúng ta tiến hành vẽ hình hay sử dụng các ký hiệu thích hợp mô tả bài toán, viết giả thiết, kết luận,…

Bước 2: Tìm lời giải

Để giúp học sinh xây dựng được chương trình giải, giáo viên thường gợi ý học sinh bằng các câu hỏi như:

- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài toán nào gần giống bài toán này không?

- Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có lần giải rồi Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu

tố phụ thì mới sử dụng được nó không? Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra,

thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Em có biết bài toán nào có liên quan

mà dễ hơn không? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Một bài toán tổng quát?

- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Bước 3: Trình bày lời giải

Khi thực hiện chương trình giáo viên cần chú ý học sinh kiểm tra lại từng bước thông qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Giải xong bài toán không có nghĩa là bài toán đó đã kết thúc Giáo viên nên hướng dẫn học sinh hình thành dần thói quen xem xét lại lời giải bài toán thông qua các câu hỏi:

- Em có thể kiểm tra lại kết quả hay quá trình giải bài toán không?

- Có thể tìm được kết quả một cách khác không?

- Em có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác được không?

Ví dụ 1.5: Quy trình tính tích phân ( ) x

b a

I  f x d bằng phương pháp đổi biến

số như sau

Bước 1: Đặt x ( )t , ta xác định đoạn [ ; ]  sao cho  ( ) a, ( )  b và

( ) , t [ ; ]

a t b    

Bước 2: Biến đổi f(x) d x  f( ( )) '( ) t  t dtg t dt( )

Bước 3: Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

I  f x d G  G 

1.3 SỰ CẦN THIẾT VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN

Theo Nguyễn Bá Kim [9, trang 382 - 383], việc rèn luyện tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì các lí do sau đây:

- Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện

- Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng máy tính điện tử Vì thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu này

- Tư duy thuật toán giúp học sinh học tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán

- Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa…và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen

tự kiểm tra,…

1.4 TƯ DUY THUẬT TOÁN

1.4.1 Khái niệm tư duy thuật toán

Theo Nguyễn Bá Kim [9, trang 383]: “Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ

để nhận thức, để giải quyết vấn đề qua một dãy hữu hạn các chỉ dẫn trên những đối tượng, kết thúc sau một số hữu hạn bước để đạt được mục tiêu định trước”.Phương thức tư duy này thể hiện qua năm hoạt động sau:

T1 Thực hiện những hoạt động theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước

T2.Phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định

T3.Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

Cách 1: Dùng phương pháp đổi biến số

So sánh ba cách trên, chúng tôi nhận thấy cách 1 ngắn gọn, dễ thực hiện hơn

và đơn giản hơn cách 2 Vậy cách 1 tối ưu hơn cách 2, cách 3

1.4.2 Các tính chất của tư duy thuật toán

- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác sơ cấp trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả

Ví dụ 1.7: Quy trình tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm M lên mặt

phẳng (P) được thực hiện như sau:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P)

Bước 3: Kết luận tọa độ điểm H

Từ tính đơn trị chúng ta cũng thấy tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể

cơ cấu nào, chỉ cần thực hiện đúng các thao tác sơ cấp một cách hình thức theo đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của nhưng thao tác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán, làm một số công việc thay thế cho con người

- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì thuật toán phải đi đến kết thúc Tính dừng luôn giúp chúng ta thu được kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật toán

- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp chúng

ta thực hiện đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà chúng ta mong muốn

- Tính phổ dụng: Thuật toán thường được xây dựng để giải không phải chỉ một bài toán riêng lẻ mà cho cùng một lớp có cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này chúng ta sáng tạo những thuật toán rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

- Tính hiệu quả: Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu Trong số nhiều thuật toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra một thuật toán tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu ở đây được hiểu là:

+ Thuật toán thực hiện nhanh, ít tốn thời gian

+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian

Một khía cạnh khác của tính hiệu quả là tính thiết thực Một bài toán dù đã

có thuật toán nhưng nếu không có đủ thời gian để đi đến kết quả cuối cùng thì thuật toán đó cũng ít ý nghĩa, thiếu tính thiết thực Vì vậy khi xây dựng thuật toán cần đảm bảo thời gian thực hiện nó là chấp nhận được Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung này

1.4.3 Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán

Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán nhằm đảm bảo chất lượng

và đạt hiệu quả theo chuẩn kiến thức, kỹ năng đề ra của Bộ Giáo dục và Đào tạo cần

phải dựa trên một số nguyên tắc sau [7]:

Nguyên tắc 1: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải đáp ứng

được mục đích của việc dạy, học toán ở nhà trường phổ thông

Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông đó là:

- Giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập;

- Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy (tư duy logic, tư duy thuật toán, tư duy trừu tượng ) cần thiết của một con người có học vấn trong xã hội hiện đại, góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kĩ thuật

- Để đạt được mục đích to lớn đó, những năm gần đây, ngành giáo dục và đào tạo liên tục đổi mới chương trình sách giáo khoa nhằm phù hợp cho việc dạy và học đáp ứng nhu cầu khoa học kỹ thuật hiện nay Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán là một trong những phương pháp dạy học đáp ứng được mong muốn đó

Nguyên tắc 2: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải dựa trên

định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo (hoạt động hóa người học) Phù hợp với định hướng đổi mới đó có thể trình bày một số

xu hướng dạy học không truyền thống như: dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chương trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động

Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải dựa trên định hướng đổi mới ấy và phát triển một cách thiết thực các phương pháp dạy học trên

Nguyên tắc 3: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải đảm bảo

sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành Chương trình và sách giáo khoa môn toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán

về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội dung cũng như chương trình nhiều lần sao cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta Cụ thể các lần đổi sách gần đây là sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa phân ban năm 2006

Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh phải đảm bảo

sự tôn trọng, kế thừa và phát triển một cách tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành được thể hiện thông qua các mục đích sau:

+ Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua đó bồi dưỡng các hoạt động tư duy thuật toán (T1  T5)

+ Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật toán cho các dạng toán tổng quát

Nguyên tắc 4: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải góp

phần đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con người phải năng động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách người học Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và

rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá và những phẩm chất của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm

mỹ cho học sinh

Nguyên tắc 5: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải phát

huy tính tích cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực hiện dựa trên

lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Lev Semënovich Vygotskij

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy

sự phát triển của học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra

Nguyên tắc 6: Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán phải kết hợp

chặt chẽ luyện tập cho học sinh tính tổ chức, tính trật tự, tính linh hoạt và sáng tạo

Để đào tạo những con người có đầy đủ các phẩm chất của người lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động tư duy thuật toán cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tính tích cực trong tư duy của học sinh

1.5 PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA CÁC PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC VÀ THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP TOÁN

1.5.1 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

Theo Nguyễn Bá Kim [9, trang 379 – 382]: “Trong dạy học thuật toán hoặc quy trình tựa thuật toán có một số điểm lưu ý sau:

- Nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó

- Cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ trong một thời gian nhất định

- Cần tập luyện cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật toán hoặc quy trình tựa thuật toán

- Cần làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước

- Thông qua dạy học những thuật toán và những quy trình tựa thuật toán, cần có ý thức phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.”

Chúng tôi đặt ra yêu cầu của những quy trình tựa thuật toán là:

- Phải phù hợp với trình độ nhận thức của mọi học sinh

- Các thao tác trong quy trình cần sắp xếp theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó

- Tôn trọng các quy trình do mỗi người tự đề xuất và phân tích để thấy tính hợp lí, tính hiệu quả của một quy trình; từ đó chọn ra được quy trình tốt nhất

Từ các cơ sở lý luận đã nêu, chúng tôi đưa ra quy trình hình thành một quy trình tựa thuật toán như sau:

Hình 1.1: Sơ đồ các bước hình thành một quy trình tựa thuật toán

Bài toán xuất phát, Phân tích hướng giải

Phát hiện, đề xuất, thảo luận, kết luận quy trình tựa thuật toán

Vận dụng quy trình tựa thuật toán giải một số bài toán mới, điều chỉnh

quy trình khi cần thiết Luyện tập

Phân tích cụ thể các bước như sau:

Bước 1: Giáo viên đưa ra một hoặc một số bài toán xuất phát làm cơ sở

để phân tích, phát hiện quy trình tựa thuật toán từ lời giải bài toán

Bước 2: Giáo viên hướng dẫn hoc sinh trao đổi, thảo luận về quy trình tựa

thuật toán để giải dạng toán đó

- Trong bước này giáo viên có thể có những gợi ý để định hướng cho học sinh trao đổi, thảo luận lời giải cho từng bài toán Học sinh có thể giúp đỡ nhau, cùng giảng giải cho nhau để cùng giải quyết được bài toán, giáo viên cũng cần nhắc nhở học sinh những chú ý cần thiết

- Giáo viên có thể sử dụng hệ thống các câu hỏi mở, phương pháp dạy học đàm thoại, phân tích các thao tác nhằm phát hiện ra quy trình tựa thuật

t o á n theo riêng mình

- Giáo viên có thể chia học sinh thành một số nhóm, phát phiếu học tập và yêu cầu các học sinh:

+ Làm việc cá nhân dựa theo phiếu học tập: Tìm lời giải bài toán; phát hiện,

đề xuất quy trình tựa thuật toán

+ Thảo luận theo nhóm về nội dung phiếu học tập, cùng nhau trao đổi, thảo luận và thống nhất quy trình tựa thuật toán

+ Cử đại diện trình bày quy trình tựa thuật toán của cá nhân hoặc nhóm mình

Bước 3: Vận dụng quy trình tựa thuật toán giải một số bài toán mới,

điều chỉnh quy trình khi cần thiết

Bước 4: Luyện tập, kiểm nghiệm tính hiệu quả, tính phổ dụng của quy

trình tựa thuật toán

Bên cạnh đó, chúng tôi nhận thấy theo quan niệm dạy học kiến tạo “Học là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử

lí thông tin,…tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Dạy học là quá trình

tổ chức và điều khiển các hoạt động nhận thức cho học sinh” nên để phát triển tư duy thuật toán cho học sinh, chúng tôi đề xuất một số biện pháp sau:

- Nắm vững kiến thức đã có theo hướng hoạt động nhận dạng và thể hiện

- Thói quen dự đoán phát hiện vấn đề

- Xem xét bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

- Khả năng định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề

1.5.2 Phát triển tư duy thuật toán thông qua các phép suy luận trong toán học

Nguyễn Phú Lộc [11, trang 48], đã đưa ra mô hình phân tích để nhận biết một dạng – mẫu như sau:

Hình 1.2: Mô hình nhận biết một dạng – mẫu

Một điều cần lưu ý là khi phân tích người ta thường sử dụng sơ đồ để biểu thị các mối liên hệ giữa các yếu tố Điều này trong dạy học sẽ giúp học sinh có thêm một kênh hình ảnh để tiếp nhận thông tin và thấy rõ ràng hơn các mối liên hệ giữa các yếu tố cấu thành cái toàn thể

Quan sát và phân tích tìm các mối

quan hệ

Phát hiện dạng – mẫu

Diễn tả dạng – mẫu bằng lời hay

kí hiệu

Tóm lại, giáo viên cần đặc biệt quan tâm đến phương pháp phân tích khi dạy học môn toán trong nhà trường phổ thông vì:

+ Các khái niệm trong môn toán có tính phức tạp nội tại cao, nhờ phân tích

mà người học có thể nhận ra các dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm

+ Nhờ phương pháp phân tích mà giáo viên có thể phát hiện ra những hoạt động dạy học tương thích với mỗi nội dung tri thức và nhờ đó học sinh có thể nắm được tri thức và vận dụng vào giải các bài tập liên quan

+ Phương pháp phân tích chính là một phương pháp nhận thức khoa học, có khả năng vận dụng vào nhiều vấn đề trong đời sống, trong tranh luận, trong các ngành khoa học xã hội, kinh tế…Vì thế nếu giáo viên chú ý phát triển năng lực phân tích cho học sinh thì các em có khả năng học tập một cách tự lực hơn không những trong môn toán mà còn các môn học khác trong nhà trường, phát triển được các năng lực cần thiết cho đời sống thực tiễn

Ví dụ minh họa cho việc phân tích mở rộng bài toán theo dạng – mẫu

(sin x cos x) '  sin 4x

Từ đó ta có thuật toán tính tích phân I:

1.5.2.2 Tương tự

Trong G Polya [15, trang 141], cho rằng tương tự là “một loại giống nhau, những vật giống nhau phù hợp với nhau theo một quan hệ nào đó trong khi các vật tương tự phù hợp nhau theo những quan hệ giữa các phần tử tương ứng”

Trong dạy học môn toán ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính hay tương

tự theo quan hệ giữa các đối tượng mà đưa ra giả thuyết Sau đó tiến hành chứng minh hay bác bỏ Gọi là tương tự theo thuộc tính khi dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính; gọi là tương tự theo quan hệ khi dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ

Hình 1.4: Mô hình xây dựng giả thuyết

bằng tương tự theo quan hệ

A có quan hệ với C

A và B cùng loại (hay có cấu trúc tương tự)

P1,…Pn

B có quan hệ với C?

Hình 1.3: Mô hình xây dựng giả thuyết

bằng tương tự theo thuộc tính

A có tính chất Pn+1

A và B cùng có các tính chất

P1,…Pn

B có tính chất Pn+1?

Trong dạy học tri thức mới, giáo viên dùng phép tương tự chính là khai thác vốn hiểu biết của học sinh để hình thành tri thức mới Khi dạy học có sử dụng phép tương tự, cần chú ý đến 3 thành phần:

+ Kiến thức đích: Kiến thức mà học sinh được học

+ Kiến thức nguồn: Kiến thức được dùng làm tương tự (kiến thức này học sinh đã biết)

+ Các dấu hiệu tương ứng giữa kiến thức nguồn và đích

Nguyễn Phú Lộc [11, trang 80], đã đưa ra sơ đồ để biểu thị quá trình so sánh các đặc điểm trong khi dùng phép tương tự như sau:

Hình 1.5: Các thành phần của phép tương tự

Mục tiêu của việc sử dụng tương tự ở đây là chuyển những tư tưởng từ những kiến thức nguồn (cái quen thuộc) thành kiến thức đích (cái không quen thuộc) Nếu chúng có chung một số đặc điểm (hay tính chất), thì một điều tương tự

có thể được rút ra Như vậy tư tưởng chính của phép tương tự có thể được tóm tắt như hình 2.5 Trong dạy học với phép tương tự, chúng ta có thể dùng mô hình T-W-

A (the teaching-With-Analogiess) do Glynn (1994) đề nghị Mô hình này gồm các bước sau:

+ Bước 1: Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)

+ Bước 2: Khơi dậy trí nhớ của học sinh về tình huống tương tự

+ Bước 3: Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)

+ Bước 4: Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích + Bước 5: Chỉ ra những kết luận không đúng

TƯƠNG TỰ

Kiến thức nguồn so sánh Kiến thức đích

Đặc điểm 1, 2, 3, … Đặc điểm 1, 2, 3, …

+ Bước 6: Rút ra kết luận về kiến thức đích

Ví dụ 1.9: Sau khi hình thành thuật toán tính nguyên hàm cho dạng toán

(s inx) osx.dx

I f c

Sau đó, yêu cầu học sinh dùng phép tương tự trong việc hình thành thuật toán tính nguyên hàm cho dạng toán J f c( osx).sinx.dx

Bước 1: Đặt t s inx  dt = cosxdx

Bước 2: Tính I f(t)dtF(t) C

Bước 1: Đặt t ?  dt = ? Bước 2: Tính J =

Từ đó, giáo viên hoàn chỉnh thuật toán J  f c( osx).sinx.dxcho học sinh Bước 1: Đặt t cosx dt = - sinxdx

Bước 2: Tính J f(t)dt F(t) C

Tóm lại, nếu giáo viên sử dụng phép tương tự thích hợp thì quá trình dạy học

có những ưu điểm sau đây:

+ Trực quan: Việc dùng những khái niệm tri thức mà học sinh đã biết hay đã quen thuộc giúp học sinh học tập khái niệm trừu tượng một cách trực quan

+ Liên hệ với đời thường: Sử dụng các tri thức đời thường làm tương tự tạo thuận lợi cho học sinh hiểu kiến thức mới trừu tượng

+ Gây động cơ học tập cho học sinh bởi các tình huống có vấn đề được tạo ra bằng tương tự

+ Khuyến khích giáo viên chú ý kiến thức vốn có của học sinh trước khi dạy tri thức mới

+ Phát triển năng lực giải quyết vấn đề Do đó, giúp học sinh phát triển năng lực làm việc độc lập

+ Phát triển khả năng phát hiện kiến thức mới cho học sinh Do đó, góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

Ngược lại, nếu giáo viên sử dụng kiến thức nguồn mà không được học sinh biết rõ thì sự tương tự có thể gây rối cho học sinh Ngoài ra, kiến thức nguồn và kiến thức đích thường có những dấu hiệu giống nhau và cũng có những dấu hiệu

khác nhau nên sự tương tự cũng có thể làm học sinh hiểu sai những vấn đề nằm ngoài dự kiến của giáo viên

1.5.2.3 Khái quát hóa

Theo từ điển tiếng Việt thì khái quát là “thâu tóm những cái có tính chất chung cho một loạt sự vật, hiện tượng” Còn khái quát hóa là “thực hiện hoạt động

tư duy để khái quát” (trang 491)

Theo Polya [3, trang 88], khái quát là “việc chuyển từ việc khảo sát một đối tượng nào đó sang khảo sát một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này, từ việc khảo sát một nhóm đối tượng sang việc khảo sát một nhóm đối tượng quan trọng hơn và bao hàm nhóm nhứ nhất”

Theo Nguyễn Phú Lộc [11, trang 53 - 55]: Về mặt tâm lý học, khái quát hóa

là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính nhất định, những liên hệ, những quan hệ chung nhất định Quy trình khái quát hóa được tiến hành như sau:

+ Bước 1 (Quan sát): Quan sát một số sự vật, hiện tượng cụ thể, đơn nhất + Bước 2: (Phân tích): Tiến hành phân tích hay so sánh để tìm các mối liên

hệ, tìm những đặc điểm của sự vật hay hiện tượng

+ Bước 3 (Khái quát hóa): Chỉ ra đặc điểm chung có tính khái quát

+ Bước 4 (Kiểm chứng): Tiến hành kiểm chứng hay xem xét lại để đưa ra khái niệm mới hay vận dụng vào tình huống mới

Hình 1.6: Sơ đồ khái quát hóa từ cái riêng

Quan sát

“Cái riêng”

Kiểm chứng và ứng dụng

vào tình huống mới hay

giới thiệu khái niệm

Khái quát hóa:

Tìm ra “Cái chung”

Phân tích tìm các

mối liên hệ

Ví dụ sau minh họa cho việc khái quát từ một “cái riêng”

Ví dụ 1.10: Khái quát bài toán sau: 9

(1 )

I x dx [1, trang 101, bài tập 3a]

- Bước 1: Ta đi giải bài toán trên

- Bước 2: Phân tích các mối quan hệ: Hàm số bậc nhất ax + b có số mũ là 9

- Bước 3: Khái quát thành dạng tổng quá: I(ax b dx)n

Sau đó, giáo viên phân tích và nêu lên phương pháp giải chung như sau:

- Chức năng: Trong hoạt động dạy học giải bài tập toán bao gồm các chức năng:

+ Chức năng giáo dưỡng: Nội dung của chức năng này là trang bị cho học sinh hệ thống tri thức, kĩ năng và kĩ xảo, cách vận dụng chúng để giải quyết các vấn

đề thực tiễn và phương pháp độc lập bổ sung kiến thức

+ Chức năng giáo dục: Nội dung của chức năng này là trước hết được thể hiện ở việc hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh Đó là tập hợp các

nguyên tắc, các quan điểm, niềm tin về các phạm trù khoa học, triết học, đạo đức, thẫm mĩ,…liên quan mật thiết đến thái độ của con người với thực tiễn, đến những phương thức hoạt động và hành vi của họ trong xã hội

+ Chức năng phát triển: Nội dung của chức năng này là dạy học cần đưa đến

sự phát triển nhân cách chứ không phải chỉ cung cấp kiến thức và kĩ năng thì các em

có thể phát triển trí tuệ, tâm hồn, ý thức, thể lực Do sự phát triển nhanh chóng của khoa học đòi hỏi mở rộng tầm hiểu biết của học sinh nhưng sự tăng thời gian học ở trường có giới hạn, vì vậy cần có sự phát triển tiềm năng trí tuệ mỗi con người là cho họ có khả năng tự học tập, bồi dưỡng liên tục

+ Chức năng kiểm tra: Nội dung của chức năng này là để dạy học thực hiện được sự giáo dục, phát triển cần đảm bảo để học sinh biết được mức độ nắm vững tri thức trong chương trình toán của nhà trường, giúp cho học sinh điều chỉnh và có khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập

1.5.3.2 Dạy học giải bài tập toán

- Dạy học tìm tòi lời giải bài toán: Một trong các nhiệm vụ quan trọng trong dạy học giải các bài toán là tạo tiền đề cần thiết cho việc xuất hiện sự “lóe sáng” ý tưởng về phương pháp giải mỗi bài toán Bởi chính sự “lóe sáng” là khởi đầu và cũng là kết quả của dạy học sáng tạo Các kết quả nghiên cứu về tư duy của các nhà tâm lý học Xô viết đã xác nhận rằng: Dạng phân tích đặc biệt thông qua tổng hợp làm thành khâu chủ đạo, dây thần kinh chủ yếu của toàn bộ hoạt động tư duy Do vậy có thể nói phân tích có định hướng thông qua tổng hợp – con đường đi tới sự

“lóe sáng” ý tưởng về phương pháp giải các bài toán trong dạy học có thể tiến hành thông qua các biện pháp sau:

+ Phương pháp khai thác các hoạt động nhân quả: Thứ nhất, xuất phát từ điều kiện đã cho của bài toán suy ra các kết luận nào đó, đồng thời các kết luận trung gian rút ra được các kết luận mới,…Thứ hai, căn cứ vào hệ quả để xác định nguyên nhân chưa biết của nó Trong tiến trình lập luận, nguyên nhân gần nhất của

hệ quả đã cho ban đầu trở thành hệ quả, còn hệ quả của nguyên nhân cuối cùng phải tìm lại xuất hiện với tính cách nguyên nhân gần nhất của nó

là tương đương với nhau Hoạt động phân tích – tổng hợp đưa bài toán về dạng tương đương nhằm làm các mối liên hệ toán học “ẩn náu” bên trong vỏ ngôn ngữ của bài toán mục tiêu “bộc lộ” ra trong hình thức diễn đạt của bài toán mới tương đương với bài toán mục tiêu

+ Phương pháp đặt lại bài toán: Đặt lại các điều kiện và yêu cầu bài toán là một cách dùng lời biểu thị kết quả phân tích các điều kiện và yêu cầu bài toán và sự

tổ hợp các yếu tố do phân tích tách ra Việt đặt lại bài toán nhằm phát hiện ra sự phụ thuộc giữa giải thuyết (nguyên nhân) và kết luận (kết quả) của bài toán, trên cơ sở tìm kiếm các khả năng thay thế giải thuyết bởi hệ quả và thay thế kết luận bởi nguyên nhân gần gũi nó, tiến trình đó được thực hiện nhiều lần nhằm làm cho giả thuyết và kết luận xích lại gần nhau Như vậy, khi giải toán chúng ta đặt lại bài toán

và trong khi đặt lại bài toán, chúng ta giải nó

+ Miền lân cận của bài toán và việc xuất hiện sự “lóe sáng” ý tưởng về phương pháp giải bài toán: Mỗi bài toán cụ thể có cách chọn xác định bài toán liên kết với nó tạo thành chuỗi các bài toán phụ thuộc lẫn nhau – chuỗi các bài toán đó tạo thành một lân cận của bài toán đã cho Mỗi lân cận bao gồm các bài toán liên kết với nhau về mặt nội dung, về mặt phương pháp giải hay theo phạm vi các khái niệm được sử dụng Đồng thời, mỗi bài toán có thể tham gia vào các lân cận khác nhau của cùng một bài toán hoặc của nhiều bài toán khác nhau tùy thuộc vào tình hướng cụ thể của dạy học

- Một số phương pháp tìm lời giải bài toán

+ Phương pháp 1: Khai thác triệt để các giả thiết của bài toán để vạch phương hướng giải bài toán

+ Phương pháp 2: Phân tích và biến đổi kết quả (hay cũng là yêu cầu bài toán) để tìm phương hướng giải bài toán

+ Phương pháp 5: Chuyển hóa nội dung và hình thức của bài toán để xác

định phương hướng giải

1.6 NỘI DUNG CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” - GIẢI TÍCH 12 1.6.1 Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ theo chương trình hiện hành

Về kĩ năng:

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ

rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm

3 Tìm nguyên hàm của một số hàm số bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến số (khi

đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần

Lưu ý:

- Phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản: Biểu diễn

Hệ quả:

1 (ax )dx (ax ) (a 0)

- Biết các tính chất của tích phân

Về kĩ năng:

- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích

1 Tính được tích phân của một

số hàm số đơn giản dựa vào định nghĩa hoặc bằng phương pháp tính tích phân từng phần

2 Áp dụng phương pháp đổi biên số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân

phân từng phần

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ

rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân

Bảng 1.1: Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ theo chương trình hiện hành

1.6.2 Bảng mô tả các mức độ yêu cầu cần đạt cho mỗi loại câu hỏi trong chủ đề

NỘI DUNG NHẬN BIẾT THÔNG

HIỂU

VẬN DỤNG THẤP

VẬN DỤNG CAO

-Trong một số trường hợp đơn giản, nhận ra được hàm số F(x) có là nguyên hàm của một hàm

số hay không

- Sử dụng định nghĩa để giải thích được một hàm số F(x)

là một nguyên hàm hay không là một nguyên hàm của hàm

số f(x)

- Sử dụng định nghĩa để tìm được nguyên hàm của hàm

số đơn giản

- Sử dụng định nghĩa để tìm được một nguyên hàm của hàm số đơn giản, thoả mãn một điều kiện cho trước

- Nhận ra được công thức diễn

tả cho một tính chất của nguyên hàm

- Giải thích được các bước tính nguyên hàm dựa vào tính chất của nguyên hàm

- Tìm được nguyên hàm của một hàm

số khi sử dụng chỉ một tính chất của nguyên hàm

- Sử dụng phối hợp các tích chất của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một hàm số

- Giải thích được cách tính (các bước tính) tích phân theo phương pháp đổi biến

số hoặc phương pháp tích phân từng phần

- Tính được giá trị tích phân của một hàm số trên một đoạn khi

đã chỉ rõ phương pháp

- Tính được giá trị tích phân của một hàm số trên một đoạn khi chưa chỉ rõ phương pháp

y = f(x) liên tục

trên [a;b] và

các đường thẳng

x = a, x = b và

trục Ox

- Giải thích được cách tính diện tích hình phẳng (được giới hạn bởi các đường) có một trong các dạng sau:

Bảng 1.2:Bảng mô tả các mức độ yêu cầu cần đạt cho mỗi loại bài tập trong chủ đề

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm có chứa e x

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm có chứa lnx

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm có chứa các hàm lượng giác + Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm có chứa căn thức

- Tính nguyên hàm và tích phân theo phương pháp từng phần gồm có:

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm lnx và hàm đa thức

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm đa thức và hàm mũ

+ Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm đa thức và hàm lượng giác + Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân hàm mũ và hàm lượng giác

Ví dụ 1.12: Thuật toán tính nguyên hàm và tích phân có chứa hàm đa thức

( , ( )) '( )

I  f x P x P x dx ( , ( )) '( )

b a