Nhóm đối xứng gián đoạn và các mô hình 3 3 1

luận văn, khóa luận, chuyên đề, đề tài, báo cáo,

Bộ giáo dục và đào tạo Viện Hàn lâm KH và CN việt nam

Bộ giáo dục và đào tạo Viện Hàn lâm KH và CN việt nam

Luận án tiến sĩ Vật lý

Hà nội - 2013

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại Trung tâm Vật lý lý thuyết - Viện Vật

lý, dưới sự hướng dẫn của GS - TS Hoàng Ngọc Long Tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc đến GS -TS Hoàng Ngọc Long - người đã hếtlòng truyền dạy, động viên, khích lệ và định hướng nghiên cứu cho tôi trongquá trình học tập và từng bước hoàn chỉnh luận án

về chuyên môn và sự ủng hộ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn ThS Nguyễn Ngọc Tự và bạn bè, đồng nghiệpvì đã chia sẽ các tài liệu tham khảo bổ ích cho luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Viện Vật lý Hà Nội, Trung tâm Vật

lý lý thuyết và Phòng Sau Đại học vì đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Tây Nguyên, KhoaKhoa học Tự nhiên và Công nghệ và Bộ môn Vật lý - nơi tôi công tác vì đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc.Tôi vô cùng biết ơn gia đình và người thân đã dành tình cảm yêu thương,luôn động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận án này

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Võ Văn Viên

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i C¸c sè liÖu,kÕt qu¶ míi mµ t«i c«ng bè trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ ch­a tõng ®­îc aic«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c

T¸c gi¶ luËn ¸n

Vâ V¨n Viªn

331RHS3 Mô hình 331RH với nhóm đối xứng S3

331NFS4 Mô hình 331NF với nhóm đối xứng S4

HPS Harrison-Perkins-ScottVEV Vacuum Expectation Value

(Trung bình chân không)CKM Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

DONUT Direct Observation of the Nu Tau

CERN Conseil Europ´een pour la Recherche Nucl´eairePDG Particle Data Group

Danh sách hình vẽ

1.1 Đối xứng S3 của tam giác đều 141.2 Đối xứng S4 của hình lập phương 182.1 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của a, b vào a0 352.2 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(8.713 ì 10−3, 0.1) và a0 ∈ (−0.1, −8.713 ì 10−3) 482.3 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(0.1, 0.25), và a0 ∈ (−0.25, 0.1) 482.4 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(8.713 ì 10−3, 0.6), và a0 ∈ (−0.6, −8.713 ì 10−3) 482.5 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(0.085, 0.2), và a0 ∈ (−0.2, −0.085) 492.6 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(0.2, 0.6), và a0 ∈ (−0.6, −0.2) 492.7 Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của m1, m2, m3 vào a0 với a0 ∈(0.085, 0.6) và a0 ∈ (−0.6, −0.085) 49

Danh sách bảng

1.1 Các lớp liên hợp của nhóm S3 15

1.2 Bảng đặc biểu của nhóm S3 15

1.3 Bảng đặc biểu của nhóm S4 18

1.4 Các lớp liên hợp của nhóm S4 20

3.1 Các khả năng kết cặp cần thiết sinh khối lượng quark 55

Mục lục

1 Nhóm S3, S4 và mô hình 3-3-1 11

1.1 Nhóm S3, S4 13

1.1.1 Nhóm đối xứng S3 13

1.1.2 Nhóm đối xứng S4 16

1.2 Mô hình 3-3-1 22

1.3 Mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa 23

1.3.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình 23

1.3.2 Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng fermion 23

1.4 Kết luận chương 1 25

2 Đối xứng vị S4 trong mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa 26 2.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình 26

2.2 Khối lượng lepton mang điện 28

2.3 Khối lượng neutrino 30

2.4 Khối lượng quark 36

2.5 Sự định hướng chân không 39

2.6 Kết luận chương 2 47

3 Nhóm đối xứng vị S3 trong các mô hình 3-3-1 50 3.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình 51

3.2 Khối lượng lepton mang điện 52

3.3 Khối lượng quark 54

3.4 Khối lượng và trộn lẫn neutrino 58

3.5 Giới hạn thực nghiệm với trường hợp 1 63

3.6 Giới hạn thực nghiệm với sự kết hợp của trường hợp 1 và 2 65 3.7 Nhận xét về sự phá vỡ, các trung bình chân không và tham số ρ 70

3.8 Đối xứng S3 trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (νR) 71

3.9 Thế vô hướng 73

3.9.1 Thế vô hướng của mô hình 331NFS3 73

3.9.2 Thế vô hướng của mô hình 331RHS3 77

3.10 Kết luận chương 3 77

A Biểu diễn chính quy của S3 i

B Tìm hệ Số Clebsch-Gordan của nhóm S3 ii

C Tìm hệ số Clebsch - Gordan của nhóm S4 viii

D Các số lượng tử của mô hình 331NFS4 xv

E Các số lượng tử của mô hình 331NFS3 và 331RHS3 xvi

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Tìm hiểu thế giới tự nhiên là một trong những nhiệm vụ lớn nhất của loàingười trong quá trình chinh phục thiên nhiên, mặc dù, theo thời gian cách thứctiếp cận có thể thay đổi, và sự hiểu biết phát triển tùy theo thời đại và các nềnvăn hóa Mục tiêu của vật lý là mô tả các hiện tượng tự nhiên bằng lý thuyết

và thực nghiệm Vật lý thực nghiệm có vai trò kiểm chứng các tiên đoán củacác mô hình vật lý lý thuyết và đưa ra những tiên đoán mới, vật lý lý thuyếtxây dựng các mô hình mô tả các kết quả thực nghiệm, đồng thời đưa ra cáctiên đoán mới Hai lĩnh vực này tồn tại song song, đan xen chặt chẽ và hỗ trợnhau, thúc đẩy sự phát triển của ngành vật lý, là động lực chính cho sự hiểubiết của nhân loại về thế giới tự nhiên huyền bí Một lý thuyết vật lý tốt sẽ môtả đúng các kết quả thí nghiệm đã được xác nhận, và đưa ra những tiên đoán

đáng tin cậy sẽ được kiểm tra bằng thực nghiệm trong tương lai Khi các tiên

đoán được xác nhận, lý thuyết trở nên ngày càng được chấp nhận Ngược lại,nếu có các quan sát thực nghiệm mâu thuẫn, lý thuyết cần phải được xem xétlại hoặc xây dựng một lý thuyết mới phù hợp hơn

Trong số các hạt hình thành nên vũ trụ, có một loại hạt đóng vai trò rấtquan trọng trong sự tiến hóa của vũ trụ ở thời kỳ sơ khai, trong quá trình sinhlepton, sinh baryon, và sự hình thành bức xạ nền vũ trụ, cũng như vai trò là vậtchất tối [3], đó là hạt neutrino Neutrino là hạt không mang điện, có khốilượng rất bé, với spin bằng 1

2, chỉ tương tác rất yếu và hiếm với các vật chất

Sự tồn tại của neutrino lần đầu tiên được đề xuất bởi Wolfgang Pauli, vào năm

1930, để giải quyết vấn đề bảo toàn năng lượng và mô men xung lượng trongphân rã beta, với tên gọi là neutron [4], sau đó được Fermi gọi là neutrino vìhạt neutron thực sự đã được khám phá bằng thực nghiệm bởi James Chadwick

vào năm 1932 [5,6] Trong những năm tiếp theo, vật lý neutrino là một phầncơ bản trong lý thuyết phân rã beta (β) được đề xuất bởi Fermi vào năm

1934 [7,8], còn gọi là lý thuyết Fermi, trên cơ sở lý thuyết trường của Dirac

về sự lượng tử hóa trường điện từ, trong đó một neutron phân rã thành mộtelectron, một proton và một phản neutrino theo phương trình n → p+e−+ ¯νe

Lý thuyết Fermi chỉ có hiệu lực ở miền năng lượng thấp, và gặp khó khăn về sựtồn tại của neutrino bởi các tính toán về tiết diện tán xạ tương tác của neutrino

được thực hiện bởi Hans Bethe và Rudolf Peierls vào năm 1934, với kết quả

bé hơn 10−44cm2 và họ khẳng định không thể quan sát được neutrino [9] Tuynhiên, năm 1946, Pontecorvo đã đề xuất rằng các neutrino có thể được pháthiện nhờ quá trình bắn neutrino vào một hạt nhân Chlorine biến thành một hạtnhân Argon bằng cách chuyển một neutrino thành một proton trong khi phát

ra một electron [10,11], theo phản ứng νe + 37Cl → 37Ar + e− Năm 1956,Clyde Cowan và Fred Reines đã thành công khi sử dụng quá trình phân rãngược, ¯ν + p → n + e+, khám phá ra phản neutrino do các quá trình rã beta từphản ứng hạt nhân trong phòng thí nghiệm tại sông Savannah- Mỹ [12 14]

Sự tồn tại của một neutrino thứ hai - neutrino muon νà được xác nhận bởiphòng thí nghiệm quốc gia Brookhaven vào năm 1962 [15] Khi lepton thứ

ba, τ, được khám phá vào năm 1975 [16, 17], người ta cho rằng sẽ có mộtneutrino tương ứng với τ lepton Tuy nhiên, mãi đến năm 2000 hạt neutrinotau mới được phát hiện bởi phòng thí nghiệm DONUT [18], hoàn thiện thế hệthứ ba của fermion trong mô hình chuẩn (MHC) của vật lý hạt cơ bản

Trên cơ sở lý thuyết Fermi và nhóm đối xứng chuẩn SU(2) ì U(1) do

S L Glashow đề xuất vào năm 1961 [19], năm 1962, S Weinberg và A.Salam [20 22] đã xây dựng lý thuyết điện yếu Glashow- Weinberg - Salam(GWS) thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, tiên đoán sự tồn tại củadòng yếu trung hòa và Z boson Những tính toán chi tiết về vấn đề này đã

được trình bày trong [2,23]

Một trong những thành công lớn nhất của vật lý học trong thế kỷ XX là

sự ra đời của MHC mô tả thành công 3 trong 4 tương tác được biết đến, đó là

tương tác điện từ, yếu và mạnh Các tương tác được thực hiện thông qua cáchạt truyền tương tác: photon truyền tương tác điện từ, các boson vector W±

và Z truyền tương tác yếu, các gluon truyền tương tác mạnh Trong MHC cáchạt được sắp xếp thành 3 thế hệ, mỗi thế hệ gồm 2 quark và 2 lepton, đã đượckiểm tra chính xác bởi các máy gia tốc hạt năng lượng cao Các thành phầnfermion phân cực trái biến đổi như các lưỡng tuyến đồng vị yếu, trong khicác thành phần phân cực phải là các đơn tuyến đồng vị yếu Vật chất đượctạo thành từ các thế hệ nhẹ nhất, quark u và quark d tạo nên các proton vàneutron trong hạt nhân nguyên tử, các electron và neutrino electron được sinh

ra trong quá trình rã beta Hai thế hệ còn lại chứa các lepton mang điện làmuon và tauon, các hạt này có cùng điện tích nhưng nặng hơn electron Mỗihạt có một phản hạt tương ứng, cùng khối lượng nhưng điện tích trái dấu Cơchế Higgs, được khám phá vào năm 1964 bởi P W Higgs [24], F Englert

và R Brout [25], G S Guralnik, C R Hagen và T W B Kibble [26], chophép các boson chuẩn không có khối lượng ban đầu trong MHC thu được khốilượng Sự thành công của MHC được xác nhận vào năm 1973 nhờ sự khámphá ra các tương tác neutrino dòng trung hòa trong thí nghiệm Gargamelle tạiCERN [27], Fermilab và nhiều thí nghiệm khác trong hơn 40 năm qua

hệ, giữa các thế hệ có mối liên hệ với nhau như thế nào?

(2) MHC không giải thích được khối lượng và sự chuyển hóa neutrino đã

được thực nghiệm xác nhận, cũng như sự gián đoạn về điện tích

(3) MHC không giải thích được vì sao top quark có khối lượng rất lớn, tạisao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng, tại sao các neutrino

có khối lượng rất bé, và tại sao các góc trộn lẫn quark nhỏ (ma trận trộn lẫngần với ma trận đơn vị) trong khi các góc trộn lẫn neutrino lớn với các góctrộn xác định - dạng Tri-bimaximal.

Những hạn chế trên đây của MHC là những vấn đề còn bỏ ngỏ trong vật

lý hạt, là một trong những rào cản lớn trong việc hiểu biết tiếp theo của nhânloại về thế giới siêu nhỏ cũng như siêu lớn và đang được các nhà khoa họctrên thế giới nghiên cứu, tranh luận rất sôi nổi

Để giải thích tại sao neutrino có khối lượng bé và có sự trộn lẫn, cần phải

mở rộng MHC, vì vậy, có thể nói rằng neutrino đóng một vai trò quan trọngtrong việc thúc đẩy mở rộng MHC Mặt khác, trong các mô hình của vật lýhạt, các neutrino là những thành phần quan trọng cho phép tiếp cận các bậcnăng lượng lớn hơn mức năng lượng mà các máy gia tốc đạt được, chẳng hạnnhư trong các lý thuyết thống nhất lớn, các mô hình vị, sự vi phạm số lepton,

vi phạm số lepton vị,

Sự chuyển hóa neutrino được thảo luận lần đầu tiên bởi Pontecorvo vàonăm 1957 [11], với sự chuyển hóa giữa neutrino và phản neutrino, trong phântích sự chuyển hóa giữa các kaon trung hòa K0 và ¯K0 Tại thời điểm này mớichỉ có một neutrino vị được phát hiện Sau khi neutrino muon được phát hiện,

sự trộn lẫn của hai neutrino được thảo luận bởi Maki, Nakagawa, và Sakata vàonăm 1962 [28,29], trong khi đó sự chuyển hóa của 2 neutrino vị khác nhau lần

đầu tiên được thảo luận bởi Pontecorvo vào năm 1968 [30] Sự kiện đầu tiên

về sự chuyển hóa neutrino được phát hiện bởi thí nghiệm Super- Kamiokandevào năm 1998 [31] Sự kiện này dựa trên cơ sở phân tích dòng neutrino khíquyển đến từ các hướng khác nhau, và có khoảng cách đến nguồn khác nhau,khi dòng neutrino electron đã được xác nhận là phù hợp mà có sự thiếu hụt

về dòng neutrino muon khi các neutrino chuyển động được một khoảng cách

đáng kể đến máy dò Điều này được giải thích như là có sự chuyển hóa giữacác neutrino muon thành các neutrino tauon Từ khám phá đầu tiên này, các

sự kiện khác về sự chuyển hóa neutrino đã được quan sát trong các thí nghiệmneutrino mặt trời [32, 33], neutrino khí quyển [34], từ các phản ứng trên các

máy gia tốc [35 37], và nhiều thí nghiệm tiếp theo đã khẳng định neutrino

1

√

3 0

−√16

1

√ 3

1

√ 2

−√ 1 6

đoạn không giao hoán bé nhất [42] Trong thực tế, tồn tại một sự trộn lẫn cực

đại của hai neutrino vị à và τ như đã cho ở trên, mà có thể được kết nối bởimột biểu diễn tối giản 2 của nhóm S3 Bên cạnh biểu diễn 2, nhóm S3 cóthể cung cấp các biểu diễn 1 chiều không tương đương 1 và 10 mà đóng mộtvai trò quan trọng trong việc sinh khối lượng và trộn lẫn của các fermion cần

thiết Các mô hình S3 đã được nghiên cứu một cách rộng rãi hơn một thậpniên qua [39, 43] Đó là một điều thú vị để chúng ta xây dựng các nguyên

lý động lực học có thể dẫn đến các mô hình trộn lẫn vị của các quark và cáclepton một cách tự nhiên trong các gần đúng đầu tiên Một phương pháp hữuhiệu cho vấn đề này đó là sử dụng các nhóm đối xứng gián đoạn không giaohoán như là các đối xứng thế hệ được thêm vào các nhóm chuẩn của MHC.Thời gian gần đây đã có nhiều mô hình dựa trên nhóm đối xứng A4 [45,46],

T0 [47] và gần đây hơn là đối xứng S3 [48], S4 [49,50]

Bên cạnh các kết quả thí nghiệm như được đề cập trên đây, đã có cácmô hình lý thuyết ra đời giải thích sự chuyển hóa neutrino, nhờ đó chúng tahiểu được rằng neutrino được sinh ra trong một trạng thái vị xác định, sau khitruyền trong một khoảng không gian lớn, nó chuyển sang một trạng thái vịkhác có thể dò được, nghĩa là neutrino có khối lượng và sự trộn lẫn [51].Những sự kiện nêu trên là bằng chứng xác đáng cho sự cần thiết phải mởrộng MHC Theo hướng mở rộng MHC, trong khoảng những năm đầu thậpniên 70 của thế kỷ XX đã có một số lượng lớn các mô hình được đề xuất nhưmô hình Zee [52], mô hình Zee - Babu [53], mô hình siêu đối xứng, lý thuyếtdây, mở rộng seesaw, Mỗi mô hình đều có những ưu nhược điểm nhất định,nhằm giải quyết một số vấn đề được đặt ra, và đã có rất nhiều công bố trongcác lĩnh vực trên, song những vấn đề đặt ra chưa có giải đáp thỏa đáng về vật

lý neutrino Việc đi tìm những câu trả lời cho những vấn đề còn bỏ ngõ đó

là động lực thúc đẩy cho sự phát triển của khoa học và sự hiểu biết của nhânloại về thế giới

Một hướng mở rộng khác của MHC được nhóm của GS Hoàng NgọcLong và các nhà khoa học khác quan tâm đó là mở rộng nhóm đối xứng điệnyếu SU(2)L ⊗ U (1)Y thành nhóm SU(3)L ⊗ U (1)X, các mô hình loại nàycòn được gọi là các mô hình 3-3-1 Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1 phụthuộc vào phần lepton được đưa vào trong mô hình Phiên bản thứ nhất, đượcgọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuất bởi Pisano, Pleitez và Framptonvào năm 1992 [54], trong đó, 3 tam tuyến lepton của nhóm SU(3)L có dạng

(νL, lL, lRc )T, với lR là các lepton mang điện phân cực phải Phiên bản này đòihỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đốixứng tự phát, sinh khối lượng cho các fermion Phiên bản thứ 2, được các tácgiả Foot, Long và Tuan đề xuất vào năm 1994, trong đó, thành phần thứ 3 củacác tam tuyến lepton là các neutrino phân cực phải, (νL, lL, νRc)T, và được gọi

là mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (331RH) [55,56] Mô hình này

có những ưu việt như mô hình 3-3-1 tối thiểu, nhưng phần Higgs đơn giảnhơn vì chỉ cần ba tam tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tựphát, sinh khối lượng cho các fermion Điều thú vị của mô hình 331RH đó

là nếu tam tuyến vô hướng Higgs χ được chọn với hai thành phần trung hòa

ở đỉnh và đáy khác không thì số tam tuyến Higgs của mô hình có thể giảmxuống chỉ còn là hai Mô hình như vậy được gọi là mô hình 3-3-1 tiết kiệm,

được các tác giả Dong, Long, Nhung và Soa đề xuất vào năm 2006 [57,58].Theo các mô hình 3-3-1, điều kiện khử dị thường đòi hỏi số tam tuyếnfermion của nhóm SU(3)L bằng số phản tam tuyến của nó, vì vậy số thế hệphải là một bội số của 3 Mặt khác, điều kiện tiệm cận trong sắc động lực họclượng tử đòi hỏi số thế hệ quark phải bé hơn 5 Kết hợp hai điều kiện đó, môhình 3-3-1 cho lời giải thích rõ về bài toán vị, số thế hệ lepton bằng 3

Các mô hình mở rộng MHC nêu trên đều chỉ mới quan tâm đến một thế

hệ và thừa nhận vật lý trong các thế hệ là giống nhau mà chưa có một chứngminh chặt chẽ Trong khoảng 10 năm trở lại đây, có một hướng khã quan đang

được nghiên cứu rộng, nhằm giải thích dạng ma trận trộn lẫn Tri-bimaximal,

đồng thời giải thích sự trộn lẫn nhỏ giữa các quark, sự nhỏ về khối lượng củaneutrino và các hiệu ứng vật lý quan trọng khác, đó là đưa các đối xứng gián

đoạn vào các mô hình mở rộng MHC [43,59 65]

Nhóm đối xứng gián đoạn đầu tiên được E Ma và G Rajasekaran đưavào mô hình chuẩn năm 2001 là nhóm A4 [46], thu được dạng trộn lẫn à − τcực đại, và sau đó được nhiều tác giả khác thực hiện với các nhóm khác, và

mở rộng cho các mô hình khác [47 50, 59, 60] Với các mô hình 3-3-1, lần

đầu tiên được F Yin đưa vào nhóm đối xứng A4 nhưng mới quan tâm đến

phần lepton mà chưa đề cập đến phần quark [44] Năm 2010, các tác giả P.

V Dong, H N Long, D V Soa và L T Hue đã đưa nhóm A4 vào mô hình3-3-1 với fermion trung hòa, có xét đến phần quark và thu được dạng chínhxác của ma trận trộn Tri-bimaximal [45]

Trong nỗ lực tìm lại dạng Tri-bimaximal (1) và tìm câu trả lời thỏa đángcho một trong số các vấn đề còn bỏ ngõ của vật lý hạt, đặc biệt là khối lượng

và sự trộn lẫn của các neutrino, bằng cách phân tích một khả năng gần gũivới các phiên bản đặc thù, chúng tôi đã đề xuất thêm một phiên bản khác củaphần lepton dưới dạng (νL, lL, NRc)T, trong đó, các neutrino phân cực phải củaphiên bản thứ 2 được thay bằng các lepton có số lepton bằng không, nghĩa là,

NR là 3 đơn tuyến lepton mới có số lepton bằng không, mô hình này được gọi

là mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa (331NF) [45,66 68] Khi đưa nhóm

đối xứng S3 vào các mô hình 3-3-1, các neutrino thu được khối lượng từ đónggóp của 2 phản lục tuyến Higgs và một tam tuyến Higgs của nhóm SU(3)L,trong khi đó, với nhóm đối xứng S4, các neutrino thu được khối lượng chỉ từ

đóng góp của 2 phản lục tuyến Higgs của nhóm SU(3)L

Nhóm chúng tôi là những người đầu tiên đưa đối xứng gián đoạn vào môhình 3-3-1 [45,67] trong đó có tính toán đầy đủ về khối lượng và sự trộn lẫnlepton, quark và tính thế hiệu dụng Để tiếp tục theo đuổi hướng nghiêm cứunày, chúng tôi đã chọn đề tài Nhóm đối xứng gián đoạn và các mô hình3-3-1 Trong luận án này, tác giả trình bày một hướng mở rộng MHC bằngviệc đưa các nhóm đối xứng gián đoạn S3 và S4 vào các mô hình 3-3-1, nhằmxác định khối lượng và sự trộn lẫn của các lepton và các quark, tính thế hiệudụng và kiểm tra sự phá vỡ đối xứng điện yếu, cũng như khai thác các hệ qủaliên quan đến vật lý neutrino, vật lý vị và hiện tượng luận của mô hình ở cácmáy gia tốc

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là đưa các nhóm đối xứng gián đoạn S3, S4 vào cácmô hình 3-3-1, xác định khối lượng và ma trận trộn lẫn fermion, tính thế hiệudụng và kiểm tra phá vỡ đối xứng điện yếu Khai thác các hệ quả liên quan

đến vật lý neutrino, vật lý vị và các hiện tượng luận của mô hình

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nhóm đối xứng gián đoạn, các hướng

mở rộng mô hình chuẩn, hiệu ứng vật lý neutrino trong các lý thuyết thốngnhất

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Chỉ đưa hai nhóm đối xứng gián đoạn S3

và S4 vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa và mô hình 3-3-1 với neutrinophân cực phải

Nội dung nghiên cứu

Trước hết chúng tôi xây dựng hệ số Clebsch- Gordan của hai nhóm S3,

S4, và trình bày tóm tắt nội dung mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa Trêncơ sở đó, đưa các nhóm đối xứng S3 và S4 vào mô hình 3-3-1 với fermiontrung hòa và mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải như là các đối xứng

vị So sánh các kết quả thu được từ mô hình với các kết quả thực nghiệm gần

đây về phổ khối lượng fermion và dạng ma trận trộn lẫn tương ứng

Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Sử dụng lý thuyếttrường lượng tử, lý thuyết nhóm, giải tích toán học để xây dựng mô hình 3-3-1với các nhóm đối xứng S3 và S4 Tính toán và so sánh các kết quả thu được từmô hình với các kết quả thực nghiệm Trong tính toán chúng tôi có sử dụngphần mềm Mathematica

Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận án đượctrình bày trong 3 chương

• Chương 1- Nhóm S3, S4 và mô hình 3-3-1 Tìm các biểu diễn và hệ sốClebsch - Gordan của 2 nhóm S3 và S4, và giới thiệu tóm tắt nội dungmô hình 3-3-1 với fermion trung hòa, bao gồm sự sắp xếp hạt và sự phá

vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng fermion của mô hình

• Chương 2 - Đối xứng vị S4 trong mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa.Trong chương này, chúng tôi đề xuất mô hình 3-3-1 với fermion trunghòa dựa trên nhóm đối xứng vị S4 Phần trình bày bao gồm: Sự sắp xếphạt, khối lượng của lepton mang điện, khối lượng neutrino, khối lượngquark và sự định hướng chân không của mô hình

• Chương 3 - Đối xứng vị S3 trong các mô hình 3-3-1 Trong chương này,chúng tôi đề xuất mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa và mô hình 3-3-1với neutrino phân cực phải dựa trên nhóm đối xứng vị S3 Phần trìnhbày bao gồm: Sự sắp xếp hạt, khối lượng của lepton mang điện, khốilượng neutrino, khối lượng quark và sự định hướng chân không của môhình Chương 2 và chương 3 là các kết quả chính của luận án

Chương 1

Các đối xứng và các nguyên lý bất biến thiết lập các định luật bảo toàn

-là cơ sở của lý thuyết vật lý Các đối xứng được mô tả bằng lý thuyết nhóm,

và đã có nhiều ứng dụng trong vật lý Mỗi một nhóm mô tả một cấu trúc cụthể - có một tập hợp các đối tượng tương ứng, chúng liên hệ với nhau theomột quy luật riêng Mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu xem những cấu trúcnày có thể liên hệ với các vấn đề trong thực tế như thế nào Lý thuyết nhóm

là một lĩnh vực rộng lớn và đã được trình bày kỹ trong các giáo trình toánhọc, chẳng hạn như trong các tài liệu trích dẫn [1,2,69] Có thể phân loại mộtnhóm dựa vào các phần tử của nó là liên tục hay gián đoạn Nếu các phần

tử của một nhóm là gián đoạn, nhóm tương ứng được gọi là nhóm gián đoạn,ngược lại nhóm là liên tục Nếu luật nhân nhóm là giao hoán, nghĩa là với mọiyếu tố g1, g2 ∈ G, g1g2 = g2g1 thì nhóm được gọi là nhóm Abel hay nhómgiao hoán, ngược lại nhóm là non - Abel hay nhóm không giao hoán

Các đối xứng đóng một vai trò thiết yếu trong việc xây dựng mô hình củavật lý hạt Chẳng hạn, các đối xứng liên tục định xứ như các đối xứng Lorentz,Poincare, và đối xứng chuẩn là rất quan trọng để hiểu được nhiều hiệu ứngvật lý liên quan đến tương tác mạnh, yếu và điện từ giữa các hạt [2,23] Mặtkhác, các đối xứng gián đoạn như phép lấy liên hợp điện tích C, phép nghịch

đảo không gian P, phép nghịch đảo thời gian T cũng là những nội dung cầnthiết trong vật lý hạt [70] Các đối xứng gián đoạn giao hoán, ZN, thường

được sử dụng để điều chỉnh các liên kết được phép trong việc xây dựng môhình mở rộng MHC [71] Bên cạnh các đối xứng gián đoạn giao hoán, các đốixứng gián đoạn không giao hoán cũng đã được ứng dụng vào việc xây dựngcác mô hình tìm hiểu về cấu trúc vị của 3 thế hệ fermion Nếu một đối xứng

được đưa vào tác động lên phần vị, người ta có thể điều chỉnh các hằng số liênkết Yukawa theo 3 thế hệ, mặc dù nguồn gốc của các thế hệ vẫn còn là ẩn

số Mặt khác, sự khám phá về khối lượng và trộn lẫn neutrino với dạng trộnlẫn Tri-bimaximal với các góc trộn lớn hoàn toàn khác các góc trộn lẫn quark(1) [39,40], và sự khác không của góc trộn lẫn θ13 [41] là động lực thúc đẩyviệc tìm kiếm một mô hình tự nhiên dẫn đến sự trộn lẫn của các quark và cáclepton với độ chính xác cao bằng việc đưa các nhóm đối xứng gián đoạn như

đoạn S3 và S4, tìm các biểu diễn, và hệ số Clebsch - Gordan và chỉ ra các triểnvọng ứng dụng vào mô hình 3-3-1 của hai nhóm này Đồng thời giới thiệutóm tắt nội dung của mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa Nhóm S4 được

đưa vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa trong chương 2, nhóm S3 được

đưa vào các mô hình 3-3-1 trong chương 3 của luận án Các kết quả chính củaluận án đã được đăng trong các tài liệu tham khảo [67,68]

Trong các biểu thức (1.1), số hạng thứ nhất là ký hiệu đầy đủ của phép hoán

vị, số hạng thứ hai chỉ kết quả của phép hoán vị, số hạng thứ ba là cách viếttheo chu trình Chẳng hạn, a1 là phép biến đổi x1 → x2 → x3 → x1, a3 làphép biến đổi x1 → x2 → x1 và x3 không biến đổi,

S3 cũng chính là nhóm các phép biến đổi biến một tam giác đều thànhchính nó, bao gồm một phép đồng nhất, 2 phép quay quanh tâm, và 3 phép

đối xứng trục như hình vẽ 1.1

Nhóm S3 có 3 lớp các yếu tố liên hợp, với 3 biểu diễn tối giản, trong đó,

có hai biểu diễn một chiều 1, 1' và một biểu diễn hai chiều 2 Các lớp liênhợp và đặc biểu của nhóm S3 lần lượt có dạng như trong bảng 1.1 và 1.2 Cácbiểu diễn chính quy của nhóm S có dạng như trong phụ lục A

Hình 1.1: Đối xứng S3 của tam giác đềuBiểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm S3 trong không gian thực có dạng:

√ 3

2 −12

!, −12

√ 3 2

−

√ 3

1 2

√ 3 2

√ 3

2 −12

!,

1

2 −

√ 3 2

−

√ 3

2 −12

! (1.2)

Trong nhiều trường hợp, để thuận tiện người ta làm việc trong không gianphức, trong đó, biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm S3 có dạng:

ω2 0

!, 0 ω

2

ω 0

! (1.3)trong đó, ω = e2πi/3 = −12 + i

√ 3

2 là căn bậc 3 của đơn vị

Các biểu diễn trong (1.2) hoặc (1.3) chính là biểu diễn tối giản unita 2chiều của S3 Điều đặc biệt ở đây là biểu diễn tối giản unita có số chiều lớnhơn 1 Đối với nhóm không giao hoán phải tồn tại biểu diễn ma trận mà khôngphải số, vì chỉ ma trận mới biểu diễn được quy tắc nhân không giao hoán

1 ⊗ 1 = 1(11), 10⊗ 10 = 1(11), 1 ⊗ 10 = 10(11),

1 ⊗ 2 = 2(11, 12), 10 ⊗ 2 = 2(11, −12),

2 ⊗ 2 = 1(12 + 21) ⊕ 10(12 − 21) ⊕ 2(22, 11) (1.5)trong đó, trong các dấu ngoặc đơn, chỉ số thứ nhất được hiểu là i ≡ xi(i =

1, 2), chỉ số thứ hai được hiểu là j ≡ yj (j = 1, 2), xiyj ≡ ij, xiyj ± xkyl ≡

ij ± kl, chẳng hạn, 1(11) ≡ 1(x1y1); 2(11, 12) ≡ 2(x1y1, x1y2), Các tínhtoán chi tiết về hệ số Clebsch - Gordan của nhóm S3 được trình bày trong phụlục B Nhóm đối xứng S3 được đưa vào các mô hình 3-3-1 trong chương 3của luân án Kết quả đã được đăng trong tài liệu tham khảo [68]

3 , 4π

3 , vµ c¸c phÐp quay quanh c¸c trôc bËc 2mét gãc π nh­ h×nh vÏ 1.2

Hình 1.2: Đối xứng S4 của hình lập phươngBảng 1.3: Bảng đặc biểu của nhóm S4

4thu ®­îc tõ c¸c ma trËn cña biÓu diÔn 3 cña S4, cã d¹ng nh­ sau:

4 và T là phép quay quanh trục bậc 3 một góc

2π

3 Để đơn giản mà không mất tính tổng quát, có thể chọn S = (1234), T =(123), trong đó, (1234) chỉ phép hoán vị (x1, x2, x3, x4) → (x2, x3, x4, x1), và(123) có nghĩa là (x1, x2, x3, x4) → (x2, x3, x1, x4) Khi đó, các lớp liên hợpcủa nhóm S4 được viết theo S và T như trong bảng 1.4

Chúng tôi làm việc trong cơ sở mà 3, 30 là các biểu diễn thực, và 2 là biểudiễn phức Hệ số Clebsch- Gordan cho các tích tensor của nhóm S4 như sau:

x2y10) ≡ (23 − 32, 31 − 13, 12 − 21) là các hệ số Clebsch-Gordan của 3s và(23+32, 31+13, 12+21) ≡ (x2y30+x3y20, x3y01+x1y03, x1y02+x2y01)là các hệ sốClebsch-Gordan của 3a trong sự phân tích của 3⊗30, với x = (x1, x2, x3) ∼ 3,

y0 = (y10, y20, y30) ∼ 30 Các tính toán chi tiết về hệ số Clebsch - Gordan củanhóm S4 được trình bày trong phụ lục C

Các quy tắc cho các biểu diễn liên hợp của 1, 10, 2, 3, và 30 được cho bởi:

2∗(1∗, 2∗) = 2(2∗, 1∗), 1∗(1∗) = 1(1∗), 10∗(1∗) = 10(1∗),

3∗(1∗, 2∗, 3∗) = 3(1∗, 2∗, 3∗), 30∗(1∗, 2∗, 3∗) = 30(1∗, 2∗, 3∗) (1.18)trong đó, ω = e2πi/3 = −1/2 + i√

3/2là căn bậc 3 của đơn vị Hệ số Clebsch

- Gordan của các nhóm là cơ sở toán học rất quan trọng để chúng ta ứng dụngvào các bài toán vật lý Nhóm S4 được đưa vào mô hình 331NF trong chương

2 của luân án Kết quả đã được đăng trong tài liệu tham khảo [67]

Các mô hình 3-3-1 đã chứng minh được phải tồn tại 3 thế hệ fermion [54],vì vậy nhóm gián đoạn được đưa vào cần phải chứa 3 thế hệ fermion Mặtkhác, trên thực tế tồn tại sự trộn lẫn cực đại Bimaximal nên cần đến các nhómchứa các biểu diễn hai chiều 2 Các nhóm S3 và S4 đều đáp ứng được 2 điềukiện trên nên chúng được lựa chọn để đưa vào các mô hình 3-3-1

1.2 Mô hình 3-3-1

Một hướng mở rộng MHC đã và đang được nhiều nhà khoa học quan tâm

đó là các mô hình 3-3-1, trong đó nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C⊗ SU (2)L⊗

U (1)Y được mở rộng thành nhóm SU(3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X, với SU(3)C

là nhóm đối xứng màu của tương tác mạnh, tác động lên các quark màu vàcác boson chuẩn truyền tương tác mạnh; SU(3)L là nhóm đối xứng phân cựctrái của các tương tác yếu, tác động lên các fermion phân cực trái; U(1)X lànhóm đối xứng liên quan đến một số lượng tử mới, X- tích, là khái niệm mởrộng của siêu tích Y Trong mô hình 3-3-1, các lepton được sắp xếp vào cáctam tuyến hoặc phản tam tuyến của nhóm SU(3)L, và các quark phải có mộtthế hệ biến đổi khác so với hai thế hệ còn lại [54,55,57]

Việc mở rộng nhóm đối xứng SU(2)L thành SU(3)L, số vi tử của nhóm

đối xứng tăng thêm 5 nên trong mỗi mô hình 3-3-1 sẽ xuất hiện thêm 5 bosonchuẩn mới so với MHC Đồng thời, dưới sự mở rộng này, các biểu diễn củalepton và quark được mở rộng từ lưỡng tuyến thành tam tuyến hoặc phản tamtuyến Có hai lọai mô hình 3-3-1 đó là mô hình 3-3-1 tối thiểu và mô hình3-3-1 với neutrino phân cực phải đã được nghiên cứu kỹ trong các tài liệu thamkhảo [54 56], và mô hình 3-3-1 đã chứng tỏ phải tồn tại 3 thế hệ fermion [54].Các mô hình mở rộng MHC trước đây, trong đó có các mô hình 3-3-1,chưa quan tâm đến mối liên hệ giữa các thế hệ fermion, và không thu đượcdạng trộn lẫn Tri-bimaximal (1) Để thu được mối liên hệ giữa các thế hệ vàthu được dạng trộn lẫn Tri-bimaximal, cần thiết phải đưa vào các đối xứnggián đoạn Bằng cách phân tích một khả năng gần gũi với các phiên bản đặcthù, chúng tôi đã đề xuất mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa (331NF) dướidạng (νL, lL, NRc)T, trong đó, NR là 3 đơn tuyến lepton mới có số lepton bằngkhông [45,66 68] Mô hình 331RH và mô hình 331NF hoàn toàn giống nhau,chúng chỉ khác nhau bởi L - tích như ở (1.20) và (3.64), kéo theo số hạngtương tác ¯ψαLc ψαLφ0 bảo toàn L tích trong mô hình 331RH và vi phạm đối vớimô hình 331NF, ngoài ra chúng hoàn toàn giống nhau Vì vậy, trong chươngnày chúng tôi giới chỉ thiệu tóm tắt nội dung của mô hình 331NF

1.3 Mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa

1.3.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình

Trong mô hình được xem xét, cả 3 thế hệ lepton phân cực trái đều được sắpxếp vào các tam tuyến của nhóm SU(3)L, trong đó, thành phần thứ 3 của tamtuyến là 3 đơn tuyến lepton mới có số lepton bằng không, (νaL, laL, NaRc )T, (a =

1, 2, 3), và các lepton phân cực phải laR là các đơn tuyến [45,66 68] Toán tử

điện tích Q liên hệ với các vi tử của đối xứng chuẩn theo hệ thức

Q = T3 − T8/√

3 + X, (1.19)trong đó, Ta (a = 1, 2, , 8) là các tích SU(3)L thỏa mãn TrTaTb = 12δab và

X là tích của U(1)X Để thuận tiện, chúng tôi đưa vào mô hình một tích bảotoàn mới (L) được xác định,

L = √2

3T8 + L. (1.20)Tích lepton được chọn theo cách này, nghĩa là L(NaR) = 0, sẽ khử các tươngtác không mong muốn theo đối xứng U(1)L, thu được dạng Tri-bimaximal khi

kể thêm đối xứng gián đoạn

Dưới đối xứng [SU(3)L, U(1)X, U(1)L] các fermion dịch chuyển như sau:

ψaL = (νaL laL NaRc )T ∼ (3, −1/3, 2/3) , laR ∼ (1, −1, 1),

Q3L = (u3L d3L UL)T ∼ (3, 1/3, −1/3) , UR ∼ (1, 2/3, −1) ,

QαL = (dαL − uαL DαL)T ∼ (3∗, 0, 1/3) , DαR ∼ (1, −1/3, 1) ,

uaR ∼ (1, 2/3, 0) , daR ∼ (1, −1/3, 0) (1.21)trong đó a = 1, 2, 3 là các chỉ số thế hệ của lepton, α = 1, 2 là chỉ số thế hệcủa hai thế hệ quark thứ nhất và thứ hai

1.3.2 Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng fermion

Để phá vỡ đối xứng SU(3)L⊗ U (1)X → U (1)Q, sinh khối lượng cho cáchạt, mô hình cần ba tam tuyến Higgs vô hướng χ, φ, η và một phản lục tuyến

s, được thực hiện qua hai giai đoạn Sơ đồ phá vỡ đối xứng như sau:

SU (3)L⊗ U (1)X −→ SU (2)hχi L ⊗ U (1)Y hφi, hηi−→ U (1)Q (1.22)Các đa tuyến vô hướng Higgs của mô hình và các VEV tương ứng được chọn:

, hχiT =



0, 0, √ω

2

, (1.23)

, hφiT =



0, √v

2, 0

, (1.24)

, hηiT =

u

√

2, 0, 0

,

, hsi = √1

Các tương tác Yukawa bất biến dưới phép biến đổi của nhóm đối xứng chuẩn

SU (3)C ⊗ SU (3)L⊗ U (1)X, bảo toàn số lepton có dạng:

−LY = hlabψ¯aLφlbR+ fabν ψ¯aLc sψbL

+ λUQ¯3LχUR + λDαβQ¯αLχ∗DβR + λd3aQ¯3LφdaR+ λuαaQ¯αLφ∗uaR + λu3aQ¯3LηuaR + λdαaQ¯αLη∗daR + H.c (1.26)trong đó, a, b = 1, 2, 3; α, β = 1, 2 là các chỉ số thế hệ fermion; m, n, p làcác chỉ số của SU(3)L; mnp là tensor phản đối xứng hoàn toàn: 123 = 1,

321 = −1; fν

ab đối xứng theo các chỉ số a, b

Số hạng thứ nhất ở dòng đầu tiên của (1.26) là tương tác Yukawa sinhkhối lượng cho các lepton mang điện Sử dụng tính chất chéo hóa theo cácchỉ số vị của hl

ab, ta thu được khối lượng các lepton mang điện được như sau:

trong đó, κ = √2hs011i, λ = √2hs013i = √2hs031i, Λ = √2hs033i Vì κ  λ 

Λ nên M1  M2 Khối lượng M1 bé phù hợp với các neutrino hoạt động

∼ νL, trong khi đó, M2 lớn, neutrino tương ứng là sterile neutrino ∼ νR.Dòng thứ 2 và dòng thứ 3 của (1.26) mô tả tương tác Yukawa sinh khốilượng cho các quark Với giả thiết các hằng số liên kết chéo hóa theo các chỉ

số vị, mô hình cung cấp khối lượng quark ở gần đúng thấp nhất như sau:

Nhóm S4 có một biểu diễn một chiều 1', một biểu diễn 2 chiều và hai biểudiễn 3 chiều 3, 3' Vì vậy, có thể sắp xếp 3 thế hệ lepton phân cực trái thựchiện biểu diễn 3, trong khi đó, với lepton phân cực phải và các quark phâncực trái, một thế hệ thực hiện biểu diễn 1 và hai thế hệ còn lại thực hiện biểudiễn 2

Trong mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa, các đơn tuyến lepton mới đượcthêm vào có số lepton bằng không, L(NR) = 0, sẽ khử các tương tác khôngmong muốn theo đối xứng U(1)L Để phá vỡ đối xứng SU(3)L ⊗ U (1)X →

U (1)Q, sinh khối lượng cho các hạt, mô hình cần ba tam tuyến Higgs vô hướng

χ, φ, η và một phản lục tuyến s của nhóm SU(3)L Trong gần đúng thấp nhất,nếu các hằng số liên kết chéo hóa theo các chỉ số vị thì khối lượng các leptonmang điện có dạng giống với mô hình chuẩn và khối lượng các quark up vàquark down có dạng như trong biểu thức (1.29)

Chương 2

fermion trung hòa

Trong chương này, chúng tôi đề xuất mô hình 331NF với nhóm đối xứng

vị S4, trong đó, ở gần đúng thấp nhất, dạng chính xác của ma trận UHPS thu

được một cách tự nhiên và ma trận trộn lẫn quark UCKM có dạng trùng với

ma trận đơn vị Đồng thời, các neutrino và lepton mang điện thu được khốilượng phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm gần đây [67] Trong mô hình này,các neutrino thu được khối lượng chỉ từ đóng góp của các phản lục tuyến củanhóm SU(3)L

Phần trình bày của chương bao gồm: Sự sắp xếp hạt của mô hình, khốilượng lepton mang điện, khối lượng neutrino, khối lượng quark và sự địnhhướng chân không

2.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình

Đối xứng chuẩn được cho bởi nhóm SU(3)C ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)X, trong

đó, số hạng điện yếu SU(3)L ⊗ U(1)X được mở rộng từ các nhóm tương ứngcủa MHC, trong khi phần tương tác mạnh được giữ nguyên Mỗi thế hệ leptonbao gồm một fermion mới trung hòa và có số lepton bằng không, phân cựcphải (NR) được sắp xếp dưới đối xứng của SU(3)L như là một tam tuyến(νL, lL, NRc)T và một đơn tuyến lR Toán tử điện tích Q liên hệ với các vi tửcủa đối xứng chuẩn theo hệ thức (1.19)

Không giống như MHC, trong nội tại các mô hình 3-3-1 đã có sự vi phạm

số lepton, nghĩa là các hạt trong một đa tuyến có thể có số lepton khác nhau

Vấn đề sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với một tích bảo toàn mới L, tích nàygiao hoán với đối xứng chuẩn và liên hệ với số lepton ban đầu (L) theo hệ thức(1.20) [45,56,67] Điều này chỉ thuận tiện cho việc tính toán các số lepton toàncục của mô hình, vì T8 là một tích chuẩn, dẫn đến L cũng là một tích chuẩn.Tích lepton được chọn theo cách này, nghĩa là L(NR) = 0, sẽ khử các tươngtác không mong muốn theo đối xứng U(1)L, thu được dạng Tri-bimaximal,

và các đối xứng phá vỡ cung cấp phổ khối lượng lepton và quark phù hợp.Các quark ngoại lai U, D1,2 mang số lepton L(U) = −L(D1,2) = −1, vì vậychúng được gọi là các leptoquark

Lý thuyết về nhóm S4 được trình bày trong mục 1.1.2 của chương 1 Nhóm

S4 có 5 biểu diễn tối giản, trong đó có hai biểu diễn 1 chiều, một biểu diễn

2 chiều và hai biểu diễn 3 chiều Vì vậy, với mô hình chúng tôi xem xét, cóthể sắp xếp lepton phân cực phải thuộc thế hệ thứ nhất, các quark phân cựctrái thuộc thế hệ thứ 3 và quark ngoại lai UR thực hiện biểu diễn 1; các leptonphân cực phải thế hệ thứ 2 và 3, các quark phân cực trái thế hệ 1 và 2, cácquark ngoại lai D1,2R cùng thực hiện biểu diễn 2; các lepton phân cực trái,các quark phân cực phải uR và dR thực hiện biểu diễn 3 của nhóm S4 Khi

đó, dưới đối xứng [SU(3)L, U(1)X, U(1)L, S4], các fermion của mô hình này

P = 1; các hạt với L = ±1 như các lepton ban đầu và các quark ngoại lai

có Pl = −1 VEV với số chẵn lẻ âm, Pl = −1, sẽ phá vỡ đối xứng này mộtcách tự phát Để tiện theo dõi, chúng tôi liệt kê các số lượng tử L và Pl củacác hạt thành phần trong phụ lục D Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bàyphần sinh khối lượng cho các fermion.

2.2 Khối lượng lepton mang điện

Khối lượng lepton mang điện được sinh ra từ các kết cặp ¯ψLl1R và ¯ψLlRvớicác vô hướng, trong đó, dưới nhóm [SU(3)L, U(1)X, U(1)L, S4], chúng biến

đổi như sau: ¯ψLl1R ∼ 3∗, −23,13, 3, ¯ψLlR ∼ 3∗, −23,13, 3 ⊕ 30 Để thu đượccác tương tác Yukawa bất biến dưới nhóm đối xứng [SU(3)L, U(1)X, U(1)L, S4],sinh khối lượng cho các lepton mang điện, cần thiết phải đưa vào mô hình haitam tuyến Higgs vô hướng lần lượt thực hiện biểu diễn 3 và 3' của S4 như sau:

với các VEV tương ứng được viết dưới dạng các thành phần của S4 (điều này

sẽ thu được từ các điều kiện cực tiểu thế):

hφi = (v, v, v), hφ0i = (v0, v0, v0) (2.3)Các chỉ số trong các thành phần vô hướng ở (2.2) là các chỉ số của nhómSU(3)L, các chỉ số của nhóm S4 được bỏ qua và ngầm hiểu

Các tương tác Yukawa sinh khối lượng cho các lepton mang điện có dạng:

−Ll = h1( ¯ψLφ)1l1R + h2( ¯ψLφ)2lR + h3( ¯ψLφ0)2lR + h.c (2.4)

Thay các VEV của φ và φ0 trong (2.3) và (2.4) chúng ta thu được grangian khối lượng của các lepton mang điện:

La-−Lmassl = h1v¯l1Ll1R+ (h2v − h3v0)¯l1Ll2R+ (h2v + h3v0)¯l1Ll3R

+ h1v¯l2Ll1R+ (h2v − h3v0)ω¯l2Ll2R+ (h2v + h3v0)ω2¯l2Ll3R

+ h1v¯l3Ll1R+ (h2v − h3v0)ω2¯l3Ll2R+ (h2v + h3v0)ω¯l3Ll3R + h.c

≡ (¯l1L, ¯l2L, ¯l3L)Ml(l1R, l2R, l3R)T + h.c., (2.5)trong đó,

Ma trận khối lượng vì vậy có dạng chéo,

Ma trận trộn lẫn lepton trái UL trong (2.8) là cơ sở quan trọng để chúng ta tìmlại dạng ma trận trộn lẫn UHP S như sẽ được trình bày trong mục 2.3

Từ biểu thức (2.7) ta thu được khối lượng các lepton mang điện như sau:

me = √

3h1v, mà = √

3(h2v − h3v0), mτ = √

3(h2v + h3v0) (2.9)

Kết quả (2.9) cho biết khối lượng của muon và tauon, và kéo theo khối lượngcác lepton mang điện, đã được tách nhờ trung bình chân không v0 của tamtuyến φ0 Đây là lý do vì sao chúng tôi đưa thêm vào mô hình tam tuyếnHiggs φ0.

Các hằng số liên kết Yukawa h1, h2, h3 liên hệ với nhau theo hệ thức:

Từ (2.13) chúng ta thấy rằng nếu v0 ∼ v thì h2 ∼ h3  h1 Nghĩa là, nếu v0

cùng bậc với v thì h2 và h3 cùng bậc và rất lớn so với h1

Như vậy, nếu các tam tuyến φ, φ0 có VEV cùng bậc, và liên kết Yukawagiữa các lepton phân cực trái (ψL ≡ ψ1,2,3L) với các lepton phân cực phảithuộc thế hệ thứ hai và thứ ba (lR ≡ l2,3R) rất lớn so với liên giữa các leptonphân cực trái với lepton phân cực phải thuộc thế hệ thứ nhất (l1R) thì mô hình

có thể giải thích vì sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng

2.3 Khối lượng neutrino

Khối lượng neutrino được sinh ra từ việc kết cặp ¯ψLcψL với các vô hướng.Dưới nhóm [SU(3)L, U(1)X, U(1)L, S4] thì ¯ψLcψL biến đổi như sau: ¯ψLcψL ∼

3∗ ⊕ 6, −23, 43, 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 30 Cần chú ý rằng, với các tam tuyến Higgs φ

và φ0, các liên kết ¯ψLcψLφ và ¯ψLcψLφ0 bị cấm do chúng vi phạm đối xứng L

Vì vậy, ¯ψcLψL có thể liên kết với phản lục tuyến SU(3)L để thu được khốilượng cho các neutrino Do tính chất của nhóm S4, để thu được dạng trộn lẫnneutrino mong muốn, các phản lục tuyến SU(3)L trong mô hình này chỉ cóthể biến đổi như sau:

+ 1

2y( ¯ψ

c 2Lψ3Ls1 + ¯ψ3Lc ψ1Ls2 + ¯ψ1Lc ψ2Ls3) + h.c (2.16)

Dưới nhóm S4, VEV của s được chọn (hs1i, 0, 0)(đây cũng chính là điều kiệncực tiểu của thế vô hướng), trong đó,