Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì tuyển sinh lớp 10 chuyên toán đã chuyển đổi

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1.. Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên

Trang 1

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bài 1 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1+ + = Chứng minh rằng:

Trang 2

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên

Bài 2 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 3y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x 1; y 2; z 1= = =

Trang 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được tại x 1; y 2; z 1= = =

• Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được tại x 1; y 2; z 1= = =

Bài 3 Với x, y là các số thực thỏa mãn ( )( ) 9

x 2 y 1

4+ − = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 4

+ Xét a và b cùng âm Khi đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có các đánh giá

Trang 5

+ Xét a và b cùng âm Khi đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có các đánh giá

Trang 6

Trang 7

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 2

• Lời giải 1 Dự đoán được giá trị nhỏ nhất của P là 5, đạt được tại a b c 1= = = Khi

đó ta quy bài toán về chứng minh

Trang 8

Trang 9

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Bài 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019xyz+ + = Chứng minh rằng:

Trang 10

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Bài 7 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ( 4 4)( 4 4)( 4 4)

a +b b +c c +d = Chứng minh 8rằng:

Do vậy ta được a4+b4+6a b2 2 4ab a( 2+b2)

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra kh và chỉ khi a b=

Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được ( 2 2)2 4 4 ( 2 2)2 4 4

2 b −bc c+ b +c ; 2 c −ca a+ c + a

Do đó ta được ( 2 2) (2 2 2) (2 2 2) (2 4 4)( 4 4)( 4 4)

8 a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+  a +b b +c c +dHay ta được ( 2 2) (2 2 2) (2 2 2)2

a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+  1

Để ý rằng a2 −ab b+ 2 0; b2−bc c+ 2 0; c2−ca a+ 2 0

Do vậy suy ra (a2−ab b+ 2)(b2−bc c+ 2)(c2 −ca a+ 2) 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= = =  1

Bài 8 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1

a 1 b 1 c 1+ + + + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 11

• Lời giải 1 Trước hết ta chứng minh

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Trang 12

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên + Cách 3 Vì a, b là các số thực dương nên ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Như vậy từ các lời giải trên ta được

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt được tại a b c 2= = =

• Lời giải 2 Áp dụng kĩ thuật AM – GM ta được

Trang 13

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt được tại a b c 2= = =

Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

a b c+ + 27 a +b +c ab bc ca+ +Lấy căn bậc hai hai vế bất đẳng thức trên ta được

Trang 14

Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c= =

Bài 10 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 15

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5, đạt được tại a 2; b 0; c 1= = = và các hoán vị

Bài 11 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x2−6x 25+ + y2−6y 25+ + z2−6z 25+

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2019 – 2020

Lời giải

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M

Trước hết ta phát biểu và chứng minh bổ đề: Với a, b, x, y là các số thực không âm ta luôn có:

a +x + b +y  a b+ + x y+Thật vậy, bình phương hai vế ta được

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 5, đạt được tại x y z 1= = =

+ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Do x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 3+ + = nên ta được 0 x; y;z 3 

Trang 16

Vậy giá trị lớn nhất của M là 14, đạt được tại x 3; y 0; z 0= = = và các hoán vị

Bài 12 Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn 1 1 1 3

a+ +  Tìm giá trị lớn nhất của b cbiểu thức

Trang 17

a +1 c +1 = a c +a + + c 1 ac 1+

Trang 18

Trang 19

Áp dụng tiếp bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có đánh giá

Trang 20

Trang 21

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dẩng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Bài 16 Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn 12x 10y 15z 60+ +  Tìm giá trị lớn nhất của: T x= 2+y2+z2−4x 4y z− −

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019



Vậy giá trị lớn nhất của T là 12, xẩy ra tại x y 0; z 4= = = hoặc x z 0; y 6= = =

Bài 17 Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện ( 2)( 2)

x+ 1 x+ y+ 1 y+ =2018 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y= +

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019

Lời giải

Trang 22

Trang 23

Trang 24

11a 11b 12c2

Trang 25

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Bài 21 Cho các số 0 a, b,c 3  thỏa mãn abc a b c( + + )=3

ab bc ca+ + 3 ab.bc bc.ca ca.ab+ + =3abc a b c+ + = 9

Do đó ta được ab bc ca 3+ +  Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 26

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2

4 , đạt được tại a b c 1= = =

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x +y +z +x y +y z +z x = 6Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y z= + +

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2018 – 2019

Lời giải

+ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y2 2+ 1 2xy; y z2 2+ 1 2yz; z x2 2+ 1 2zx

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 2xy x 2+y2.Do x, y, z là các số thực không âm nên ta lại có 2xy x y+ 2 2x2+y2+x y2 2x2+y2+z2+x y2 2+y z2 2+z x2 2 = 6

Do vậy ta có bất đẳng thức x y2 2+2xy 6 0− 

Đến đây ta suy ra được xy 7 1−  9 1 2− =

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được yz 2; zx 2 

Trang 27

Chú ý đến x, y, z không âm thì ta có 2xy x y ; 2yz y z ; 2zx z x 2 2  2 2  2 2 Do đó ta có

x +y +z +2 xy yz zx+ + x +y +z +x y +y z +z x =6

Hay ta được 2 ( )2

Q = x y z+ +  nên 6 Q 6 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 6; y z 0= = và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 6, xẩy ra tại x= 6; y z 0= = và các hoán vị

Bài 23 Với a, b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2b 2 b

Trang 28

Tài liệu BDHSG Toán 9 và Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên + Lời giải 2 Xét biểu thức M b a b b

Trang 29

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ta khi và chỉ khi a b c= =

Bài 25 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx x y z+ +  + + Chứng minh rằng:

x y zy

Trang 30

Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất, Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Bài 26 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 31

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a 7b 7c= =

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 19

Trang 32

Bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 – 2019

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, xẩy ra tại a b c 1= = =

+ Cũng do 0 a, b,c 2  nên ta có (a 2 b 2 c 2− )( − )( − )0 hay ta được

abc 2 ab bc ca− + + +4 a b c+ + − 8 0Kết hợp với a b c 3+ + = thì ta được 2 ab bc ca( + + )abc 4+

Để ý rằng do a, b, c là các số không âm nên ta lại có abc 0 Do đó suy ra abc 4 4+ 

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5

2, xấy ra tại a 2; b 1; c 0= = = và các hoán vị

Bài 29 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ( )2

a b c+ − =ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+ −

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018 – 2019

Lời giải

Trang 33

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 1= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, xẩy ra tại x y 1= = hay a b c= =

Bài 30 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

= = = , khi đó ta được x, y, z dương và xyz 1= Bất đẳng thức cần

chứng minh trên được viết lại thành 1 2 1 2 1 2 1

1 x x +1 y y +1 z z 

tương đương ta được

Trang 34

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x, y, z dương

Do vậy phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 31 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

(a b c d+ )( + )=2; a c b d( + )( + )=3; a d b c( + )( + )=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a= 2+b2+ + c2 d2

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2018 – 2019

Trang 35

Khi đó

2 2 2

+

Trang 36

Thật vậy, từ giả thiết c a ta được a 1 1

c =xy Do đó 3 3

1xy

+

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xẩy ra tại a b c= =

Bài 33 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Trang 37

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Bài 34 Cho các số thực a, b thoả mãn a 2; b 2 Chứng minh rằng:

Bài 35 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1+ + = Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 y2 z2 9xyz

2

Lời giải + Lời giải 1 Biến đổi biểu thức P ta có

Trang 38

Xét hàm số g(x) ax b= + với   x 

Ta có với a 0 g( ) g(x) g( );a 0    = g(x) g( );a 0=   g( ) g(x) g( ).   

Vậy min g( ); g( )   g(x) max g( ); g( )    

Không mất tính tổng quát có thể giả sử x y z 1 x 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Theo nguyên lý Dirichlet ta có trong 3 số 1 3x;1 3y;1 3z− − − có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử 1 3x;1 3y− − cùng dấu

Khi đó ta có (1 3x 1 3y− )( − ) 0 9xy 3x 3y 1 0− − +  9xyz 3xz 3yz z + −

Trang 39

Biến đổi biểu thức P ta được

16 12

Dấu bằng xẩy ra khi x 1; y z 0= = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1, xẩy ra tại x 1; y z 0= = = và các hoán vị

Bài 36 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b4 4+b c4 4+c a4 4 =3a b c4 4 4 Chứng minh rằng:

a +b +c =

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM là được a b 2c3 + 2+ =1 a b c3 + 2+c2+ 1 2ac ab 2c+

Trang 40

Trang 41

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Trang 42

Từ đó ta quy bài toán về chứng minh a + b + c 2 Do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 a b c 1−     Ta đi xét các trường hợp sau

+ Nếu 1 a b c 0−     , khi đó ta được a + b+ = − + +c (a b c)=0

Do đó suy ra a + b+ c 2 nên ta được a4+b6+  c8 2

+ Nếu 1 a b 0 c 1−      , khi đó a + b + = − − + = − + + +c a b c (a b c) 2c=2c2

+ Nếu 1 a 0 b c 1−      , khi đó ta được

a + b + = − + + = − +c a b c 2a a b c+ + +2c= −2a2

+ Nếu 0 a b c 1    , khi đó ta được a + b + = + + c a b c 0, mâu thuẫn với giả thiết Do đó trường hợp này không xẩy ra

Vậy 4 6 8

a +b +c  a + b + c 2, dấu bằng xẩy ra khi a= −1; b 0; c 1= = chẳng hạn

Bài 38 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Phước năm học 2017 – 2018

Trang 43

Do đó ta suy ra được T 8 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

yx

Bài 39 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2+y2 + y2 +z2 + z2 +x2 = 6Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 44

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 6 2

Trang 45

Trang 46

   , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

+ + + , khi đó ta thu được xy yz zx 1+ + =

Biểu thức M được viết lại thành

Trang 47

Trang 48

Do đó ta được P 3

4

 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = = hay a b c= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

4, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

+ Cách 2 Tương tự như trên ta đi chứng minh

Trang 49

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

4, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 1 = = hay a b c = =

Có thể thấy được hình thức đơn giản của biểu thức P, tuy nhiên khi đi vào đánh giá ta thấy được sự khó khăn Do vậy để hoàn thành được bài toán đòi hỏi phải phải nẵm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và phải làm nhiều mới có kinh nghiệm khi xử lý các bất đẳng thức khó

Bài 44 Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3+ + = Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi vào chỉ khi a b c 1= = =

Bài 45 Cho các số duơng x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 50

Trang 51

Lời giải

Ta dự đoán được với x y z 3= = = thì P 9= Như vậy ta chuyển bài toán về chứng

minh P 9 Ta đi chứng minh 2x3 3y3 xy

Như vậy ta được P xy+ yz+ zx Ta cần chứng minh đươc xy+ yz+ zx 9

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho giả thiết ta thu được

Vậy ta có P 9 nên giá trị nhỏ nhất của P là 9, dấu bằng xẩy ra tại x y z 3= = =

Bài 47 Với x, y là những số thực thỏa mãn các điều kiện 0 x y 2; 2x y 2xy   +  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x x= 2( 2+ +1) (y y2 2 + 1)

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2016 – 2017

Trang 52

Vậy giá trị lớn nhất của P là 22, đạt được tại x 1; y 2= =

Bài 48 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	1,64 MB