Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng hay và khó phần 2 copy đã chuyển đổi

Kẻ ba tiếp tuyến của đường tròn O; r gồm tiếp tuyến song song với BC cắt CA, AB lần lượt tại M, N; tiếp tuyến song song với CA cắt AB, BC lần lượt tại P, Q; tiếp tuyến song song với AB

Tailieumontoan.com Bài 51 Cho ta giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Quay tam giác ABC một góc

0

90 quanh O ta thu được tam giác A B C1 1 1 Tính diện tích phần chung của hai tam giác ABC và A B C1 1 1

Bài 52 Cho tứ giác lồi nội tiếp ABCD có đường tròn nội tiếp tâm I Gọi O là giao điểm

của AC và BD Chứng minh rằng

2 2

CO = CI

Bài 53 Cho tam giác ABC có góc 0

A90 và AC 2AB= Đường phân giác AD cắt đường cao BH tại K (D thuộc BC, H thuộc AC) Đường thẳng CK cắt AB tại E Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi diện tích của hai tam giác BDE và HDE bằng nhau

Bài 54 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi D, E và F lần

lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AB’C’, BC’A’ và CA’B’ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF theo độ dài các cạnh của tam giác ABC

F

E

D

I C'

B'

B

A

Bài 55 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có các đường cao AD, BE, CF Tìm công thức liên hệ giữa diện tích tam giác ABC với chu vi tam giác DEF

Bài 56 Cho tam giác ABC có diện tích S ngoại tiếp đường tròn ( )O; r Kẻ ba tiếp tuyến của đường tròn ( )O; r gồm tiếp tuyến song song với BC cắt CA, AB lần lượt tại M, N; tiếp tuyến song song với CA cắt AB, BC lần lượt tại P, Q; tiếp tuyến song song với AB

cắt BC, AC lần lượt tại R, S Chứng minh rằng ta luôn có SMNPQRS 2S

3



Bài 57 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và ba đường trung tuyến AM,

BN, CP lần lượt là Chứng minh rằng

m +m +m R

A'

M

O

C B

A

N' P'

A'

P

M N

C B

A

Bài 58 Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S và BC a= Trên cạnh BC lấy điểm D sao

cho DB k

DC= Tính diện tích tam giác có đỉnh là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABC, ACD theo a, k, S

F Q

M R

N K

H E P D G

O2

O1 O

A

Bài 59 Cho tam giác ABC có r ; r ; ra b clần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp các góc

A, B, C Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác Chứng minh rằng ra+ + =rb rc 4R r+

Bài 60 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh rằng tổng các

bình phương của khoảng cánh từ một điểm bất kì trên đường tròn đến các cạnh của tam giác đều ABC bằng bình phương đường cao của tam giác đó

Bài 61 Cho tam giác ABC có m ,l ,la b c và p theo thứ tự là độ dài đường trung tuyến

hạ từ đỉnh A, độ dài đường phân giác trong hạ tứ đỉnh B, C và nửa chu vi của tam

Tailieumontoan.com Bài 62 Cho tam giác nhọn ABC có h , h , ha b c và l ,l ,la b c tương ứng là các đường cao và đường phân giác hạ từ đỉnh A, B, C Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

Bài 63 Cho hình vuông ABCD có cạnh a và hai điểm M, N thay đổi lần lượt trên BC,

CD sao cho góc 0

MAN=45 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN

Bài 64 Cho hình chữ nhật ABCD có AB BC Vẽ nửa đường tròn đường kính AB trên nửa mặt phẳng chứa CD có bờ là đường thẳng AB Gọi M là điểm bất kì trên nửa đường tròn(MA, B) Các đường thẳng MA và MB cắt CD lần lượt tại P và Q Các đường thẳng MC, MD cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F

Xác định ví trí của M để PQ EF+ có giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

M

F E

D

N

B A

Bài 65 Trong các tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước, tìm tam giác có chu

vi lớn nhât

Bài 66 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh rằng:

Bài 67 Cho tam giác ABC và đường tròn ( )I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh

AB, BC, CA lần lượt tại F, D, E Gọi M là giao điểm của BC với đường phân giác trong của góc BIC và N là giao điểm của EF với đường phân giác trong của góc EDF Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng

Bài 68 Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC Đường tròn ( )O tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự tại F, E, D Đường phân giác trong của góc

BOC cắt BC tại I và AI cắt EF tại K Chứng minh rằng 1 2

2

Bài 69 Cho tam giác ABC với các cạnh AB c, BC a, CA b= = = ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r Gọi A , B , C1 1 1 lần lượt là tiếp điểm của đường tròn I với các cạnh

BC, CA, AB Các tia AI, AI, CI cắt đường tròn tâm I lần lượt tại A’, B’, C’ Đặt

i i i 1 1 1 1 1 1

A B =c , B C =a , C A =b với i 1, 2= Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2

1 1 1

a b c 216r

abc

a b c  , dấu

đẳng thức xẩy ra khi nào?

C2

A2

B1

C1

B2

A1 I

C B

A

Bài 70 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các tiếp tuyên với (O) song

song với cá cạnh của ram giác ABC với sáu điểm M, N, P, Q, R, S sao cho M,S AB; N,P AC; Q,R BC   Gọi l , l , l1 2 3 lần lượt là các đường phân giác trong xuất phất từ đỉnh A, B, C của các tam giác AMN, BSR, CPQ Gọi p là nửa chu vi của

tam giác ABC Chứng minh rằng 2 2 2 2

l +l +l p

l3

l2

l1

S

P

N M

O

C B

A

Tailieumontoan.com Bài 71 Cho tam giác ABC có BC a; CA b; AB c= = = Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I ; I ; Ia b c lần lượt là tâm đường tròn

bàng tiếp các góc ở A, B, C Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

( OI)(a ) ( OI)(b ) ( OI)(c )

2R a b a c + b c a b + c a b c  4r

Bài 72 Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC(với BC R ) Điểm A di động trên cung lớn BC và điểm D di động trên cung nhỏ BC Xác định vị trí của A và

DA+DB+DC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 73 Cho đường tròn (O; R) và một điểm I nằm bên trong đường tròn Gọi AC và

BD là hai dây cung bất kì đi qua I Xác định vị trí của AC và BD để AB.AD BC.CD

AB.BC DA.CD

+ + đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bài 74 Cho đường tròn ( )O và điểm P cố định nằm trong đường tròn ( )O (P không trùng với O) Hai dây cung AC và BD thay đổi của đường tròn ( )O vuông góc với nhau tại P Tìm vị trí của các dây cung AC và BD sao cho diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 75 Cho đường tròn ( )O và điểm P cố định nằm trong đường tròn ( )O (P không trùng với O) Hai dây cung AC và BD thay đổi của đường tròn ( )O vuông góc với nhau tại P Tìm vị trí của các dây cung AC và BD sao cho chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 76 Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c= = = Gọi r và r ,r ,ra b c lần lượt là bán kính đường trong nội tiếp và bấn kính đường trong bàng tiếp các góc A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng

Bài 77 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O và ngoại tiếp đường tròn có bán kính r Gọi O ,R ;1 1 O ,R ; O ,R2 2 3 3 theo thứ tự là tâm và bán kính của đường tròn tiếp

xúc ngoài với đường tròn (O) đồng thời tiếp xúc với AB, AC; BC, BA; CA, CB tương ứng Chứng minh rằng R1+R2+R312r

Bài 78 Cho tam giác ABC không cân có AD và BE là đường phân giác Chứng minh

rằng góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB và DE không vượt qua

A B 3

−

Bài 79 Cho tam giác ABC và đường tròn ( )O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB,

BC, CA lần lượt tại E, D, F Đường trong bàng tiếp tâm Q tiếp xúc với BC, AB, AC lần lượt tại K, H, P Đường thẳng EF cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N Đường thẳng HP cắt các tia BQ và CQ lần lượt tại R và S Chứng minh rằng DMN = KRS

và SP SR RH

AB= BC=CA

Bài 80 Cho đường tròn (O; R) nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E, F, G, H theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (O; R) với các cạnh AB, BC, CD, DA Trên cạnh CD lấy điểm M nằm giữa hai điểm D và C sao cho chân đường vuông góc kẻ từ

M đến DO là điểm K nằm ngoài đường tròn (O; R) Đường thẳng HK cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là T Tính tỷ số EB

EA khi biết

4R

3

= = và chứng minh rằng MT MG=

Bài 81 Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC

nhọn không cân Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D trên AC, AB Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng EF cắt

AO và BC theo thứ tự tại M và N Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định và T luôn thuộc một đường thẳng cố định

Tailieumontoan.com

G

A

E F

O

M

N

K

P

Q

T

Bài 82 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD Lấy điểm P bất kỳ trên đoạn thẳng

AD Các điểm K, L thuộc đường thẳng BC sao cho AK vuông góc với AC và AL vuông góc với AB Trên các đoạn thẳng PB, PC lấy lần lượt các điểm N, M sao cho

KM KA; LN LA= = Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MND luôn thuộc một đường thẳng cố định khi P di động trên đoạn thẳng AP

I

L

P

F E

D

T

S

R

C B

A

Bài 83 Cho đường tròn ( )O có đường kính AB cố định Lấy C là một điểm di động trên đường tròn ( )O sao cho BC AC Vẽ CH vuông góc với AB tại H Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên CB và CA Gọi U, L, Q lần lượt tâm đường tròn bàng

tiếp đỉnh H của các tam giác AHE, BHF, HEF Chứng minh rằng C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác QUL

Q

J

T P

Z

G U

K Y X

S

D

N

E

L

H

I

O

C

B A

Bài 84 Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang nội tiếp đường trong tâm O Hai

đường chéo AC và BD cắt nhau tại H Gọi giao điểm của AB và CD, AD và BC lần lượt là E, F Chứng minh rằng H và hai trực tâm H ; H3 4 của hai tam giác FAB, FCD

cùng nằm trên một đường thẳng

Bài 85 Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang nội tiếp đường trong tâm O Hai

đường chéo AC và BD cắt nhau tại H Gọi giao điểm của AB và CD, AD và BC lần lượt là E, F Chứng minh rằng F và hai trực tâm H ; H1 2 của hai tam giác HAB, HCD

cùng nằm trên một đường thẳng

Bài 86 Cho đường tròn ( )O với dây BC không phải là đường kính Gọi I là trung điểm của BC và điểm A di động trên cung lớn BC Gọi ( )I1 là đường tròn qua I tiếp xúc với AB tại B và ( )I2 là đường tròn qua I tiếp xúc với AC tại C Hai đường tròn ( )I1 và ( )I2 cắt nhau tại D khác I Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI đi qua một điểm cố định khác I

Tailieumontoan.com

T

F

I2

I1 K

E

O I

D

C B

A

Bài 87 Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài với nhau tại T Một đường thẳng cắt đường tròn ( )O1 tại hai điểm phân biệt A, B và tiếp xúc với đường tròn ( )O2 tại X (B nằm giữa A và X) Đường thẳng XT cắt đường tròn ( )O1 tại S khác T và

C là một điểm trên cung TS Cho CY là tiếp tuyến với đường tròn ( )O2 sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau Gọi I là giao điểm của đường thẳng XY và SC Chứng minh rằng SA SI=

I

O2

O1

S

T

Y X

C

B

A

Bài 88 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O và ngoại tiếp đường tròn ( )I Gọi P là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn ( )O Gọi J là điểm

đối xứng với I qua O Tiếp tuyến tại I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt BC tại M Gọi H là hình chiếu của M trên OI, D là trung điểm của BC và K là giao điểmthứ hai của ID với đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng

N P

O

Q

D F

J K

M

I

C B

A

Bài 89 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối không

song song Gọi M, N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và

BC Gọi P, Q, S, T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp góc

MAN và MBN, MBN và MCN, MCN và MDN, MDN và MAN Giả sử bốn điểm

P, Q, S, T đôi một phân biệt Gọi I là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm P, Q, S Gọi

E là giao điểm của các đường chéo AC và BD Chứng minh rằng ba điểm E, O, I thẳng hàng

I

E

P

T

O

N

M

D

C

B

A

Tailieumontoan.com Bài 90 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có AB AC và I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi D, E lần lượt là giao điểm của tia AI với BC, đường tròn ( )O Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt BC tại K và KA, KE cắt lại đường tròn ( )O

theo thứ tự tại M, N Các tia ND, NI cắt lại đường tròn ( )O lần lượt tại Q, P Chứng minh rằng PM PQ=

K

O I

N

P

E

B A

Bài 91 Cho tam giác ABC nhọn có các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tại

O Chứng minh rẳng nếu bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác AOF, BOD, COE bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều

Bài 92 Cho tam giác ABC có AB c; BC a; CA b= = = Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B hoặc C khi và chỉ khi một trong các đẳng thức sau đây xẩy ra:

a) tanA a

2 = b c + b) 2

b c A

tan

−

= +

Bài 93 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác

Chứng minh rằng GI song song với BC khi và chỉ khi tan tanB C 1

2 2 = 3

Bài 94 Cho tam giác nhọn ABC Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác cân DAC,

EAB, FBC sao cho DA DC, EA EC, FB FC= = = và ADC=2A, AEA=2B, CFB 2C= Gọi M là giao điểm của BD và EF, N là giao điểm của EC và DF, P là giao điểm của FA

và DE Chứng minh rằng BD CE AF 4

MD+NE+ PF =

Bài 95 Cho ABC nhọn (AB < AC) có AH ⊥ BC tại H Gọi D, E lần lượt là hình chiếu

vuông góc của H trên AB và AC Đường thẳng DE cắt tia CB tại S Đường thẳng SA cắt đường tròn đường kính AH tại M Các đường thẳng BM và AC cắt nhau tại F

FA.FC SB.SC SF+ =

Bài 96 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Gọi A’, B’, C’ lầ lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ BC; CA; AB của đường tròn (O) Gọi E, Q lần lượt là giao điểm của B’C’ với AB, AC; M, F lần lượt là giao điểm của A’C’ với BC, AB; P, N lần lượt là giao điểm của A’B’ với AC, BC Gọi I là giao điểm của MQ, NE, PF Chứng minh rằng SIMN+SIPQ+SIEF SINP+SIQE+SIMF

Bài 97 Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC, ACB là các góc nhọn Xét điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, C và hình chiếu của A trên BC Đường thẳng d vuông góc với BC tại D cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại

E và F Gọi M, N, P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE, CDF Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi

d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 98 Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( )O Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn ( )O cắt HB, HC theo thứ tự tại E, F Điểm K đối xứng với H qua EF Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Q

H

P

N

M

V

U T

K

F O

E

C B

A

Tailieumontoan.com Bài 99 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Gọi P là điểm di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )O Dựng ra ngoài tam giác PBC các điểm E và F sao có tam giác PCE đồng dạng với tam giác BAO và tam giác PBF đồng dạng với tam giác CAO Tiếp tuyến tại P của đường tròn ( )O cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác PCE và PBF theo thứ tự tại M và N khác P Gọi Q là giao điểm của EM và FN Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QMN luôn tiếp xúc một đường tròn

cố định khi P thay đổi

O

X

L

N

M

Q

K

F

E P

C B

A

Bài 100 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O có AC và BD cắt nhau tại E Một đường tròn qua B, C cắt CD, AB theo thứ tự tại M, N Gọi H là giao điểm của BM với

CN Một đường thẳng qua H cắt AC, BD theo thứ tự tại K, L Trên BC lấy các điểm Q,

R sao cho KR song song với BM và LQ song song với CN Gọi P là giao điểm của KR với QL Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC