Phân tích các hướng giải cho một bài toánphương trình vô tỷ ưu và nhược điểm

PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Chúng ta đã được tìm hiểu về các phương pháp giải một phương trình vô tỷ cũng như một phương trình vô tỷ có thể có

PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG

TRÌNH CHỨA CĂN

Chúng ta đã được tìm hiểu về các phương pháp giải một phương trình vô tỷ cũng như một phương trình vô tỷ có thể có nhiều phương pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên khi đứng trước một bài toán phương trình vô tỷ làm thế nào để tiếp cận và đưa ra được một lời giải cho nó là một câu hỏi lớn và đang còng bỏ ngỏ Với mục đích mở ra một hướng đi, một suy nghĩ cần có trước một phương trình vô tỷ thì trong chủ đề này chúng tôi xin đưa ra một số phân tích và suy luận để giải thích lại giải bài toán như thế Trong chủ chúng tôi xin giới thiệu một số nội dung

• Phân tích và suy luận đứng trước một phương trình vô tỷ

• Lựa chọn phương án hợp lý để tìm được lời giải tối ưu

• Những hướng tiếp cận khác nhau – khó khăn và hướng khắc phục

Ví dụ 1 Giải phương trình x2+6x 3 4x 2x 1− = −

Phân tích và lời giải

Trước một phương trình vô tỷ, cho dù chúng ta chọn phương pháp nào thì mục đích cuối cùng cũng là làm cho phương trình thoát đi các căn thức một cách đơn giản và đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều nữa khi giải phương trình

vô tỷ đó là cần cố gắng nhẩm được một nghiệm để có thể phán đoán hướng đi một cách đúng đắn Không quá khó khăn ta nhân thấy phương trình đang xét có một nghiệm x 1= Phương trình chỉ chứa một dấu căn thức bậc hai nên có thể loại bỏ căn thức bậc hai bằng phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,…

• Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là x 1

• Hướng 2 Phương trình có chứa căn thức 2x 1− do đó ta biến đổi phương trình

và thực hiện đặt ẩn phụ Để ý rằng phương trình đã cho tương đương với

2

x −4x 2x 1 3 2x 1− + − = Khi đó ta thực hiện phép đặt 0 2x 1 y y 0− = (  ) Lúc này phương trình thu được là x2−4xy 3y+ 2 = , đây là phương trình đồng bậc 2 0

Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S=9 6 2;1; 9 6 2− + 

• Hướng 3 Do phương trình nhẩm được nghiệm đẹp x 1= , khi đó ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung x 1−

2

2 2

thu được ba nghiệm như trên

• Hướng 4 Phương trình đã cho có đại lượng 4x 2x 1− nên ta nghĩ đến phân tích phương trình về dạng A2 =B2 hoặc A2+B2 = Với định hướng đó ta viết phương 0trình đã cho vè các dạng như sau

+ Khi viết phương trình về dạng A2 =B2 ta thấy có các khả năng sau

Với ( )2

2

x +6x 3 4x 2x 1− = −  x 2 2x 1− − =2x 1− , khi đó dễ thấy

2x 1− = 2x 1− Như vậy ta có thể giải được bài toán

Khả năng biến đổi viết phương trình về dạng 2 2

A +B = không thực hiện được 0nên ta trình bày lời giải cho phương trình như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Nhận xét Qua ví dụ trên ta nhận thấy khi đứng trước một phương trình vô tỷ thì lối đi

giải bài toán đặt trong tâm vào nhiều hướng tư duy Tuy nhiên việc lựa chọn hướng đi nào cho đúng đắn phụ thuộc vào quá trình phân tích và gỡ rối như thế nào cho hiệu quả Trong

các lời giải trên mỗi lời giải đều có điểm thú vị của nó Do phương trình có nghiệm kép

x 1= nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là cách giải gọn gàng hơn cả

Ví dụ 2 Giải phương trình ( 2 )

3 x − +1 4x 4x 4x 3= −

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho trong ví dụ 2 có hình thức tương tự như trong ví dụ đầu nên ta có các hướng tiếp cận lời giải cho phương trình trên như sau Nhẩm một số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp là x 1= và x 3=

• Hướng 1 Phương trình đã cho có chứa một căn thức bậc hai và biểu thức ngoài căn có dạng tam thức bậc hai Do đó khi thực hiện phep nâng lên lũy thừa thì phương trình thu được có bậc 4 Chú ý rằng phương trình có hai nghiệm là x 1=

và x 3= nên khi phân tích phương trình thành tích thì phương trình có chứa nhân

tử (x 1 x 3− )( − ) và nhân tử còn lại là tam thức bậc hai nên ta giải được

Điều kiện xác định của phương trình là x 3

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm S= 1; 3

• Hướng 2 Hoàn toàn tương tự như ví dụ thứ nhất, do phương trình chứa căn

4x 3− nên ta có thể thực hiện phép đặt 4x 3− =y y 0(  ) để đưa phương trình

về dạng đồng bạc hai,

Phương trình đã cho tương đương với 3x2+4x 3− =4x 4x 3−

Đặt 4x 3− =y y 0(  ), khi đó ta thu được phương trình

So sánh điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm S= 1; 3

• Hướng 3 Để ý trong phương trình ta thấy có đại lượng 4x 4x 1− và lại có

So sánh điều kiện thu được tập nghiệm S= 1; 3

• Hướng 4 Phương trình có hai nghiệm x 1= và x 3= nên ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân tử x2−4x 3+

Lại có (x− 4x 3 x− )( + 4x 3− )=x2−4x 3+ Đến đây ta giải được bài phương trình bằng phương pháp nhân lương liên hợp

Điều kiện xác định của phương trình là x 3

Đối chiếu điều kiện ta thu được tập nghiệm S= 1; 3

Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy được nhiều hướng đi trong tìm lời giải cho bài

toán Các hướng phân tích đều có tính hợp lý dựa trên mỗi liên hệ giữa các đại lượng cho

trong phương trình và các lời giải đều có tính tự nhiên

Ví dụ 3 Giải phương trình 2 ( ) 2

3x +2x 7+ =3 x 1+ x + 3

Phân tích và lời giải

Phương trình có chứa một căn thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên khi tiếp cận phương trình đó làm triệt tiêu căn thức bậc hai Chú ý rằng các đại lượng ngoài căn là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu căn thức bậc hai ta có thể sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa hoặc phép đặt ẩn phụ Nhẩm một số giá trị ta nhận được x 1= là một nghiệm của phương trình Do đó với phương trình này ta có một số hướng tiếp cận như sau

• Hướng 1 Nhận thấy các đại lượng có ngoài căn có bậc nhât và bậc hai, còn đại lượng trong căn là một đa thức bậc hai Ngoài ra để ý đến hệ số cao nhất của các đại lượng thì ta thấy nên nếu sử dụng pháp nâng lên lũy thừa thì phương trình thu được là phương trình bậc ba Mà phương trình lại có một nghiệm là x 1= nên phương trình bậc ba giải được Đến đây ta giải được bài toán

Điều kiện xác định của phương trình là x −1

• Hướng 2 Chú ý đến đại lượng ( ) 2

3 x 1+ x + , để làm triệt têu căn thức ta có 3thể sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình được viết lại thành

Phương trình đã cho tương đương với

+ Với a 2b= ta được hệ vô nghiệm

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1= là nghiệm duy nhất của phương trình

• Hướng 4 Chú ý rằng phương trình có nghiệm duy nhất là x 1= nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo ra nhân tử chung x 1−

Phươg trình đã cho tương đương với

+ Khi ( ) 2

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1=

• Nhận xét Về mặt hình thức thì phương trình cho trong ví dụ ba hoàn toàn tương tự

như các ví dụ trên nên các hướng tiếp cận phương trình như trên là hoàn toàn tự nhiên

Ví dụ 4 Giải phương trình 2 2

x

Phân tích và lời giải

Phương trình được cho trong ví dụ 4 có hình thức tương tự như ví dụ 3 do

đó ta có các hướng tiếp cận phương trình như sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt

ẩn phụ đưa phương trình về dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,…

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 0 Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình chỉ chứa một dấu căn và để ý rằng

phân tích được 2 ( )( ) ( )

x −3x 4+ = x 2 x 3− − + x 1− Đến đây ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình chứa hai căn thức bậc hai do đó ta cần đơn giản hóa tối đa phương trình bằng cách làm triệt tiêu các căn thức Ta có thể loại bỏ một căn thức hoặc lại bỏ hai căn thức Từ đó ta thấy có các định hướng xử lý như sau

• Hướng 1 Đầu tiên ta tiếp cận với phương trình với hướng nâng lên lũy thừa Để

ý rằng sau lần nâng lên lũy thừa thứ nhất phương trình chưa triệt tiêu hết căn thức Do đó ta có thể xử lý tiếp bằng cách nâng lên lũy thừa hai vế tiếp Chú ý rằng phương trình có một nghiệm là x 0=

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0=

• Hướng 2 Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích

( )2 2

3x +8x 4 3 x 1+ = + +2x 1+ khi đó ta viết phương trình lại thành

+

++ Đến đây ta đặt

++

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0=

• Nhận xét Phương trình chứa hai căn thức bậc hai nên hoàn toàn tự nhiên khi ta chọn

phương án ẩn phụ hóa phương trình Có hai cách ẩn phụ hóa như trên nhưng về mặt bản chất hai cách đó là một và chỉ khác nhau ở hình thức trình bày lời giải

Ví dụ 7 Giải phương trình x2+5x 3+ + x2+5x 2− = 5

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình đã cho thì suy nghĩ đâu tiên khi tiếp cận phương trình đó là nhân lượng liên hợp đưa phương trình về hệ tạm Ngoài ra để ý ta thấy

(x2+5x 3+ −) (x2+5x 2− )= thì ta lại có các hướng tiếp cận như đặt ẩn phụ hoặc 5nâng lên lũy thừa

• Hướng 1 Điều kiện các định của phương trình là x2+5x 2 Biến đổi tương đương phương trình đã cho ta được

Thử vào điều kiện xác định ta thấy x 1= và x= − đều thỏa mãn 6

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1= và x= − 6

Thử vào điều kiện xác định ta thấy x 1= và x= − đều thỏa mãn 6

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1= và x= − 6

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1= và x= − 6

Nhận xét

• Trong cả ba lời giải trên ta đều không đi sâu vào giải các điều kiện phức tạp mà lại dùng

phép thử lại nghiệm để kết luận

• Trong cách giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đường bằng cách nâng

lên lũy thừa hết sức thuần túy mặc dù phương trình hệ quả thu được không được đẹp co

lắm Ở đây ta không đi giải điều kiện x2 +5x 2−  để tránh việc đối chiếu nghiệm phức 5

tạp

• Lời giải thứ hai thực hiện bằng phép đặt ẩn phụ để đưa phương trình về thành hệ và ở

• Lời giải thứ ba sử dụng cách nhân lượng liên hợp với chú ý

− , đồng thời sử dụng hệ tạm thời để thu được một phương

trình cơ bản dạng f x( ) ( )=g x Bản chất của lời giải thứ hai và thứ ba là như nhau nhưng khác ở hình thức trình bày lời giải

Ví dụ 8 Giải phương trình 4 x+4 2 x− =2

Phân tích và lời giải

Phương trình chứa hai căn thức bậc bốn, do đó ta không không thể sử dụng pháp nâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Để ý rằng x 2 x+ − =2 nên ta nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng hệ phương trình Ngoài ra từ điều kiện xác định 0 x 2  và nhẩm thấy phương trình có một nghiệm là x 1= nên ta có thể xử lý phương trình bằng phương pháp đánh giá

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2 

Để ý rằng x 2 x+ − =2 nên khi đặt a= 4 x; b=4 2 x a 0; b 0− (   ) thì ta thu được phương trình a4 +b4 = Phương trình đã cho trở thành a b 22 + = Chú ý rằng a 0; b 0  nên ta suy ra được 0 a,b 2  Từ đó dẫn đến 0 ab 4  Kết hợp hai phương trình trên ta có hệ a b4 42

Khi đó ta có hệ phương trình

4 4

Để ý rằng với x 1= thì ta có x 1 2 x+  và x 1 2 x+  4 Đồng thời lại có

• Hướng 3 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 2 

Lại thấy do x 1= nên ta có 4 x=4 2 x− n do đó để hạ bậc căn thức ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ( )2 ( 2 2)( 2 2)

Thử x 1= vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có

nghiệm duy nhất là x 1=

Nhận xét

• Trong lời giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình, tuy nhiên việc giải hệ phương trình tương đối phức tạp

• Trong lời giải thứ hai và thứ ba ta sử dụng phương pháp đánh giá bằng ác dùng các bất

đẳng thức cổ điển Cauchy hay Bunhiacopxki Để áp dụng được phương pháp này dường như phương trình cần có sự đặc biệt nào đó về mặt hình thức

Ví dụ 9 Giải phương trình ( ) 2

x 3+ 48 x− −8x= −x 24

Phân tích và lời giải

Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là −12 x 4 Phương trình chỉ chứa một căn thức bậc hai, do đó khi thực hiện nâng lên lũy thừa thì ta thu được phương trình bậc bốn, do ta không nhẩm nên ta phân tích phương trình bậc bốn thành tích của hai phương trình bậc hai, để xử lý điều này ta sử dụng phương pháp hệ số bất định, tuy nhiên hướng đi này gây cho ta có nhiều khó khăn

Để ý ta nhận thấy 2 ( )2

48 x− −8x+ x 3+ =57 2x− Như vậy khi ta thực hiện phép đặt ẩn phụ a= +x 3; b= 48 8x x− − 2(b 0 ) thì ta thu được a2+b2=57 2x− Mặt khác ta lại có ab x 24= − hay 2ab 2x 48= − Như vậy kết hợp hai kết quả trên thì ta thu được phương trình ( )2

a b+ = Như vậy ta giải được phương trình 9

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là −12 x 4

Đặt a= +x 3; b= 48 8x x− − 2(b 0 ) Khi đó ta được a2+b2=57 2x−

Phương trình đã cho trở thành ab x 24= − hay 2ab 2x 48= −

Kết hợp hai kết quả trên ta được ( )2

a b+ =  + =  hay ta được 9 a b 3

2 2

• Hướng 2 Để loại căn thức ta đặt ẩn phụ t= 48 8x x− − 2 Khi đó ta được

Ta xét hai trường hợp sau

+ Nếu t x 0+ = , suy ra t= −x, do đó ta được

x −8x 48 2 x 3+ + + − −x 8x 48+ + x 3+ = 9 − −x 8x 48 x 3+ + + =9

Như vậy phương trình đã cho giải được

Điều kiện xác định của phương trình là −12 x 4 Phương trình đã cho tương đương với

x 4x 24 02x 6

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có chứa gai căn bậc lệch nhau nên để loại bỏ căn thức

ta có thể sử dụng ẩn phụ hoặc sử dụng phép nhân đại lượng liên hợp, ngoài ra ta cũng có thể sử dụng phương pháp đánh giá Để ý là nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x 1= là một nghiệm của phương trình

• Hướng 1 Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là x 2

3

 Phương trình đã cho có chứa tích 33 2x 2 3x 2 1− ( − + Để ý rằng với ) x 2

2 3x 2 1 0− − = và 2 3x 2 1 0− −  Đến đây ta có các cách trình bày lời giải cho phương trình

= không phải là nghiệm của phương trình đã cho

Xét 2 3x 2 1 0− −  , khi đó phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy phương trình 6a2+7a 9 0+ = vô nghiệm nên từ hệ phương trình trên ta được a 1=

Từ đó dẫn đến 3 2x 1− =  = Kết hợp với điều kiến xác định của phương trình x 1

ta được x 1= là nghiệm duy nhất của phương trình

+ Cách 2 Để ý rằng phương trình có nghiệm là x 1= nên ta có thể biến đổi phương trình thành

2 33

− +

− + − + Do đó từ phương trình trên ta được x 1= là nghiệm

• Hướng 2 Từ phân tích trong hướng thứ nhất ta thu được phương trình

2x 3 2 3x 2− + − =1 vô nghiệm

+ Trường hợp 2 Với x 1 , khi đó ta có 2x 3−  − và 3x 2 11 − 

Từ đó dẫn đến 3

2x 3 2 3x 2− + −  − +1 2.1 1= hay phương trình 3

• Nhận xét Trong hai hướng tìm lời giải trên ta thấy hướng thứ nhất tự nhiên hơn và

cũng dễ phát hiện hơn Hướng giải thứ hai sử dụng phương pháp đánh giá chỉ thực sự

được hình thành sau khi nhẩm được nghiệm của phương trình

Ví dụ 11 Giải phương trình 2

4x + 2x 9+ =9

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy phương trình chỉ chứa một dấu căn bậc hai,

do đó để lạo bổ căn thức ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa hoặc phương pháp đặt ẩn phụ Trước hết ta ta tìm được điều kiện xác định của phương trình là 9

2

y =2x 9+

Như vậy với hai phương trình trên ta có hệ phương trình

2 2

Quan sát kỹ ta thấy phương trình có dạng đối xứng dạng 2 nếu ta đặt t 2x=

do đó ta giải được hệ phương trình và xem như phương trình đã cho được giải quyết

Điều kiện xác định của phương trình là x 9

2

 − Đặt y= 2x 9 , y 0+  Khi

đó ta có phương trình y2 =2x 9+

Phương trình đã cho trở thành 4x2 + = Từ đó ta có hệ phương trình y 9

Ta xét hai trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Nếu 2x y 0+ =  = − , từ đó ta được y 2x

• Hướng 2 Cũng là ý tưởng đặt ẩn phu để loại căn thức, nhưng ở đây ta thử đặt

ẩn phu để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với mỗi ẩn rồi kiểm tra xem biệt thức  có chính phương không

Với ý tưởng đó ta viết phương trình lại thành 2

2x 9+ − 2x 9 4x+ − −2x 0= Đặt t= 2x 9 , t 0+  Khi đó ta có phương trình t2− −t 4x2−2x 0= Xem phương trình có ẩn t và x là tham số thì ta có ( 2 ) ( )2

+ Trường hợp 1: Nếu 2x t 0+ =  = − , từ đó ta được t 2x

• Hướng 3 Chú ý đến căn thức 2x 9+ , khi đó nếu nhân thêm một hệ số chẵn thì

ta thấy có dạng 2ab của hằng đẳng thức bậc hai Chú ý rằng hệ số của 2

x là 4 nên khi nhân thêm hệ số ta chọn số chính phương Do đó ta viết phương trình lại thành 2

16x +4 2x 9+ =36 Đến đây nếu ta viết một vế của phương trình về dạng 2 2

A +Bthì vế còn lai không bằng 0, do đó ta viết phương trình về dạng 2 2

A =B Để viết phương trình về dạng 2 2

A =B ta chuyển vế 4 2x 9+ sang vế kia Khi đó i phương

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

• Hướng 4 Sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để đưa phương trình về

dạng phương trình bậc 4 Do không có nghiệm đẹp nên khi phân tích phương trình bậc 4 thành tích ta được hai nhân tử là các tam thức bậc hai Để tìm được các tam thức bậc hai đó ta sử dụng phương pháp hệ số bất định

Thực hiện nâng lên lũy thừa ta được

4x −2x 9 2x− + −x 4 = Đến đây ta giải được 0phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là x 9

4x 94x 9

4x 2x 9 2x x 4 08x 36x x 36 0

x

42x x 4 0

+ − =

• Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có hình thức đơn giản tuy nhiên nó khá thú vị

vì nó mở ra nhiều hướng tiếp cận phương trình Với mục đích thoát căn nên với phép đặt

ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng hệ phương trình gần đối xứng dạng 2 Khi dó phương trình được giải một cách nhẹ nhàng

Ví dụ 12 Giải phương trình (x 1 x 3+ )( + )=5 5x 11+

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hình thức tương tự như phương trình cho trong ví

dụ 11 Do đó ta có các hướng tiếp cận phương trình như đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng dạng 2, biến đổi phương trình về dạng 2 2

Suy ra t2− =1 5t − − = hay ta được t2 5t 1 0

• Hướng 2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình về dạng tích

Trước hết ta viết phương trình lại thành 5x 11 5 5x 11 x+ + + − 2 −9x 14 0− = , khi đó thực hiện phép đặt t= 5x 11, t 0+ (  thì ta có phương trình )

1 29x

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

2

4x +36x 81 4 5x 11+ = + +20 5x 11 24+ +  2x 9+ = 2 5x 11 5+ +

Như vậy phương trình giải được

Điều kiện xác định của phương trình là x 11

2 2

2 2

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm là

Nhận xét Trong cách giải thứ nhất ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương

trình về dạng hệ đối xứng kiểu II Các bước thực hiện có thể hiểu đơn giản như sau:

• Biến đổi phương trình sao cho vế phải có dạng ( )2

mx n+ + và căn thức trong vế trái b

có thể viết dưới dạng a a mx n( + )− Khi đó ta có phương trình dạng b

Ví dụ 13 Giải phương trình ( ) 2

4x 9 3 2x 1+ + + =2x

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho được viết lại thành 2x2−6x 3− = 4x 9+ , hoàn toàn tương tự nư trên ta có các hướng giải cho phương trình

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 9

4

 − Phương trình đã cho tương đương với

22x −6x 3− = 4x 9+  2x 3− −15= 2 2x 3− +15Đặt t 2x 3= − , khi đó phương trình trên trở thành t2−15 2 2t 15 *= + ( )

Đặt y= 2t 15, t 0+  Khi đó ta có phương trình 2

y =2t 15+Phương trình ( )* trở thành t2−15 2y= Khi đó ta có hệ phương trình

2 2

2 2

4x 9 6x 3 2x+ + + − = 0 4x 9 2 4x 9 4x+ + + − +8x 3 0− =Đặt t= 4x 9 , t 0+  thì phương trình trên trở thành

Nhận xét Phương trình đã cho có dấu hiệu khả quan về việc đưa về hệ phương trình đối

xứng loại hai, khi đó ta có thể xử lí như sau:

+ Đưa phương trình về dạng 2x2−6x 3− = 4x 9+ và đặt 4x 9+ =my n+

+ Để hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại hai thì các hệ số của các ẩn tương ứng trong

hai phương trình tuân theo dãy tỉ số

Cách 6 Điều kiện xác định của phương trình là x −2

Phương trình đã cho tương đương với ( )2 ( )

2x 1+ +3x 2 2 2x 1= + −3xĐặt 2x 1 t+ = thì phương trình trên trở thành 2

t +3x=2 2t 3x− Đặt y= 2t 3x , y 0−  Khi đó ta có phương trình 2

y +3x 2t= Phương trình trên trở thành t2+3x 2y= Từ đó ta có hệ phương trình

• Lời giải thứ hai sử dụng phép đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về dạng

4t −9t + = Ngoài cách phân tích như trong lời giải trên thì ta cũng có thể phân tích 3 2t

phương trình theo cách sau

Phương trình trong ví dụ này có độ khó tăng lên đôi chút khi hằng số b được thay bởi đại

lượng f x( )=3x Ta thực hiện biến đổi sau

Ví dụ 15 Giải phương trình x2 = +3 (x 1− ) x2 − + x 3

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có hình thức gần tương tự với phương trình trong các

ví dụ trên chỉ khác ở chỗ biểu thức nhân với căn thức không phải là hằng số mà là một biểu thức chứa ẩn Do đó ta nghĩ đến các biến đổi để tiếp cận lời giải cho phương trình theo các hướng ẩn phu hóa đưa phương trình về dạng hệ đối xứng dạng 2, đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình về dạng tích, biến đổi phương trình về dạng 2 2

A =B và sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng phương trình nhẩm được một nghiệm đẹp là x 3=

• Hướng 1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng hệ đối xứng dạng 2

Do biểu thức nhân với căn bậc hai là x 1− nên ta có biến đổi

Điều kiện xác định của phương trình là x R

Phương trình đã cho tương đương với x2 = +3 (x 1− ) (x x 1− + ) 3

Đặt t x 1= − thì phương trình trên trở thành 2

x = +3 t xt 3+ Đến đây ta đặt y= xt 3, y 0+  Khi đó ta thu được phương trình 2

y = + xt 3

Từ đó ta được hệ phương trình

2 2

• Hướng 2 Để đặt ẩn phụ t= x2− +x 3,t 0 và đưa phương trình về dạng

phương trình bậc hai ẩn ta thì ta viết phương trình về dạng

Ta lại có 2 ( ) ( ) ( )

x− +x 3 x 1 4 x 2x 9x 6x 1 3x 1

đó phương trình phân tích được thành tích và ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x R Phương trình đã cho tương đương với

• Hướng 4 Để ý đến biểu thức (x 1− ) x2− + ta viết phương trình về dạng x 3

26x 5

− + =

Phân tích và lời giải

Trước hết ta có điều kiện xác định của phương trình là x 5

6

 Phương trình

đã cho được viết lại thành 2x2− + =x 1 2 6x 5− Như vậy hình thức của phương trình tương tự như các ví dụ trên, do đó ta có các hướng giải quyết phương trình sau

Cách 1 Điều kiện xác định của phương trình là x 5

Để đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại 2 ta thực hiện biến

Quan sát phương trình ta chú ý đến nhị thức bậc nhất nhân với căn thức ta viết được tam thức trong căn thành (2x 3 x 2+ )( + ) (+ 3x 2− ) Lại thấy

2

x + + =x 6 x 2+ − 3x 2− Đến đây ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ đưa

phương trình về dạng hệ phương trình đối xứng dạng 2

• Hướng 1 Điều kiện xác định của phương trình là x2+5x 2 0+ 

Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là x 0=

• Hướng 2 Phương trình nhẩm được một nghiệm đẹp là x 0= Khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa thì ta thu được một phương trình bậc bốn là

7x +62x +141x +126x 0= Ngoài ra nhẩn môt số giá trị đặc biệt khác thì ta thấy

x= − là một nghiệm của phương trình bậc bốn(nghiệm này không phải là nghiệm 6của phương trình đã cho) Đến đây ta giải được phương trình được phương trình bậc bốn Do đó phương trình đã cho giải được

+ + 

Để ý ta nhận thấy x2+ +  với mọi x nên phương trình đã cho tương đương x 6 0với

• Hướng 3 Phương trình có chứa một căn thức 2

2x +10x 4+ nên ta có thể viết phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t có biệt thức  chính phương Điều kiện xác định của phương trình là x2+5x 2 0+  Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là x 0=

Nhận xét Trong lời giải thứ nhất ta sử dụng phép đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng

hệ phương trình đối xứng loại 2 Ở đây ta sử dụng phép biến đổi phương trình thành

x n+ − ax b+ = 2x 3+ 2x 3 x n+ + + ax b+