Biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2​

HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝNGUYỄN VĂN DŨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2 Chuyên ngành: Sư

HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN VĂN DŨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO

TRÌNH GIẢI TÍCH 2

Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý

TP Hồ Chí Minh, năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT

LÝ

BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO

TRÌNH GIẢI TÍCH 2

Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng

Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh

TP Hồ Chí Minh, năm 2019

Từ những ngày đầu thực hiện đến khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, đó là cảmột quá trình cố gắng học tập và trưởng thành lên từng ngày của bản thân em Tuynhiên trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự hỗ trợ, giúp

đỡ, dù ít hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp của người khác Vì vậy, xin cho phép

em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

− Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Thành phố HồChí Minh đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, sự nhiệt huyết với nghề cho

em trong suốt quá trình học tập tại trường

− Thầy ThS Nguyễn Lê Anh, giảng viên đã trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, dìu dắt

em thực hiện khóa luận tốt nghiệp Thầy - với kinh nghiệm, sự nhiệt huyết cùng lòngyêu nghề của mình - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và động viên những lúc

em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em được nghiên cứu và phát triển Hơn baogiờ hết, em cảm nhận được sự quan tâm, dạy dỗ ân cần và tận tâm từ thầy

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn của mình đến gia đình, bạn bè đã luôn sátcánh, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luậntốt nghiệp này

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Văn Dũng

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Các dạng bài tập và kĩ thuật giải tương ứng trong S1 và S2 63

Bảng 2.2 Số lượng bài tập trong S1 và S2 63

Hình 2.1. Giá trị chỉ số nhiệt [8]

Hình 2.3 Mối liên hệ giữa số gia

Hình 2.14 Giao tuyến C và các vector gradient tại P [8]

Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với

Hình 2.16 Đường tiếp tuyến

Hình 2.17 Đồ thị hàm số

Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số

Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng

Hình 3.2 Hình tam giác .

Hình 3.3 Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T 1

Hình 3.4 Đồ thị hàm số z = x 2 + 3 y +2 9 và mặt pẳng tuyến tuyến tại điểm ( 2,1, 4)

91

Hình 3.5 Đồ thị hàm số z = x 2 + xy + 4 y 2 và mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm ( 1,0,1)

91

Hình 3.6 Đồ thi hàm số 96

Hình 3.7 Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa dy và y 99

Hình 3.9 Sơ đồ cây

Hình 3.10 Sơ đồ cây

Hình 3.11 Sơ đồ cây

Hình 3.12 Sơ đồ cây

Hình 3.13 Sơ đồ cây

Hình 3.14 Sơ đồ cây

Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến tại P [8]

Hình 3.16 Vector đơn vị Hình 3.17 Vector gradient và đường đồng mức

Hình 3.18 Đồ thị hàm số Hình 3.19 Đồ thị hàm số Hình 3.20 Đồ thị hàm số Hình 3.21 Đồ thị hàm số Hình 3.22 Đồ thị hàm số Hình 3.23 Đồ thị hàm số Hình 3.24 Đồ thị hàm số Hình 3.25 Đồ thị hàm số z = 2 x 5 + y 3 + 3 y 2 − 5 x 2 Hình 3.26 Đồ thị hàm số Hình 3.27 Ứng dụng khớp hàm Hình 3.28 Miền xác định D Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa đô

Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ

Hình 3.31 Các đường đồng mức Hình 3.32 Giao tuyến giữa g ( x , y , z ) = 0

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4 Giải thiết khoa học

5 Giới hạn nghiên cứu

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM

1.1 Giáo trình phân tích

1.2 Câu hỏi nghiên cứu

1.3 Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2

1.4 Cấu trúc nội dung

Chương 2 PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

2.1.Phần lý thuyết

2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

2.1.2 Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều biến

2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân

2.1.4 Ứng dụng của đạo hàm riêng

2.2.Phần bài tập

2.3.Một vài kết luận

Chương 3 VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

3.1 Đạo hàm riêng

3.1.1.1 Định nghĩa 71

3.1.1.2 Một số kí hiệu của đạo hàm riêng 71

3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng 72

3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp một 74

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một của hàm số nhiều hơn hai biến 76

3.1.3 Đạo hàm cấp cao 77

3.1.3.1 Định nghĩa 78

3.1.3.2 Định lý Clairaut 81

3.1.4 Bài tập 84

3.2 Khả vi và vi phân 87

3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến và phép tính gần đúng tuyến tính 88

3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 88

3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần đúng 92

3.2.2 Khả vi 96

3.2.2.1 Định nghĩa 97

3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi 98

3.2.2.3 Hệ quả của hàm khả vi 99

3.2.3 Vi phân 99

3.2.3.1 Vi phân cấp một 99

3.2.3.2 Vi phân cấp cao 104

3.2.4 Hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến 106

3.2.5 Bài tập 108

3.3 Quy tắc dây chuyền 113

3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng của hàm hợp) 114

3.3.1.1 Đạo hàm riêng của hàm hợp hai biến 114

3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát 119

3.3.2 Đạo hàm của hàm ẩn 121

3.3.2.1 Đạo hàm của hàm ẩn một biến 121

3.3.2.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn nhiều biến 123

3.3.2.3 Đạo hàm riêng của hệ hàm ẩn 128

3.3.3 Bài tập 132

3.4 Đạo hàm có hướng và vector gradient 135

3.4.1 Đạo hàm theo hướng 136

3.4.1.1 Định nghĩa 137

3.4.1.2 Định lý 139

3.4.2 Vector Gradient 143

3.4.2.1 Định nghĩa 143

3.4.2.2 Tính chất 145

3.4.2.3 Ứng dụng của Gradient 146

3.4.2.4 Ý nghĩa hình học của vector gradient 150

3.4.3 Đối với hàm ba biến 152

3.4.4 Bài tập 155

3.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 158

3.5.1 Cực trị của hàm hai biến 159

3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương của hàm hai biến 159

3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 161

3.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị 163

3.5.2 Cực trị tuyệt đối và cực trị tuyệt đối ở vùng đóng hoặc bị chặn 173

3.5.3 Cực trị của hàm ba biến 176

3.6 Phương pháp nhân tử lagrange 182

3.6.1 Nhân tử Lagrange với một ràng buộc 182

3.6.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange – Điều kiện cần của cực trị có điều kiện 185

3.6.1.2 Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện 185

3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc 192

3.6.3 Bài tập 196

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 199

TÀI LIỆU THAM KHẢO 200

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Roger Bacon từng dành những lời có cánh cho toán học: “Nếu chúng ta muốn

đo tới tính xác thực hiển nhiên và chân lý vô điều kiện trong các khoa học khác, cầnphải lấy căn cứ của mọi tri thức từ toán học.” Thật vậy, từ thời cổ đại, toán học đãbắt đầu hình thành ở nhiều nơi trên thế giới tiêu biểu là ở Hy Lạp cổ đại Ngày nay,khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học trở nên quan trọng hơn nữa và trởthành một trong những công cụ không thể thiếu để giải quyết các vấn đề thực tiện

Ở thời cổ đại, Pythagoras đã nghĩ ra định lý Pythagoras về liên hệ các cạnh của tamgiác vuông để giúp ta tìm ra được các cạnh của một tòa tháp Tương tự vậy, Newton

đã suy nghĩ ra phép vi phân và tích phân giúp ta có thể đưa ra định nghĩa chính xáccác khái niệm như vận tốc, gia tốc, Ở thời nay, toán học giúp chúng ta tìm ra sốliệu và cách tối ưu để giải quyết vấn đề, giúp chúng ta xử lý các vấn đề của vật lý,hóa học, sinh học,

Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích của hàm một biến một cáchtổng quát và chỉ tập trung ở mặt toán học, do đó, ta chưa hiểu được nó thật sự Ởhọc kì 1, năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biếnmột cách chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý Tuynhiên, các vấn đề sau này giải quyết không phải lúc nào cũng chỉ có một biến số mà

đa số là nhiều yếu tố, nhiều biến số chi phối Do đó, học sinh cần tìm hiểu về hàmnhiều biến số và những ứng dụng của hàm nhiều biến số

Có thể khẳng định giải tích là môn học với những ứng dụng chi phối hầu nhưcác toàn bộ các ngành khoa học – kĩ thuật và kể cả kinh tế Tất cả các ngành học vềkhoa học tự nhiên đều gắn liền với giải tích Vì thế, giải tích là môn bắt buộc đối vớicác ngành khoa học tự nhiên Do vậy, ở nước ta nói riêng, nguồn tài liệu tham khảo

về bộ môn giải tích ngày càng nhiều, các giáo trình ra đời với nhiều mục đích khácnhau, nhưng đa số các tài liệu này chỉ tập trung cung cấp các công thức toán học,các phương pháp tính toán, các bài tập thuần toán học mà chưa có nhiều ứng dụngđến thực tiễn nói chung và các bài tập vật lý nói riêng

Các giáo trình giải tích nước ngoài có nhiều ứng dụng của giải tích vào trong rấtnhiều lĩnh vực và đặc biệt có khá nhiều ứng dụng vào trong vật lý Tuy nhiên, chúng tôinhận thấy rằng sinh viên khoa vật lý ít quan tâm đến các tài liệu nước ngoài, hạn chếtrong việc trao dồi ngoại ngữ trong quá trình học ở bậc đại học – chỉ 10 tín chỉ chiếm7,4% chương trình học ở Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí

Minh

Đồng thời tiếp nối đề tài nghiên cứu của sinh viên Bùi Quốc Long – sinh viênkhoa vật lý khóa 37 Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh – đã thực hiệnluận văn [6] để nghiên cứu các giáo trình Giải tích hiện tại ảnh hướng đến việc dạy vàhọc của giảng viên cũng như sinh viên khoa vật lý – Trường Đại học Sư phạm ThànhPhố Hồ Chí Minh Trong đó, luận văn [6] đã phân tích giữa các giáo trình giải tích ởcác trường đại học có ngành vật lý, như là [3] so sánh với giáo trình nước ngoài

[8] để thấy điểm mạnh và điểm yếu Từ đó, chúng tôi đưa ra cấu trúc để viết mẫu phần Đạo hàm của hàm một biến trong luận văn [6] để minh họa

Để tiếp tục đến mục tiêu hoàn thiện một giáo trình giải tích bằng tiếng Việt vớingôn ngữ dễ hiểu và có các ví dụ về ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm tạo thêm tài liệutham khảo cho sinh viên ngành Vật lý – trường Đại học Sư Phạm Thành Phố HồChí Minh nói riêng, chúng tôi quyết định thực hiện luận văn này dựa trên cấu trúc

đã có ở [5,6] để phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biếngiữa các giáo trình trong nước [3] và [7] với giáo trình nước ngoài [8] và cuối cùng

là viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến dựa trên những phân tích

và so sánh đó Đồng thời, chúng tôi cũng đưa thêm các bài tập ứng dụng vật lý cụthể tham khảo từ các tài liệu vật lý [1,2], [4]

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hoàn thiện ý tưởng một giáo trình Giải tích bằng tiếng Việt có thểdùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thànhphố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng đến khái niệm Đạo hàm

và Vi phân của hàm nhiều biến số: định nghĩa và ứng dụng của nó

Các kết quả cần đạt được trong luận văn này:

−Phân tích và so sánh khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến sốgiữa các giáo trình [3], [7] với [8] để rút ra những điểm mạnh và điểm yếucủa chúng

−Cấu trúc lại để viết phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số dựa trên những phân tích và so sánh

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

−Chương trình Giải tích 2 và Vật lý

−Mối liên hệ và ứng dụng của toán học trong Vật lý

4 Giả thiết khoa học

Nếu luận văn này được hoàn thiện sẽ hỗ trợ cho sinh viên năm nhất khi học vềgiải tích hàm nhiều biến một cách đầy đủ hơn, đồng thời thấy được ứng dụng cụ thểcủa toán học trong vật lý, đặc biệt là ở khía cạnh giải tích

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

−Tìm hiểu các giáo trình được sử dụng tại khoa vật lý của một số trường đại học có đào tạo ngành vật lý

−Phân tích và so sánh các giáo trình trên với giáo trình nước ngoài [8] Từ

đó, rút ra kết luận để đi đến việc viết phần Đạo hàm và Vi phân cùa hàm sốnhiều biến số

6 Giới hạn nghiên cứu

Chúng tôi chỉ nêu ra sự khác nhau của các khái niệm Đạo hàm và Vi phân củahàm nhiều biến số của các giáo trình trong vào ngoài nước Đồng thời phân tíchkiến thức của phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số trong các giáo trìnhtrên và tiến hành viết mẫu chương Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số theomẫu đã có trong [5,6]

Trong luận văn này, chúng tôi không viết về Hàm nhiều biến và Giới hạn vàKhai triển Taylor của hàm nhiều biến

7 Những đóng góp mới của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi viết được phần Đạo hàm và Vi phân của hàmnhiều biến số với ngôn ngữ gần gũi và dễ hiểu thông qua những ví dụ và giải thích

cụ thể

Chúng tôi chú ý đến nội dung, màu sắc, cách trình bày cùng với hình ảnh làmcho nội dung thêm sinh động hơn Những thay đổi sẽ được đề cập ở chương 3 củaluận văn – Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

❖ Chương 1: Những vấn đề nghiên cứu trọng tâm

Nhằm mục đích tìm hiểu vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống, logic vàhiệu quả, chúng tôi sẽ đặt ra một số câu hỏi và trả lời các câu hỏi này sau khi phântích phần Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến trong Chương 3 của luận văn

❖ Chương 2: Phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.

Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phân tích và so sánh lý thuyết cùng vớiphương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc về phần Đạo hàm

và Vi phân của hàm nhiều biến được trình bày trong các giáo trình Từ đó, chúng tôiphân loại và so sánh chúng để tìm ra các kết luận nhằm trả lời các câu hỏi trongChương 1 của luận văn.

❖ Chương 3: Viết mẫu phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.

Ở chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả phân tích và so sánh ở Chương

2 để tổng hợp các kiến thức vừa phân tích được và đồng thời kết hợp hài hòa giữa

ưu điểm và nhược điểm giữa các giáo trình trong và ngoài nước để tiến hành viếtphần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến sao cho phù hợp với sinh viên Vật lýnhưng vẫn thỏa mãn các yêu cầu về kỹ thuật tính toán

TRỌNG TÂM 1.1 Giáo trình phân tích

Để thấy rõ điểm giống nhau và tương đồng cũng như là điểm khác nhau giữacác giáo trình trong nước ở một số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý và giáotrình nước ngoài, chúng tôi chọn các giáo trình sau để tiến hành phân tích:

−[3] Đỗ Công Khanh (2012), Toán cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến,

phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí

Minh (TP.HCM) Đây là giáo trình sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành

Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên TP.HCM, Đại học Bách khoaTP.HCM và Đại học Sài Gòn

−[7] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp – Tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục Đây là giáo trình được sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh

Chúng tôi gọi hai giáo trình [3] và [7] là giáo trình S1.

−[8] James Stewart, Calculus, Canada.

Chúng tôi gọi giáo trình [8] là giáo trình S2.

Chúng tôi chọn S1 và S2 để so sánh vì S1 được sử dụng rộng rãi và phổ biến,đây cũng là giáo trình giải tích 2 chính của rất nhiều trường đã đề cập ở trên CònS2 là một giáo trình nổi tiếng ở Mỹ và các nước Châu Âu

1.2 Câu hỏi nghiên cứu

Để phân tích hiệu quả và có logic, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau mà câutrả lời của nó sẽ làm rõ vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu

Chúng tôi đưa ra năm câu hỏi (CH), cụ thể là:

CH1: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2 tiếp

cận như thế nào? S1 và S2 có những ví dụ để đi đến định nghĩa Đạo hàm và Vi phâncủa hàm nhiều biến hay không?

CH2: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được định nghĩa như

thế nào? Việc định nghĩa như vậy tác động như thế nào đến việc tiếp thu kiến này?

CH3: Các phương pháp tính Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1

và S2 trình bày theo hình thức nào?

Hình thức 1: Thông báo kiến thức mới rồi đưa ra bài tập ví dụ.

Hình thức 2: Đưa ra tình huống có vấn đề rồi xây dựng kiến thức giải quyết.

CH4: Ứng dụng của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2

trình bày như thế nào? Hệ thống bài tập được xây dựng như thế nào, có đề cập đếncác bài tập vật lý hay không?

CH5: Cách trình bày về nội dung, hình ảnh, màu sắc được chú trọng hay không?

Việc trình bày như vậy tác động như thế nào?

1.3 Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2

Chúng tôi đã dựa theo đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 của khoa vật lýTrường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh để phân tích Với thời lượng 15tiết, nội dung chi tiết của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến như sau:

Chương 1: Hàm nhiều biến

1.1 Đạo hàm riêng

1.2 Khả vi và vi phân, ứng dụng tính gần đúng

1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp

1.4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

1.5 Đạo hàm có hướng theo hướng Gradient

1.6 Cực trị tự do

1.7 Cực trị có điều kiện

1.4 Cấu trúc nội dung

Trong phần này, chúng tôi đề cập đến cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phâncủa hàm nhiều biến Dựa trên cấu trúc đã xây dựng ở luận văn [5,6] để làm nền tảng

và có chỉnh sửa để phù hợp hơn Cấu trúc chương Đạo hàm và Vi phân của hàmnhiều biến gồm

Phần mở đầu: chúng tôi nêu lên ý tưởng, đặt vấn đề hoặc nhắc lại các kiến

thức đã học để dẫn dắt sinh viên tiếp cận với nội dung kiến thức tốt hơn, kích thích

tư duy của người học

Trình bày kiến thức: các kiến thức sẽ được trình bày cụ thể, chi tiết Trước khi

đưa ra định nghĩa, chúng tôi sẽ trình bày phần dẫn dắt và giải quyết một vài trườnghợp cụ thể Bên cạnh đó, các ví dụ phải bao quát, giải chi tiết và giải thích đượcđịnh nghĩa cũng như tính chất và các ví dụ liên quan đến kiến thức vật lý Ngoài ra,chúng tôi kèm thêm một vài lưu ý ở các kiến thức hay ví dụ giúp sinh viên khônghiểu sai kiến thức và tránh được những lỗi thường gặp Từ đó, sinh viên sẽ giải cácbài tập một cách dễ dàng hơn

Bảng tóm tắt: chúng tôi trình bày lại các nội dung kiến thức một cách cô đọng,

dễ nhớ để sinh viên có thể tra cứu lại khi cần thiết

Hệ thống bài tập:chúng tôi trình bày hệ thống bài tập tự giải Trong đó, các bài

tập về toán học vẫn chiếm đa số tập trung ở những bài tập đầu tiên và bổ sung thêmcác bài toán vật lý cụ thể Các bài toán vật lý chỉ dừng lại ở mức độ vừa phải vàđảm bảo được yêu cầu về kiến thức toán học tương ứng

Chương 2 PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

2.1 Phần lý thuyết

Giáo trình S1

2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến

Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm

riêng cấp một

Không có phần nào nói về cách

tiếp cận khái niệm đạo hàm riêng cấp

một của hàm nhiều biến

Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm riêng cấp một

Một ngày nóng, độ ẩm cao làmchúng ta cảm thấy nhiệt độ cao hơn nhiệt

độ thực, nơi có không khí khô chúng tacảm nhận nhiệt độ thấp hơn chỉ số củanhiệt kế The National Weather Service

đã nghĩ ra chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ sốnhiệt độ - độ ẩm) để miêu tả ảnh hưởng

của nhiệt độ và độ ẩm Chỉ số nhiệt I là

nhiệt độ cảm nhận được lúc nhiệt độ thực

là T và độ ẩm tương đối là H Do đó, I là hàm số theo T và H và có thể viết I = f (T

, H ) Hình 2.1 biểu diễn giá

trị của I được trích từ bảng hoàn chỉnh

từ The National Weather Service

Hình 2.1 Giá trị chỉ số nhiệt [8]

Nếu chúng ta tập trung vào cột màuxanh, tương ứng với độ ẩm tương đối là

H = 70%, chúng ta xét chỉ sốnhiệt như

hàm số của một biến T với giá trị cố

định của H Hãy viết g (T ) = f (T , 70 ).

Khi đó g (T ) miêu tả chỉ số nhiệt I tăng

như thế nào khi nhiệt độ thực tăng lúc độ

Có nghĩa là, khi nhiệt độ là 96

ẩm tương đối là 70% thì nhiệt độ biểukiến (chỉ số nhiệt) tăng 3, 75o F với mỗi

độ tăng của nhiệt độ thực

Bây giờ chúng ta hãy quan sát hàng

màu xanh, tương ứng với nhiệt độ cốđịnh T=96oF Những số trong hàng là

những giá trị của hàm số

sẽ tăng như thế nào khi độ ẩm tương đối

tăng lúc nhiệt độ thực là T=96 F ? Đạohàm của hàm số khi H=70%

thay đổi của

Nó nói lên rằng, lúc nhiệt độ là 96oF và

độ ẩm tương đối là 70%, chỉ số nhiệttăng khoảng 0,9oF cho mỗi phần trăm

mà độ ẩm tương đối tăng

Trong trường hợp tổng quát, nếu

f là hàm số của hai biến x và y , giả sử

chúng ta chỉ xét biến x trong khi giữ y

Cách tiếp cận Khả vi và Vi phân

Không có phần nào nói về cách tiếp cận

Khả vi và Vi phân của hàm nhiều biến

Đối với Khả vi và Vi phân, S2 đãlập luận bằng cách nhắc lại các kiếnthức và ý tưởng có trong hàm một biến

để liên hệ với các kiến thức này đối vớihàm nhiều biến

Một trong những ý tưởng quantrọng trong giải tích hàm một biến làchúng ta phóng to một điểm trên đồ thịcủa hàm số có thể phân biệt được, đồ thịtrở nên không thể phân biệt được từ tiếptuyến của nó và chúng ta có thể xấp xỉhàm số bằng một hàm tuyến tính Ở đây,chúng ta phát triển ý tưởng tương tựtrong không gian ba chiều Chúng ta cóthể phóng to một điểm trên bề mặt là đồthị của hàm số có thể phân biệt được củahai biến, bề mặt của chúng sẽ trông nhưmặt phẳng (mặt phẳng tiếp tuyến) vàchúng ta có thể xấp xỉ hàm số bằng hàm

số tuyến tính của hai biến Chúng ta đồngthời mở rộng ý tưởng vi phân hàm số củahai hay nhiều hơn hai biến

Đối với hàm số một biến khả vi, z = f

Hình 2.2 Mối liên hệ giữa số gia

và vi phân

Hình 2.2 thể hiện mối liên hệ giữa số gia

đổi độ cao của đường cong

đường tiếp tuyến lúc x thay đổi mộtlượng dx= x

2.1.2 Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều biến

Định nghĩa Đạo hàm riêng

Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của

hai biến

Nếu f là hàm số của hai biến, đạo hàm

riêng của nó hàm số f x và f y được xác

ghi f1 hoặc D1 f (để chỉ ra đạo hàm đối

với biến thứ nhất) hoặc

ở đây không thể được giải thích là

tỉ lệ vi phân

Kí hiệu của đạo hàm riêng:

Tương tự ta có đạo hàm riêng theo

= lim

Chú ý: đối với hàm một biến ta đã biết,

nếu hàm có đạo hàm thì nó liên tục (tại

điểm khảo sát) Đối với hàm nhiều

biến, việc tồn tại các đạo hàm riêng

chưa đảm bảo sự liên tục của hàm số

Hàm số nhiều hơn hai biến

Đạo hàm riêng cũng có thể được xácđịnh cho hàm ba hay nhiều hơn ba biến

là hàm số của n biến,

biến

Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng

của đạo hàm riêng cấp một Giả sử xét

hàm hai biến z=f(x y), ta có các đạo

hàm cấp hai sau:

u x

những hàm số hai biến, nên chúng ta cóthể xét đạo hàm riêng

Tuy vậy, nếu các đạo hàm hỗn hợp

liên tục thì chúng bằng nhau, điều đó thể

hiện trong định lý Schwarz sau đây

Định lý (về đạo hàm hỗn hợp)

Nếu hàm

f

3 f

x y

Hơn nữa, nếu chúng liên tục thì

lấy đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc

f xyy = ( fxy)

và bằng cách sử dụng định lý Clairaut có

thể chứng minh rằngnếu những hàm số này liên tục

Do đó, số gia z biểu hiện sự thay đổi

trong giá trị f lúc (x y) thay đổi từ

(a , b) đến (a + x, b + y) Bằng sự

một hàm số hai biến như sau Cho hàm z=f(x,

y), hàm f khả vi tại

dạng

Khi ấy đại lượng A x+B y được gọi

là vi phân của hàm f (x , y ) và được

Vậy biểu thức ở định nghĩa có thể được

viết như sau

= f x(a , b ) x + f y(a , b ) y + 1 x + 2 y,

ở đây, 1 , 2 → 0 khi ( x, y ) → (0, 0) Định

nghĩa trên nói rằng hàm số khả vi là một

trong những hàm tuyến tính hóa

là xấp xỉ tốt lúc (x y) gần (a b) Nói

cách khác, mặt phẳng tiếp tuyến gần

đúng đồ thị của f gần tiếp điểm

Đôi khi khó khăn sử dụng định nghĩa trên để

kiểm tra chính xác sự khả vi của một hàm số,

nhưng định lý sau đây sẽ cung cấp điều kiện

hàm riêng

Các tính chất của vi phân

Bây giờ giả sử f(x, y) và g(x,y)

thỏa mãn điều kiện khả vi, rõ ràng khi ấy

f + g , fg ,

không tại điểm đang xét) cũng thỏa

mãn điều kiện khả vi, nên chúng khả vi

của vi phân dz và số gia z : dz thể hiện sự

thay đổi độ cao của mặt phẳng tiếp tuyến

trong khi z thể hiện sự thay đổi độ cao

Vi phân cấp cao

Không có phần nào đề cập đến vi phân cấp cao

riêng cấp hai liên tục), thì có thể về vi

phân của nó d(df (x, y) ), ta gọi là vi

phân cấp hai của

d f =