Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

HỒ CHÍ MINHKettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018... Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu sự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiệndưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu

từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôixin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018

Học viên thực hiện

KETTAVONG Chinnalone

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS NguyễnAnh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rấtnhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin

và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thờigian học tập và làm luận văn tại trường

Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn begần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

KETTAVONG Chinnalone

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

MỞ ĐẦU

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.4 Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

X

nlà không gian các ma trận hàm cấpX:a, b  Rmn liên tục tuyệt đối trên

2 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khinghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệphương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn chobài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

4 Nội dung của luận văn

Chương1: Các kiến thức chuẩn bi

Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhấtnghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiêncứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duynhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 vàchương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bàitoán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngoài ra, chúng tacũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểmkhi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xem chứng minh trong [1].

(1.5)

(1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất.

thì bài toán Cauchy (1.1),

Chứng minh

Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2)

dx dt

khi và chỉ khi x(t) là nghiệm của phương trình:

x t  C

Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter

 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ

Picard

x

x

(1.9)

k  N.

(1.14)

hội tụ đều trên I về hàm

Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10)

Hay x t  lim x kt  đều trên I

Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có:

hội tụ đều về hàm x(t) trên I

q τ dτ



Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).

 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy

nhất Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2) Theo (1.8) ta

Định lý đã được chứng minh

Xét hệ phương trình tuyến tính :

dx

(t)  P t x t   q t 

dt với P  L locI,Rnn, q L locI,R n.

Khi qt θ thì (1.1) thành:

dxdt

(1

.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1).

Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ

(1.15)

Hệ quả 1.1

Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15)

Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng:

.18)

ta có:

k P t   

s

 d s

hay

X

Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15).

(1.20)

 Tồn tại là hiển nhiên.

Định lý được chứng minh.

X t 





P s ds  là

ma trận

cơ bản của hệ

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

Xét bài toán Cauchy:

Theo định lý 1.1 bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất Ta tìm công thức

nghiệm của nó theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

dxdt

Ta tìm nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) dưới dạng:

x t   X t .y t y(t) cần xác định để (1.31) là nghiệm, ta có:

x  t   X  t .y t   X t .y t 

 P  t  X  t  y  t   X  t  y



Thay vào (1.1) ta có:

Vậy y(t) – nghiệm của hệ (1.33) thỏa điều kiện đầu:

 0điều

lý 1.8

(1.40) (1.41)

Nếu

PLI,Rthì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40).

Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

(1.47)

t P s   P s  .x s .ds

t 0

 2δ x(t) 2δ. x  s  ds

I

Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:

Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu:

Với mọi dãy t

lim t 0 k  t0

k 

lim C 0 k  C0

k 

x t0   C0.

(1.1)

(1.2)

Do P là ổn định tiệm cận lũy thừa nên ta có

i Nghiệm x(t) thỏa điều kiện

L (1.57) 1.8 bài toán (1.1),

(1.2) là xấp xỉ được Khi đó tồn tại

sao cho với mọi

với y(t) là nghiệm của bài toán

Ta cần chứng minh

Kh

i đó theo (1.61), (1.62) thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

4



C t,  

Ta có

Cho t0 R, C0Rn, P LlocR, Rnn và qLlocR, Rn Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ yếu nếu  0 tồn tại  0 sao cho với mọi t 0  R  ,

C0 R n , P L locR  , Rnnvà q L locR  , Rn thoảcác điều kiền

Nếu P là ổn định đều thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ yếu.

(1.69)

Chứng minh

Giả sử x(t) là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

Do P là ổn định đều nên tồn tại số 00 sao cho

(1.70)

y t 0 C0 Để kết thúc chứng minh định lý ta cần chứng minh

x t   y t  tt * Đặt

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cho I = [a, b], xét hệ phương trình vi phân

(x)  C

với : CI,R n  R n là toán tử tuyến tính liên tục, C 0 

Bài toán (2.1), (2.2) gọi là bài toán biên tổng quát

Trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) là:

 Bài toán Cauchy:

Bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán

Khi đó x(t) là nghiệm duy nhất của bài toán 2.1,2.2

nghiệm duy nhất của hệ

(2.5)khi và chỉ khi C là

x   Y.CAqC0.

(2.6) là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

(2.6)

Mặt khác điều kiện (2.7) tương đương với điều kiện bài toán 2.1

chỉ có nghiệm tầm thường Vậy bài toán

chỉ khi bài toán 2.1

0

đó

Thay vào (2.5) ta có nghiệm của  2.1,

là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lý

Riesz tồn tại ma trận hàm H LI, Rn n sao cho:

  b 

Điều kiện cần và đủ để bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất là tồn tại các

số tự nhiên k và m sao cho ma trận

17

Chứng minh

Điều kiện đủ:

Giả sử các điều kiện (2.16), (2.17) được thực hiện Ta chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất

Trước hết ta xây dựng các dãy toán tử

1 1

 C  p

 p 1x   t   t P s .x s .ds.

a

Suy ra:

 a

với t I

Điều kiện cần:

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm Ta chứng minh tồn tại các số tự nhiên k, m sao cho (2.15), (2.16) đúng

Trước hết ta lưu ý

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Ya  E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên

Đặt

Ta có

Do (2.21) nên chuỗi

i 1

(2.22)

Suy ra

lim det M k  det Y0.

k

Do đó, tồn tại số tự nhiên k0 và số  sao cho

Do chuỗi bên phải (2.22) hội tụ đều nên

Do vậy theo (2.17) ta có

Do đó tồn tại k, m đủ lớn sao cho r(M k, m )  1

Định lý đã được chứng minh

Chú ý:

Nếu cho ftLI,R 

(2.23)

và cũng là hội tụ đều trên I.

Cùng với hệ (2.1) ta xét hệ

dxdt

Vấn đề đặt ra khi bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm thì

với (2.24), (2.2) có nghiệm

(2.24)

 đủ bé bao nhiêu để

Hệ quả 2.1.

Giả sử

det λ(a)  0hoặc

M

và lưu ý với k = 1 thì M k a  và k = j + 1 thì

và

với M k , M k, 1 như trong định lý 2.2.

Theo (2.25) hoặc (2.26), (2.27) thì det M k

sao cho hệ phương trình vi phân

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm.

Chứng minh

(2.29)

(2.30)

Để chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm ta chỉ cần

chứng minh bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Giả sử xt x it in1 là nghiệm của (2.10), (2.20) Khi đó

dx

 P t .x  P x t  P t  Pdt

Do (2.28), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lý 2.1 ta có

Ta có điều phải chứng minh

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (2.1), (2.2) ta xét các bài toán sau

(2.2k)

Định nghĩa 2.2 Bài toán (2.1), (2.2) gọi là xấp xỉ được nếu nó có nghiệm

duy nhất x và với mọi dãy

toán tử tuyến tính liên tục,

t

 kP

a t

Khi đó tồn tại số tự nhiên k0 sao cho

nhất nghiệm xk và

(2.33)bài toán (2.1k), (2.2k) có duy

(2.34)

Định lý 2.4

Nếu bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất thì nó là xấp xỉ được

Trước khi chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau

C h ứ n

g m in

h Đ ịn

h lý 2 4

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Ya  E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên theo (2.7) ta có

P LI,RGiả sử

k

các toán tử tuyến tính liên tục thỏa các điều kiện (2.31)  (2.33)

Với mỗi số tự nhiên k, gọi Yk là ma trận cơ bản của hệ

dãy

dxdt

thỏa điều kiện biên

Khi đó theo định lý 1.10 ta có:

Từ (2.33) theo định lý không gian Banach – Steinhaus tồn tại số

Từ đó suy ra bài toán (2.1k), (2.2k) có duy nhất một nghiệm

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương

trình tuyến tính

dx

 Pdt

thỏa điều kiện biên hai điểm

Trong đó Ia, b.

A, A

2gọi là các ma trận điều kiện biên của bài toán đã cho

1

Trong mục 3.1 chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính giải

được của bài toán (3.1), (3.2) Trong mục 3.2 ta xét trường hợp khi điều kiện duy

nhất của (3.1), (3.2) không còn và đưa ra một số tính chất đại số của bài toán

này

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với bài toán (3.1), (3.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

dx

 P t .xdt

A1 x a   A 2 x b   0

Từ định lý 2.1 ta có ngay kết quả sau:

Định lý 3.1

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm duy nhất là bài toán

thuần nhất tương ứng 

Tức là:

det A1Y a   A 2Y(b)  0

Trong đó Y là ma trận cơ bản của hệ 3.10  Nếu điều kiện (3.3) được

thoả mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán (3.1), (3.2) cho bởi công thức Green:

Trong đó

của bài toán

Dễ thấy hàm Green của bài toán

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có

các số tự nhiên k và m sao cho ma trận:

M

là chính qui và

r M k ,m

1

nghiệm duy nhất là tồn tại

ds

i

Khi đó bài toán (3.1), (3.2) có duy nhất một nghiệm.

với điều kiện biên 

thỏa một trong các điều kiện sau:

 0 A exp 

 b  0 P t  dt 

u b   u b

 0 Aexp 

b

 a

Khi đó nếu (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được u(b)

 u(b) ) (mẫu thuẫn) Do đó ta có điều phải chứng minh

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần nhất sau:

u(b)  u(b) (hoặc

với điều kiện biên thuần nhất

A B*1

Do (3.14), (3.18) nên các cột của ma trận sau:

là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:

có dạng:

Hiến nhiên rank B 01 , B 02  n và thỏa (3.18) Vì vậy điều kiện biên

(3.16) là đối ngẫu với điều kiện biên 3.20 

Giả sử điều kiện biên (3.13) là đối ngẫu của điều kiện biên

 y

kiện biên 3.20 , khi đó bài

độc lập tuyến tính là như sau:

n

và (3.13) là điều kiện biên đối ngẫu của điều

toán 3.10,3.20  và (3.12), (3.13) có số nghiệm

Chứng minh

Giả sử bài toán (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính Ta sẽ

chứng minh bài toán 

Do rank A1 , A 2

để ma trận H trong (3.21) là chính qui và giả sử

Khi đó điều kiện biên (3.16) sẽ là đối ngẫu của điều kiện biên 3.20  Mặt kháctheo bổ để 3.1, tồn tại ma trận chính qui M R

thoả mãn

Giả sử Y là ma trận cơ bản của hệ 

của hệ (3.12) Vì vậy mỗi nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng



AA

2

2

Y Y







b a

1

H

 1







a a

Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng bởi (3.27) Do

chính qui, do đó suy ra hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy ra hệ

H1

A1Y a   A 2Y b  c  0 3.29

cũng có m nghiệm độc lập tuyến tính, do đó bài toán 3.10, 3.20  có đúng m nghiệm độc lập tuyến tính là điều phải chứng minh

Bổ đề 3.4

rank A1 , A 2   n , khi đó với mỗi

khả vi liên tục trên I sao cho:

A u

0 1

iii.) Nếu x0 là một nghiệm của bài toán 

nghiệm của bài toán 

- Từ bổ đề 3.3 ta có ngay i.)

- Chứng minh ii.)

x t  Y t .c  t Y t .Y 1  q 0  d

a

với c R

Khi đó bài toán (3.33), (3.34) có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình

tuyến tính sau có nghiệm

Tương tự chúng ta chỉ ra được bài toán (3.33), (3.34) giải được khi và chỉ

cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) là điều phải chứng minh

KẾT LUẬN

Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việctồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình viphân tuyến tính

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Nội dung chương này chủ yếu xây dựng các điều kiện đủ choviệc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phântuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này Định lý 1.1 khẳngđịnh bài toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất và nghiệm này được chobởi công thức Cauchy (1.35) và được trình bày ở Định lý 1.7 Định lý 1.8 đưa rađiều kiện để bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

Chương 2: Trong chương này, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việctồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho phương trình vi phântuyết tính Hơn nữa, chúng ta xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho bài toán này Sựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) được nói ở Định lý 2.1 Địnhlý 2.4 đưa ra điều kiện để bài toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được

Chương 3: Trên cơ sở các kết quả của Chương 1 và Chương 2

Trong Chương 3 ta áp dụng các kết quả của Chương 2 để nghiên cứu cácđiều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phươngtrình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2)

Các kết quả chính của chương là các định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Trong phầncuối của chương chúng ta xem xét các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

khi bài toán thuần nhất 

chính của phần này là định lý 3.5

Từ những vấn đề mà luận văn nêu như trên, một cách tự nhiên ta thấy rằngcác kết quả đã trình bày trong luận văn có còn đúng hay không cho bài toán biênnhiều điểm hay các bài toán biên dạng tuần hoàn, cũng như các kết quả trên cócòn đúng hay không đối với bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân