Một số bài toán luyện thi đại học liên quan đến hàm số

Tiếp tuyến của vô nghiệmC tại M1 cắt đồ thị tại điểm M2 ≠ M1.

BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TIẾP TUYẾN

Câu 1: Cho hàm số y=x3−m x2+ (2m−3) x−1 Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị đều

có hệ số dương?

Giải TXĐ: x ∈ R

Có: y '=3 x2−2 mx+2 m−3

Để hàm số có tất cả các hệ số tiếp tuyến dương 

y '

>0 , ∀ m ↔ ∆ '=m2−3 (2 m−3)<0, m (do 3>0)

 m2−6 m+9< 0  (m−3 )2<0 (vô nghiệm)vô nghiệm)

Vậy không tồn tại m thoả mãn bài toán

Câu 2: Tìm điểm M có hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của hàm số y=1

3x

3

−x +2

3 tại

M vuông góc với đường thẳng y=−1

3

4? Giải TXĐ: x ∈ R

Có: y '

=x2−1

Do tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y=−1

3

4 nên y '

(x M).(−13 )=−1

x M2 −1=3 x M=±2

Do x M<0 nên xM=−2 => Vậy M(vô nghiệm)-2;0)

Câu 3: Tiếp tuyến của hàm số y=−x

3

2

Giải TXĐ: x ∈ R

Ta có: y '=−x2+2 x +3

Gọi M là điểm có hệ số góc của tiếp tuyến lớn nhất, đặt x M=a

Nên, y '(M )=−a2+2 a+3=−(a2−2 a+1)+4=4−(a−1)2≤ 4

Dấu = xảy ra  a=2

Vậy hệ số góc lớn nhất là: 4

Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 4 x−3

giác có diện tích là?

Thi thử ĐH Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2019 Giải

TXĐ: x ∈ R/{−12 }

Ta có: y '= 10

(2 x +1)2

Gọi M(a , 4 a−3

2a+ 1) là điểm thuộc đồ thị (a≠−1

2)

 Phương trình tiếp tuyến tại M là: y= 10 ( x−a )

(2 a+1 )2 +

4 a−3 2a+1

Tiệm cận {TCĐ : x=−1

2

TCN : y=2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại M với TCĐ và TCN

 {A(−12 ;

4 a−8

B(4 a+12 ;2)

Giao điểm 2 tiệm cận I(−12 ;2)

 {IA → (0 ;− 10

2 a+1)

IB → (2 a+1 ; 0)

|2 a+1|

IB=|2 a+1|

Câu 5: Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn 2 f (2 x)+f (1−2 x )=12 x2

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 là?

Thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2019 Giải

1

Nên f (0 )=−1, f (1)=2

Lại có: 4 f '(2 x )−2 f '(1−2 x )=24 x  2 f '(2 x )−f'(1−2 x )=12 x

Tại x=1

2: 2 f '

(1)−f (0 )=6

Tại x=0 : 2 f '(0)−f '(1)=0

Nên f '(1)=4

Do vậy phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là: y=f '(1 )( x−1)+ f (1) hay y=4 x−2

Chú ý: mấu chốt của phương trình tiếp tuyến là f '

(x0)và f (x0) do đó ta cần tìm cách để tính được các giá trị đó

Câu 6: Cho hàm số y=x3−2021 x có đồ thị (vô nghiệm)C) Gọi M1 là điểm trên (vô nghiệm)C) có x1=2 Tiếp

tuyến của (vô nghiệm)C) tại M1 cắt đồ thị tại điểm M2 ≠ M1 Tiếp tuyến của (vô nghiệm)C) tại M2 cắt đồ thị

tại điểm M3,…, tiếp tuyến của (vô nghiệm)C) tại M n−1cắt đồ thị tại điểm M n (vô nghiệm)n=4,5…)

Gọi (x n ; y n) là toạ độ của điểm M n Tìm nđể2021 x n−y n=22022

Giải

Ta có: y '=3 x2−2021

Do M k ∈ (C ), nên M k(x k ; x k3−2021 x k)

Tiếp tuyến của C tại M k :(d¿¿k ) y=(3 x k2−2021) (x−x k)+x k3−2021 xk¿

Phương trình hoành độ giao điểm của (d k) và (vô nghiệm)C):

x3−2021 x=(3 x k2−2021) (x−x k)+x k3−2021 xk

 ( x−x−k )2(x +2 x k)=0 ↔[ x=x k

x=−2 x k

Vậy M k+1(−2 xk ;−8 x k3+2021.2 xk)

y n=8 (−2)3 n−3−2021 (−2)n−1

Vậy 2020 x n−y n=22022 (−1)3 n−3 2 3 n=22022 n=674

Câu 7:

BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

Câu 1: Cho hàm số f (x)=a x3

+b x2+cx +d (a , b , c , d∈ R , a ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ:

Tập nghiệm của phương trình f ( x )[f ( x )−4]=0 là?

Giải

Ta có: f ( x )[f ( x )−4]=0 [f ( x )=4 f ( x )=0

Với f ( x )=0, xét tương giao đồ thị f ( x ) với đường thẳng y=0 ta thấy có 2 giao điểm tại

[x=−1 x=2

Với f ( x )=4, xét tương giao đồ thị hàm số f (x) với đường thẳng y=4 ta thấy có 2 giao

điểm tại [x=0 x=3

Vậy phương trình có tập nghiệm S={−1;0 ;2 ;4}

Câu 2: Cho hàm số bạc 3 có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực của phương trình: |f(x3−3 x) |=1?

Giải

Ta có: |f(x3−3 x) |=1 ↔[ f (x3−3 x)=1

f(x3−3 x)=−1

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 1 +∞

g '(x ) + 0 - 0 +

g(x )

TH1: f(x3−3 x)=1  [x3−3 x=k1(−2<k1<0). → xét tương giao g ( x ) có 4 nghiệm

x3−3 x=k2(0< k2<2)→ xét tương giao g ( x )có 4 nghiệm

x3−3 x=k3(k3>2)→ xét tương giao g ( x )có 1nghiệm

TH2: f(x3

−3 x)=−1  ¿

Vậy phương trình có tổng 14 nghiệm

Câu 3: Cho hàm số y=f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số nghiệm của phương trình f (sin x +1)=2 trên [-π ; 2π] ?

Giải Xét tương giao đồ thị hàm số y=f (sin x+1 )và đường thẳng y=2 ta được

[ sin x=k1−1 , k1<0

sin x=k2−1 , 0<k2<1

sin x=k3−1, 1<k3<2

sin x=k4−1 , k4>2

Do – π ≤ x ≤ 2 π →−1 ≤sin x ≤ 1 →{k4−1>1 → sin x =k4−1 vô nghiệm

Xét tương giao đò thị hàm số: y=sin x và đường thẳng y=k2−1 và y=k3−1 tại

x ∈[−π ;2 π ] có 6 giao điểm

Vậy phương trình có 6 nghiệm

Câu 4: Cho hàm số bậc 4 có đồ thị là đường cong như hình bên Số nghiệm thực phân

biệt của phương trình f(x2f ( x ))+2=0 là?

Câu 49 mã 121 – Thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2020 đợt 1

Giải

Ta có: f(x2f ( x ))+2=0↔[x x22f ( x )=k f ( x )=01

x2f ( x )=k2

x2f ( x )=k3

(k1, k2, k3>0)

TH1: x2f (x )=0 [ x2=0 → x=0

f ( x )=0 → có 2 nghiệm

TH2: x2f (x )=k (k >0 )→ f ( x )= k

x2

Xét hàm số y= k

x2, k >0 → y

'

x3

Bảng biến thiên:

x -∞ 0 +∞

y ' + || -

y

Vậy đồ thị hàm số y= k

x2cắt đồ thị y=f ( x ) tại 2 điểm Vậy tổng 3+2+2+2=9 giao điểm => có 9 nghiệm

DẠNG TOÁN BIỆN LUẬN CÓ THAM SỐ

Câu 1: Cho hàm số y=f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 13f(2x+1)=m−xcó nghiệm thuộc đoạn [−2 ;2]?

Giải Đặt t= x

2+1 , do x∈[−2 ;2]→ 0 ≤ t ≤2

Phương trình trở thành: 13f (t )=m−(2t−2 )→ f (t )+6 t−6=3 m

Xét hàm số g ( x )=f (t )+6 t−6, t ∈[0 ;2]

Có: g ' (t )=f ' (t )+6

Với 0 ≤ t ≤ 2 theo đòo thị ta có f ( x ) đồng biến → f '(t)>0 → g '(t )>0

Có: {g (2 )=f (2)+6.2−6=6+12−6=12 g (0)=f (0)+6.0−6=−4−6=−10

3 ≤ m≤ 4

Do m nguyên nên m∈{−3 ;−2;−1 ;0 ;1;2 ;3 ;4}→ có 8 giá trị thoảmãn

Câu 2: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f2(x )−( m+5 )|f (x )|+4 m+4=0 có 7 nghiệm

phân biệt?

Giải

Từ đồ thị hàm số ta dựng được đồ thị hàm y=|f ( x )| như sau:

Có: ∆=(m+5)2−4 ( 4 m+4 )=m2+10 m+25−16 m−16=m2−6 m+9=(m−3)2→√∆=|m−3|

Vậy [ |f ( x )|=4 → có 3 nghiệm

|f ( x )|=m+1

Để phương trình có 7 nghiệm thì phương trình |f (x )|=m+1có 4 nghiệm

Từ đồ thị ta được: 0<m+1<4 −1<m<3

Do đó có 3 giá trị nguyên của m

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y=x−m+2 cắt đồ thị hàm số

x−1 (C ) tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất?

Giải TXĐ: x ∈ R/{1}

Phương trình hoành độ giao điểm: x−1 2 x =x−m+2 f ( x )=x2−(m+1) x+ m−2 (1)

Để (vô nghiệm)d) và (vô nghiệm)C) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt 

{∆=(m+1)2−4 (m−2)=m2−2 m+9>0

Đặt {A(x1; x1−m+2)

B(x2; x2−m+2)→ với ∀ m taluôncó :{x1+x2=m+1

x1x2=m−2



A B2

=(x2−x1)2

+(x2−m+2−x1+m−2)2=2(x2−x1)2=2[ (x1+x2)2−2 x1x2]2=2[( m+1)2−2 (m−2 )]2=2[(m−1)2+8]≥16

Vậy A B min=4 m=1

Câu 4: Cho hai ha