Mối Quan Hệ Giữa Đồ Thị Hàm Số Và Đạo Hàm Của Hàm Số Trong Bối Cảnh Đánh Giá Bằng Hình Thức

Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong đề thi Toán ở kì thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2017 của Bộ giáo dục và Đào tạo gọi tắt BGD&ĐT, chúng tôi thấy xuất hiện những kiểu nhi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Diễm Linh

MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRONG BỐI CẢNH

ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Diễm Linh

MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRONG BỐI CẢNH

ĐÁNH GIÁ BẰNG HÌNH THỨC TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 8140111

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu cá nhân Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác

Tác giả

Huỳnh Thị Diễm Linh

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô: GS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS

Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng và TS Vũ Thị Như Hương về những tiết dạy dạy học Toán đầy thú vị, lôi cuốn và ý nghĩa

Tôi xin chân thành cảm ơn GS Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã có những góp ý quý báu cho luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã sắp xếp và tạo điều kiện học tập thuận lợi cho chúng tôi

Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô và tập thể học sinh các lớp 12 Trường THPT Ngô Thời Nhiệm TP Hồ Chí Minh và Trường THPT, tỉnh Bình Dương, Thầy giáo dạy Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Cần Giờ, Cô giáo dạy Trường THPT tỉnh Ninh Thuận đã nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành phần thực nghiệm của luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn tập thể lớp dạy học Toán K27, đã chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến tất cả thành viên trong gia đình

đã luôn bên cạnh ủng hộ và động viên tinh thần tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô, bạn bè, người thân

đã ở bên cạnh tôi những lúc khó khăn trong suốt hai năm vừa qua

Huỳnh Thị Diễm Linh

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Danh mục các từ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 11

1.1 Hệ thống biểu đạt 11

1.2 Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức toán học 11

1.2.1 Lý do có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống (TSD) 12

1.2.2 Khái niệm biến trong lý thuyết nhân học 13

1.2.3 Lý do cần có khái niệm biến trong T4TEL 15

1.2.4 Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến 15

1.2.5 Ví dụ một hệ sinh kiểu nhiệm vụ 17

1.2.6 Tổ chức hoạt động cá nhân 19

1.3 Hệ sai lầm và thuật ngữ “quan niệm” 23

1.3.1 Thuật ngữ “quan niệm” 23

1.3.2 Hệ sai lầm 24

1.4 Kết luận 24

Chương 2 MÔ HÌNH HOÁ TỔ CHỨC TOÁN HỌC 26

2.1 Các nghiên cứu liên quan đến hệ thống biểu đạt hàm số 27

2.2 Mô hình hóa hệ sinh kiểu nhiệm vụ từ kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện trong kì thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 28

2.2.1 Kiểu nhiệm vụ T congthuc - T’ congthuc 31

2.2.2 Kiểu nhiệm vụ Tdothi - T’dothi 32

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ T loiT'loi 37

2.2.4 Kiểu nhiệm vụ T bbtT'bbt 39

2.2.5 Kiểu nhiệm vụ T* 41

2.3 Kết luận 43

Chương 3 PHÂN TÍCH TỔ CHỨC DẠY HỌC 45

3.1 Thực tế giảng dạy giáo viên thứ nhất 46

3.1.1 Tổ chức toán học quan sát được liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và số nghiệm của phương trình y'=0 47

3.1.2 Tổ chức dạy học được giáo viên thứ nhất sử dụng để đưa vào tổ chức toán học 47

3.1.3 Kết luận về nghiên cứu thực hành của giáo viên thứ nhất 50

3.2 Thực tế giảng dạy của giáo viên thứ hai 50

3.2.1 Tổ chức toán học quan sát được liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và số nghiệm của phương trình y’=0 51

3.2.2 Tổ chức dạy học được giáo viên thứ hai sử dụng để đưa vào tổ chức toán học 51

3.2.3 Kết luận về nghiên cứu thực hành của giáo viên thứ hai 53

Chương 4 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 55

4.1 Mục đích thực nghiệm 55

4.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 55

4.3 Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu 55

4.3.1 Phiếu 1 55

4.3.2 Phiếu 2 57

4.4 Phân tích tiên nghiệm 60

4.4.1 Biến dạy học và các giá trị có thể chọn 60

4.4.3 Các câu trả lời có thể có ở các bài toán và ảnh hưởng của biến 62

4.5 Phân tích hậu nghiệm 67

4.5.1 Phiếu 1 67

4.5.2 Phiếu 2 71

4.6 Kết luận 75

KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 PHỤ LỤC

MỤC LỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Lời giải và phân tích KNV “giải phương trình 2

x  x  ” 21

Bảng 2.1 Bảng dự đoán KNV con của bài toán KSHS trong SGKCB 12 27

Bảng 2.2 Bảng dự đoán các KNV khi thay đổi giá trị của các biến V1 , V2 30

Bảng 2.3 Kỹ thuật và công nghệ thứ nhất của KNV T congthuc 31

Bảng 2.4 Kỹ thuật tieptuyen và công nghệ 35

Bảng 2.5 Kỹ thuật và công nghệ của KNV T bbt 40

Bảng 2.6 Các kỹ thuật của KNV * T 42

Bảng 3.1 Bảng mô hình hóa TCTH với KNV T của 2 giáo viên 53

Bảng 4.1 Câu hỏi thực nghiệm phiếu 1 và mục tiêu 55

Bảng 4.2 Những giá trị của biến trong các bài toán 61

Bảng 4.3 Kết quả thực nghiệm 67

MỤC LỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Ví dụ một sơ đồ phân cấp về một tập con các giá trị của biến V3 18

Hình 1.2 Ví dụ về một sơ đồ phân cấp cho tập các giá trị của một biến V3 19

Hình 2.1 Bảng phân cấp nhóm 1 của biến V2 29

Hình 4.1 Bài toán 1.P1-Bài làm HS lớp 12A07 dùng chiến lược Scuctri 68

Hình 4.2 Bài toán 1.P1-Bài làm HS lớp 12A12 dùng chiến lược Stongquat 68

Hình 4.3 Bài toán 2.P1-Bài làm HS lớp 12C7 dùng chiến lược Scuctri 68

Hình 4.8 Bài toán 5.P1-Bài làm của HS lớp 12A5 71

Hình 4.10 Bài toán 1.P2-Bài làm của HS lớp 12A05 73

Hình 4.11 Bài toán 2.P2-Bài làm của HS lớp 12C7 74

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong đề thi Toán ở kì thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2017 của Bộ giáo dục và Đào tạo (gọi tắt BGD&ĐT), chúng tôi thấy xuất hiện những kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đồ thị hàm số đã được thay thế cho bài toán khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị (gọi tắt là KSHS) Chẳng hạn:

Câu 14 - mã đề 102

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

y= với a, b, c là các số thực Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt

B Phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt

C Phương trình y’=0 vô nghiệm trên tập số thực

D Phương trình y’=0 có đúng một nghiệm thực

Câu 24-mã đề 103

Đường cong ở hình bên là đồ

thị của hàm số với a,

b, c, d là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng:

số luôn xuất hiện cùng nhau theo trình tự: bảng biến thiên → vẽ đồ thị

Bên cạnh đó, trong luận văn của Nguyễn Thị Thanh (2016), tác giả đã cho thấy rằng, mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó về phương diện đồ thị không xuất hiện trong các sách giáo khoa (SGK) hiện hành nên HS gặp thất bại khi tìm đồ thị đạo hàm từ đồ thị hàm số ban đầu

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm khách quan” là cần thiết

Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi xuất phát như sau:

- Những kiến thức nào về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm hàm số cần được huy động để giải quyết các câu hỏi mới (như đã chỉ ra) trong các đề thi THPT quốc gia năm 2017?

- Trong thực tế giảng dạy năm 2018, giáo viên đã thay đổi việc dạy học về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số ở lớp 12 như thế nào? Trong bài toán KSHS, bảng biến thiên và đồ thị hàm số luôn xuất hiện cùng nhau Do đó, chúng tôi sẽ tiếp nối công trình của luận văn Lê Thị Bích Siêng để nghiên cứu về đối tượng đồ thị hàm số

Để giải quyết được các dạng toán trên HS cần phải huy động những kiến thức liên quan giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó Vậy, những kỹ thuật nào giúp HS giải quyết các nhiệm vụ này?

2 Các công trình nghiên cứu liên quan

Đề tài liên quan đến vấn đề “đạo hàm của hàm số” và “đồ thị của hàm số” nên chúng tôi có tham khảo một số luận văn sau:

+ Đặng Minh Hải (2009), các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng

trong dạy học toán phổ thông, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP Hồ

Chí Minh

Trong luận văn, tác giả đã chỉ ra những ràng buộc của thế chế ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân HS về mối liên hệ giữa tính liên tục, tính đơn điệu và sự khả vi Bên cạnh đó, trong phần thực nghiệm tác giả đã cho thấy đồ thị hàm số chưa được thể chế dạy học toán Việt Nam chú trọng

+ Nguyễn Ngọc Kiên (2012), đồ thị hàm số trong mối liên hệ với biểu thức

đại số của một hàm số ở Trường phổ thông, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư

phạm TP Hồ Chí Minh

Trong luận văn, tác giả cho thấy rằng hàm số được biểu đạt dưới dạng đại số thì HS không biết tự vẽ đồ thị của hàm số

+ Phạm Thị Thanh (2016), hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học

phổ thông, luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Trong luận văn, tác giả đã cho thấy ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ của HS đối với đối tượng đạo hàm và mối liên quan giữa hàm số đạo hàm với hàm số ban đầu trong dạy học phổ thông hiện nay Cụ thể:

- HS không huy động được ý nghĩa hình học của đạo hàm, mối quan hệ dấu của đạo hàm và sự thay đổi của hàm số khi cho trước biểu diễn đồ thị của hàm số ban đầu

- Kiểu nhiệm vụ (KNV) “Tìm đồ thị của hàm số đạo hàm từ đồ thị hàm số ban đầu”, HS thường tìm cách xây dựng lại biểu thức đại số từ biểu diễn đồ thị Sau đó mới tính đạo hàm để tìm đồ thị hàm số đạo hàm

+ Lê Thị Bích Siêng (2017), bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số

trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan (TNKQ), luận văn

thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Trong luận văn, tác giả đã tìm ra những KNV con của bài toán KSHS Bên cạnh đó, kết quả thực nghiệm, tác giả cho thấy HS gặp khó khăn khi đối diện với những KNV xoay quanh BBT là do, thiếu yếu tố lý thuyết toán học trong các SGK hiện hành và sự vắng bóng cách thức đọc BBT

Tóm lại, từ việc phân tích các công trình nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy

rằng trước đây với hình thức thi tự luận, hai đối tượng BBT và đồ thị hàm số luôn xuất hiện cùng nhau trong bài toán KSHS Tuy nhiên, KNV sử dụng đồ thị hàm số

để chỉ ra các tính chất của hàm số không được chú trọng trong chương trình SGK hiện hành (Đặng Minh Hải, 2009) Bên cạnh đó, HS chỉ học thuộc 4 dạng cơ bản (bậc 2, bậc 3, bậc 4 trùng phương, bậc 1/ bậc 1) của đồ thị hàm số nên không thể vẽ được đồ thị của những hàm số khác ngoài chương trình đã học (Nguyễn Ngọc Kiên, 2012) Ngoài ra, HS không vẽ được đồ thị của hàm số đạo hàm từ đồ thị hàm

số ban đầu dựa vào ý nghĩa hệ số góc của đạo hàm (Phạm Thị Thanh, 2016) Đồng thời, HS gặp nhiều khó khăn trong kỹ thuật đọc BBT (Lê Thị Bích Siêng, 2017)

Từ những vấn đề trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi:

Giáo viên hiện nay cần phải thay đổi cách giảng dạy như thế nào về mối quan

hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số trong bối cảnh thi TNKQ ?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt phạm vi nghiên cứu của mình trong lý thuyết dạy học toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình huống

Một số yếu tố của thuyết nhân học

Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể chế

Quan hệ cá nhân X với một đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O) là một tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O như: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó, nói về nó, R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời gian và hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có thể thay đổi

Chevallard (1992) cho rằng:

Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển: những đối tượng trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác

ngừng tồn tại, đối với những đối tượng khác thì quan hệ cá nhân của X thay đổi

Trong sự tiến triển này, cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người

Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại) Sự học tập này làm thay đổi con người Tuy nhiên, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I Từ đó dẫn đến việc biến đổi mối quan hệ R(X, O) cần phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X Như vậy giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định, Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I, O) để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra

sao, đóng vai trò gì trong I Trong một thể chế, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I, O)

Tổ chức toán học (TCTH)

Chúng tôi sử dụng quan điểm của Chevallard (1998), một TCTH gồm 4 thành phần (T,,,)để phân tích mối quan hệ thể chế đã xác định ở trên Trong đó: + T là một KNV toán học Chúng tôi xác định các KNV liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm từ các luận văn liên quan và một số đề thi trong kì thi THPT năm 2017 của BGD&ĐT

+ là kỹ thuật: cách thức giải quyết KNV Kỹ thuật có thể tìm thấy trong các lời giải của các ví dụ ở SGK, lời giải các bài tập được đề nghị trong sách giáo viên, sách bài tập (SBT)

+là công nghệ: giải thích cho kỹ thuật Công nghệ có thể tìm thấy ở các định lý, tính chất,

+ lý thuyết: giải thích cho công nghệ

Tổ chức dạy học

Tổ chức dạy học là một TCTH, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu Cụ thể hơn, một tổ chức dạy học là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “nghiên cứu tác phẩm O như thế nào?”

Theo Chevallard để phân tích thực hành giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hỏi

- Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học cụ thể?

- Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức dạy học mà một giáo viên đã triển khai để truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể?

Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu Theo ông, dù không phải là một tổ chức toán học đều tổ chức nghiên cứu theo một cách duy nhất, thì vẫn có một số những thời điểm nghiên cứu nhất thiết phải có mặt cho dù dưới những hình

thức rất khác nhau Cụ thể, ông cho rằng một tình huống học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm nghiên cứu hay thời điểm dạy học

Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học

OM được diễn ra dưới hình thức thông báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ Đó là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O Sự

“gặp gỡ lần đầu tiên” với KNV T i cấu thành nên O có thể xảy ra qua nhiều lần, tùy vào môi Trường toán học và dạy học tạo ra sự gặp gỡ này

Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu KNV T i được đặt ra và xây dựng nên một kỹ thuật i cho phép giải quyết KNV này được diễn ra dưới các hình thức: giáo viên thông báo kỹ thuật và HSgiải quyết nhiệm vụ, HStự xây dựng kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, Thông thường, có một cách để xây dựng kỹ thuật khi nghiên cứu một bài toán cá biệt là GV làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu,

là cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng Kỹ thuật này lại là phương tiện và công cụ để giải quyết những bài toán “cùng kiểu”

Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi Trường công nghệ - lý thuyết

liên quan đến i Thời điểm này tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập

Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật Đây là thời điểm hoàn

thiện kỹ thuật để làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho HS làm việc với một số nhiệm vụ khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ

Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa Thời điểm này nhằm chỉ ra

một cách rõ ràng các kiểu bài toán kiên quan, kỹ thuật giải được ưu tiên, cơ sở công nghệ lý thuyết của kỹ thuật đó, Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây dựng này với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến

Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá Thời điểm này có mục đích xem

xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ: kỹ thuật nào có thể giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên? Kỹ thuật nào

dễ sử dụng? Thời điểm này nối khớp với thời điểm thể chế hóa và cần phải hệ thống cái gì có giá trị, cái gì đã học được

Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T : dạy một tổ chức toán học như thế nào?

Phân tích một tổ chức dạy học có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện) Trong đó, ba thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của HS

Đánh giá một tổ chức toán học

Đánh giá các kiểu nhiệm vụ

Việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn sau:

Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ T i đã được nêu rõ chưa, đặc biệt là được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa? Hay ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?

Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói

rõ chưa? Hay ngược lại, dường như chúng không có lý do gì để tồn tại?

Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với

nhu cầu toán học của HS trong hiện tại và trong tương lai hay không? Hay ngược lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của HS?

Đánh giá kỹ thuật: kỹ thuật được đề nghị giải quyết kiểu nhiệm vụ đã thực sự

được xây dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không? Tương lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo một cách thức thích hợp hay không?

Đánh giá công nghệ: với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật

thì vấn đề giải thích nó có được đặt ra hay không? Hay người ta thừa nhận thông báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ? Các hình thức giải thích mà người ta

đã sử dụng có gần gũi và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không? Cách giải thích đó có phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không?

Lý thuyết tình huống

Chúng tôi sử dụng khái niệm biến dạy học (biến dạy học), chiến lược (cách giải quyết bài toán), phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm để xây dựng và thực nghiệm bộ câu hỏi đối với HS

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là xác định các kiến thức toán mà HS có thể sử dụng để trả lời các câu hỏi về mối quan hệ giữa đồ thị và đạo hàm của nó

Từ đó góp phần điều chỉnh các kiến thức sai lầm của HS

Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Giới hạn trên mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó, những KNV nào có thể được mô hình hóa từ các nhiệm vụ cụ thể xuất hiện trong đề thi của kì thi THPT quốc gia năm 2017? Những kỹ thuật nào cho phép ta giải quyết các KNV này? Và những công nghệ nào tương ứng với các kỹ thuật mà ta có thể tìm thấy trong các SGK hiện hành?

Q2: Trong thực hành dạy học của năm học 2017-2018, những tổ chức dạy học nào được giáo viên xây dựng để dạy học những KNV này?

Q3: Những kiến thức sai lầm nào mà HS sử dụng để trả lời các câu hỏi mới thuộc các KNV đang nghiên cứu? Làm thế nào để giúp HS điều chỉnh những sai lầm này?

5 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu (bài báo, sách giáo khoa, sách giáo viên, các đề thi, các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài nghiên cứu)

- Phương pháp thực nghiệm (ghi âm và ghi chép khi quan sát giáo viên, bộ câu hỏi nghiên cứu trên HS)

5.2 Nhiệm vụ

Để trả lời cho những câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi đề ra những nhiệm vụ sau:

Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài báo của Chaachoua và Bessot (2016) về khái niệm biến trong tổ chức toán học Đồng thời, chúng tôi đưa thêm một số khái niệm mới có liên quan trong luận văn

Thứ hai, chúng tôi tổng hợp một số kết quả đã được nghiên cứu từ các luận văn có liên quan đến hệ thống biểu đạt của hàm số Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng

lý thuyết mới trong bài báo ở trên và kết hợp nghiên cứu các đề thi trong kì thi THPT năm 2017, sách giáo khoa cơ bản 12, sách giáo viên, sách bài tập để mô hình hóa tổ chức toán học từ một kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đồ thị hàm số và đạo hàm của nó

Thứ ba, chúng tôi sẽ phân tích thực hành giảng dạy của giáo viên hiện nay về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó Từ phân tích ở hai phần trên kết hợp với kết quả thực hành giảng dạy của giáo viên sẽ giúp chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu về kiến thức của HS

Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm để làm rõ ảnh hưởng của quan hệ thể chế và hoạt động giảng dạy của giáo viên lên quan hệ cá nhân của HS đối với mối quan hệ giữa đồ thị và đạo hàm của hàm số

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Trong bài toán KSHS hai đối tượng BBT và đồ thị hàm số luôn xuất hiện theo tiến trình: BBT → Vẽ đồ thị hàm số Trong luận văn của Phạm Thị Thanh (2016) khi nghiên cứu chương trình SGK 12 hiện hành cho thấy rằng, không có KNV nào xoay quanh mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của hàm số về phương diện đồ thị Hiện nay, với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, luận văn Lê Thị Bích Siêng (2017) cho thấy rằng HS gặp khó khăn khi đọc BBT Từ những kết quả trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu đối tượng đồ thị trong hình thức thi TNKQ Do giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu mối quan hệ giữa đồ thị hàm

số và đạo hàm của nó, đồng thời sẽ nghiên cứu những thay đổi giảng dạy về tổ chức dạy học của giáo viên về mối quan hệ này trong lớp học bằng cách ghi âm và

ghi chép khi quan sát Từ đó, chúng tôi tìm ra những ảnh hưởng của mối quan hệ này đối với HS

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát,

phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu, câu hỏi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

và cấu trúc luận văn

Phần nội dung, gồm có 4 chương

 Chương 1: Cơ sở lý luận

 Chương 2: Mô hình hóa tổ chức toán học

 Chương 3: Phân tích tổ chức dạy học

 Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm

Phần kết luận, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả đạt được của luận văn

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Ngoài những công cụ lý luận quen thuộc đã được trình bày trong mục 1.3 ở

phần mở đầu, chúng tôi xin bổ sung thêm một số công cụ sau đây:

“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ

này: những vạch, những ký hiệu, những hình vẽ, Chúng là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị” (Guzaman Retamal, 1990, được trích dẫn trong Lê Thị Hoài Châu, 2008, tr

43)

Tác giả Lê Thị Hoài Châu giải thích rõ tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt: Trong quá trình phát triển, cả hình học lẫn đại số đều đã đi từ phạm vi chỉ có một sang phạm vi có nhiều hệ thống biểu đạt [ ] Việc thay đổi hệ thống biểu đạt (đặt một đối tượng toán học trong những phạm vi khác nhau, biểu diễn chúng bằng những ngôn ngữ khác nhau) giữ vai trò quan trọng trong hoạt động nghiên cứu toán học.[ ] Sự thay đổi này không chỉ quan trọng với nhà nghiên cứu mà còn cần thiết cho việc học của học sinh [ ] Sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt cho phép đưa ra những phỏng đoán, kiểm tra các chiến lược giải quyết, tạo thuận lợi cho sự hình thành tri thức Nó còn là một động lực cho việc học [ ] Dạy cho học sinh biết chuyển, biết khai thác nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau cho cùng một đối tượng chính là góp phần thực hiện dạy học theo quan điểm tích hợp Nó giúp học sinh nắm kiến thức sâu hơn và góp phần phát triển tư duy linh hoạt cho họ (2008, tr 43)

1.2 Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức toán học

Chúng ta đã biết một hàm số có thể được biểu diễn bởi nhiều cách biểu đạt khác nhau Các nghiên cứu trước đây trong thể chế Việt Nam cho thấy rằng hàm số biểu đạt bằng công thức lấn áp các biểu đạt khác Tuy nhiên, trong bối cảnh thi THPT quốc gia năm 2017 với hình thức thi TNKQ cho thấy, hàm số có các cách biểu đạt khác ngoài cách biểu đạt bằng công thức và chúng xuất hiện nhiều hơn

Vấn đề này có thể làm thay đổi kỹ thuật để giải quyết các KNV liên quan đến hàm

số Vậy để phân tích các KNV một cách có hệ thống theo sự thay đổi các cách biểu đạt hàm số, cũng như sự thay đổi của một số yếu tố khác, chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của hai tác giả Hamid Chaachoua và Annie Bessot về khái niệm biến lý thuyết nhân học năm 2016

Theo nghiên cứu của hai tác giả Chaachoua và Bessot (2016) việc giới thiệu khái niệm biến trong mô hình tổ chức toán học là một phần kết nối với các lí do về sự xuất hiện của chúng trong lý thuyết tình huống

1.2.1 Lý do có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống (TSD)

Brousseau (1997a) cho rằng, một nền tảng của lý thuyết tình huống dạy học là

sự mô hình hoá một kiến thức bởi một tình huống

Các tình huống là các mô hình tối tiểu để nghiên cứu hành động của một cá nhân trong một môi Trường đối với một kiến thức nào đó (Bessot và Chaachoua, 2016)

Theo Brousseau (1997b), những mô hình này phải có biến thể và các biến

Với các phương tiện toán học và thực nghiệm, ta có thể tìm những giá trị của biến

cho phép xác định các điều kiện tối ưu cho việc truyền bá các kiến thức cụ thể Với các giá trị xác định của những biến này, tồn tại ít nhất một chiến lược tối ưu (“công sức” bỏ ra để thực hiện, sự ổn định của nó, công sức học tập nó,…) và một hay một

số kiến thức tương ứng Chúng tôi gọi biến nhận thức là một biến của tình huống

sao cho ta có thể thay đổi kiến thức tối ưu bằng cách thay đổi giá trị của biến Các

biến nhận thức nào mà giáo viên có thể thay đổi được gọi là các biến dạy học

Khái niệm biến xuất hiện đã giúp nhà nghiên cứu cấu trúc hóa các tình huống đặc trưng của một kiến thức hay một tri thức và kiểm soát được mô hình thông qua

“lý thuyết điều khiển học” Đồng thời, khái niệm biến xuất hiện như một công cụ trong tiến trình mô hình hóa, gắn với phân tích tiên nghiệm một tình huống cụ thể hay cơ bản Ngoài ra, nó còn cho phép dự kiến về những thứ có thể quản lý được về

sự thay đổi của một tình huống gắn với một tri thức hay một kiến thức nào đó Khi

dự kiến về sự thay đổi này tạo ra một lớp các vấn đề toán học, sau đó nhà nghiên cứu có thể thực hành cụ thể tri thức cần nhắm đến Từ đó, họ tạo ra một thực

nghiệm ứng với một kiến thức hay một tri thức (đồ án dạy học) Đồng thời, nó giúp

họ phân biệt những ý nghĩa khác nhau của cùng một tri thức bằng cách tạo tình huống khác nhau theo quan điểm Sư phạm Bên cạnh đó, sự dự kiến này còn giúp

họ nghiên cứu điều kiện tồn tại của một kiến thức trong một Trường học thực tế nào đó và nghiên cứu lý do của những khó khăn quan sát được

1.2.2 Khái niệm biến trong lý thuyết nhân học

1.2.2.1 Nguồn gốc của việc giới thiệu khái niệm biến trong lý thuyết nhân học

Khái niệm biến xuất hiện từ nghiên cứu của nhóm MeTAH (Trường đại học Grenoble Alpes, Pháp) Nhóm nghiên cứu đã sử dụng lý thuyết nhân học của Chevallard (1985) để nghiên cứu việc học tập của con người trong môi Trường tin học gọi tắt là EIAH Nhóm đã cho thấy việc cần thiết phải mô hình hóa các đối tượng tri thức tin học để trang bị hỗ trợ học tập trong môi Trường tin học Những điều cần thiết này đã dẫn họ đến việc phát triển khung tham chiếu T4TEL với T4 là

bộ tứ trong tổ chức tri thức [T// /  ] và TEL nghĩa là công cụ tin học hỗ trợ học tập (Chaachoua, Ferraton, Desmouslin, 2013; Chaachoua, 2015) Việc mô hình hóa các đối tượng đã đưa họ đi đến việc giới thiệu khái niệm biến nhằm hình thức hóa

và cấu trúc hóa các kiểu nhiệm vụ

1.2.2.2 Hình thức hóa hoạt động trong mô hình tổ chức hoạt động T4TEL

Theo Chevallard (1989) việc nghiên cứu số lượng các kỹ thuật của một KNV

T cho trước có giới hạn ở một cấp độ Trường học cụ thể Năm 1999, Chevallard cho rằng, một KNV T có thể có nhiều kỹ thuật i để giải thích được gọi là một tổ chức tri thức (TCTH) thời điểm Vì thế một TCTH thời điểm có thể gồm nhiều khối thực hành [T, i]

Theo nhóm MeTAH thì số TCTH thời điểm cơ sở bằng số kỹ thuật thực hiện KNV T Đồng thời nhóm đã đưa ra khái niệm KNV và KNV con trong T4TEL để xét những điều kiện và ràng buộc làm giảm phạm vi của các kỹ thuật trong một thể chế

Khái niệm KNV và KNV con trong T4TEL

Nhóm MeTAH định nghĩa KNV T là một tập hợp các nhiệm vụ sao cho :

(1)-Mọi nhiệm vụ được mô tả bởi một động từ hành động và những bổ nghĩa

cố định

(2)-Tồn tại một kỹ thuật  thực hiện ít nhất một nhiệm vụ của T

(3)-Nếu  là một kỹ thuật giải quyết được một nhiệm vụ t của T thì hoặc phạm

vi của kỹ thuật , kí hiệu P(), là một tập con của T, hoặc T là một tập con của P() T’ được gọi là một KNV con của T nếu T’ là một tập con của T và T’ là một KNV

Ví dụ: Trong chương trình Toán tiểu học, ta thấy xuất hiện KNV T0: “So sánh hai phân số”, gồm có các KNV con như sau:

a

T0 : “So sánh hai phân số khác mẫu

số”

Kỹ thuậta

- Quy đồng mẫu số của hai phân số

- So sánh tử số của hai phân số mới

Ví dụ: So sánh hai phân số

7

5 4

- So sánh hai mẫu của hai phân số

- Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số

đó bé hơn

Ví dụ: So sánh hai phân số

15

7 12

7

và

Mô tả các kỹ thuật trong T4TEL

Theo nhóm nghiên cứu, một kỹ thuật τ trong T4TEL được miêu tả bởi một tập hợp các KNV{(Ti)}i có thể ở hai dạng:

- Dạng 1, các KNVchỉ tồn tại thông qua việc thực hiện các kỹ thuật của một

số KNV khác, được gọi là các KNV bên trong

- Dạng 2, các KNV này được thể chế quy định đối với HS, được gọi là các KNV bên ngoài

Chẳng hạn, với KNV “ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số được cho

bởi công thức” Kĩ thuật có thể mô tả bằng tập hợp các KNV:

- Tìm tập xác định của hàm số

- Giải phương trình y’ = 0

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

1.2.3 Lý do cần có khái niệm biến trong T4TEL

Trong T4TEL, một KNV được định nghĩa bằng một động từ hành động và một bổ thể Động từ hành động đặc trưng cho loại nhiệm vụ như “Tính” hay

“Đếm” Bổ thể được định nghĩa theo các mức độ từ đặc biệt đến tổng quát

Ví dụ: KNV T “Tính tổng hai số” và KNV T1 “Tính tổng hai số nguyên có một chữ số” Ta thấy KNV T tổng quát hơn KNV T1

Theo nhóm nghiên cứu để tổ chức và cấu trúc các TCTH cần dựa vào phạm vi của các kỹ thuật Cụ thể như sau:

Cho T một KNV và  một kỹ thuật của T có phạm vi là P() Phân tích một tri thức cho phép đặt P() trong mối quan hệ với T :

- Nếu T nằm trong P() thì có thể tồn tại một KNV T’ tổng quát hơn T nhận 

làm một kỹ thuật

- Nếu P() nằm trong T thì có thể tồn tại một KNVT’’ đặc biệt hơn T nhận 

làm một kỹ thuật

Ví dụ: Ở đầu THCS của Pháp, có KNV T: Giải một phương trình bậc nhất với

hệ số nguyên và KNV T’: Giải phương trình bậc nhất với hệ số thực Ta thấy KNV

T đặc biệt hơn KNV T’ Hai KNV này dùng chung một kỹ thuật là chuyển vế và đổi dấu một hạng tử, sau đó nhân (chia) cả hai vế cho một số khác 0

Nhằm quản lí các mối quan hệ giữa các KNV có liên quan đến nhau, nhóm tác giả đã giới thiệu khái niệm biến và hệ sinh kiểu nhiệm vụ

1.2.4 Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến

Một hệ sinh KNV được định nghĩa bởi một kiểu nhiệm vụ và một danh sách các biến với các giá trị mà chúng có thể nhận (Chaachoua và Bessot, 2016)

Ví dụ, KNV T: “Tính tổng của hai số” định nghĩa một hệ sinh các KNV

GT = [Tính tổng hai số; V1, V2, V3] trong đó mỗi biến nhận các giá trị khác nhau Biến V1 là kiểu số nhận các giá trị gồm số tự nhiên, số nguyên, số thập phân Biến V2 là kích thước của số đầu tiên nếu nó nguyên và nhận giá trị là số lượng các chữ số

Biến V3 là kích thước của số thứ hai nếu nó nguyên và nhận giá trị là số lượng các chữ số

Nhận xét

+ Các giá trị của biến trong hệ sinh KNV đều nằm trong chương trình học + Mỗi giá trị khác nhau của biến sẽ sinh ra các KNV khác nhau và các KNV này cụ thể hơn KNV T

Theo các tác giả, khi đưa biến vào trong một TCTH có ba chức năng sau:

- Chức năng thứ nhất của biến là sinh ra các KNVcon bằng cách thay đổi giá

trị trên các biến này Chẳng hạn, khi thay đổi giá trị các biến ở ví dụ trên, ta có các KNV con sinh ra từ hệ sinh các KNV GT như sau:

+ T1: Tính tổng của hai số nguyên, điều này có nghĩa ta chỉ quan tâm biến V1

với giá trị số nguyên, không quan tâm đến 2 biến còn lại

+ T2: Tính tổng của một số nguyên có kích thước 1 và một số nguyên có kích thước 3, KNV này gồm đầy đủ cả 3 biến

Ta thấy rằng, KNV T1 và T2 là những KNV cụ thể và rõ ràng hơn KNV T

- Chức năng thứ hai của biến là cho phép đặc trưng hoá phạm vi của các kỹ

thuật

- Chức năng thứ ba của biến dùng để mô tả và kiểm tra tính hợp thức hay

không các TCTH cá nhân của HStrong một thể chế cụ thể

Các tác giả cũng nói rõ nhiệm vụ của từng chức năng như sau:

- Chức năng thứ nhất và thứ hai xuất hiện để thực hiện các phân tích tiên

nghiệm và quản lý tiến trình học tập bằng cách thay đổi các giá trị cho các biến

- Chức năng thứ ba xuất hiện dùng để bổ sung vào phân tích hậu nghiệm các

giá trị của biến dạy học từ các giá trị bổ sung của biến Các giá trị này có thể gợi lại khái niệm hợp đồng Sư phạm gắn với thành phần công nghệ của một TCTH

Ngoài việc nêu ba chức năng của biến, các tác giả cũng nhấn mạnh mục đích các giá trị của các biến trong hệ sinh của KNV nhằm phân biệt bộ ba quan điểm về biến: tri thức luận, thể chế và sư phạm Cụ thể là:

- Quan điểm tri thức luận: Việc thay đổi giá trị của biến dẫn đến sự thay đổi

của phạm vi kỹ thuật của một kiểu nhiệm vụ

- Quan điểm thể chế: Trong một thể chế sẽ xuất hiện rõ ràng hay ngầm ẩn các

ràng buộc và các điều kiện, không chỉ giới hạn các KNV mà còn giới hạn các giá trị của biến trong một KNV

Ví dụ: Lớp 1 ở Pháp, KNV T: “Tính tổng của hai số”, các số phải nguyên (V1)

và kích thước của hai số được giới hạn tới 30 (V2 và V3)

- Quan điểm dạy học: Một biến dạy học là một biến thể chế và có thể được

giáo viên quản trị Một biến dạy học trong một thể chế này có thể không phải là biến dạy học trong thể chế khác

1.2.5 Ví dụ một hệ sinh kiểu nhiệm vụ

Bessot và Chaachoua (2016) đưa ra ví dụ minh họa ở bậc trung học ở Pháp, nghiên cứu cấu trúc của các TCTH thời điểm gắn với KNV T: “Giải phương trình” bằng cách gắn T với một hệ các biến {V1, V2, V3, V4} Trong đó mỗi biến có thể có thể nhận các giá trị khác nhau

- Biến V1: Bậc của phương trình, xét 3 giá trị thích hợp theo hạn chế đầu tiên của thể chế: 0; 1; 2

- Biến V2: Số nghiệm của phương trình Biến này có thể nhận 4 giá trị : 0, 1, 2,

vô hạn

- Biến V3: Dạng đại số ở vế trái Biến này có thể nhận các giá trị 0; hằng số, hằng số khác 0, hằng số khác không dương, hằng số khác không âm, đa thức bậc 1, bình phương của đa thức bậc 1, tích của hai đa thức bậc 1, đa thức bậc 2, đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng 2

- Biến V4: Dạng đại số ở vế phải Biến này nhận cùng các giá trị như biến V3

Ta kí hiệu hệ sinh của KNV là GT = [Giải phương trình ; V1, V2, V3, V4] Theo chức năng thứ nhất của biến, việc chọn lựa các giá trị của một hay nhiều biến của GT tạo ra một tập hợp có cấu trúc về các KNV con Chẳng hạn, KNV con

T1 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4= 0) sinh ra

từ hệ sinh KNV GT và việc thiếu V2 nghĩa là mọi giá trị của V2 đều có thể

Chúng ta chú ý rằng không phải lúc nào ta cũng có thể xác định được một KNV con dựa vào tổ hợp các biến vì một số biến có thể nhận các giá trị phụ thuộc vào giá trị biến khác Chẳng hạn:

KNV con T1’= (Giải một phương trình; V1 = 1, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4 = 0) không thể xảy ra được

Nhóm nghiên cứu nhận thấy các giá trị của biến có thể được phân thành các cấp độ khác nhau Ví dụ: Với biến V3 từ ví dụ trên, ta có thể lập bảng phân cấp dạng cây từ các giá trị 0, hằng số, hằng số khác không, hằng số dương và hằng số

âm như sau:

Hình 1.1 Ví dụ một sơ đồ phân cấp về một tập con các giá trị của biến V 3

Nếu ta cố định các giá trị của những biến khác, từ cấu trúc phân cấp ở trên

tạo ra một hệ thống phân cấp các KNV liên quan Ví dụ: Khi cố định biến V1 = 2,

Tương tự, nếu xem xét hằng số như một đa thức bậc 0 và lập được một phân cấp dạng cây như sau:

Hình 1.2 Ví dụ về một sơ đồ phân cấp cho tập các giá trị của một biến V 3

Dựa vào sơ đồ phân cấp các giá trị của biến, ta thấy rằng một số KNV con phát sinh thêm có thể không tồn tại trong thể chế đang xét Nguyên nhân là do sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến Chẳng hạn, KNV con: P1(x)Q1(x) = k,

k ≠ 0 không bao giờ xuất hiện trong dạy học bậc trung học cơ sở Pháp (Chaachoua

và Bessot, 2016)

Trong quá trình nghiên cứu và thực nghiệm trên HS, họ thấy rằng sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến có thể gây ra những hậu quả trên TCTH cá nhân của HS Nhóm nghiên cứu đã làm rõ điều này trong phần tổ chức hoạt động

cá nhân

1.2.6 Tổ chức hoạt động cá nhân

Trong quá trình làm việc thì tổ chức tri thức của thể chế ít khi tương ứng với

tổ chức tri thức thực sự được học Đặc biệt, tồn tại các KNV cá nhân phân biệt với các KNV của thể chế và hệ quả là các TCTH cá nhân phân biệt với các TCTH của thể chế (Chaachoua và Bessot, 2016)

Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả cho thấy có hai khả năng xảy ra khi HSđối mặt với một KNV T như sau:

- Một là, HS thực hiện một kỹ thuật dựa vào một tổ chức toán học trong thể chế gắn với KNV T mà thể chế mong đợi

- Hai là, HS không tuân thủ mối quan hệ cá nhân với KNV T dẫn tới việc thực hiện một kỹ thuật hoặc hợp thức về mặt khoa học nhưng không thích hợp với thể chế hoặc không hợp thức về mặt khoa học

Trong một số trường hợp, khoảng cách giữa các kỹ thuật của HS và kỹ thuật mong đợi của thể chế có thể mô hình hóa như sau: đối mặt với một nhiệm vụ t, HS cảm nhận nó như một KNV khác với KNV của thể chế, thậm chí như không tồn tại trong thể chế (Bessot và Chaachoua, 2016)

Theo nhóm nghiên cứu một TCTH cá nhân gồm:

[KNV cá nhân, kỹ thuật cá nhân, công nghệ cá nhân, lí thuyết cá nhân]

Kiểu nhiệm vụ cá nhân là tập hợp các nhiệm vụ mà HS cảm thấy chúng tương

tự nhau và ta có thể quan sát thấy điều này thông qua kỹ thuật mà HS sử dụng để giải quyết nó Hai kiểu nhiệm vụ cá nhân gọi là phân biệt nhau nếu các kỹ thuật cá nhân tương ứng cũng phân biệt nhau Nhóm nghiên cứu đặc trưng hóa sự phân chia các KNV cá nhân bằng các giá trị của biến và chúng có thể không thích hợp từ quan điểm thể chế

Một kỹ thuật cá nhân cho phép giải quyết một kiểu nhiệm vụ cá nhân duy nhất: nó có thể đúng với sự mong đợi của thể chế, sai khi không được sự mong đợi trong thể chế Theo nhóm nghiên cứu, kỹ thuật cá nhân dùng để giải quyết KNV cá nhân cần phải ổn định trong một khoảng thời gian, họ không chọn những cách giải quyết sai lầm bất chợt ở HS

Nhóm nghiên cứu đặt giả thuyết tồn tại ngầm ẩn hay tường minh một công nghệ cá nhân Đây là một vấn đề quan trọng vì nó không chỉ giúp nhà nghiên cứu giải thích nguồn gốc của các kỹ thuật cá nhân trong các điều kiện và ràng buộc của thể chế mà còn trong đời sống và học tập của HS Một công nghệ cá nhân hay thể chế không chỉ giới hạn ở các định lý hay các quy tắc toán học mà có thể là một phát biểu cho phép giải thích, làm hiểu được hoặc kiểm soát được để phù hợp với một

kỹ thuật Nó có thể được tạo ra từ nhiều thành phần, có khi dựa trên toán học, các quy tắc hành động dạy học,

Lí thuyết cá nhân giải thích cho công nghệ cá nhân Điều này giống với mô hình TCTH của thể chế

Ví dụ, xét một nhiệm vụ “giải phương trình 2

x  x  ” liên quan đến hệ sinh KNV GT = [Giải một phương trình; V1, V2, V3, V4]

Bảng 1.1 Lời giải và phân tích KNV “giải phương trình 2

x  x  ” Lời giải mong đợi của giáo viên Lời giải của một HS lớp 10

Nhận xét lời giải của HS:

Ở bước 2, HS đứng trước một KNV ngoài thể chế “giải phương trình

4 )

4

(x  

x ” nhưng HS vẫn cứ giải theo cách giải phương trình P 1 (x)Q 1 (x)=0 HS

đã tự mình đồng hóa một kỹ thuật đã học trong thể chế “giải phương trình bậc 1

dạng R 1 (x) = 0” vào KNV ngoài thể chế “P 1 (x)R 1 (x)= k, k ≠ 0”

Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả đã tìm lý do HS giải như vậy là do sự không hoàn thiện của các TCTH được dạy

Giải thích nguyên nhân về lời giải của HS:

Từ bước 2, giải phương trình x(x + 4) = –4, ta có thể tìm ra các giá trị của các

biến đã được chọn như sau:

V1 chọn phương trình bậc 2; V2 chọn số nghiệm của phương trình là 2; V3 dạng đại

số của vế trái chọn tích của hai đa thức bậc 1; V4 dạng đại số của vế phải chọn hằng

số khác 0 Chính vì sự phối hợp các giá trị của biến V3 và V4 như vậy nên đã cho

phép tính đến TCTH cá nhân của KNV (Giải phương trình P 1 (x)Q 1 (x)=k, k ≠ 0)

Đây là một KNV có thể xem như đã phát sinh từ GT và được mô hình hóa bằng

T0 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1,

V4 = hằng số khác không) Với giá trị là hằng số khác 0 của biến V4, các tác giả đã đưa ra bộ tứ trong TCTH cá nhân của HSnày theo mô hình T4TEL như sau:

T = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4 = hằng số khác không)

 = {(Áp dụng quy tắc R); (Giải một phương trình bậc nhất)}

 = (R: “Nếu P 1 (x)Q 1 (x)=k thì P 1 (x) = k hay Q 1 (x) = k ”; các yếu tố công nghệ

của kỹ thuật giải phương trình bậc nhất)

Theo nhóm nghiên cứu, quy tắc R có nghĩa là quy tắc hành động của HS khi viết

“P1(x) = k hay Q1(x) = k” nằm ngoài phạm vi hợp thức trường hợp P 1 (x)Q 1 (x) = 0

(Bessot và Chaachoua, 2016)

Tóm lại

Thông qua những khái niệm và phân tích, nhóm nghiên cứu đã chứng tỏ sự hợp lý và cho thấy nhiều hữu ích khi giới thiệu khái niệm biến gắn kết với định nghĩa hệ sinh KNV nhằm thể hiện mô hình TCTH thành mô hình quản trị được trong T4TEL Việc cấu trúc các giá trị của biến là một trong những điểm mạnh của

sự thể hiện này Hay nói cách khác, sự cấu trúc các TCTH dựa trên sự quản trị được của mô hình

Đặc biệt, trong mô hình T4TEL, các giá trị của cùng một biến có thể giúp các nhà nghiên cứu xác định các đặc trưng của:

- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế

- Khả năng lựa chọn các KNV của giáo viên để thực hiện nghiên cứu

- Các TCTH cá nhân dựa trên các giá trị không phù hợp với thể chế

Chính những đặc trưng này nên một số công trình nghiên cứu sử dụng khái niệm biến của nhóm đã xuất hiện:

+ Nghiên cứu về các TCTH cá nhân của HS trong phân môn đại số (Croset, 2009)

+ Nghiên cứu về các TCTH biểu diễn phối cảnh của hình học không gian (Tang, 2014)

+ Sử dụng khái niệm biến để tạo ra và cấu trúc một mô hình tri thức luận tham chiếu của biểu diễn phối cảnh

+ Nathalie Brasset đã dựa vào hệ sinh KNV và khái niệm biến để soạn thảo một tiến trình học tập về phép đếm ở Trường tiểu học (Brasset 2017)

1.3 Hệ sai lầm và thuật ngữ “quan niệm”

1.3.1 Thuật ngữ “quan niệm”

Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của HS trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học Mô hình này cho phép:

- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lí được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán;

- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế được HSxây dựng

G Brousseau định nghĩa quan niệm là:

Một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình

huống khác mà trong đó quan niệm dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu

trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi (Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Bessot, A., & Comiti, C., 2009, tr 91) Việc nghiên cứu quan niệm có thể được hình thành từ hai sự tiếp cận sau:

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của HS

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

Ví dụ, một số công trình nghiên cứu đã chỉ ra sự tồn tại quan niệm coi số thập

phân như một cặp số nguyên ở HS trung học Chẳng hạn: 1,2 + 5,9 = 6,11; (0,3)2 = 0,9; 12,8 < 12,14 vì 14 > 8

1.3.2 Hệ sai lầm

Học thuyết về hành vi xem sai lầm là sự phản ánh của sự thiếu hiểu biết hay

sự bất cẩn, vô ý mà thôi Trong khi đó, học thuyết kiến tạo lại xem sai lầm và sự nhận ra sai lầm có vai trò quan trọng trong việc xây dựng hoạt động nhận thức ( Lê Thị Hoài Châu et al., 2009)

Brousseau cũng nhấn mạnh đến tầm quan trọng của sai lầm như sau:

Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra ( ), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại

thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai lầm hoặc đơn giản là không còn thích

hợp nữa Những sai lầm thuộc này không phải thất thường hay không dự đoán được Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động của giáo viên cũng như

hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được (Lê Thị Hoài Châu et al., 2009, tr 57)

1.4 Kết luận

Nhóm nghiên cứu đã chỉ ra những lợi ích của khi giới thiệu khái niệm biến vào tổ chức toán học Khi thay đổi các giá trị của biến giúp cho nhà nghiên cứu trong việc phân tích tiên nghiệm trước khi HS đối mặt với các nhiệm vụ thuộc hệ sinh đang xét Bên cạnh đó, khi ta thay đổi các giá trị của biến và sắp xếp thứ tự xuất hiện của các KNV trong dạy học cũng cho phép nhà nghiên cứu quản lý được tiến trình học tập của HS Ngoài ra, khái niệm biến còn thể hiện khi phân tích hậu

nghiệm, nó cho phép giải thích những kỹ thuật cá nhân của HS khi đối mặt với KNV con nào đó sinh ra từ hệ sinh KNV mà chưa được thể chế nghiên cứu

Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tôi sử dụng hệ thống biểu đạt để tìm hiểu hệ thống biểu đạt của hàm số thông qua các công trình nghiên cứu có liên quan Ngoài ra, chúng tôi sử dụng khái niệm biến gắn với khái niệm hệ sinh KNV

để mô hình một TCTH thành một mô hình quản lý được từ một KNV mới, liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó trong đề thi của kì thi THPT Quốc gia năm 2017

Chương 2 MÔ HÌNH HOÁ TỔ CHỨC TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp những kết quả nghiên cứu về chương trình SGK hiện hành liên quan đến hệ thống biểu đạt của hàm số Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn với khái niệm biến và hệ sinh KNV như đã trình bày trong chương 1 Mục đích của chương này nhằm trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1: Giới hạn trên mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của

nó, những KNV nào ta có thể mô hình hóa từ các nhiệm vụ cụ thể xuất hiện trong

đề thi của kì thi THPT quốc gia năm 2017? Những kỹ thuật nào cho phép ta giải quyết các KNV này? Và những công nghệ nào tương ứng với các kỹ thuật mà ta có thể tìm thấy trong các SGK hiện hành?

Trước đây, với hình thức thi tự luận thì bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị luôn xuất hiện trong các kì thi THPT quốc gia và thi Cao đẳng - Đại học Tuy nhiên, trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017, BGD&ĐT đã chuyển hình thức thi từ

tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan, trong đó câu hỏi liên quan đến phần hàm

số chiếm khoảng 22% Hầu hết các câu hỏi trong phần hàm số là những dạng câu hỏi mới được lấy từ bài toán KSHS Để kiểm soát được các câu hỏi mới này, chúng tôi cần phải sử dụng đến lý thuyết về sự gắn kết khái niệm biến với hệ sinh KNV trong TCTH đã trình bày ở chương 1 Việc gắn kết này giúp chúng tôi mô hình TCTH thành mô hình quản trị được Chính vì lợi ích này nên chúng tôi quyết định

sử dụng lý thuyết này để trả lời cho câu hỏi Q1 Do điều kiện không cho phép nên chúng tôi chỉ mô hình hóa một KNV trong số những KNV liên quan đến mối quan

hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó

Để tổng hợp về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số, chúng tôi tham khảo kết quả một số luận văn sau:

- “Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp 12” của Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012)

- “Hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học phổ thông” của Phạm Thị Thanh (2016)

- “Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan” của Lê Thị Bích Siêng (2017)

2.1 Các nghiên cứu liên quan đến hệ thống biểu đạt hàm số

Trong luận văn Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), tác giả đã cho thấy rằng, một hàm số có thể được biểu đạt dưới ít nhất 4 hình thức sau: đại số (công thức hay biểu thức giải tích), lời, hình học, bảng số Mỗi hệ thống biểu đạt có những tầm quan trọng khác nhau Kết quả nghiên cứu của tác giả về sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt cho thấy, hàm số chủ yếu biến đổi từ công thức sang đồ thị ở chương trình toán phổ thông

Chúng tôi còn nhận thấy ngoài 4 cách diễn đạt trên, trong luận văn Lê Thị Bích Siêng (2017) cho thấy có cách biểu đạt khác của hàm số là bằng bảng biến thiên trong dạy học ở Việt Nam Bên cạnh đó, tác giả còn chỉ ra biểu đạt của hàm

số xuất hiện trong những câu hỏi TNKQ liên quan đến KNV con của bài toán KSHS có trong SGKCB12 chủ yếu là công thức

Bảng 2.1 Bảng dự đoán KNV con của bài toán KSHS trong SGKCB 12

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Công thức

Tìm các khoảng biến thiên của hàm số Công thức

Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) Công thức

Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên (a;b) Công thức

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn Công thức

Theo nghiên cứu của Phạm Thị Thanh cho thấy rằng “SGK Việt Nam đề cập

đến mối liên hệ theo chiều từ f’ đến f trên những hàm số được cho bằng biểu thức

đại số, không có mối liên hệ này nhìn từ đồ thị” (2016, tr 45)

Với những ghi nhận trên của các tác giả, chúng tôi nhận thấy rằng biểu đạt hàm số bằng công thức chiếm ưu thế hơn so với các biểu đạt khác trong SGK hiện hành Hiện nay, hình thức thi đã thay đổi nhưng SGK vẫn như cũ, vậy những hệ

thống biểu đạt nào của hàm số có thể xuất hiện trong đề thi TNKQ của kì thi THPT quốc gia năm 2017?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi sẽ đi phân tích các câu hỏi trong đề thi THPT quốc gia năm 2017

2.2 Mô hình hóa hệ sinh kiểu nhiệm vụ từ kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện trong

kì thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017

Để trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi mô hình các nhiệm vụ đáng quan tâm xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia năm 2017 dưới dạng trắc nghiệm với 4 sự lựa chọn (A, B, C, D) thành các nhiệm vụ ở dạng “tự luận” bằng cách bỏ 4 đáp án Khi phân tích chúng tôi có thể dựa vào SGK hiện hành để chỉ ra các kỹ thuật và các yếu

tố công nghệ liên quan Chúng tôi sẽ dùng lý thuyết khái niệm biến trong tổ chức toán học để có thể từ một KNV mô hình hóa một TCTH liên quan đến đồ thị hàm

số và đạo hàm của nó Do giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ nghiên cứu TCTH thời điểm của KNV T “Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với hàm số

y=f(x) khả vi trên R cho trước” xuất phát từ câu 14-mã đề 102 trong đề thi Toán

THPT năm 2017

Câu 14- mã đề 102 (Trích từ bộ đề thi tốt nghiệp THPT 2017)

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c với a,b,c là các

số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình y’=0 có ba nghiệm thực phân biệt

B Phương trình y’=0 có hai nghiệm thực phân biệt

C Phương trình y’=0 vô nghiệm trên tập số thực

D Phương trình y’=0 có đúng một nghiệm thực

Theo khái niệm hệ sinh của KNV đã được trình bày ở chương 1, chúng tôi gắn T với một hệ các biến V1,V2 Trong đó mỗi biến có các giá trị khác nhau Biến V1: Cách biểu đạt hàm số y=f(x) với các giá trị: bằng công thức, bằng

lời, bằng đồ thị, bằng bảng biến thiên và bằng cách phối hợp các cách biểu đạt hàm

số khác nhau

Biến V2: Dạng hàm số Giá trị của biến này rất đa dạng Dựa vào các ràng buộc của thể chế, chúng tôi phân thành các nhóm giá trị

- Nhóm 1: Những hàm số được khảo sát trong thể chế toán học bậc trung học

Từ đó, chúng tôi kí hiệu hệ sinh của KNV T là

GT = [Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với hàm số y=f(x) khả vi trên R

cho trước; V1, V2]

Để tạo ra một hệ thống phân cấp các KNV liên quan, chúng tôi dựa vào thứ tự phân cấp các giá trị của biến và cố định giá trị của những biến khác Chẳng hạn, chúng tôi có thể lập bảng phân cấp cho giá trị nhóm 1 (hàm đa thức) trong biến V2

Hàm bậc ba

Hàm bậc bốn trùng phương

Hàm

d cx

b ax





Hàm

lỹ thừa

Khi chúng tôi chọn cố định giá trị của biến V1 là biểu đạt hàm số bằng đồ thị

và chọn ra 1 giá trị của biến V2 từ bảng phân cấp trên thì chúng tôi sẽ có hệ thống phân cấp các kiều nhiệm vụ liên quan với nhau như bảng dưới đây:

KNV T1.0 = (Xác định số nghiệm của phương trình y’ = 0, V1 = bằng đồ thị,

V2 = hàm đa thức giới hạn trong chương trình)

KNV T1.0.1 = (Xác định số nghiệm của phương trình y’ = 0, V1 = bằng đồ thị,

Bảng 2.2 Bảng dự đoán các KNV khi thay đổi giá trị của các biến V 1 , V 2

Biến V 1 Biến V 2 Kiểu nhiệm vụ

Công

thức

Nhóm 1 Tcongthuc = (Xác định số nghiệm của phương trình y’ = 0,

V1 = bằng công thức, V2 = hàm bậc 3) Nhóm 2 T’congthuc = (Xác định số nghiệm của phương trình y’ = 0,

V1 = bằng công thức, V2 = hàm đa thức nằm ngoài chương

V1 = bằng đồ thị, V2 = hàm số bậc 5 )

Lời

Nhóm 1 Tloi = (Xác định số nghiệm của phương trình y’= 0,

V1 = bằng lời, V2 = hàm bậc 4 trùng phương)