Phương trình bậc nhất với sin cosin và phương trình lượng giác khác

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì nhận... đáp số khác..[r]

PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN



1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2  c2

sin xcosx 1 0 B sin 2xcosx 0

C 2cosx3sinx 1 D 2cosx3sin 3x  1

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:

A 2cosx  3 0 B 3sin 2x  10  0

C cos2 xcosx  6 0 D 3sinx4cosx5

Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A sin 1

3

x  B 3 sinxcosx  3

C 3 sin 2xcos 2x 2 D 3sinx4cosx 5

Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

cos

3

x  B 3 sinxcosx  1

C 3 sin 2xcos 2x 2 D 3sinx4cosx 6

Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

C 3 sin 2xcos 2x2 D 3sinx4cosx 5

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

sin

4

x  B 3 sinxcosx  1

C 3 sin 2xcos 2x4 D 3sinx4cosx 5

Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2xcos 2x 2 B 3sinx4cosx 5

C sin cos

4

D 3 sinxcosx  3

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A sinxcosx3 B cosx3sinx 1

C 3 sin 2xcos 2x 2 D 2sinx3cosx1

Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:

A sinx2cosx 3 B 2 sinxcosx 2

C 2 sinxcosx  1 D 3 sinxcosx 3

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

A sinxcosx 3 B 2 sinxcosx 1

C 2 sinxcosx  1 D 3 sinxcosx 2

Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A 3 sinx  2 B 1cos 4 1

4 x 2

C 2sinx3cosx1 D cot2xcotx  5 0

Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?

A cos3x 3 sin 3x 2 B cos3x 3 sin 3x  2

Câu 22: Phương trình  3 1 sin  x 3 1 cos  x 3 1 0  có các nghiệm là

A

24

26

,23

,29

,212

,24

x  k  k

B 5

,6





  

 D  2 m 2

Câu 30: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm là : 5

4

m m

Câu 44: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm là : 5

C Không có giá trị nào củam D m  3

Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2x m sin 2x2m vô nghiệm

m m

m m

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos2x13

,7

sin 2xcos 2x s in4x

Phương trình đề bàisin 2xcos 2x1 Suy ra:  2

sin 2xcos 2x 1 sin 4x0 (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 2: Phương trình sin3x4sin cos 2x x có các nghiệm là: 0

2sinxcosx 1 cos x sin x là:

C

2

,2

26

x x

2

x x

sin 2x cotxtan 2x 4cos x

sin xcos x2 sin xcos x

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2

2cos xcosxsinxsin 2xlà?

Câu 26: Phương trình sin 3x4sin cos 2x x0 có các nghiệm là:

Câu 34: Phương trình sin sin 2 sin 3 3

cos cos 2 cos 3

26

26

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP

Câu 1: Giải phương trình  2

tanxcotx tanxcotx2

4cos xcot x 6 2 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x

thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

4cos x cot x  6 2 3 2cosx cotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

A 3 B 2 C 1 D đáp số khác Câu 5: Phương trình: sin 3xcosx2sin 3xcos3x1 sin x2cos3x0 có nghiệm là:

5

34

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0.

2

x t



Ghi chú:

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2  c2

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x

A sin2xcosx 1 0 B sin 2xcosx 0

C 2cosx3sinx 1 D 2cosx3sin 3x  1

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình asinxbcosx c  1 trong đó a b c , , và a2b2 0 được gọi là phương trình bậc

nhất đối với sin , cosx x

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:

A 2cosx  3 0 B 3sin 2x  10  0

C cos2 xcosx  6 0 D 3sinx4cosx5

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Câu D: 3sinx4cosx5, đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x

Phương trình trên có nghiệm vì 2 2 2

3 4 25 5 Câu A: 2cosx  3 0 cos 3 1

Câu A có nghiệm vì 1

1

3 Câu B có nghiệm vì 2 2  2

3 1 4 1

a b      Câu C có nghiệm vì 2 2  2

3 1 4 2

a b     Câu D vô nghiệm vì 2 2 2 2 2

3 4 25 6

a b    

Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

C 3 sin 2xcos 2x2 D 3sinx4cosx 5

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu A vô nghiệm vì a2b222  12 5 32

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

3 1 4 1

a b      Câu C vô nghiệm vì 2 2  2

3 1 4 4

a b     Câu D có nghiệm vì a2b2  32 42 2552

Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

3  nên phương trình vô nghiệm

Phương trình 1cos 4 1 cos 4 2

4 x 2 x nên phương trình vô nghiệm

Phương trình 2sinx3cosx có 1 2 3

2 +3 >1 nên phương trình có nghiệm

  nên phương trình vô nghiệm

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2xcos 2x 2 B 3sinx4cosx 5

Ta có:  2  2  2

3  1   4 3 nên phương trình 3 sinxcosx  vô nghiệm 3

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A sinxcosx3 B cosx3sinx 1

C 3 sin 2xcos 2x 2 D 2sinx3cosx1

2s inx3cosx  x x  1 nên phương trình có nghiệm

Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:

A sinx2cosx 3 B 2 sinxcosx 2

C 2 sinxcosx  1 D 3 sinxcosx 3

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

A sinxcosx 3 B 2 sinxcosx 1

C 2 sinxcosx  1 D 3 sinxcosx 2

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lần lượt thử các đáp án

sinxcosx 3 vô nghiệm vì 12 12 32 nên chọn đáp án A

Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

Câu D: cot2xcotx  vô nghiệm do 5 0   190

Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?

A cos3x 3 sin 3x 2 B cos3x 3 sin 3x  2

Phương trình ở đáp án C có dạng sin x m với 3,14 1

m   nên phương trình này vô nghiệm

Câu 14:Nghiệm của phương trình cosxsinx là: 1

sinx 3 cosx 2 1sin 3cos 2 cos sin sin cos sin

,23

,29

,212

x  k  k

B 5

,6

cos (L)cos

133

x

x x

Câu 32: Cho phương trình:  2  2

Cách 1 (Chuyển PT về dạng asinx b cosx  ) c

Áp dụng công thức hạ bậc cho cos x2 , PT trở thành  2   2 

Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG)

Ta có cosx  không là nghiệm PT Chia hai vế PT cho 0 cos x2 ta được

Phương trình mcos 2xsin 2x m 2 có nghiệm 2 2  2

33

m

m m

Vậy không có giá trị m thỏa ycbt

Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2x m sin 2x2m vô nghiệm

m m

m m

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos2x13

A Vô nghiệm B xk,k

C x  k2 , k D xk2 , k

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Lưu ý đối với câu này ta có thể dùng phương pháp thử phương án

Ta có 5sin 2x6cos2x135sin 2x3cos 2x16(vô nghiệm) do 52 ( 3)2 162

Câu 2: Phương trình sinxcosx 2 sin 5x có nghiệm là

3 cos sin

8cos 4sin 2 cos 3 cos sin

1

sin 22

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)

Kiểm tra giá trị

x của đáp án C đều không thỏa

phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không

thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị

12





x của đáp án B thỏa phương trình

Câu 7: Phương trình sin 4xcos7x 3(sin 7xcos4 )x  0có nghiệm là

k x

Câu 11: Phương trình 2 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là:

,5

,7

,3

sin 2xcos 2x s in4x

Phương trình đề bàisin 2xcos 2x1 Suy ra:  2

sin 2xcos 2x 1 sin 4x0 (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 2: Phương trình sin3x4sin cos 2x x có các nghiệm là: 0

sin 3 0

31

cos 2

32

    : vô nghiệm với mọi k, l 

(Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác để thấy các nghiệm này không trùng nhau.)

l  Suy ra: l 1; 2;3; ;7 Có 7 giá trị l nên có 7 nghiệm

Vậy số nghiệm của phương trình là 20 7  7 34

2sinxcosx 1 cos x sin x là:

2sinxcosx 1 cos x sin x 2sinxcosx 1 cos x  1 cosx 1 cos x

1 cos 2sin 1 0 cos 11

Câu 8: Giải phương trình sin 22 xcos 32 x1

,5

cos3x cos 2xcos3x cos 2x 0

4cosx 2cos 2x 2cos 2x

   2cosxcos 2 cos 2x x1

2

2cosx cos 2 2cosx x

  cosx1 cos 2 cos x x0

5

6sin

x x

2

x x

Ta có: sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

sin3x cos 2x 1 sin 3x sinx

sin 2x cotxtan 2x 4cos x

x

1cos 0 cos 2

Ta có: cos3xsin3xcos 2x cosxsinx1 sin cos x x  cosxsinxcosxsinx

cosx sinxsin cosx x sinx cosx 1 0

      cosxsinxsinx1 cos x  1 0

x x x

Điều kiện: cosx 0

Ta có: 1 sin xcosxtanx0 1 sin cos sin 0

x x

x

k 

Câu 16: Phương trình 2sinxcotx 1 2sin 2x tương đương với phương trình

sin xcos x2 sin xcos x

cos cos 2 0

cos 2

in 3 01

 2   2 2

2

cos 1cos 1

2 cos 1 1 2 1

33

1 1

x x

1 cos (1 sin ) 0 cos sin 0 1 tan 0

sin 1 2cos cos 1 2cos 0

 x  x  x  x  sinxcosx1 2cos x0

tan 1sin cos

42

1

cos

23

cos 2 cos 4 cos 2 0

 x x x  2cos3 cos 2 cosx x x0

6 3cos 3 0

cos 2 0

4 2cos 0

2cos xcosxsinxsin 2xcosx 2cosx 1 sinx 2cosx 1 0

2cos 1 cos sin  0

Câu 26: Phương trình sin 3x4sin cos 2x x0 có các nghiệm là:

Phương trình  2cot 2x3cot 3xtan 2x2 cot 2 xcot 3xtan 2xcot 3x

2 sin 3 cos 2 cos 3 sin 2 sin 2 sin 3 cos 3 cos 2

sin 3 sin 2 cos 2 sin 3

4 cos sin 4sin cos sin 4

4sin cos cos sin sin 4

k x

CÁCH KHÁC:

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)

Kiểm tra giá trị

x của đáp án D đều không thỏa

phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không

thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị

2cos4 sin 2 2sin 2 0

  x x x 2sin 2 cos22 x xsin 22 x0

21

cos 2

32

x

23

23

A

24

cos sin cos sin cos 2

 x x x x  x cos 2 cosx  xsinxcos 2x0

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

cos6 cos8 cos10 cos12

 x x x x2cos7 cosx x2cos11 cosxx

cos cos11 cos 7 0

 x x x   2cos sin 9 sin 2 xx x 0

Câu 34: Phương trình sin sin 2 sin 3 3

cos cos 2 cos 3

cos 2 0 4 2

2

2 cos 1 0

23

2sin 2 cos sin 2 3 2cos 2 cos cos 2

 x x x x x x sin 2x2cosx 1 3 cos 2x2cosx1

2 sin tan tan

 x x  x4sin2x tan2xtan2x

7

26

2cos 4 1

267

2 ,6

4sin 1 2sin 2sin 2 1

 x  x x 2sin2x8sin2xcos2x0

Do điều kiện nên

Ta có: sin 3x3sinx4sin3x; cos3x4cos3x3cosx

Phương trình tương đương:

 

1

sin 2 2sin 2 1

1 sin cos 0 2

24

44

5sinusin 3u 4 2cos 2u 3 2

4sin u 4sin u 2sinu 2 0

26

k k x

sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x x

cos2 2

sin x.cos 2x cos x.cos 2x x

2 2 2

cos 2 0cos 2 cos 2

44

cos 2 cos 2 sin 2

sin 2 1 3sin cos

4 2sin 2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP

Câu 1: Giải phương trình  2

tanxcotx tanxcotx2

2

tanxcotx  1 tan xtanx 1 0 (vô nghiệm)

+ Với t  Suy ra: 2

2cos 0

cos 1

x

x x

4cos xcot x 6 2 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc

4cos x cot x  6 2 3 2cosx cotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

Dấu " xảy ra " sin 4 1 4 2 2 8 2

Nên phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 6: Giải phương trình 4 2

5

34

1

23

cos

x

k x