Bất đẳng thức (Chuyên đề Bồi dưỡng HSG) - Tài liệu Toán 9

§èi víi häc sinh THCS th× viÖc sö dông ph¬ng ph¸p nµy lµ kh¸ míi v× kiÕn thøc c¬ b¶n cña phÇn lîng gi¸c.. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/..[r]

a a

2 1

o Bất đẳng thức Bunhiacopski:

   2 2  11 2 2

2

2 1 2

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng.

2

1 1 4

( , 0)1

2 ( 0)

( , 0)( )

III – Các bất đẳng thức trong tam giác Các bất đẳng thức trong tam giác

IV – Các bất đẳng thức trong tam giác Các hàm l ợng giác thông dụng

V – Các bất đẳng thức trong tam giác Các tính chất cơ bản

Tính chất 1: a > b <=> b < a

Tính chất 2: a > b và b > c => a > c

Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c

Hệ quả : a > b <=> a - c > b – Các bất đẳng thức trong tam giác c

a + c > b <=> a > b – Các bất đẳng thức trong tam giác c

VI – Các bất đẳng thức trong tam giác Các hằng đẳng thức đáng nhớ

VII – Các bất đẳng thức trong tam giác Các kiến thức về toạ độ vec tơ

VIII – Các bất đẳng thức trong tam giác Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức:

Dạng 1 – Các bất đẳng thức trong tam giác Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi t ơng đơng

Dạng 2 – Các bất đẳng thức trong tam giác Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ Dạng 3 – Các bất đẳng thức trong tam giác Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy

Dạng 4 – Các bất đẳng thức trong tam giác Chứng minh bằng phản chứng

Dạng 5 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp lợng giác

Dạng 6 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp chứng minh qui nạp

Dạng 7 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau Dạng 8 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai

Dạng 9 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác

Dạng 11 – Các bất đẳng thức trong tam giácPh ơng pháp đổi biến số

Dạng 12 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)

Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng

Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:

 Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó ( 0; 0; 0; 0 )   

 Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh

 Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó

 Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để đợc điều phải chứng minh.

c a b ab b a c b a abc

b a ca cb ab c abc

b a c b c a abc

Bµi 1: Cho a + b = 2 Chøng minh r»ng: a4  b4  2

Bµi 2:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã:

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :

3 3

2

d c b a a d

d d c

c c b

b b

a

a

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

Dạng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ

Đây là phơng pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp Ngoài

ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.

3(

3 3

DÊu “=” x¶y ra khi x=y=z

b c ab

a

Dạng 3 – Các bất đẳng thức trong tam giác sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đây là phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để

có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho 3 số dơng a,b,c chứng minh rằng:

1 2 abcd abcd (1 abcd)

1 abcd 4 abcd

1 3 abcd

1abcd

Dạng 4 – Các bất đẳng thức trong tam giác Chứng minh bằng phản chứng

Đây là phơng pháp chứng minh BĐT dựa vào các phơng pháp chứng minh phản chứng trong Toán học Để chứng minh mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh đề A sai

và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để kết luận A

là đúng Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B sai, tức

là A B đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều mâu

thuẩn từ giả thiết Kết luận A B đúng Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc

là những điều trái ngợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:

 Dùng mệnh đề đảo.

 Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.

 Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.

 Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau.

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho a,b,c,d R và a b 2cd 

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng

Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng

Ví dụ 2: Cho 3 số dơng a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai

Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể chọn đợc

3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab

Giải

Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a 1 a2  a 6 108

Rõ ràng a2 2; a3  Với 3 số x,y,z thoã mãn 3 1 x y z  

Ta luôn có x<yz và y<xz Nếu trong các số a1, a2 ,…, a, a6 không có 3 số nào thoã mãn a<b<c và c<ab thì có a4  a a2 3  6,

Trái với giả thiết a6 <108 Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab

Ví dụ 4: Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:

a b c 0 (1)ab+bc+ca>0 (2)abc>0 (3)

Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là a 0

mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán Ta có:

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy 3 sô a,b,c đều là số dơng

Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên

Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau

Dạng 5 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp lợng giác

Đây là một trờng hợp đặc biệt của phơng pháp đổi biến số Đối với học sinh THCS thì việc sử dụng phơng pháp này là khá mới vì kiến thức cơ bản của phần lợng giác

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

cha đợc nghiên cứu sâu Cho nên ở phơng pháp này tôi xin trình bày một số kiến thức lý thuyết và các dạng phơng pháp một cách chi tiết hơn

có thể đổi biến lợng giác một cách chính xác

sin x

sin a x

; 0

 Nếu |x|  m hoặc bài toán có chứa biểu thức x  2 m 2

thì đặt x =

 cos

; 0

, 2

 Nếu x  R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với   

, 2

Ví dụ 1: Cho a,b,c,d R Với a c 1 d  2 Và b d 1 c  2

Và b d 1 c 2 cos 1 cosb  2a cos sinb a

a b cos sin cos sin

2

2 2

sin

1 x

cos(cos sin )sina 2sin cos cosa

cos sin cos2 sina sin2 cosa

aa

§Æt a=cos víi [0,]       ; 1  a  sin 

2 cos 2 a 1

; 2 sin 2 a

(1)

2

cos 2 sin 2 2 2 2 2

sin 2 cos 2 2 2

cos 2 sin 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

cos 2

sin 2

cos 2

5    9 a  1

Bµi 6:

) a 1 )(

c 1 (

| a c

| )

c 1 )(

b 1 (

| c b

| )

b 1 )(

a 1 (

| b a

|

2 2

2 2

Chứng minh rằng: 21

) b 1 )(

a 1 (

) ab 1 )(

b a (

Dạng 6 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp chứng minh qui nạp

Phơng pháp qui nạp thờng sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dơng n Ta thực hiện các bớc sau:

 Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.

 Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dơng k bất kỳ

Điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2

Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n  1 số thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng Thế thì nói riêng ta có:

1 2 1

Dạng 7 - Phơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau

Đây là phơng pháp đặc trng cho học sinh THCS vì phơng pháp này áp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã đợc học ở lớp 7 Các tính chất đặc biệt thờng gặp trong loại này ta cần lu ý nh:

Ví dụ 2: Cho a,b,c,d là các số dơng, chứng minh rằng:

Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d =1000

tìm giá trị lớn nhất của

d

b c

a

 Bài 3:

cd ab







2 2

Dạng 8 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai

Nếu   0 thì a.f x  0 với x  x1 hoặc x  x2 (x 2 x1)

Ví dụ 3:  x y R ,  , chứng mih bất đẳng thức sau:

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Dạng 9 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Đây là phơng pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu trong Toán học

b

d c

d c a

 (a-c)(b-d) > cd

 ab – Các bất đẳng thức trong tam giác ad – Các bất đẳng thức trong tam giác bc + cd > cd

 ab > ad + bc ®iÒu ph¶i chøng minh.

VÝ dô 2:

Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

5 2 2 2





b c a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1

1 1 1

Dạng 10 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác

Đây là phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả thiết để chứng minh các bất đẳng thức.

ở phơng pháp chứng minh này các bạn nên chú ý một số kiến thức cơ bản sau:

Kiến thức:

1 Các bất đẳng thức trong tam giác:

Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì a b c , , 0

Nếu a b c  thì số đo của 3 góc A, B, C cũng đúng với bất đẳng thức trên

2 Công thức liên quan đến tam giác

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

 (a + b – Các bất đẳng thức trong tam giác c)2( b + c – Các bất đẳng thức trong tam giác a)2( c + a – Các bất đẳng thức trong tam giác b)2  a b c2 2 2

 (a + b – Các bất đẳng thức trong tam giác c)( b + c – Các bất đẳng thức trong tam giác a )( c + a – Các bất đẳng thức trong tam giác b) abc

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên

000

Dạng 11 – Các bất đẳng thức trong tam giác Ph ơng pháp đổi biến số

Khi ta gặp một số bất đẳng thức có biến phức tạp thì ta có thể dùng phơng pháp

đổi biến số để đa các bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đơn giản hơn, tức là

ta đặt các biến mới biểu thị đợc các bién cũ sao cho biến mới có thể gọn hơn hoặc

dễ chứng minh hơn Sau khi đổi biến số ta sử dụng các phơng pháp chứng minh ở trên để chứng minh bất đẳng thức.

Phơng pháp lợng giác cũng là một dạng của phơng pháp đổi biến số.

b c b

; b =

2

y x

; c =

2

z y

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

) điều phải chứng minh

Ví dụ 2:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c < 1 Chứng minh rằng:

9 2

1 2

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

xyz3.3 xyz

  

z y x

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111  9

z y

x điều phải chứng minh

y z x a

 xyz (x y z y z x z x y  )(   )(   ) (Ta đã chứng minh đợc)

Vậy BĐT đã đợc chứng minh Dấu “=” xảy ra  a b c   1

1

(

) 1 )(

(

4

1

2 2 2 2

2 2 2 2

y x y

z

1

= 4

CMR: x y z



 2

1 + x y z



1 + x y1 2z



 ≤ 1(Đại học khối A – Các bất đẳng thức trong tam giác năm 2005)

Dạng 12 - Phơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)

Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

2 2

n

a

a a

a a

a a a

Một số ví dụ:

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng: 1 2 1 1

3

1 2

k     2 1

1

2 2

1

k

1 1

1 1

1 1

n n

Phần III – Các ph ứng dụng của Bất đẳng thức.

Bất đẳng thức đợc ứng dụng rộng rãi nhiều trong việc tìm GTLN, GTNN, giải

ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình, dùng để giải phph-ơng trình nghiệm nguyên và rất nhiều ứng dụng khác nữa.

I - Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN

Kiến thức : Nếu f(x)  m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m.

Nếu f(x)  M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M.

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh: Côsi, Bunhiacôpxki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức … Tìm cực trị của một Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :

1

+ y

 1

1 +

z

 1

1

 2T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz

1) + ( 1 -

z

 1

z

 1

1

 2

) 1 )(

1 2

1 3





z z

=> G 

3 2

1 2 2

1 2

1 2 2

1 2

Tìm giá trị lớn nhất của:

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1

Bài 2: Cho xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4

Bài 3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – Các bất đẳng thức trong tam giác 2xy + 3y2 – Các bất đẳng thức trong tam giác 2x – Các bất đẳng thức trong tam giác 10y + 20

Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của phân thức D =

Bài 5; Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số này khi chia cho 9 có số d là 5 và khi chia cho 31 có số d là 28

II – Các bất đẳng thức trong tam giác Dùng BĐT để giải ph ơng trình và hệ phơng trình

Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có nghiệm.

Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn

 phơng trình vô nghiệm

Còn đối với hệ phơng trình ta dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của

hệ , suy luận và kết luận nghiệm Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc.

2

1 1

=> VT  4 , dấu '' = '' xảy ra khi 6  x = x 2  x = 2

=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm

z y x

4 4 4

Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z =

3 1

4 82

III – Các bất đẳng thức trong tam giác Dùng BĐT để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

y z z

x y z

§Æt x k (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng )

Ta cã k k.( 1)y2

Nhng k2  k k   1    k  1 2

 k  y k 1

Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn

d-¬ng nµo c¶ nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn dd-¬ng nµo tho¶ m·n phd-¬ng tr×nh

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 0

0

x y

4 4

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m

DÊu b»ng x¶y ra khi

0 2

0 2

0 2

m

q m

p m

n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

2 b a b

a

a

ab 2 b

a

b a ab a

c

2

c b c b

b

2 2

3

2 2

d 2 2

dd

c

cc

b

bb

a

a

2 2

3 2

2

3 2

2

3 2

34(x y z ) (x y z)

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b

.

.

2 2 2 2

1

=

2 1

VËy

2

1 3 3 3

b c

b

a

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

3 1

0 , 0

1 2 2

y x y x

y x

y x

§iÒu kiÖn :

2

5 2

3



x Bµi 4:

DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c =

3 1

Ta có: ab  bc  ca  abc 1

c

1 b

1 a

c b b

b a

áp dụng bất đẳng thức Bunhicopsky ta có:

2 2 2 2 2

1 a

1 3

1 b

1 b

1 3

1 c

1 c

1 3

1 a

1 a

1 3 3

1 cb

c 2 a bc

b c ab

a

2

3 cb

c 2 a bc

b c