Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó... A O B e) Hai hình đối xứng qua một điểm:.. Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 3 ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Đối xứng trục:
a) Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng:
Hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó
d H A
A'
B
b) Hai hình đối xứng qua một đường thẳng:
Hai hình được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình
này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại
c) Hình có trục đối xứng:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H, nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
2.Đối xứng tâm
d) Hai điểm đối xứng qua một điểm:
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
Trang 2
A O B
e) Hai hình đối xứng qua một điểm:
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại
O
A' B'
C
C'
f) Hình có tâm đối xứng:
Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H
B.HỆ THỐNG BÀI TẬP.
I NHẬN BIẾT:
Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất:
Câu 1: Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu:
A Đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB
B.Đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB
C.Đường thẳng d cắt AB tại 1 điểm và vuông góc với AB tại điểm đó
D.Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Đáp án: D
Câu 2: Đoạn thẳng AB đối xứng với đoạn thẳng A’B’ qua đường thẳng d nếu:
A AB = A’B’
B AB //A’B’
C Mỗi điểm thuộc AB đối xứng với một điểm thuộc A’B’
D Đáp án khác
Đáp án: C
Câu 3: Trục đối xứng của (AB = AC) là:
A Đường trung trực của AB
B Đường trung trực của BC
C Đường trung trực của AC
D Không có trục đối xứng
Đáp án: B
Câu 4: Chọn câu trả lời đúng.
A Hai đểm A và B gọi là đối xứng với nhau qua điểm C nếu B là trung điểm của đoạn thẳng AC
Trang 3B Nếu đểm A và B gọi là đối xứng với nhau qua điểm C nếu A là trung điểm của đoạn thẳng BC
C Hai đểm A và B gọi là đối xứng với nhau qua điểm C nếu C là trung điểm của đoạn thẳng AB
D Nếu đểm A và B gọi là đối xứng với nhau qua điểm C nếu C cách đều A và B
Đáp án: C
Câu 5: Chọn câu trả lời đúng.
Xét các khẳng định sau:
(I) Điểm đối xứng với điểm M qua điểm M cũng là điểm M
(II) Hai điểm P và Q gọi là đối xứng với nhau qua điểm R nếu R là trung điểm của đoạn thẳng PQ
C Cả (I) và (II) đều đúng D Cả (I) và (II) đều sai
Đáp án: C
Câu 6: Chọn câu trả lời đúng.
A.Tâm đối xứng của một đườn thẳng là điểm bất kỳ của đường thẳng
B.Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó
C.Trực tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó
D.Giao điểm hai đường chéo của hình thang cân là tâm đối xứng của hình thang cân đó
Đáp án: A
Câu 7: Cho các hình sau:
(I) Hình bình hành (II) Hình thoi (III) Hình thang cân (IV): Hình vuông
(V) Hình tròn (VI): Hình ngôi sao 5 cánh
Trong các hình trên, hình nào không có tâm đối xứng:
A (II) và (VI) B (III) và (VI)
C (I), (III) và (IV) D (III), (IV) và (VI)
Đáp án: B
Câu 8: Hai hình được gọi là đối xứng qua điểm O nếu:
A Hai hình bằng nhau
B Hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng
C Mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua O
D Một đáp án khác
Đáp án: C
II THÔNG HIỂU:
Câu 1: Một tam giác cân có mấy trục đối xứng:
A 1 B 2 C 3 D Không có trục đối xứng
Đáp án: A
Câu 2 Điền dấu “X” vào ô thích hợp:
a) Tam giác đều thì có 3 trục đối xứng
b) Tứ giác có một trục đối xứng là hình thang cân
Trang 4Câu 3: Cho hình (H) là hình chữ nhật ABCD, khi đó hình(H) có:
A Có vô số trục đối xứng C Có một trục đối xứng
B Có hai trục đối xứng D Có bốn trục đối xứng
Đáp án: B
Câu 4: Cho hình (H) là hình chữ nhật ABCD với AC là đường chéo, khi đó hình (H) có:
A Không có trục đối xứng C Có một trục đối xứng
B Có hai trục đối xứng D Có bốn trục đối xứng
Đáp án: D
Câu 5: Tìm khẳng định sai.
A.Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó
B.Giao điểm hai đường chéo của hình thang cân là tâm đối xứng của hình thang cân đó C.Điểm đối xứng qua điểm O là điểm O
D.Tứ giác có một tâm đối xứng là hình bình hành
Đáp án: B
Câu 6: Chọn câu trả lời đúng Xét các khẳng định sau.
(I) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau
(II) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau
A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng
C Cả (I) và (II) đều đúng D Cả (I) và (II) đều sai
Đáp án: C
Câu 7: Tìm câu trả lời sai.
Cho tam giác ABC.M là điểm trên cạnh BC Đường thẳng qua M song song với AC cắt cạnh AB tại D, đường thẳng qua M song song với AB cắt AC tại E Gọi O là giao điểm của AM và DE Ta có:
A M đối xứng với A qua O B D đối xứng với E qua O
C A đối xứng với M qua O D O đối xứng với D qua E
Đáp án:
Tứ giác AEMD có DA // ME(gt), MD // EA(gt) nên là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra O là trung điểm của AM và DE.
Do đó M đối xứng với A qua O,
D đối xứng với E qua O,
A đối xứng với M qua O Vì vậy chọn D
Câu 8:Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng.
A Trọng tâm của tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.
B Hình đối xứng của một đoạn thẳng qua một điểm là một đoạn thẳng song song và bằng
nó
C Giao điểm hai đường chéo của tứ giác là tâm đối xứng của tứ giác đó.
D Hai hình bằng nhau thì đối xứng nhau qua một điểm.
Đáp án: B.
O
M
E D
C B
A
Trang 5Câu 9: Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng
A a, b, c B b, c, d C b, c, e D a, c, e
Đáp án: C
Câu 10: Hình thang ABCD có thêm điều kiện nào sau đây thì có tâm đối xứng:
A Hai cạnh bên bằng nhau
B Hai cạnh bên song song
C Hai đường chéo vuông góc với nhau
D Cạnh bên vuông góc với đáy
Đáp án: B
III VẬN DỤNG:
Câu 1: Vẽ trục đối xứng của đường tròn và cho biết đường tròn có bao nhiêu trục đối
xứng?
Đáp án:
Đường tròn có vô số trục đối xứng.
Câu 2: Dựng hình đối xứng của góc xOy qua đường thẳng d.
Đáp án:
Trên hai cạnh Ox, Oytheo thứ tự lấy 2 điểm A, B.
Dựng các điểm O’, A’, B’ theo thứ tự đối xứng với các điểm O, A, B qua đường thắng d ta được góc A’O’B’ đối xứng với góc AOB qua đường thẳng d.
Hay góc x’Oy’ đối xứng với góc xOy qua đường thẳng d.
Câu 3: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA (hình cái diều) Chứng minh rằng điểm A
đối xứng với điểm C qua đường thắng DB
Đáp án:
AB = BC => B thuộc đường trung trực của AC
CD =DA => D thuộc đường trung trực của AC
Vậy BD là đường trung trực của AC
Do đó A đối xứng với C qua BD.
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh
AC lấy điểm K sao cho AI = AK Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH
Đáp án:
Vì ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A
Lại có: IA = AK => IAK cân tại A, AH là tia phân giác của góc A nên AH là đường trung trực của IK.
Vậy I đối xứng với K qua AH.
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD,O là giao điểm của hai đường chéo.Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thư tự ở M và N.Chứng minh rằng
Trang 6điểm M đối xứng với điểm N qua O.
Đáp án:
Hai tam giác BOM
và DON có:
OB = OD
(t/c hình bình hành)
Ô 1 = Ô 2 (đối đỉnh)
MOB =NDO (Hai góc slt, AB // CD)
ΔBOM = ΔDON (g.c.g) => OM = ONBOM = ΔBOM = ΔDON (g.c.g) => OM = ONDON (g.c.g) => OM = ON
=> O là trung điểm MN nên M, N đối xứng nhau qua O.
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD
Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B,
F là điểm đối xứng của A qua D
Chứng minh rằng:
E là điểm đối xứng của F qua C
Đáp án:
E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE
Mà AB = CD do đó BE = DC,mà BE // CD nên BDCE là hình bình hành suy ra BD // EC
và BD = EC.Chứng minh tương tự cũng có BD // C F và BD = CF.
Vì BD // EC và BD // C F => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên
C là trung điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C.
Câu 7:Cho hình bình hành ABCD, qua B vẽ đoạn thẳng EF sao cho EF // AC và EB = BF
= AC
a) Chứng minh tứ giác AEBC ; ABFC là hình bình hành ?
b) Hình bình hành ABCD thỏa mãn điều kiện gì thì E đối xứng với F qua đường thẳng
BD ?
Đáp án:
a) Tứ giác AEBC là hình bình hành vì EB // AC và EB = AC (theo gt)
b) E và F đối xứng với nhau qua đường thẳng BD
đường thẳng BD là trung trực của đoạn thẳng EF
DB EF (vì EB = BF (gt))
DB AC (v× EF // AC)
DAC cân tại D và có DO vừa là trung tuyến vừa
là đường cao.
hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc.
C N
O
D
1 2
E
O
F D
C B
A
Trang 7Câu 8 : Cho hình bình hành ABCD, gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối
xứng với D qua C Chứng minh
a/ AC//EF b/ E là điểm đối xứng với F qua B
Đáp án:
a/ E đối xứng với D qua A nên A là trung điểm của DE F đối xứng với D qua C nên C là trung điểm xủa DF Suy ra AC là đường trung bình của tam giác DEF.
Suy ra AC//EF.(1) b/ BC// AD, BC=AD (gt) nên BC//AE, BC = AE suy ra tứ giác AEBC là hbh.
Suy ra EB//AC, mà AC//EF E, B, F thẳng hàng
Tam giác EDF có AD = AE, AB//DF B là trung điểm của EF E, F đối xứng qua B.
Câu 9 : Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Qua O vẽ đường
thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E và F Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G và
H Chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành
Đáp án:
O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là tâm đối xứng.
E thuộc AB, EO cắt CD tại F nên F đối xứng với E qua O suy ra O là trung điểm của EF Tương tự O là trung điểm của GH.
Tứ giác EGFH có EF cắt GH tại trung điểm
O của mỗi đoạn nên tứ giác EGFH là hình bình hành
Câu 10 : Cho tam giác ABC trực tâm H Gọi
M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M Tính số đo các góc ABK, ACK
Đáp án:
Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành(hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường), suy ra CK//
BH Mà BH AC suy ra CK AC tức là ACK 900 Tương tự ABK 900
Trang 8VI.VẬN DỤNG CAO:
Câu 1: Cho A và B là hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy
(AB không vuông góc với xy) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy Gọi M là điểm bất kỳ khác C thuộc đường thẳng xy Chứng minh rằng: AC +
CB < AM + MB
Đáp án:
A’ đối xứng với A qua xy
• xy là đường trung trực của AA’
• AC = A’C, AM = A’M
Ta có: AC + CB = A’C + CB = A’B (1)
AM + MB = A’M + MB (2) Lại có: A’B < A’M + MB (quan hệ giữa 3 cạnh trong A’MB) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.
Câu 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 700, điểm M thuộc cạnh BC Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, điểm E đối xứng với M qua AC
a) Chứng minh rằng: AD = AE
b) Tính số đo góc DAE
Đáp án:
D đối xứng với M qua AB nên AB là đường trung trực của MD => AD = AM
Chứng minh tương tự: AE = AM.
Vậy AD = AE
AD = AM (câu a) => ADM cân tại A => Â 1 = Â 2
Chứng minh tương tự: Â 3 = Â 4
Do đó: Â 1 + Â 2 + Â 3 + Â 4 = 2(Â 2 + Â 3 ) = 2 70 0 = 140 0
Hay góc DAE = 140 0
Câu 3: Chứng minh rằng giao điểm của hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục
đối xứng của hình thang cân
Đáp án:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình thang ABCD.
ADC = BCD (c.c.c)
Góc C 1 = góc D 1
COD cân tại O => OC = OD
O thuộc đường trung trực của CD
O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.
Hay giao điểm hai đường chéo AC, BD của hình thang cân nằm trên trục đối xứng d của hình thang cân.
Câu 4:
Chứng minh tứ giác có một tâm đối xứng là hình bình hành
Đáp án:
Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng O Như vậy,hình đối xứng của một cạnh bấy
kỳ,chẳng hạn cạnh AB,phải là một cạnh của tứ giác ABCD Nhưng hai cạnh chung đỉnh,
Trang 9như AB và AD không thể đối xứng với nhau qua O ( vì nếu AB và AD đối xưng với nhau qua O thì ba điểm A,B,D thẳng hàng, điều này vô lý.).
Do đó cạnh AB phải đối xứng với CD qua O.Vậy OA = OC,OB = OD,nghĩa là tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD
Gọi E, F lần lượt trên các cạnh AD, BC
sao cho AE = CF Chứng minh rằng:
các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy
Đáp án:
Gọi O là giao điểm cuả AC, BD.
Tứ giác ABCD là hình bình hành(gt)
=> O là trung điểm của AC
Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên là hình
bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà O là trung điểm AC nên O là trung điểm EF.
EF đi qua O Vậy các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại điểm O.
Câu 6 : Cho tam giác ABC, H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực K là điểm
đối xứng với H qua trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I
Đáp án:
Hình vẽ.
Chứng minh CK AC, BK AB Tam giác ABK vuông tại B suy ra trung điểm của AK
là giao điểm 3 đường trung trực.
Tương tự, tam giác ACK vuông ở C nên trung điểm của AK cũng cách đều 3 đỉnh
Suy ra giao điểm 3 đường trung trực (I) của tam giác ABC là trung điểm của AK.
Suy ra K đối xứng với A qua I.
Câu 7: Cho tam giác ABC Gọi D là điểm đối xứng
với A qua C, E là điểm đối xứng với B qua A, F là điểm đối xứng với C qua B Gọi BM là trung tuyến của tam giác ABC, EK là trung tuyến của tam giác DEF
a) Chứng minh rằng ABKM là hình bình hành
C
D
O
B A
E
Trang 10b) Gọi G là giao điểm của BM và EK Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam giác ABC và tam giác DEF
Đáp án:
a/ BK là đường trung bình của tam giác CFD Suy ra BK//CD,
1 2
BK CD
Mà CD = CA,
1 2
AM CA
BK // AM, BK = AM Suy ra tứ giác ABKM là hình bình hành b/ Gọi G là giao điểm của EK, BM I, H là trung điểm của BG, EG
- Chứng minh tứ giác HMKI là hình bình hành
- Suy ra GH = GK, GI = GM, từ đó ta có
,
GE EK GB BM
G là trọng tâm tam giác DEF cũng là trọng tâm tam giác ABC.
CHỦ ĐỀ 4
ĐA GIÁC- DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Đa giác – Đa giác đều:
a) Định nghĩa đa giác:
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó
b) Định nghĩa đa giác đều:
Đa giác đều là đa giác có tât cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau 2 Diện tích hình chữ nhật – Diện tích tam giác:
a) Khái niệm diện tích đa giác:
- Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác gọi là diện tích của đa giác đó
Trang 11- Diện tích đa giác có tính chất sau:
+ Hai đa giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
+ Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác đó
+ Nếu chọn hình vuông có cạnh dài 1cm, 1dm, 1m,… làm đơn vị diện tích thì diện tích tương ứng là 1 cm 2 , 1 dm 2 , 1 m2 …
b) Công thức tính diện tích hình chữ nhật:
S = ab
b a
c) Công thức tính diện tích hình vuông, hình tam giác vuông
S = a2
a a
S=
1
2ab
d) Công thức tính diện tích tam giác:
S=
1
2ah a
h
B A
B HỆ THỐNG BÀI TẬP:
I NHẬN BIẾT:
Câu 1: Chọn từ còn thiếu trong câu sau: “ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong có bờ
là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác đó”
A Hai nửa mặt phẳng B Một nửa mặt phẳng C Hai bên mặt phẳng
Đáp án: B.
b a