A.. Hỏi ô tô phải đi với vận tốc là bao nhiêu km/h để đến B trước 9 giờ?.. b) Một ngân hang đang thực hiện tỉ lệ lãi gửi tiết kiệm hàng tháng là 0,8%.. Theo giả thiết, a và b là hai số c[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I.NHẬN BIẾT
Câu 1: So sánh và
A = C >
B < D ≤
Đáp án: C
Câu 2:So sánh 5,6784 và 5,6775
A 5,6784 = 5,6775 C 5,6784 < 5,6775
B 5,6784 >5,6775 D 5,6784 ≤ 5,6775
Đáp án: B
Câu 3: Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng?
A – 2,38> 2,83
B – 2,38 = 2,83
C -2,38 < 2,83
D -2,38 ≥ 2,83
Đáp án: C
Câu 4:Cho biết a – 7 < b – 7 Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.
A a ≥ b C a + 7 < b + 7
B –a > -b D 7- a > 7 – b
Đáp án: B, C
Câu 5: Cho a > b thì
A 2a > 2b
B 2a < 2b
C 2a 2b
D 2a 2b
Đáp án:A
Câu 6: Cho a > b thì
5 8
4 7 5
8
4 7
5 8
4 7 5
8
4 7
5 8 4 7
Trang 2A – 2a > - 2b
B -2a < -2b
C -2a -2b
D -2a -2b
Đáp án: B
Câu 7: Cho a < b và b < c thì
A a > c
B a = c
C a < c
Đáp án: C
Câu 8: Cho 7x < 9x thì
A x > 0
B x < 0
C x 0
D x 0
Đáp án: A
Câu 9:x = 3 là một nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau
A 2x + 1 > 5
B – 2x > 4x + 1
C 2 – x > 2 + 2x
D 7 – 2x > 10 – x
Đáp án: A
Câu 10: Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây
A x < 4
B x > -3
C x 1
D x - 2
Trang 3Đáp án: A
Câu 11: Tập hợp {x| x < 3 } là tập nghiệm của bất phương trình nào
A x < 5
B x > 2
C x 3
D x < 3
Đáp án: D
Câu 12: Cho bất phương trình ( m 2 – 4m + 3x) m – 1 với m = 0 thì
A Bất phương trình có 1 nghiệm
B Bất phương trình vô nghiệm
C Bất phương trình có nghiệm x
1 3
Đáp án: C
Câu 13: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
A 2x2 + 1<0 B
3 0
3 2006
x x
C 0.x + 4 >0 D
1
1 0
4x
Đáp án: D
Câu 14: Với x < y ta có:
A x - 5 > y – 5 B 5 – 2x < 5 – 2y
C 2x – 5 < 2y - 5 D 5 – x < 5 - y
Đáp án: C
Câu 15: Giải các bất phương trình sau:
a) 2x – 1 > 5 b) 3x – 2 < 4 c) 2 – 5x ≤ 17
Đáp án:
a) 2x – 1 > 5 2x > 6 x > 3 Vậy tập nghiệm của BPT là S x x/ 3
Trang 4b) 3x – 2 < 4 3x < 6 x < 2 Vậy tập nghiệm của BPT là S x x/ 2 c) 2 – 5x ≤ 17 -5x ≤ 15 x ≥ -3 Vậy tập nghiệm của BPT làS={x ≥−3}
Câu 16: a = a và a = - a khi:
A a > 0 và a < 0 B a > 0 và a 0 ;
C a 0 và a < 0 D a > 0 và a = 0
Đáp án: C
Câu 17: Phương trình: x – 2 = 2 có tập nghiệm là:
A S = {2 ; 4} B S= {2 ; 0} C S= {- 4 ; 4} D S= {4 ; 0}
Đáp án: D
Câu 18 : Với giá trị nào của x thì : 2x - 6 = 4 :
A x = 5 B x = 1 C x = 5 và x = 1 D x = -5 và x = - 1
Đáp án: C
Câu 19 : Phương trình: 7,5 – 3 5 – 2x = - 4,5 nhận x = là nghiệm khi:
A x B x C x D x
Đáp án: B
II.THÔNG HIỂU
Câu 1.Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
A -5 ≥ -5 C 4.( -3) > -14
B 15 < (-4) 2 D -4 + (-8)2 ≤ (-4) (-15)
Đáp án: A Đúng B sai C Đúng D Đúng
Câu 2: Chuyển các khẳng định sau về dạng bất đẳng thức:
A Tổng của -3 và 1 nhỏ hơn hoặc bằng 2
B Hiệu của 7 và -15 nhỏ hơn 20
C Tích của -4 và 5 không lớn hơn -18
Đáp án: A -3 +1 ≤ 2
B 7 – (-15)< 20
C (-4) 5 ≤ -18
5 2
5
2
Trang 5Câu 3:cho n < m hãy so sánh: n+ 2 và m + 2
A n + 2 < m + 2
B n + 2 = m + 2
C n + 2 ≥ m + 2
D n + 2 ≤ m + 2
Đáp án: A
Câu 4 : Cho m < n hãy so sánh m – 5 và n – 5
A m – 5 < n – 5
B m – 5 > n – 5
C m - 5≤ n – 5
D m – 5 = n - 5
Đáp án: A
Câu 5: Với số a bất kỳ, so sánh a với a- 1
A a < a – 1
B a = a-1
C a > a – 1
D a ≤ a – 1
Đáp án: C
Câu 6: Cho a, b và k mà a > b nếu ak < bk thì k là
A Số dương
B Số 0
C Số âm
D Số bất kỳ
Đáp án: C
Câu 7: Cho 2 số a và b mà -7a < -7b thì
A a – 7 > b – 7
B a > b
C a < b
D a = b
Đáp án: A,B
Câu 8: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng
Trang 6A x 2 + 2 2
B – 5 + 3 > 1
C – 5 3 < - 16
D 5 + ( - 3) > 8 + ( - 3)
Đáp án:A
Câu 9: cho a > b và m < n khi đó ta có
A a( m – n ) > b ( m – n)
B a( m – n) < b( m – n)
C a( m – n ) = b( m – n)
Đáp án: B
Câu 10: Cho 0 < a < b thì
A a2> ab
B a2< ab
C a2 ab
D a2 ab
Đáp án: B
Câu 11: Giá trị x = - 3 là một nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương
trình sau
A x2- 1 8
B x2 - 1< 8
C x2 – 1 > 8
Đáp án: A
Câu 12: Giá trị nào sau đây là nghiệm của bất phương trình:
2x – x( 3x +1) < 15 – 3x( x + 2)
A x = 3
B x = 0
C x = 8
D x = 5
Đáp án: B
Trang 7Câu 13: Giá trị x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương
trình sau
A 3x -7 > 2x + 1
B – 3x -1 > x + 1
C 7 – 3x < 2 – 5x
D 5(x – 2) > 3x – 1
Đáp án: B
Câu 14: Các cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương
A 2 > x và x < 2
B x < 1 và x > 1
C x < 5 và x > 3
D x > 3 và x < 9
Đáp án: A
Câu 15: Giá trị nào của x không là nghiệm của bất phương trình x2 – 4x 2x – 8
A x = 0
B x = 3
C x = 4
D x = 2
Đáp án: A
Câu 16: Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A Số a là số âm nếu 3a < 5a B Số a là số dương nếu 3a > 5a
C Số a là số dương nếu 5a > 3a D Số a là số âm nếu 5a < 3a
Đáp án: C, D
Câu 17: Nếu x ≤ y và a < 0 Thì:
A ax ≤ ay B ax = ay C ax > ay D ax ≥ ay
Đáp án: D
Câu 18: Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A 0,7x > -2,1 x > - 0,3 B 0,7x > -2,1 x < - 3
Trang 8C 0,7x > -2,1 x > 3 D 0,7x > -2,1 x > - 3
Đáp án: D
Câu 19: Bất phương trình 2x – 3 > 0 có nghiệm là:
A x > 1 B x > 1,5 C x > -1,5 D x < 1,5
Đáp án: B
Câu 20 : Giải thích sự tương đương của các bất phương trình sau:
a)x – 4 >1 x + 2 >7 b) –x < 3 2x > - 6
Đáp án:
a)Ta có: x – 4 >1 x > 5; x + 2 >7 x > 5
Vậy x – 4 >1 x + 2 >7 Vì hai BPT có cùng tập nghiệm S x x/ 5 b) –x < 3 (-2) (-x) > (- 2)3 2x > - 6
Nên hai BPT có cùng tập nghiệm S x x/ 3
Câu 21: Giải phương trình: x3- x - 1 = x3 + x +1
A S = { -1 } B S ={ 0 } C S = { 1 } D S= {1; -1}
Đáp án: B
Câu 22: x= 3 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau:
A 3x – 5 = 25
B 2x – 6 = 0
C x2 x = 6
D 2 2x – 3 =
Đáp án: B
Câu 23 : Phương trình x + 1 = x- 1 có tập nghiệm là:
A S = { 0 } B S= {1} C S= {2} D S= {3}
1 2
Trang 9Đáp án: A
Câu 24: Phương trình sau : x – 1 = - x vô nghiệm:
A Đúng
B Sai
Đáp án: A
III.VẬN DỤNG
Câu 1:Cho a <b hãy chứng minh:
a) 3a + 1 < 3b + 1
Đáp án: Ta có: a < b và 3 > 0 nên 3a < 3b
Do đó: 3a+ 1< 3b + 1( theo tính chất cộng với một số)
b) 2a – 5 < 2b – 5
Đáp án: Ta có a < b và 2 > 0 nên 2a < 2b
Do đó: 2a + (– 5) < 2b + (- 5) (theo tính chất cộng với một số)
Câu 2: Với m bất kỳ hãy chứng tỏ:
a) 1 + m < 2 + m
Đáp án: ta có 1< 2
Do đó : 1 + m < 2 + m ( tính chất cộng với một số)
b) m- 2 < 3 + m
Đáp án: Ta có: -2 < 3
Do đó: m + (-2) < m + 3 ( tính chất cộng với một số)
Câu 3: So sánh a và b nếu:
a)a- 5 ≥ b -5
Đáp án: Ta có: a- 5 + 5 ≥ b – 5 + 5 ( tính chất cộng với một số).
Do đó: a ≥b
b)15 +a ≤ 15 + b
Đáp án: 15 + a + ( -15) ≤ 15 + b +(-15)
Do đó: a ≤ b
Câu 4: Hai số a và b là hai số dương hay âm nếu ta có:
a) a- 5 > b – 5 và b > 6
Trang 10Đáp án: a – 5 > b – 5 => a > b mà b > 6 suy ra a > 6
Vậy a và b là 2 số dương
b) a – 10 > b – 10 và a < - 14
Đáp án: ta có: a – 10 > b – 10 => a > b mà a < -14 suy ra b < -14
Vậy a và b là 2 số âm
Câu 5: Dựa vào tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng , hãy chứng tỏ:
a) Nếu m> n thì m – n > 0
Đáp án: Ta có: m+ (-n) > n+ (-n) ( tính chất cộng với một số)
Do đó: m – n > 0
b) Nếu m – n > 0 thì m> n
Đáp án: m – n +n > 0 + n ( tính chất cộng với 1 số)
Do đó: m > n
Câu 6: Cho a < b so sánh
a) 2a + 1 với 2b + 1
b) 2a + 1 với 2b + 3
Đáp án:
a) Ta có a < b => 2a < 2b => 2a + 1 < 2b + 1
b) Ta có 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 3 => 2a + 1 < 2b + 3
Câu 7:
a)Cho a < b và c < d chứng minh a + c < b + d
b) a, b, c, d dương và a < b, c < d chứng minh ac < bd
Đáp án:
a) Ta có a < b => a + c < b + c
c < d => b + c < b + d
a + c < b + d
b) Ta có a < b => ac < bc
c < d => bc < bd
ac < bd
Câu 8:
Trang 11a) Cho a > 0 chứng minh
1 2
a a
b) Cho a, b tùy ý chứng minh
2 2
2
a b
ab
Đáp án:
a) Xét hiệu ta có:
a
Vì (a – 1)2 0 và a > 0 =>
2
( 1)
0
a a
1
2 0
a a
1 2
a a
Dấu “=” xảy ra khi a = 1
b)
ab
Vì ( a – b)2 0 =>
2
( 1)
0 2
a
=>
2 2
2
a b
ab
Dấu “ =” xảy ra khi a = b
Câu 9: Với mọi x, y, z chứng minh rằng
a) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx
b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yx
Đáp án:
a) Ta có x2 + y2 + z2 – ( xy + yz + zx)
=
1
2[(x2 - 2xy + y2) + (y2 -2yz + z2) + (z2 – 2zx + x2)]
=
1
2[( x – y)2 + (y – z)2 + ( z – x)2 ] 0
Vì ( x – y)2 0; (y – z)2 0; ( z – x)2 0
Do đó x2 + y2 + z2 xy + yz + zx
Trang 12Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
b) Ta có x2 + y2 + z2- (2xy – 2xz + 2yx)
= x2 + y2 + z2- 2xy + 2xz - 2yx
= ( x – y + z )2 0
Do đó x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yx
Câu 10:
a) Cho các số dương a, b, c, d sao cho a > b, c > d chứng minh rằng
a b
d c
b) Cho x > y chứng minh rằng x5 – y5 xy4 – x4y
Đáp án:
a) Ta có a > b; c > d => ac > bd ( vì a, b, c, d > 0)
ac bd a b
dc cd d c
b)xét hiệu: x5 – y5– (xy4 – x4y) = ( x5 + x4y) – (y5 + xy4)
= x4(x + y) – y4(y + x) = ( x + y) (x4 – y4)
= (x + y) (x2 – y2)(x2 +y2)
= (x + y) (x + y) ( x – y) (x2 + y2)
= (x – y) (x + y)2(x2 + y2)
Ta thấy (x + y) 2 0 dấu “=” xảy ra x = -y
Vì x > y nên x – y > 0 và x2 + y2> 0
Suy ra x5 – y5– (xy4 – x4y) 0 dấu “=” xảy ra x = -y
Vậy x5 – y5 xy4 – x4y dấu “=” xảy ra x = -y
Câu 11: Chứng minh các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) x2 – 4x +5 > 0
b) – x2 + 2x – 2 < 0
Đáp án
a) Ta có x2 – 4x +5 = (x2 – 4x +4) + 1 = (x – 2)2 + 1
Vì (x – 2)2 0 với mọi x nên (x – 2)2 + 1 > 0 với mọi x
Trang 13Vậy x2 – 4x +5 > 0 có nghiệm với mọi x
b) Ta có – x2 + 2x – 2 = - ( x2 - 2x + 1) –1= - (x – 1)2 – 1
Vì – (x – 1)2 0 với mọi x nên - (x – 1)2 – 1< 0 với mọi x
Vậy – x2 + 2x – 2 < 0 có nghiệm với mọi x
Câu 12: Viết thành bất phương trình từ các mệnh đề sau
a) Tổng hai lần số nào đó và 3 thì lớn hơn 18
b) Hiệu của 5 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn hoặc bằng 10
Đáp án
a) 2x + 3 > 18
b) 5 – 3x 10
Câu 13: Chứng minh rằng các bất phương trình sau vô nghiệm
a) (x – 1) (x – 5) +10 < 0
b) x2 + 2x < 2x
Đáp án
a) VT = ( x – 3)2 +6 > 0 với mọi x
b) x2< 0 vô lý
Câu 14: Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên trục số
a) x > 2
b) x - 3
Đáp án
a)
b)
Câu 15: Hãy lập bất phương trình cho bài toán sau
a) Quãng đường từ A đến b dài 50 km Một ô tô đi từ A đến B, khởi hành lúc 7 giờ.
Hỏi ô tô phải đi với vận tốc là bao nhiêu km/h để đến B trước 9 giờ?
Trang 14b) Một ngân hang đang thực hiện tỉ lệ lãi gửi tiết kiệm hàng tháng là 0,8% Hỏi rằng
muốn có số tiền lãi hang tháng ít nhất là 2 triệu đồng thì số tiền phải gửi tiết kiệm
ít nhất là bao nhiêu tiền?
Đáp án:
a) Gọi x ( km/h) là vận tốc của ô tô ( x > 0)
Thời gian ô tô đi từ A đến B là:
50
x (h)
Vì phải đến B trước 9 giờ nên thời gian ô tô đi từ A đến B phải nhỏ hơn 2 giờ
Ta có bất phương trình:
50
x < 2 b) Gọi x ( tình bằng triệu đồng) là số tiền gửi vào ngân hàng
Số tiền lãi 1 tháng là 0,8% x
Ta có bất phương trình: 0,8% x 2
Câu 16: Giá trị x = 1 là nghiệm của bất phương trình:
A 3x +3 > 9 B -5x > 4x + 1
C x – 2x < -2x + 4 D x – 6 > 5 – x
Đáp án: C
Câu 17:Khi x < 0, kết quả rút gọn của biểu thức: 2x - x + 5 là:
A – 3x + 5 B.x + 5 C.- x + 5 D 3x + 5
Đáp án: B
Câu18 : Khi x > 0, kết quả rút gọn của biểu thức: x - 2 x + 5 là:
A x - 5 B - x - 5 C.- 3x + 5 D - x + 5
Đáp án: D
Câu 19 : Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a) 1 + 2( x – 1) > 3 – 2x b)
2 +
Đáp án:
a) 1 + 2( x – 1) > 3 – 2x
1 + 2x – 2 > 3 – 2x
Trang 15 x > 1
S=x / x 1
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số
1
//////////////////////////////// (
0
b)
2 +
20 + 2(2 – 3x) ≥ 5(x + 7)
20 + 4 – 6x ≥ 5x +35
– 11x ≥ 11
x –1
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số
-1 ]///////////////////////////////////
0
Câu 20 : Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a) 5 – 7x
2x + 14 b)
Đáp án:
a) 5 – 7x 2x + 14
1
x x
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x-1}
Trang 16
3-2x < 20x + 25
-22x < 22
x > -1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x>-1}
0
( -1
Câu 21:Giải phương trình: x + 1 + x + 9 + x + 82 + x + 8 = 5x
Đáp án: S = { 100}
Câu 22: Chứng mình rằng với mọi giá trị của x, phương trình sau vô nghiệm:
x + 1 2 – x = - 4x2 + 12x – 10
Đáp án: Chứng minh vế trái không âm với mọi x, còn vế phải luôn âm với mọi x.
IV.VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Cho a , b là hai số cùng dấu Chứng minh bất đẳng thức:
Đáp án: Xét hiệu:
(a – b)2 ≥0 Theo giả thiết, a và b là hai số cùng dấu nên tích của chúng là số không âm ab > 0
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Câu 2: Cho a , b , c là ba số tùy ý Chứng minh bất đẳng thức
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Đáp án: Xét dấu của biểu thức:
M = (a2 + b2 + c2) - ( ab + bc + ca)
=>2M = 2(a2 + b2 + c2) - 2( ab + bc + ca)
=> 2M = ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) +( c2 – 2ac + a2)
Mà ( a2 – 2ab + b2) = (a-b)2 ≥ 0
( b2 – 2bc + c2) = ( b – c) 2 ≥ 0
2
a b
b a
2
a b a ab b a b
2
Trang 17( c2 – 2ac + a2) = ( a – c)2 ≥ 0
2M > 0 => M > 0
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Câu 3: Cho a > b > 0 chứng minh
a b
Đáp án: Ta có
0
a b
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = x 6 + y 6biết x2 + y2 = 1
Đáp án: ta có A = (x2)3 +(y2)3 = (x2 + y2) (x4 – x2y2 + y4)
Vì x2 + y2 = 1 nên A = x4 – x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 – 3x2y2 = 1 – 3x2y2 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 hay y = 0
Vậy max A = 1 khi x = 0, y = 1 hoặc y = 0, x =1
Câu 5: Chứng minh rằng
2
x y z x y z
Đáp án:
2
x y z x y z
=> 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx 0
(x – y)2 + ( y – z)2 + ( z – x)2 0
Câu 6: Chứng minh bất phương trình x2 + x + 1 > 0 có nghiệm với mọi x
Đáp án: x2 + x + 1 = x2 + x +
1 3
4 4 = (x +
1
2)2 +
3 4
Vì (x +
1
2)2 0 với mọi x nên (x +
1
2)2 +
3
4>0 với mọi x Vậy x2 + x + 1 > 0 có nghiệm với mọi x
Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 7x + 11
Đáp án: A =
2
x
Trang 18Dấu “=” xảy ra x =
7 2
Vậy min A =
5 4
khi và chỉ khi x =
7 2
Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = -5x2 – 4x + 1
Đáp án: B = -5x2 – 4x + 1 = -5(x2+
2
5x25 5 x5 5 5
Vậy max B =
9
5khi và chỉ khi x =
2 5
Câu 9 :
a) Cho m > n, hãy so sánh: 5 – 8m và 5 – 8n
b) Cho a, b là các số không âm Chứng minh rằng: a3b3 a b ab2 2
Đáp án:
a) m > n => -8m < -8n
=> 5 – 8m < 5 – 8n
b)
Câu 10 : Với x R Chứng minh rằng: 2x4 + 1 2x3 + x2
Đáp án:
2x4 + 1 2x3 + x2
2x4 - 2x3 -x2 + 1 0
x4 - 2x2 + 1 + x4 - 2x3 + x2 0
( x2 - 1)2 + ( x2 - x )2 0 ( Luôn đúng với mọi x)
Vậy 2x4 + 1 2x3 + x2