Bài giảng Cơ sở toán học – Bài 1: Thuật toán đánh giá và tiếp cận

Bài giảng Cơ sở toán học – Bài 1: Thuật toán đánh giá và tiếp cận cung cấp cho người học kiến thức về thuật toán; độ phức tạp thuật toán; tiếp cận giải quyết bài toán. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

Trang 1

Bài 1 Thuật toán đánh giá và tiếp cận

Trang 2

Tính toán độ phức tạp thuật toán

Tiếp cận giải quyết bài toán

Các bước tiếp cận, giải quyết thuật toán

Xu hướng tiếp cận, giải quyết bài toán

Trang 3

quyết một bài toán đã cho trong một khoảng thời

gian hữu hạn.

Trang 4

Ví dụ: 2.1 Mô tả thuật toán tìm số lớn nhất trong

một dãy hữu hạn các số nguyên

1 Đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số nguyên đầu tiên trong

dãy;

2 So sánh số nguyên tiếp theo với giá trị cực đại tạm thời,

Thuật toán

2 So sánh số nguyên tiếp theo với giá trị cực đại tạm thời,

nếu lớn hơn giá trị cực đại tạm thời thì đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số nguyên đó.

3 Lặp lại bước 2) nếu còn các số nguyên trong dãy.

4 Giá trị cực đại tạm thời ở thời điểm này chính là số

nguyên lớn nhất trong dãy.

Trang 5

Ta có thể viết lại thuật toán trên theo cách thức khác gọi là dạng giả mã:

Dữ liệu vào (input): a[1 n], a là mảng các số nguyên,

Trang 6

Như vậy, khi mô tả (hay xây dựng) một thuật toán cần chú ý tới các yếu tố sau:

Dữ liệu đầu vào: Một thuật toán phải mô tả rõ các giá trị đầu vào từ một tập hợp các dữ liệu xác định

Ví dụ, dãy số nguyên a(1), a(2), ,a(n), với n<∞; hai

tử lớn nhất trong a(1), ,a(n); số d là ước chung lớn nhất của a và b;

Trang 7

1. Tính xác định: Các bước của thuật toán phải được

xác định một cách chính xác, các chỉ dẫn phải rõ ràng, có thể thực hiện được

2. Tính hữu hạn: Thuật toán phải kết thúc sau một số

hữu hạn bước

Thuật toán

hữu hạn bước

3. Tính đúng đắn: Thuật toán phải cho kết quả đúng

theo yêu cầu của bài toán đặt ra

4. Tính tổng quát: Thuật toán phải áp dụng được cho

mọi bài toán cùng loại, với mọi dữ liệu đầu vào như

đã được mô tả

Trang 8

Ta xét thuật toán nêu trong ví dụ trên:

Dữ liệu đầu vào: mảng các số nguyên;

Dữ liệu đầu ra: số nguyên lớn nhất của mảng đầu vào;Tính xác định: Mỗi bước của thuật toán chỉ gồm các

Trang 9

Tính đúng đắn: Sau mỗi bước kiểm tra và so sánh ta sẽ tìm được số lớn nhất trong các số đã được kiểm tra

Rõ ràng, sau lần kiểm tra cuối cùng thì xác định được

số lớn nhất trong toàn bộ các số đã được kiểm tra,

có nghĩa là toàn bộ dãy

Thuật toán

có nghĩa là toàn bộ dãy

Tính tổng quát: Thuật toán cho phép tìm số lớn nhất

của dãy số nguyên hữu hạn n bất kỳ

Trang 10

So sánh hai thuật toán nào tốt hơn?

Nhanh hơn? Ít tốn bộ nhớ hơn?

Dựa vào đâu để so sánh?

Đánh giá độ phức tạp thuật toán

Trang 11

- Độ lớn của dữ liệu đầu vào

-> Số lượng ô nhớ cần để giải quyết bài toán

-> Thời gian thực thi (số phép tính cơ bản) thực hiện

Trang 12

Cho hai hàm số f và g, f: R→R, g: R→R

Trong phần này bàn đến sự so sánh độ tăng của hai hàm f(x) và g(x) khi x → +∞

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Ta nói rằng f(x) = o(g(x)) khi x dần tới dương vô

Định nghĩa 1.1 Ta nói rằng f(x) = o(g(x)) khi x dần tới dương vô cùng, nếu như limx→+∞f(x)/g(x) = 0.

Khi này người ta nói rằng f(x) tăng chậm hơn so với g(x) khi x lớn dần đến +∞.

Ví dụ 1.1

x 2 = o(x 5 )

sin(x) = o(x)

1/x = o(1)

Trang 13

Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng f(x) là O-lớn của g(x) khi x dần tới dương vô cùng.

Kí hiệu f(x) = O(g(x))

hoặc đôi khi viết f(x) là O(g(x))

nếu như tồn tại hai hằng số C >0 và N >0 sao cho

nếu như tồn tại hai hằng số C >0 và N >0 sao cho với mọi x > N thì |f(x) | ≤ C.|g(x)|

Trang 14

Ví dụ 1.3

Ta cũng dễ thấy rằng kx2 = O(x3) với k>0,

vì với x ≥ k ta có kx2 ≤ 1.x3

Để ý rằng cặp giá trị C và N, nếu tồn tại, rõ ràng

không phải là duy nhất

Ví dụ 1.4

1/(1+x2) = O(1)

sin(x) = O(1)

Trang 15

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng f(x) tương đương với g(x) khi x dần tới dương vô cùng,

kí hiệu f(x) ≈ g(x), nếu như limx→+∞f(x)/g(x) = 1

Ví dụ 1.5

1+x+x2 ≈ x2, (2x+4)2 ≈ 4x2

Trang 16

Mệnh đề 1.1

Cho f(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn, trong đó ai, i=0,1, n, là các số thực

Trang 17

Mệnh đề 1.1

Cho f(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn, trong đó ai, i=0,1, n, là các số thực

Khi đó f(x) = O(xn)

Chứng minh:

Kí hiệu C =| a0 |+ |a1 |+ |a2 |+ + |an-1 |+ |an| Với x>1 ta có xk < xn, với k< n, suy ra

|f(x)| = |a0 + a1x1 + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn|

≤|a0| + |a1x1| + |a2x2| + + |an-1xn-1| + |anxn|

=|a0| + |a1| x + |a2| x2 + + |an-1| xn-1 + |an| xn

≤(|a0| + |a1|+ |a2|.+ + |an-1|+ |an|) Xn = C xn

Trang 18

Ví dụ 1.6 Đánh giá tổng n số tự nhiên đầu tiên

S(n) = 1 + 2+ + n

Trang 19

S(n) = 1 + 2+ + n < n+n+ + n = n2

Vậy S(n) = O(n2)

Trang 20

S(n) = 1 + 2+ + n < n+n+ + n = n2

Vậy S(n) = O(n2)

Nhận xét:

Số mũ 2 trong O(n 2 ) đã phải là nhỏ nhất hay chưa?

Cũng như vậy, biểu thức n 2 đã phải là nhỏ nhất hay chưa?

Việc đánh giá hàm trong O-lớn cũng như bậc của hàm càng sát càng tốt

Ta có nhận xét rằng nếu tồn tại các hằng số N, C1 và C2 sao cho bắt đầu từ x>N ta có C1.g(x) ≤ f(x) ≤ C2.g(x) thì rõ ràng là đánh giá O(g(x)) đối với f(x) được coi là khá chính xác Trong trường

hợp này người ta còn nói rằng f(x) và g(x) là cùng bậc.

Trang 21

Chẳng hạn, f(x) = x2 với g(x) = x2+2x+3 là cùng

bậc,

hoặc f(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn với

xn là cùng bậc

Trong ví dụ 1.3 đã chỉ ra kx2 = O(x3), nhưng rõ ràng

x3 không phải là O(kx2)

Thật vậy, với mọi C và N tuỳ ý ta chỉ cần chọn

x > max{1, C.k, N} khi đó x3 > C.kx2 ; có nghĩa là

không tồn tại các số C và N như trong Định nghĩa 1.1 Như vậy, kx2 và x3 không phải là cùng bậc

Ví dụ 1.4: Đánh giá hàm giai thừa f(n) = n!

Trang 22

Rõ ràng n! < nn Điều này chứng tỏ n! = O(nn)

Từ đó suy ra Log(n!) = O(n log n)

Trang 23

Định nghĩa 1.4 Ta nói rằng f(x) = Ω(g(x)) nếu như tồntại C>0 và dãy x1, x2, x3, →+∞, sao cho với mọi i:

f(xi)> C.g(xi)

Ví dụ, x = Ω(log(x))

Định nghĩa 1.5

Ta nói rằng hàm f tăng theo hàm mũ nếu tồn tại c>1

và d sao cho f(x) = Ω(cx) và f(x) = O(dx)

Ví dụ,

f(x) = e2x

f(n) = n!

Trang 24

Độ tăng tổ hợp của hàm

Mệnh đề 1.2 Nếu f(x) = O(u(x)) và g(x) = O(v(x)) thì (f+g)(x) = O(max{u(x),v(x)})

Trang 25

Mệnh đề 1.2 Nếu f(x) = O(u(x)) và g(x) = O(v(x)) thì (f+g)(x) = O(max{u(x),v(x)})

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra tồn tại C1, k1, C2, k2 sao cho với

mọi x > k thì f(x) ≤ C u(x), với mọi x > k thì g(x)

mọi x > k1 thì f(x) ≤ C1.u(x), với mọi x > k2 thì g(x)

≤ C2.v(x) Đặt k = max { k1, k2}, và

C=max{C1,C2} Rõ ràng là với mọi x > k thì f(x) ≤

C.u(x) và g(x) ≤ C.v(x), hay f(x)+g(x) ≤ 2.C max{ u(x) , v(x) } Suy ra (f+g)(x) = O(max{u(x),v(x)}) Hiển nhiên, nếu u(x) = v(x), có nghĩa là nếu

f(x) = O(u(x)) và g(x) = O(u(x)),

Trang 26

Mệnh đề 1.3 Nếu f(x) = O(u(x)) và g(x) = O(v(x)) thì (fg)(x) = O(u(x).v(x))

Chứng minh: ( Tương tự chứng minh trên)

Trang 27

Mệnh đề 1.3 Nếu f(x) = O(u(x)) và g(x) = O(v(x)) thì (fg)(x) = O(u(x).v(x))

Chứng minh: ( Tương tự chứng minh trên)

Nhận xét

Một số thuật toán bao gồm một số thủ tục con hợp lại

Một số thuật toán bao gồm một số thủ tục con hợp lại Với dữ liệu đầu vào xác định số các bước cần thiết để giải bài toán là tổng các bước theo các thủ tục con Như thể ta phải tìm cách đánh giá số các bước mà

các thủ tục con thực hiện sau đó tổ hợp các đánh giá

đó lại

Trang 28

Ví dụ 1.5 Tìm đánh giá hàm

f(n)= n log (n!) + (3n2 +2n)log n

Trang 29

Ví dụ 1.5 Tìm đánh giá hàm

f(n)= n log (n!) + (3n2 +2n)log n

Theo các ví dụ đã nêu ở trên ta có

log(n!) = O(n log n), từ đó dễ dàng suy ra rằng

n log (n!) = O(n2 log n);

Mặt khác ta có 3n2 +2n =O(n2), hay suy ra

(3n2 +2n) log n = O(n2 log n)

Cuối cùng ta có: f(n) = O(n2 log n)

Trang 30

Ví dụ 1.6 Tìm đánh giá đối với hàm

f(n) = (n+3) log (n2+4) + 5n2

Trang 31

Ví dụ 1.6 Tìm đánh giá đối với hàm

f(n) = (n+3) log (n2+4) + 5n2

Ta có các đánh giá n+3= O(n)

và log (n2+4)=O(log n)

Thật vậy, đánh giá thứ nhất là hiển nhiên

Xét đánh giá thứ hai Rõ ràng là với n>2 ta có

log(n2+4) < log(2n2) < log 2 + log n2 = log 2 + 2log n

< 3 log n

Từ đây suy ra (n+3) log (n2+4) = O(nlog n)

Ngoài ra ta có 5n2 = O(n2) Từ đây suy ra

f(n) = O(max { nlog n, n2 }) = O(n2)

Trang 32

Ví dụ 1.7

Tìm đánh giá tốt nhất của hàm f(x) = 2x + 23

Trang 33

Ví dụ 1.7

Tìm đánh giá tốt nhất của hàm f(x) = 2x + 23

Hiển nhiên là với mọi x > 5 ta có f(x) < 2×2x

Vì vậy f(x) = O(2x)

Ta cũng dễ thấy được là 2x < f(x) với mọi x>0

Vậy O(2x) là đánh giá tốt nhất đối với f(x)

(hay nói cách khác 2x là cùng bậc với f(x))

Trang 34

Độ phức tạp thuật toán

Tính hiệu quả của thuật toán thông thường được đo bởi thời gian tính (thời gian được sử dụng để tính bằng máy hoặc bằng phương pháp thủ công) khi các giá trị đầu vào có kích thước xác định Tính hiệu quả của thuật toán cũng được xem xét theo thước đo

của thuật toán cũng được xem xét theo thước đo

dung lượng bộ nhớ đã sử dụng để tính toán khi kích thước đầu vào đã xác định

Hai thước đo đã nêu ở trên liên quan đến độ

phức tạp tính toán của một thuật toán, được gọi là

độ phức tạp thời gian và độ phức tạp không gian

(còn gọi là độ phức tạp dung lượng nhớ)

Trang 35

Trong phần đầu, chúng ta sẽ chỉ đề cập đến độ phức tạp thời gian của một thuật toán Độ phức tạp thời gian của một thuật toán thường được biểu diễn

thông qua số phép toán trong khi thực hiện thuật

toán khi các giá trị dữ liệu đầu vào có kích thước

xác định

Người ta thường dùng số phép tính làm thước đo

độ phức tạp thời gian thay cho thời gian thực của

máy tính là vì các máy tính khác nhau thực hiện các phép tính sơ cấp (so sánh, cộng, trừ, nhân, chia các

số nguyên) trong những khoảng thời gian khác nhau

Trang 36

Chúng ta cũng sẽ không thực hiện việc phân rã các phép toán sơ cấp nêu trên thành các phép toán bit sơ cấp mà máy tính sử dụng vì việc này là khá phức tạp

Mặt khác cách đánh giá được sử dụng ở đây là

Mặt khác cách đánh giá được sử dụng ở đây là cách đánh giá khả năng xấu nhất của thuật toán

Trang 37

Định nghĩa 1

Một thuật toán được gọi là có độ phức tạp đa thức, hay còn gọi là có thời gian đa thức, nếu số các phép tính cần thiết khi thực hiện thuật toán không vượt quá O(nk), với k nguyên dương nào đó, còn n là kích

quá O(nk), với k nguyên dương nào đó, còn n là kích thước của dữ liệu đầu vào.

Các thuật toán với O(kn), trong đó n là kích thước dữ liệu đầu vào, còn k là một số nguyên dương nào đó gọi là các thuật toán có độ phức tạp hàm mũ hoặc thời gian mũ.

Trang 38

Dữ liệu ra (output): max, số lớn nhất trong mảng a;

Dữ liệu ra (output): max, số lớn nhất trong mảng a;int TimMax(a: mảng các số nguyên);

max = a[1];

for i:2 -> n

if (max < a[i] )

max = a[i];

Trang 39

Vì các phép toán được dùng ở đây là các phép toán

so sánh sơ cấp như ta đã nêu ở trên nên ta sẽ dùng

số các phép toán sơ cấp này để đo độ phức tạp của thuật toán Ta dễ dàng thấy được số các phép toán

so sánh sơ cấp được sử dụng ở đây là 2(n-1) Vì vậy

ta nói rằng độ phức tạp của thuật toán nói trên là O(n) (còn nói là độ phức tạp tuyến tính)

Trang 40

Ví dụ 2.5 Xét độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm

tuyến tính Mảng a[1 n], tìm vị trí xuất hiện phần tử x

int TK_TT(a:mảng số nguyên; x: số nguyên)

return index;

Trang 41

Số bước của thuật toán trong trường hợp xấu nhất là

Trang 42

Ví dụ 2.6 Xét độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm nhị phân.

Mảng a[1 n] đã được sắp xếp, vị trí xuất hiện x.

int TimKiem_NP(a:mảng số nguyên; x: số nguyên)

1 first =1; last = n ;

2 found = false ;

3 While ( first<=last and not found )

index = ( first + last ) div 2;

If (x = a(index) ) found = true

else if (x< a(index) ) last = index –1

else first = index +1 ;

4 If (not found ) index :=-1;

5 return index;

Trang 44

Ví dụ 2.7 Độ phức tạp thuật toán tìm ước số chung lớn nhất hai số nguyên dương

void swap(int a, int b)

Đổi chổ giá trị hai biến a, b

int uscln(int a, int b)

Trang 45

Ví dụ 2.7 Xét độ phức tạp của thuật toán

Số lần thực hiện của một lần đề quy

Số lần đệ quy

Trang 46

Ví dụ 2.8 Đếm số phần tử lớn nhất của mảng số nguyên a[0 n-1]

int countmax(int a[])

Trang 47

Ví dụ 2.9 In ra các phần tử, sao cho phần tử trùng lặp chỉ in một lần từ mảng a[0 n-1]

void printone(int a[])

Đánh giá độ phức tạp thuật toán: ?

So sánh độ phức tạp thuật toán của ví dụ 2.8 và 2.9

Trang 49

tìm số nguyên m lớn nhất mà khi biểu diễn nó theo cơ số 16 thì có các chữ số khác nhau đôi một và tổng các chữ số

khác nhau đôi một và tổng các chữ số (ở cơ số 16) đúng bằng n.

Trang 50

Do một số lớn nhất có thể thành lập từ các chữ số khác nhau trong hệ đếm 16 là FEDCBA9876543210 (= 18 364 758 544 493 064 720) cho nên số n có giá trị lớn hơn 120 thì không cần kiểm tra

Nếu sử dụng thuật toán tìm kiếm tuần tự thì ta sẽ

phải duyệt 18 364 758 544 493 064 720 trường hợp Mỗi trường hợp phải đổi số tương ứng ra cơ số 16, tính tổng các chữ số và so sánh với n Và cuối cùng

là phải tìm số lớn nhất thoả mãn cả hai điều kiện kia Nếu giả định mỗi giây có thể kiểm tra được

1,000,000 trường hợp thì phải mất 5,101,321,817 giờ, hay 212,555,075 ngày, hay 582,343 năm

Trang 51

Như vậy, nếu với cùng các chữ số thì việc sắp đặt

sao cho các chữ số giảm dần từ trái sang phải sẽ cho

Trang 53

không đầy một giây là có kết quả.

Trang 56

Ts chính là giá trị của đa thức tại c Số phép toán 3n

Để ý rằng với thuật toán này việc tính các xk, với k = 1,2, ,n một cách riêng rẽ có thể sẽ tạo ra những sốlớn, hoặc gặp phải những sai số lớn

Trang 59

Ví dụ 2.9 Đánh giá số phép chia số nguyên của thuật toán Euclid để tìm ước số chung lớn nhất của hai số

nguyên a và b, a>b

Trang 62

Tiếp cận thuật toán

Bước 1: Xác định bài toán Nhiệm vụ của giai đoạn này

là làm rõ yêu cầu đặt ra của bài toán Có thể đặt ra và trả lời một số câu hỏi: Bài toán đặt ra vấn đề gì phải

giải quyết Giải quyết những vấn đề này trong phạm vi nào? Xếp thứ tự về tầm quan trọng các yêu cầu đặt ra

nào? Xếp thứ tự về tầm quan trọng các yêu cầu đặt ra

Ví dụ, bài toán đặt ra là “Giải hệ phương trình đại số

tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn” Yêu cầu của bài toán này là “tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình, n ẩn” Yêu cầu quan trọng nhất là “độ chính xác của nghiệm”

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	243,71 KB