Ôn thi đại học chuyên đề bất phương trình chứa căn thức

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN : Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó.. Chúng ta cần sử dụng phép b[r]

Trang 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1 Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.

2 Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.

3 Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.

4 Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiếnthức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình)

 Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phươngpháp để giải

 Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI

VÝ dô 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

x2 3x 2x2 3x 2 0, x   

Trang 2

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là một dạng bất phương trìnhđơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ cácnghiệm của nó Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

f (x) g(x) 0 , với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x) 0

.g(x) 0

VÝ dô 2: Giải bất phương trình:

2

x 1  2(x 1), x 

Trang 3

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠBẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giảiđược.

HOẠT ĐỘNG 2: Giải các bất phương trình:

2

a x  3x 10 x 2, x    .2

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x)bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình

 Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 4

Cách 1: Với điều kiện 3x2  1  0 tức x 1 ,

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình:

Trang 5

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với:

Cách 2: Với điều kiện 1  x3  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 6

Cách 3: Với điều kiện x  1 nhận xét:

 VP là hàm đồng biến

 VT là hàm nghịch biến

 Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn

một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhậnđược cách giải hay

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánh giá.

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với:

x = a.cost, t  [0; ]

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

2 2

2 2 2

) x a ( x a

0 x

a

0 x a

a x a

Trang 7

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a   x  0 hoặc x = a

0 t cos 1

0 t cos a a

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a   x  0 hoặc x = a

g(x) 0 hoặc  



g(x) 0(II) :

f(x) g (x) (*)Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phươngtrình (*)

    2x 1 1 x, x

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠBẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giảiđược

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhận xét rằng x0 = 0 thoả mãn VT = VP

 Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 8

 2x 1 1     x 0     

 

2x 1 1

x 0 2x 1 1

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

Cách 1: Bất phương trình tương đương với:

2x 1 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

Cách 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức x 1

Trang 9

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.

Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

 thì:

Trang 10

Và hệ (II) có dạng:

1x

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0]

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Nếu sử dụng lược đồ trong “DẠNG

CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn  Để giải được bất phươngtrình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t x2 3x 6, t 0

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng:

Trang 11

 Giải

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2]

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bấtphương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình vềdạng cơ bản

Trang 12

0 1 x

 

 

     2x 1 1 2x 2   2x 1 2x 1

 

  

2 2

4x

2x 2, x (1 1 2x )   

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bấtphương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình vềdạng cơ bản

Trang 13

2 2

2x

x 21, x (3 9 2x )   

x + 2x2

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bấtphương trình

Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng

Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình

Điều kiện:

x2 - 4 > 0  x > 2 (*)

Trường hợp 1: Với x < 2 thì bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm).

Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được:

x2 + 4x2 2

x  4 +

2 2

4x

x  4 > 45  2x4

x  4 + 4

2 2

x

x  4 > 45 (2)Đặt t =

2 2

Trang 14

Kết hợp với trường hợp đang xét, ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

2x 1 0

x 2x 0 3x 2x 1 0

Trang 15

Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0.

x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x 4 

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI

Tới đây, ta sẽ nhận được bất phương trình dạng cơ bản

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số

Trang 16

 VP là hàm hằng.

Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x 0 " rồi chuyển về dạng

x 2 1 x 5 4

0

Trang 17

 VT là hàm đồng biến.

 VP là hàm hằng

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +)

Câu hỏi được đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?

 Ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t x (t0) và khi đó ta nhận được bấtphương trình dạng:

t  4t  1 t 3t 1.

Trong trường hợp này cần phải giải một bất phương trình cao hơn 2

Trang 18

 Từ việc đánh giá hệ số và x hoàn toàn được đưa vào căn bậc hai nênnếu chia cả hai vế của phương trình cho x0 sẽ thấy xuất hiện

Trang 19

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình.

Với x > 0, biến đổi bất phương trình về dạng:

xx

2x

Trang 20

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là 0;1 4; .

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Biến đổi bất phương trình về dạng:

0 x u

.Khi đó, bất phương trình có dạng:

2 2

2

) v u ( v u 0 v u

0 v u

0 2 x

2  x = 4Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 4

Trang 21

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là bất phương trình không mẫu

mực chứa căn bậc hai và được cho dưới dạng phân thức P(x) k (k lµ h»ng sè)

do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá dần như sau:

 Nhận xét về dấu của Q(x) đề chuyển bất phương trình về dạng:

Hướng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Và với hướng này cần có kinh nghiệm tốt trong việc biến đổi đại số

Hướng 2: Sử dụng ẩn phụ t x (t0) và phép biến đổi tương đương giống

như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 4 theo t

Trang 22

Hướng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tương đương

giống như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 2 theo

t Cụ thể trong bài toán này chúng ta sẽ đặt t 1 x

x

Hướng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán

này chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2)  (a + b)2 bởi ta cóbiến đổi:

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

Trang 24

Vậy, bất phương trình có nghiệm x 3 5.

2

x 2ax a = 2 2 2 ax a 2

a 2

a a ax 2

 

Tới đây, cần sử dụng đúng tính chất giá trị tuyệt đối

Ta có nhận xét:

Trang 25

a 2

a a ax 2

| a a ax

2

a 2

| a a ax 2

|  2   2a

a ax

2  + a| + | 2

a ax

2  - a|  2a

a ax

2  - a| a - 2

a ax

2   2

a ax

2  - a  0

a ax

0 a ax

3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU

Trang 26

Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.

3

2 3x 2 3 6 5x 8 0, x      

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI

VÝ dô 20: (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

5x 1  x 1  2x 4, x  

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là bất phương trình vô tỉ và cóthể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng f (x)

> g(x) + h(x) , do đó các bước thực hiện bao gồm:

Bíc 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình (*)

Bíc 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 27

Biến đổi bất phương trình về dạng:

5x 1 > 2x 4 + x 1

 5x  1 > 2x  4 + x  1 + 2 (2x 4)(x 1) 

 (2x 4)(x 1)  < x + 2  (2x  4)(x  1) < (x + 2)(*) 2

 x2  10x < 0  0 < x < 10

Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2  x < 10

Nhận thấy nhân tử chung x 1 , nên ta sẽ thực hiện theo các bước:

Bíc 1. Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

Bíc 2. Sử dụng phương pháp chia khoảng

luôn đúng vì với x  4 ta được VT > 0 và VP < 0

Vậy x  4 là nghiệm bất phương trình

Trường hợp 2: Với x  1 thì:

(1) (1 x)(2 x)   (1 x)(3 x) 2 (1 x)(4 x)    

Trang 28

Với x = 1, bất phương trình nghiệm đúng.



Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa

khẳng định được dấu của hai vế

Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiệnthí dụ trên, cụ thể:

Trang 29

(x - 1)( 2x 1  - 3)  0



x 1 0 2x 1 3 0

x 1 2x 1 3

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 5]

b Hướng dẫn: Điều kiện x  1.

Biến đổi tương đương bất phương trình:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [5; 14)

b Bất phương trình tương đương với hệ:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 4x2  1  0 tức x 1

Trang 30

 x  1  0  x  1.

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3)

Cách 2: Với điều kiện x + 1  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về

Trang 31

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3.

Trang 32

x 27x9  x > 2.

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

HOẠT ĐỘNG 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

a

x  =

t cos

| a

|

Trang 33

t cos a

2 2  1  sint + 2cos2t  2sin2t - sint - 1  0

0 a x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|

| x

|

| a

|

| x

|

| a

|

| x

|

0 x

2 2 2 2 2 2 2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

|

0 x

 

3

| a

|

x 2 0(I) :

Trang 34

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

HOẠT ĐỘNG 7: Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

4

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):

 Với x 1 0  tức x  1 thì:

Trang 35

   Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ; 1

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (4; 1)

HOẠT ĐỘNG 9: Điều kiện:

Trang 36

0 x 2

x 4 1 1 (   2   2 < 3(1 + 2

x 4

1  )

 4x < 3 + 3 2

x 4

1   3 2

x 4

2

) 3 x ( ) x 1 (

9

0 3 x

0 x 1

0 3 x

) 3 x ( ) x 1 ( 9 4 x 2

| x

| 4 x

0 x 2

0 x 1

13

3 1 x

2

) x 1 ( x 1

0 x 1

2 x 2 3 x

2

1 x 3

0 x

Trang 37

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 2 9 6 x 9

2 2

) x 9 3

Trang 38

tức là (1) được biến đổi về dạng:

Trang 39

 VP là hàm hằng.

do đó, điều kiện cho ẩn phụ t là t 3.

4

Khi đó, bất phương trình có dạng:

t + t  3 < 3  t + t + 3 + 2 t(t  3) < 9  t(t  3) < 3 - t

Trang 40

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2).

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2)

Viết lại phương trình dưới dạng:

5( x +

x 2

1

) < 2(x +

x 4

1

Đặt t = x +

x 2

1

, ta có nhận xét:

x +

x 2

1

+ 1  x +

x 4

2

 t > 2  x +

x 2

1

> 2

Đặt X = x , X > 0, khi đó:

Trang 41

X +

X 2

2 2 2 X

2 2 2 x

3 x 0

2 2

3 x

2

0 6 x 12 x

Biến đổi bất phương trình về dạng:

) 1 x 2 ( 2 ) 2 x

(

2  2   > x + 2 + 2 x  1 (2)Đặt

0 1 x 2 u

2 2

u 0 v u

0 v u

2  u  v.Xét trường hợp u = v

1 x

Suy ra, để u  v, ta phải có x  [

(

2     x  1 + x - 3

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x  1 và v = x - 3

HOẠT ĐỘNG 18:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Viết lại bất phương trình dưới dạng:

Trang 42

1 1 x 2 1

x     + x  1  2 x  1  1 >

2 3

 ( x  1  1 ) 2 + ( x  1  1 ) 2 >

2

3

.Điều kiện:

0 1 1 x

2 1 x 2

0 1 1 x

2 x

4

4x4

4

44

Trang 43

Suy ra, nghiệm trong trường hợp này là x < 22.

Suy ra (1) nghiệm đúng với mọi x

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là [1; +)

x x

0 1

x x

0 1

x

2 2

 x  1

(*)Nhận xét rằng:

VT = x  x2 1 + x  x2 1  2 x  x2 1 x  x2 1 = 2.Vậy, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

x x

0 1

x x

0 1

x

2 2

 x  1

(*)Bình phương hai vế của bất phương trình, ta được:

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 1

HOẠT ĐỘNG 20: Điều kiện:

7

0 7 x

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ:

u = x  7 và v = 7 x  6 , với u, v  0

Khi đó, bất phương trình có dạng:

u + v + 2uv < 181 - (u2 + v2  1)  (u + v)2 + (u + v)  182 < 0

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,77 MB