Câu 2: Giải hệ phơng trình.. Chứng minh rằng khi M di động trên P thì đờng thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng khi M di động trên P thì thì trung điểm I của MT chạy t
Trang 1Đề thi học sinh giỏi 12 (Thời gian làm bài 180’)
Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số
Câu 2: Giải hệ phơng trình
x+y = 4 z 1
y + z = 4 x 1
z + x = 4y 1
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2 = 4x M là một điểm di động trên (P) M 0, T là một điểm trên (P) sao cho T 0, OT vuông góc với OM
a Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đờng thẳng MT luôn đi qua một
điểm cố định
b Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1
pa ra bol cố định
Câu 4: Giải phơng trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =
2
3 3
Câu 5: Cho dãy số In =
n
n
dx x
x
4
2
cos
Tính
nlim In
Câu 6 : Cho 1 a > 0, chứng minh rằng
1
ln
a
a
<
3
3 1
a a
a
Ngời ra đề :Ngô Quốc Khánh
Trờng PTTH Lam Sơn
Trang 2Đáp án
Câu 1: (3 điểm )
Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6
y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1)
Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3
g(g( -1) g(1) g( 2)1) 00
0 1)
2) g(g(
g(x) liên tục nên phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
* Ta có y =
4
1 y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) Gọi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam giác ABC
Theo ĐL Viet có x1 + x2 + x3 = 0 (2)
x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)
Từ (2) suy ra x0 =
3
3 2
x
= 0
Từ (1) (2) (3) suy ra:
y0 =
3
1
(y1+y2+y3) = -3 (x12x22x32)-(x1+x2+x3) - 6
= -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
Vậy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM)
Câu 2: ( 2 điểm)
x+y = 4 z 1 (1)
y + z = 4 x 1 (2) (I) đk x,y,z >
4 1
z + x = 4y 1 (3)
áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:
1 ).
1 4 ( 1
4z z <
2
1 ) 1 4 ( z
Tơng tự 4 x 1 < 2x (2’) 4y 1< 2y (3’)
Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra
2(x+y+z) = 4z 1 4x 1 4y 1< 2z + 2x + 2y (4)
Từ (4) suy ra:
4z - 1 = 1 (I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z =
2
1 nghiệm đúng (I) 4y - 1 = 1
Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z =
2 1
Câu 3: (P): y2 = 4x
a (3điểm ) Giả sử M y y1
2 1
; y y2
2 2
T với y1,y2 0; y1 y2
Trang 3OTOM y .y 0
4
y 4
y 0 OM
y1 y2 + 16 = 0 (1)
Phơng trình đờng thẳng MT:
y -y
y -y 4
y -4 y
4
y -x
1 2
1 2
1 2 2
2 1
4x - 2
1
y = (y1 + y2) (y-y1)
4x - (y1 + y2) y - 16 = 0 4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0
Nên đờng thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)
b (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì
x0 = y y 8
2 2
y0 =
2
y
y1 2
Từ (1) suy ra x0 =
8
1 (y1+y2)2 - 2y1y2 =
8
1 (2y0)2 - 2 (-16)
=
2
1 2 4
0
y y02 = 2x0 - 8
Từ đó I chạy trên parabôn (P) : y2 = 2x = 8 cố định
Câu 4: (3 điểm)
sin x + sin y + sinz (x+y) =
2
3
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có
2
) 2
3 3 (
4
27
= [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + sin2(x+y))
= 3
2
2 cos 1 2
2 cos
+sin2 (x+y)
= 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)]
= 3 2-(cos (x+y)+
2
1 cos (x-y)2) +
4
1 cos2 (x-y)
< 3 (2- 0 +
4
1 ) = 4
27 (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) +
2
1 cos (x-y)2 > 0
Từ (2) suy ra:
cos2 (x-y) = 1 (1) cos (x+y) +
2
1 cos (x-y) = 0
sinx = sin y = sin (x+y) =
2 3
với k , n Z
2n
2k
Trang 4Câu 5: (3 điểm) dx
x
cosx
I 2n
n
Ta chứng minh: 0 < In <
n
4
1
(1)
Ta có: In =
n
x
4
2
cos
dx =
n
x d
4
4
) (sin
=
x
x
sin
n
n
2
4
-
n
4
2
)
1 ( sin
=
n
x
4
2 2
sin dx
* Ta có: sin2
x
x
< 12
x x 2n , 4n nên
In <
x x
dx
n
n
1 4
2
2
n
n
2
4
= -
1 2
1 4
1
* Ta có: In = 2 1
n n
) 1 ( 2
2
2 sin
k
x
dx đặt JK =
) 1 ( 2
2
2 sin
k
x
dx
=> JK =
) 1 2 (
2
2 sin
k
x
) 1 ( 2
) 1 2 (
2 sin
k
x
dx >
) 1 ( 2
2 sin
k
k
) (
1 1
x
Ta lại có: In = 2 1
n n k
Từ (2) (4) suy ra 0 < In
n
4
1
Ta lại có
n Lim
n
4
1
= 0 nên Lim In 0
Câu 6: (3 điểm)
1
ln
a
a
<
3
3 1
a a
a
(1) với 1 a > 0 Trong hợp 1: a >1
(1) <=> (a + 3 a)lna < (1 + 3 a) (a-1) (2) Đặt x = 3 a => x >1
(2) <=> 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) x > 1
<=> x4 + x3 - x - 1 - 3 (x3+x)lnx > 0 (3) x > 1
Đặt f(x) = x4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx x 1;+)
Ta có f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 (3x2 + 1) lnx + (x3 + x)
x
1
= 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx
f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x -
x
1 ) f(3)(x) = 3 ( 8x + 12
x -6ln x - 9)
f(4)(x) = 3.(8- 6 23
x
4 ( 6
x
x
x
=
3
4 )(
1 ( 6
x
x x
> 0 , x > 1 Suy ra f(3)(x) đồng biến nên [1;+)
Trang 5 f(x)> f (1) = 0 với x >1 suy ra (3) đúng.
Tr
ờng hợp 2: 0 < a < 1 đặt a =
1
1
a , a1 > 1 quay về trờng hợp 1.
Tài liệu tham khảo
1 Hàm số - Tác giả : Trần Phơng
2 Tạp chí " Crux - Mathematicorum " Tạp chí toán học Ca na đa