ĐỀ CƯƠNG PTLG xác xủa HOÁN vị CHỈNH hợp NIUTOWN năm 17 18 lop 12 cơ bản

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Dạng at b 0 trong đó a,b là các hằng số a�0và t là một trong các hàm số lượng giác.. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I CÔNG THỨC

I 1 Công thức lượng giác cơ bản

2

2

2

1

1

a

I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối:  à

b Cung bù:  à 

c Cung phụ: à

2

v 

c

c

d Cung hơn kém  : à   

I 3 Công thức cộng

 

 

 

 

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

 

 

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b

a b



 





 



I 4 Công thức nhân đôi

2 tan tan 2

1 tan

a a

a





I 5 Công thức hạ bậc



I 6 Công thức tính theo tan

2

t 

2

I 7 Công thức nhân ba

2

3tan tan sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan 3

1 3tan

a





I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích

 

sin

a b

 

sin sin 2 os sin

sin

a b

I 9 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2

1

2

1

2

I 10 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung 0 

30 6



� �

� �

� �

0 45 4



� �

� �

� �

0 60 3



� �

� �

� �

0 90 2



� �

� �

� �

0 2 120

3



� �

� �

� �

0 3 135

4



� �

� �

� �

0 5 150

6



� �

� �

180 

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3

1 3

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

II.1.1 Phương trình sin x a 

� a 1: Phương trình vô nghiệm

ţ a 1

2



 

�

360 sin sin







x arc a k



�

Tổng quát: sin   sin          2  

2



�

* Các trường hợp đặc biệt

2

2 sin 0



�

�

�

II.1.2 Phương trình cos x a 

� a 1: Phương trình vô nghiệm

ţ a 1

 c x cos  os � x� k2k��

c x c  � x� k k��

 c x aos  �x�arcc a kos  2k��

Tổng quát: c f xos   c g xos   � f x  �g x k2 k��

* Các trường hợp đặc biệt

os 0

2



�

�

�

II.1.3 Phương trình tan x a 

tan = arctan



�

�

�

Tổng quát: tan f x  tang x  � f x  g x  k k��

II.1.4 Phương trình cot x a 

cot cot x = + k

cot cot x = + k180

cot x = arc cot + k









�

�

�

Tổng quát: c f xot   c g xot   � f x  g x k k��

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Dạng at b 0

trong đó a,b là các hằng số a�0và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: 2sin 1 0; os2 1 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0

2

Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

II.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: dạng 2

0

at   bt c , trong đó a, b, c là các hằng số a�0 và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ:

a) 2

2sin xsinx 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x

b) 2

cos x cosx  là phương trình bậc hai đối với cos2x

c) 2

2 tan xtanx 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

d) 3cot 32 x2 3 cot 3x 3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x

Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t

giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện  � �1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos).

II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:

có dạng a.sin 2x b sin cosx x c c os 2xd a b c , , � 0

Phương pháp:

� Kiểm tra cosx0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.

� cosx�0chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:

a d tan2 x b tanx c d  0

II.2.4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : dạng asinx b cosx c

trong đó a b c, , �� và a2b2 �0

Ví dụ: sinxcosx1; 3cos 2x4sin 2x1;

Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

 Nếu 2c 2 1

 : Phương trình vô nghiệm.

 Nếu 2c 2 1

 thì đặt cos 2a 2 sin 2b 2

(hoặc sin 2a 2 cos 2b 2

Đưa phương trình về dạng: sinx  2c 2



 (hoặc cosx  2c 2



 ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Điều kiện để phương trình asinx b cosx c trong đó a b c, , �� và 2 2

0

a b � có nghiệm khi

c �a b

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa,

A hàm số lượng giác có tập xác định là �

B hàm số ytanx có tập xác định là �.

C hàm số ycotx có tập xác định là �.

D hàm số ysinx có tập xác định là �

Câu 2. Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác có tập giá trị là 1;1

B hàm số ycosxcó tập giá trị là 1;1

C hàm số ytanxcó tập giá trị là 1;1

D hàm số ycotxcó tập giá trị là 1;1

Câu 3. Xét trên tập xác định thì

A hàm số ysinxlà hàm số chẵn

B hàm số ycosx là hàm số chẵn.

C hàm số ytanx là hàm số chẵn.

D hàm số ycotx là hàm số chẵn.

Câu 4 Cho biết khẳng định nào sau đây là sai?

Xét trên tập xác định thì

A hàm số ycosxlà hàm số lẻ.

B hàm số ysinx là hàm số lẻ

C hàm số ytanx là hàm số lẻ.

D hàm số ycotx là hàm số lẻ.

Câu 5. Ta có:

Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

B hàm số ycosx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

C hàm số ytanx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

D hàm số ycotx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

Câu 6. Xét trên tập xác định thì

A đồ thị hàm số lượng giác đi qua gốc tọa độ

B đồ thị hàm số ysinx đi qua gốc tọa độ

C đồ thị hàm số ycosx đi qua gốc tọa độ.

D đồ thị hàm số ycotx đi qua gốc tọa độ.

Câu 7.

A hàm số lượng giác luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

B hàm số ycosx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

C hàm số ytanx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

D hàm số ycotx luôn đồng biến trên khoảng 3 ;5

 

Câu 8. Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy?

Câu 9. Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2

B hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2

C hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

D hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 2

Câu 10. Xét trên một chu kì thì đường thẳng y m (với 1 � � ) luôn cắt đồ thịm 1

A hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm

B hàm số ysinx tại duy nhất một điểm

C hàm số ycosx tại duy nhất một điểm.

D hàm số ycotx tại duy nhất một điểm.

Câu 11. Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

B hàm số ysinx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

C hàm số ytanx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

D hàm số ycotx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Câu 12. Trên khoảng ( 4 ; 3 )    , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương?

Câu 13. Trên khoảng 7 ; 5

� �, hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm?

Câu 14. Các hàm số ysinx, ycosx, ytanx, ycotx nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây?

A 2 ; 3

2





3

;

2 

C ;

2







Câu 15. Hàm số y 5 3sinx luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây?

Câu 16. Hàm số y 5 4cosx3sinx luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây?

Câu 17. Trên tập xác định, hàm số ytanxcotx luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây?

A  � � ;  B  �; 2.

C 2;�  D  �; 2 �2;� 

2

x  chỉ có các nghiệm là

4

x  k 

4

x  k 

( k��)

4

x   k 

4

x   k 

( k��)

4

x   k 

4

x   k 

( k��)

4

x  k 

4

x   k 

( k��)

Câu 19. Phương trình cos 6

2 2

x  chỉ có các nghiệm là

3

x  k 

3

x  k 

( k��)

6

x  k 

6

x  k 

( k��)

6

x  k 

6

x   k 

( k��)

3

x  k 

3

x   k 

( k��)

3 2

x  chỉ có các nghiệm là

A

6

x  k

6

x   k

( k��)

C

3

x  k

3

x   k

( k��)

2

x  chỉ có các nghiệm là

A

6

x  k

6

x   k

( k��)

C

3

x  k

3

x   k

( k��)

Câu 22. Phương trình sinxcosx chỉ có các nghiệm là

A

4

x  k

4

x  k 

( k��)

C

4

x  k

và

4

x   k

4

x  k 

4

x   k 

( k��)

Câu 23. Phương trình tanxcotx chỉ có các nghiệm là

4

x  k 

4

x  k

( k��)

C

x  k

x  k

( k��)

Câu 24. Phương trình 4sin2x3 chỉ có các nghiệm là

3

x  k 

3

x   k 

( k��) B

3

x  k

và

3

x   k

( k��)

C

6

x  k

và

6

x   k

6

x  k 

6

x   k 

( k��)

Câu 25. Phương trình tan2x3 chỉ có các nghiệm là

3

x  k 

3

x   k 

( k��) B

3

x  k

và

3

x   k

( k��)

C

6

x  k

và

6

x   k

6

x  k 

6

x   k 

( k��)

Câu 26. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sinx ?0

Câu 27. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 cos2x1?

2

Câu 28. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2

tan x3?

A cos 1

2

4 cos x1

C cot 1

3

3

x  .

Câu 29. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 3sin2xcos2x?

A sin 1

2

2

sin

4

Câu 30. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx ?1

A sin 2

2

2

Câu 31. Phương trình sinxcos 5x chỉ có các nghiệm là

4

x  k 

4

x   k 

( k��) B

4

x  k

và

4

x   k

( k��)

C

x  k

và

x   k

( k��) D

x  k

và

x  k

( k��)

Câu 32. Trên khoảng 0; , phương trình tan tan 3 x x 1

A chỉ có các nghiệm là ; ;5

6 2 6

  

B chỉ có các nghiệm là ; ;3

6 4 4

  

C chỉ có các nghiệm là

x  k

( k��)

D có các nghiệm khác với các nghiệm ở trên

Câu 33. Phương trình 2sin2x7sinx 3 0

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm là 2

6

x  k 

( k��)

C chỉ có các nghiệm là 5 2

6

x  k 

( k��)

D chỉ có các nghiệm là 2

6

x  k 

6

x  k 

( k��)

Câu 34. Phương trình 2cos2x4 3 cosx  3 0

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm là 2

3

x  k 

( k��)

C chỉ có các nghiệm là 2

6

x  k 

( k��)

D chỉ có các nghiệm là 2

6

x  k 

6

x   k 

( k��)

Câu 35. Phương trình 2sin2x7 cosx 5 0

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm là 2

3

x  k 

( k��)

C chỉ có các nghiệm là 5 2

3

x  k 

( k��)

D chỉ có các nghiệm là 2

3

x  k 

3

x   k 

( k��)

sin x4sin cosx x3cos x0có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

tan 1

1 cot

3

x x



�

�

�

Câu 37. Phương trình sin2 x4sin cosx x4cos2x5có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

nào sau đây?

2

x 

1 tan

2 cos 0

x x

�

�



�

Câu 38. Phương trình tanx5cotx có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?6

C tan 1

tan 5

x x



�

tan 2 tan 3

x x



�

Câu 39. Phương trình cos 2x3cosx có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?4

2

x 

C

cos 1

5 cos

2

x x



�

�

�

5 cos

2

x x

 

�

�

�

Câu 40. Phương trình cos 2x5sinx  có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau6 0

đây?

A sin 5

2

C

7 sin

2

x x

 

�

�

�

7 sin

2

x x

 

�

�

�

Câu 41. Phương trình sinxcosx chỉ có các nghiệm là1

A

2

2 4

k

�  

�

�

�

�   

�

4

k

�  

�

�

�

�   

�

�

C

2

2 2

x k

k





�

�  

�

2

2 4

x k

k





�

�   

�

�

Câu 42. Phương trình sinxcosx  chỉ có các nghiệm là1

A

2

2 4

k

�  

�

�

�

�   

�

4

k

�  

�

�

�

�   

�

�

C

2

2 4

x k

k





�

�  

�

2 1

2 2

k



�

�   

�

�

Câu 43. Phương trình sinx 3 cosx chỉ có các nghiệm là1

A

2

7 2 6

k

�  

�

�

�

�

2

7 2 6

k

�   

�

�

�

�   

�

�

C

2

7 2 6

k

�   

�

�

�

�

2

7 2 6

k

�  

�

�

�

�   

�

�

Câu 44. Phương trình 3sinx(m1) cosx m 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi

Câu 45. Phương trình tanx m cotx  (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi8

C m� 16 D m� 16

Câu 46. Phương trình 16 cos cos 2 cos 4 cos8x x x x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình1

nào sau đây?

C sinxsin16x D sinxsin 32x

Câu 47. Phương trình 2n1cos cos 2 cos 4 cos8 cos 2x x x x n x1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

phương trình nào sau đây?

A sinx 0 B sinxsin 2n x

C sinxsin 2n1x D sinxsin 2n 2x

Câu 48. Phương trình sin 3xsin 2xsinxcó tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau

đây?

C cos 1

2

sin 0

1 cos

2

x x



�

�

�

Câu 49. Phương trình cos5 cos3x xcos 4 cos 2x xcó tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào

sau đây?

C cos8xcos 6x D sin 8xcos 6x

Câu 50. Phương trình sin4 xcos4x1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

cos 0

x x



�

Câu 51. Phương trình sin2m xcos2m x1(m�1,m��) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương

trình nào sau đây?

cos 0

x x



�

Câu 52. Phương trình sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos3x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

phương trình nào sau đây?

A sin 3

2

C cos 1

2

1 cos

2 cos 2 sin 2

x

�

�



�

Câu 53. Phương trình sin 3xcos4xsin4 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau

đây?

A cos 2xsin 3x B cos 2x sin 3x

C cos 2xsin 2x D cos 2x sin 2x

Câu 54. Phương trình sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương

trình nào sau đây?

A sin 5x 1 B cos 3x cosx

C cos3xcosx D cos3x cosx

Câu 55. Phương trình tanxtan 2xsin 3 cosx x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào

sau đây?

cos 2 0

x x



�

Câu 56. Phương trình 2sin2x5cosx5 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau

Câu 57. Phương trình 3cos2x4sinx10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như

sau

Câu 58. Phương trình 2 cos 4xsin4 x 1

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm 6

6

x

x





� 

�

�

�  

�

C chỉ có các nghiệm

2

2 6

k

�  

�

�

�

�   

�

�

D chỉ có các nghiệm 6 ( )

6

k

�  

�

�

�

�   

�

�

cosxsinx 3sin 2x

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm 12

5 12

x

x





� 

�

�

� 

�

C chỉ có các nghiệm 12 ( )

5 12

k

�  

�

�

�

�

�

D chỉ có các nghiệm

2

5 2 12

k

�  

�

�

�

�

�

cosxsinx  1 cos 3x

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm 10

2

x

x





� 

�

�

�  

�

C chỉ có các nghiệm 10 ( )

2

k

�  

�

�

�

�   

�

�

D chỉ có các nghiệm

2

2 2

k

�  

�

�

�

�   

�

�

Câu 61. Phương trình sin4 cos4 3

4

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm ,

x  k k��

C chỉ có các nghiệm

2

2 8

k

�  

�

�

�

�   

�

�

D chỉ có các nghiệm 8 ( )

8

k

�  

�

�

�

�   

�

�

Câu 62. Phương trình sin6 cos6 7

16

A chỉ có các nghiệm ,

x  k k��

B chỉ có các nghiệm ,

x   k k��

C chỉ có các nghiệm 6 2 ( )

k

�  

�

�

�

�   

�

�

D vô nghiệm

Câu 63. Phương trình

tan 3 tan

1

1 tan 3 tan



A chỉ có các nghiệm

, 2

�  

�

�

�

�

�� 

�

�

�

B chỉ có các nghiệm 2 ,

3

x  k  k��

C chỉ có các nghiệm ,

x  k k��

D vô nghiệm

Câu 64. Phương trình sin4 cos4 3 cos

4

x

A vô nghiệm

B chỉ có các nghiệm 2 ,

3

x k  k��

C chỉ có các nghiệm 2 ,

5

x k  k��

D chỉ có các nghiệm 2

5

x k 

5

x k  k��

ĐÁP ÁN Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20

Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30

Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 66 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40

Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50

Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60

Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64

CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NIUTƠN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I QUI TẮC ĐẾM

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương án A có thể

thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n +

m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;

công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách