PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử 2019 CHỈNH sửa XONG

Chương I CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.. Dùng hằng đẳng thức Ví dụ 1.P

Trang 1

Chương I CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 Đặt nhân tử chung

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 12x y3 6 x y2 3 x y2 2 b)5(x3 ) 15 (y  x x3 )y

chung

Bước 1 Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số.

Bước 2 Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của

nó trong các hạng tử Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó.

Lời giải

Ta có:

a) 12x y3 6 x y2 3 x y2 2  3x y2 4 – 2 x  y

b)5(x3 ) 15 (y  x x3 ) 5(y  x3 )(1 3 )y  x

c) 2(x y ) y y x(  ) 2(x y ) y x y(  ) ( x y)(2 y)

d) 5x y x2  7 5   xy7  x 5x y x2  7 5   xy x 7 5  xy x 7  x 1 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

4) 5a 10ax 15a 5) 3a x 6a y 12a2  2  6) 2axy 4a xy 2 26a x3 2

7) 5a xy 10a x 15ay 8) a b 2ab2  2ab 9) 5a b 2ab2  2ab

 2 3 3 2 2 2

10) 3x y 6x y x y 11) 5x y2 410x y4 25x y2 2 12) 2x y3 44x y4 321y3

3 2 2 3 4

13) 4x y 8x y 12x 14) 7x y 14x y 2 5 3 421y3 15) 8x y 16xy 3  224

     

1) 2 x y a x y 2) a x y   b x y  3) 2a x y   4 x y 

     

2

4) 5a x y 10a x y 5) 2ab x y    4a x y   6) 3a x y   2 x y 

     

7) mx a b m a b 8) x a b y b a      9) a x 1 b 1 x     

   2  

10) 2a x 2 a x 2 11) ab x 5 a 5 x   2   12) 2a x y2   4a y x  

     

13) 3ab x 4 9a 4 x 14) 2a x 1 4a 1 x 2      15) a x 3 a 3 x   2  

   2  

16) 2xy a 1 4x y 1 a 17) 5x y x 7 5xy 7 x2       18) 3ab x y   3a y x  

19) 3a x 3 a 3 x 20) 2a b x y2    4a b x y3    21) 7a x 2y 14a 2y x   2  

 

m 1 m

 

m 2 2

2 Dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 2

2019 - 2020

9 a b  4 a2b

c)8x3  27y3 d) 125 75 9 x  x2  x3

Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải:

Ta có:

a)1 00x2 9y2 10x3y 10x3y

9 a b 4 a2b ��3 a b 2 a2b ��3 a b 2 a2b �� a7b 5a b

c) 8x3 27y3 2x3y 4x2 6xy9y2

125 75 x15x x  5 x

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)

2 4 2

a b  b

a b  a b

36 x y 25 2x1

a)

2

d)4x4 16x y2 3 16y6 e)9x4 12x5 4x6 f)9x6 12x7 4x8

125 x 2

2 3

64 48 m12m m

a b c

3 Nhóm các hạng tử

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)x a b    a b b) 3a x2 3a y abx aby2  – c) ax bx cx  2a2b2 c

Tìm cách giải Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng

đẳng thức Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng thử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung

Lời giải

a)x a b    a b a b x   1

b) 3a x2 3a y abx aby2   3a x y2  ab x y   a x y   3a b 

Trang 3

c) ax bx cx  2a2b2c x a b c    2a b c    x2 a b c  

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)a2 –b24a4 ;b b)   2 2

xy  x y c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a  b ab –a b –b c –c a

Tìm cách giải Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức Vậy

chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức.

Lời giải

a)a b a b     4 a b   a b a b 4     

b)xy 4 2x 2y xy 4 2x 2y        

x y 2 2 y 2 x y 2  2 y 2 

x 2 y 2 x 2 y 2      

c)a2b2ab ab a   2b2ab ab  c a2 2b2

 2 2  2 2

a b �a b c �

a2 b2 a b c a b c  

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

1) 3 (x x 2) 5.(x2)

2

2) 7 (x x 3) 14.(3x)

2

3) 5 (x x y ) 15 (x x y )

4) 10 (x x y ) 15 (x y x )

5) 5 (2x x3 ) 15.(3y  y2 )x

1) a(b c) d(b c) e(b c)    

2) a(b 3) (3 b) b(3 b)    

3) 15a b(x  y) 20ab (x  y) 25ab(y x )

4) (3a 6b) m(a 2 b) n(2 b a)    

a) (xy+1)2-(x+y)2;

b) a b c a b c c

; c) (a2 + 9)2 - 36a2

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2;

b) a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1;

c) b c4 2 2(b2c2a2 2)

Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 - 4xy + 4y2 - 9a2;

b) xy(a2 + b2) - ab(x2 + y2);

c) x2(a - b) - 2xy(a - b) + ay2 - by2;

d) 8xy3 - x(x-y)3

Trang 4

2019 - 2020

a) A = x24x y2 2y22xy ;

b) B = x6y6

; c) C4 (xy x2y2) 6( x3 y3 x y xy2  2) 9( x2y2)

c) D = 25 a2 2ab b 2

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x33x y2 4xy212 ;y3 b) x34y22xy x 2 8 ;y3

c) 3 (x a b c2   ) 36 (xy a b c  ) 108 (y a b c2   ) d) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)

a) x 3 – x 2 – x + 1;

b) x 4 – x 2 + 2x – 1;

c) 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2;

4 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Tìm cách giải: Các đa thức không có nhân tử chung, cũng không ó dạng hằng đẳng

thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp

Lời giải

a)x2 6x 8

( 4)( 2)

( 2)( 4)

b) 2x2  3 1.x 

Trang 5

Ta có    2   2   2      

f x  x  x  x x  x   x x  x ��x  x��

 x1 2x1

Chú ý 1: Mặc dù có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là tách hạng tử bậc

nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac và b1+ b2 = b

Chú ý 2: Ta cũng thực hiện cách làm như trên với đa thức có dạng a x. 2 bxy cy 2

Lời giải

a)x2 3xy2y2 x2 xy2xy2y2 x x y(  ) 2 ( y x y ) ( x y x )( 2 )y

b) x2 2xy3y2  x2 xy3xy3y2 x x y(  ) 3 ( y x y ) ( x y x)( 3 )y

Ví dụ 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x  x xy y  y

Tìm cách giải: Đa thức trên là đa thức bậc hai, có hai biến x và y nhưng không có

dạng a x. 2 bxy cy 2

ta thấy hệ số của

2

x

là số chính phương nên ta đưa các hạng tử chứa x vào bình phương của một tổng hoặc một hiệu Từ đó xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

Lời giải

2 2 2 2 2 (1 ) 2 2 2

x  x xy y  y x x  y  y  y

2

2 2

2

1

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

7)  8x2  23x 3 8)  10x2  11x 6 9)  10x2  7x 6

10)  10x2  17x 6

1)

2 3 2 2

x  xy y 2)x2 xy6y2 3)2x2 3xy2y2

4)

Trang 6

2019 - 2020

1)

x  y  xy x   y 2) x2   x xy 2 y2  2 y

3)

x  xy x   y  y 4) x2 4 xy   2 3 x y2 6 y

5)

6 x    xy 7 x 2 y   7 y 5 6) 3 x2 22 xy    4 x 8 y 7 y2 1

7)

2 x   5 12 x y  12 y   3 10 xy 8) 2 x2 7 xy x   3 y2 3 y

9)

6 x xy   2 y   3 2 x y 10) 4 x2 4 xy  3 y2  2 x 3 y

11)

2 x  3 xy   4 x 9 y  6 y 12) 3 x2 5 xy  2 y2  4 x 4 y

5 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Tìm cách giải: Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung,

không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng Vì vậy

ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các phương pháp phân tích đã biết như thêm bớt để làm xuất hiện hằng đẳng thức

Lời giải

1) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Lời giải

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – 1

Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng nhóm làm xuất hiện nhân tử chung:

x5 – 1 = x5 – x + x – 1 = (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2

+ 1) + (x - 1)

= x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]

Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Tìm cách giải: Với các đa thức có dạng số mũ chia 3 dư 1, chia 2 dư 2 thì phân tích

thành nhân tử xuất hiện nhân tử là x2   x 1

Lời giải

a)x4  x x x( 3  1) x x( 1)(x2  x 1)

b)x4 x2  1 x4  x x2   x 1 x x 1 x2   x 1 x2   x 1 x2  x 1 x2  x 1

Trang 7

c) x41996x2 1995x1996x4 x 1996x21996x1996

 1  2 1 1996 2 1  2 1  2 1996

d) x5 x4 1x5x2(x4 1) x2  x 1 x2 x 1 x3x1

+ 1

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

5) x41996x21995x1996; 6) x4  2007x2  2006x 2007

7) x42002x22001x2002; 8) x4  2005x2  2004x 2005

9) x4 1999x2 1998x 1999; 10) x4  1997x2  1996x 1997

11) x4 1996x2 1995x 1996; 12) x4  2007x2  2006x 2007

6 Phương pháp hệ số bất định

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Tìm cách giải Các số 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức f(x) nên f(x) không

có nghiệm nguyên, f(x) cũng không có nghiệm hữu tỷ Như vậy nếu f(x) phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d Z

bd Đồng nhất đa thức này với f(x) ta được hệ điều kiện:





















3 14 12 6

bd

bc ad

d b ac

c a

Xét bd = 3, với b, d  Z, b  {1; 3} Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:

















14 3

8 6

c a ac

c a

Từ đó tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1)

Lời giải

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3)

= x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

x  x  x 2)  2 2  2

x  x  x 3)  2 2  2

x  x  x

Trang 8

2019 - 2020

x  x  x 5)  2 2  2

x  x  x 6)  2 2  2

x  x  x

x  x  x 8)  2 2  2

x  x  x 9)  2 2  2

x  x  x

x  x  x 11)  2 2  2

x  x  x 12)

x  x  x

4 2 3 4 2 2 3;

x  x  x  x

16) 2x43x32x2 3x 3; 17) 3x44x36x2 x 2; 18) 2x4 x3 6x22x3; 19) 3x45x3 x2 2; 20) x4  5x3  7x2  6

7 Phương pháp xét giá trị riêng của các biến

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Tìm cách giải. Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x – y

Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi ( ta nói đa thức P có dạng hoán vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y thì P cũng chia hết cho y – z, z – x

Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến

Ta có : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với mọi x, y,

z Rnên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong

Chú ý Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau

để tránh

P = 0 là được

Chẳng hạn, chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*),ta tìm được a = - 1

Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

Lời giải

Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x – y

Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi Do đó: P chia hết cho

x – y thì P cũng chia hết cho y – z, z – x

Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); trong đó a là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến

Suy ra P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với mọi x, y,

z R

Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*),ta tìm được a = - 1

Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b)

Tìm cách giải. Do vai trò bình đẳng của a, b, c

Lời giải

Với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên Q=k.abc

Chọn a=b=c=1 được k=4

Vậy Q=4abc

Trang 9

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

1) xy x y   yz y z   zx z x  

2) ab a b   bc b c   ca c a  

3) mn m n   np n p   pm p m  

4) a b b c c a         b c c a a b        c a a b b c      

5) b c c a b a         b c a b a c        a b b c a c      

6) a b b c a c         a b c a c b        b c c a b a      

7) a b b c a c         a b b c a c        a b a c c b      

8) mab n a b     mbc n b c     mca n c a    

9) kxy m x y     kyz m y z     kzx m z x    

10) aut n u t     auv n v u     atv n t v    

11) bc a d b c      ac b d c a      ab c d a b     

12) xy z m y x      yz x m z y      zx y m x z     

13) tu v w t u  uv t w u v  vt u w v t 

Chương 2:

CÁC DẠNG ĐA THỨC BẬC CAO

CÓ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 Các đa thức có dạng a x. 4 bx2 c và aA( )2x b A ( )x c

Phương pháp:

-Với những đa thức có dạng a x. 4 bx2  ta đặt c x2  rồi thay vào biểu thức, đưa vềt

phân tích đa thức thành nhân tử dạng cơ bản như trên

-Với những đa thức có dạng aA( )2x b A ( )x cta đặt A( )x t rồi thay vào biểu thức, đưa về

phân tích đa thức thành nhân tử dạng cơ bản như trên

a)A5x4 16x2  3 b)B2(x2 x)2 (x2   x) 3 c)

2 6 9 2 3 9 2

C x  xy y  x y

Lời giải

Trang 10

2019 - 2020

a) x2  t

- Đặt x2  , Thay vào biểu thức trên ta được:t

- Thay t  vào biểu thức trên ta được: x2 A(x2 3)(5x2 1)

Vậy A(x2 3)(5x2 1)

b) 2(x2 x)2 (x2  x) 3

- Đặt (x2 x) , Thay vào biểu thức trên ta được:t

-Thay t (x2  vào biểu thức trên ta được:x) B(x2  x 1)(2x2 2x3)

Vậy B(x2  x 1)(2x2 2x3)

c)C x2 6xy9y2 3x9y 2 (x2 6xy9 ) ( 3y2   x 9 ) 2y 

 2

- Đặt (x3 )y  , Thay vào biểu thức trên ta được:t

-Thay t  x 3yvào biểu thức trên ta được: C  (x 3y1)(x3y 2)

Vậy C  (x 3y1)(x3y2)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 6x411x23; 2) x43x2 4; 3) 3x44x21;

4) x4 x2 20; 5) 4x437x29; 6) 4x437x29;

x x  x x 

x x  x x 

x x  x  x

9 9 14;

x x  x  x

x  x  x  x

5x 2x 2x5x 6;

3) x28xy16y22x8y3; 4) x26xy9y23x3y4;

x  xy y  x y  7) x2 4xy4y2 7x14y6; 8) 4x2 4xy y 2 10x5y6;

1) x2 x 1 x2  x 2 12; 2) x2 x 3 x2  x 2 4;

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	801,82 KB