CHUYEN DE PHUONG TRINH VO TI 2014 TUAN ANH

PHƯƠNG PHÁP ĐẰT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN...5 III.. ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x�1;4��.Bài giải tham khảo... Yêu cầu: Giải theo hai cách: nhân lượng liên

M c l c ụ ụ

I PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 2

II PHƯƠNG PHÁP ĐẰT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN 5

III PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ 6

IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 12

I PH ƯƠ NG PHÁP NHÂN LIÊN H P Ợ

Bài 1 (Khối B 2010): Giải phương trình sau 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0

  Vậy x0 là nghiệm duy nhất của pt  *

Vậy phương trình có hai nghiệm 0; 1

2

2 2

2

88

Lưu ý: Phương trình hệ quả

Sai lầm quan trọng: Chứng minh pt x2  x 1 0 có nghiệm x1

Ta có:  1 x2x� 1 x x 1 �  1 x3� x1

Một số phương trình sử dụng phương trình hệ quả rất hiệu quả

Bài 5.1: Giải phương trình sau x 3 3x 1 2 x 2x  Đk 2 x�0

HD: x 3 3x 1 2 x  2x2 � 3x 1 2x 2 4x x3

6x 8x 2 4x 12x x1

Bài 5.2: Giải phương trình sau 3 1 2

  nên  * vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình

Đẳng thức xảy ra � x 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là  3 và 5

Bài 4: Giải phương trình 3 x2   1 x x3 Điều kiện : 2 x�32.

Bài 5: Giải phương trình 2x2   x 1 x2   x 1 3x

HD: Điều kiện có nghiệm của phương trình x0

Từ ( ) ( )2 , 3 �2 hàm số f x , g x( ) ( ) có đồ thị không thể cắt nhau Do đó ( )1 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3

Bài 7 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008): Giải phương trình

Ta có: 2 2 2 2 3 2 0, x

Thay x=2 vào phương trình ( ) ( )* � * thỏa Vậy phương trình có nghiệm x=2

Bài 8: Giải phương trình (x 1 x + ) 2 - 2x + = 3 x 2 + 1 ( )*

Vậy nghiệm của phương trình là x= �1 2

Cách giải 2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Vậy nghiệm của phương trình là x= �1 2

Bài giải tham khảo

a b sao cho xuất hiện nhân tử chung.

Đề thi Đại học khối B năm 2010

Bài giải tham khảo

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x=5.

 Nhận xét:

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x=3 (SHIFT - SOLVE hay ALPHA- CALC ,) do đó,

ta cần phải tách ghép để sau khi nhân liên hiệp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x 3 - )hoặc bội của nó

Vì vậy, ta cần đi tìm số a đặt vào 3 4x 4(3 - - a) để sau khi nhân liên hiệp bằng hẳng đẳng thức: (A - B A) ( 2 + AB + B 2) = A 3 - B 3, nó có dạng 12 x 3( - ) Do đó, nó phải thỏa mãn đồng nhất

3 4x 4��� - - a =��� 12 x 3- �12x 12 3- - a =12x 36- � a =3 24� a =2

Ta có lời giải sau:

Bài giải tham khảo( )* �3 4x 4 2(3 - - )- (2x2- 11x 15+ ) =0

2 33

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.

Bài giải tham khảo

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x= - 1 � =x 2

2 2

Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999

Bài giải tham khảo

( )

Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001

Bài giải tham khảo

Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996

Bài giải tham khảo

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x� � =4 x 1.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x�(0;4��

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: - 2 x� �4

( )* �( 2x3+3x2+6x 16 3 3+ - ) +( 3- 4 x- )>0

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x�(1;4��.

Bài giải tham khảo

Thí dụ 12 Giải bất phương trình: (x 1 x - ) 2 - 2x + - 5 4x x 2 + � 1 2 x 1( + ) ( ) *

Bài giải tham khảo( ) (* � x 1 2+ ) ( + x2- 2x+5) +2x 2 x( 2+ -1 x2- 2x+5) �0

BÀI TẬP TƯƠNG TƯ

Bài tập 1 Giải phương trình: 3x 3x 1 1

ĐS: x=0 � =x 5

Đại học Tổng Hợp năm 1992

Bài tập 2 Giải phương trình: x+ -3 x=x

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ – Thanh Hóa

ĐS: x=1

Bài tập 3 Giải phương trình: x2- 3x+ +3 x2- 3x+ =6 3

ĐS: x= � =1 x 2 Yêu cầu: Giải theo hai cách: nhân lượng liên hợp và đặt ẩn phụ

Bài tập 4 Giải phương trình: 2x2+3x+ +5 2x2- 3x+ =5 3x

Bài tập 7 Giải phương trình: x2+15=3x 2- + x2+8

Đại học Ngoại Thương năm 1997 – Đề số 3

ĐS: x=1 Hãy nêu ra dạng tổng quát, phương pháp chung nhân lượng liên hợp cho

dạng này và áp dụng cho hai bài kế tiếp

Bài tập 8 Giải phương trình: x2+12 5+ =3x+ x2+5

ĐS: x=2

Bài tập 9 Giải phương trình: x2+24- x2+15=3x 2-

ĐS: x=1

Bài tập 10 Giải phương trình: 4 x 2+ + 22 3x- =x2+8

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 400 tháng 10 năm 2010

Bài tập 12 Giải phương trình: ( 1 x+ +1)( 1 x+ +2x 5- ) =x.

ĐS: x=2

Bài tập 13 Giải phương trình: 3 2( + x 2- ) =2x+ x+6

Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001

2

Bài tập 14 Giải phương trình: 9 4x 1( + - 3x 2- ) = +x 3

Đề thi học sinh giỏi Hà Nội năm 2010

Bài tập 31 Giải phương trình: 3x2- 7x+ -3 x2- 2= 3x2- 5x 1- - x2- 3x+4.

Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2013 – THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội

HSG – THPT Thái Phiên – Tp Đà Nẵng

Bài tập 47 Giải phương trình: 2 ( )5 ( ) ( 2 )

Bài tập 51 Giải phương trình: (x + 3 x) 2 + + = x 2 x 2 + 3x + 4

Bài tập 52 Giải phương trình: (x 1 x+ ) + =8 x2+ +x 4

Bài tập 53 Giải phương trình: (2x 1 x + ) 2 + = 3 3x 2 + + x 2

Bài tập 54 Giải phương trình: (3x 1 x + ) 2 + + = x 2 3x 2 + 3x 2 +

Bài tập 55 Giải phương trình: 2x2 3x 1 x2 1

2x 3

Bài tập 56 Giải phương trình: 5x 1- +39 x- =2x2+3x 1-

Bài tập 57 Giải phương trình: ( )2 ( ) ( )2

Bài tập 58 Giải phương trình: ( ) ( )2

2

Bài tập 59 Giải phương trình: 2x=( 1 x- +1)( 1 x 1+ - )

Bài tập 60 Giải phương trình: 3 2

Bài tập 61 Giải: 2x2- 5 2x+ 2- 5+34x4- 29x2+25= 3x+ 12x3- 9x2- 30x

Bài tập 62 Giải phương trình: 2 x2- 7x 10+ = +x x2- 12x+20

Bài tập 63 Giải phương trình: 1 22 2x1 74

x

Bài tập 64 Giải phương trình:

II PH ƯƠ NG PHÁP Đ T N PH KHÔNG HOÀN TOÀN Ằ Ẩ Ụ

Bài 1 Giải phương trình

III PH ƯƠ NG PHÁP CHIA Đ LÀM XU T HI N N PH Ể Ấ Ệ Ẩ Ụ

Bài 1 Giải phương trình

b) (Thi thử ninh giang 2013) 5x214x 9 x2 x 20 5 x1

- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 2

d) x22x 2x 1 3x24x Điều kiện : 1 x� Bình phương 2 vế ta có : 12

1 52

Bài 12 Giải phương trình : 4x25x 1 2 x2  x 1 9x 3

Đưa về phương trình thuần nhất đẳng cấp

Bài 1: Giải phương trình

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x212x 2 2 4x5�(2x3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 2; 1 3}

Các bạn hãy xây dựng một số hệ dạng này ?

Bài tập tương tự

y  x thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được

Để thu được hệ (1) ta đặt : y  3x1 , chọn  , sao cho hệ chúng ta có thể giải được ,

(đối xứng hoặc gần đối xứng )

2 2

ta viết lại phương trình như sau: (2x3)2   3x  1 x 4

khi đó đặt 3x    , nếu đặt 21 2y 3 y 3 3x thì chúng ta không thu được hệ như mong 1muốn , ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn.

� để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’,

Nếu từ (2) tìm được hàm ngược y g x   thay vào (1) ta được phương trình

Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được

Một số phương trình được xây dựng từ hệ

Giải các phương trình sau

x x

IV PH ƯƠ NG PHÁP HÀM S Ố

Dạng 1: y f x  đơn điệu thì phương trình f x  0 hoặc vô nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm

Bài 1: Giải phương trình 3x 1+ + x+ 7x 2+ =4 ( )*

Thử lại thấy x=1 thỏa phương trình Vậy phương trình có một nghiệm x=1

Bài 2: Giải phương trình (Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001) 4x 1 - + 4x 2 - 1 = 1 ( )*

HD: Điều kiện: 2

1 x

= là một nghiệm của phương trình ( )*

● Xét hàm số f x( ) = 4x 1 - + 4x 2 - 1 trên nửa khoảng 1;

= �������= � = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )*

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

2

=

BÀI TẬP TƯƠNG TƯ

Bài 1: Giải phương trình: 6 3. 8 14 ( )

HD: Điều kiện: x<2 Xét hàm số f x( ) 6 3 8

Dạng 2: y f x  đơn điệu thì f u   f v  �u v

Bài 1: Giải phương trình (CĐ – 2012) 4x3  x (x 1) 2x 1 0

HD: Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình � (2 )x 3 2x(2x1) 2x 1 2x1

Xét hàm số f t( ) t3 t� f t'( ) 3 t2  1 0�Hàm số luôn đồng biến

Đồng nhất hệ số với vế trái của phương trình, ta được hệ: 2

-� mà đã trình bày ở phương pháp giải bằng cách đặt ẩn phụ ở trên.

Bài 4: Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2001

� + = - (chia hai vế cho t�0).

Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của ( )4 Xét hàm số f t( ) 1 1

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=0 � =x 2

Bài 5: Giải phương trình x3+3x2+5x+ =3 (x2+3 x) 2+1

HD: Chia hai vế x 3 � 0 ta được 3

Bài 3: Giải phương trình:

4

- +

12 Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn 36x 1+ =8x3- 4x 1-

ĐS: x cos ;cos5 ;cos7

ĐS: Dạng f( x 1+ ) (=f 1 x- ) với hàm đặc trưng f t( ) = t 3 + t 2 + 2t � = x 0

14 Đề nghị Olympic 30 – 04 năm 2009 x3+3x2- 3 3x 53 + = -1 3x ĐS: x= - 2 � =x 1

Bài tập 68 Giải phương trình: x3- 4x2- 5x+ =6 37x2+9x 4-

HD: Đặt y= 37x2+9x 4- đưa về hệ, sau đó cộng lại x 5 x 1 5

2

- �

Bài tập 69 Giải phương trình: 3x 2( + 9x2+3) +(4x 2+ ) ( 1 x+ +x2 + =1) 0.

97

= - với hàm đặc trưng f t( )=t 1( + t2+2)

Bài 3: Tìm m để phương trình có nghiệm : m x2 2x 4 x2 2x4

- y' 0 � x0, vẽ bảng biến thiên � �m [4;�)

Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm : 2

4x mx m 2

- Cô lập tham số, ' 0 0; 8

5

Bài 5: Tìm m để phương trình có nghiệm : x 1 x 1 5 x 18 3 x 2m1

Bài 6: (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : 4 2

BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

II Phương pháp lũy thừa.

- Nêu các dạng phương trình cơ bản

Bài 1 Giải các phương trình

c) 3 2 x   1 3 x   1 3 3 x  1 x  7 6(Phải thử , loại nghiệm)

Bài 4 Giải phương trình

a) x x 1 x 4 x 9 0 Bình phương 2 lần nghiệm x 0

b) x 1 x16 x 4 x Bình phương 2 lần nghiệm 9 x 0

c) x 3 3x 1 2 x 2x2

VI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

Bài 1 Giải các phương trình sau:

