CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SONG SONGBÀI TẬP MẪU: đề thi quận hoàn kiếm 2019 Cho đường tròn tâm O và dây cung BC cố định... BÀI 1: Cho đường tròn O;R và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn..
Trang 1CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SONG SONG
BÀI TẬP MẪU: đề thi quận hoàn kiếm 2019
Cho đường tròn tâm (O) và dây cung BC cố định Trên cung lớn BC của (O) lấy điểm A ( A khác B và C ) sao cho AB<AC Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại E
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp
2) AE cắt (O) tại điểm thứ hai D ( D khác A) chứng minh rằng EB2 ED EA.
3) Gọi F là trung điểm của AD Đường thẳng qua D và song song với EC cắt
BC tại G chứng minh rằng GF//AC
BÀI LÀM
1) Tổng hai góc đối bằng 180o
2) Dựa vào hai tam giác đồng dạng: EBD�EAD g g( )
3)
Ta có: tứ giác OBEC nội tiếp ( chứng minh trên)
Mà OBE� 900 ( chứng minh trên)
Nên tứ giác OBEC nội tiếp đường tròn đường kính OE (1)
Xét (O) ta có:
A
B F
D
C
E
Trang 2F là trung điểm của dây cung AD
Mà OF thuộc đường kính
OFAD ( định lý)
OFE� 900
+ Xét tam giác OFE vuông tại F và cạnh huyền OE
nên tam giác OFE nội tiếp đường tròn đường kính OE ( định lý ) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: O,F,B,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính OE
Suy ra: �FBC FEC� ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung FC)
Nên: FBC FDG� � nên �FBG FDG �
+ Xét tứ giác FBDG có: �FBG FDG� mà hai đỉnh B,D là dai đỉnh lien tiếp cùng
nhìn cạnh FG
Nên : tứ giác FBDG nội tiếp
Suy ra: GFD GBD� � ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD)
Suy ra: CAD GFD� � mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Nên FG//AC (đpcm)
Trang 3
BÀI 1:
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn Qua A kẻ hai tiêp tuyến AM và AN tới đường tròn ( M,N là hai tiếp điểm) một đường thẳng d
đi qua A cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B,C sao cho AB<AC, d không đi
qua tâm O
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
2) Chứng minh : AN2 AB AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB=4cm,
AN=6cm
3) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T chứng minh rằng MT // AC
BÀI 2:
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến
AB với đường tròn (O;R) với B là tiếp điểm vẽ đường kính BC Trên đoạn CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O) Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E ) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE
1) Chứng minh bốn điểm A,B,O,H cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh rằng:
3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO d cắt BC tại điểm K
chứng minh rằng HK // DC
BÀI 3:
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn qua A kẻ hai tiêp tuyến AM và AN tới đường tròn ( M,N là hai tiếp điểm) một đường thẳng
d đi qua A cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B,C sao cho AB<AC gọi I là
trung điểm của BC
1) chứng minh rằng năm điểm A,M,N,O,I thuộc một đường tròn Tìm tâm đường tròn đi qua 5 điểm đó
2) Chứng minh rằng: AM2 AB AC.
3) Đường thẳng qua B , song song với AM cắt MN tại E chứng minh rằng
IE // MC
BÀI 4:
Trang 4Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đường tròn (O; R) Từ điểm S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới (O; R) (A và B là các tiếp điểm) Kẻ dây cung BC song song với SA; SC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là D; tia BD cắt
SA tại điểm M
1 Chứng minh MA2 = MD.MB
2 Gọi I là trung điểm đoạn DC Chứng minh năm điểm S, B, I, O, A cùng thuộc một đường tròn và tia IS là phân giác của góc BIA
3 Qua điểm I kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E Chứng minh
ED // BC
BÀI 5:
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn OA ( M khác O và A) tia DM cắt đường tròn (O) tại
N
1) Chứng minh tứ giác OMNC là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: DM.DN=DO.DC=2R2
3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia DM tại E đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt BC tại F chứng minh DF//AN
BÀI 6:
Cho điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O;R) qua M vẽ các tiếp tuyến
MA,MB với đường tròn (O) ( với A và B là hai tiếp điểm) gọi C là điểm bất
kỳ trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) gọi D,E,F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ C đến AB,MA,MB
1) Chứng minh 4 điểm A,D,C,E cùng thuộc một đường tròn
2) AC cắt DE tại P ; BC cắt DF tại Q
Chứng minh rằng: tam giác PAE đồng dạng với tam giác PDC Rồi suy ra
PA.PC=PD.PE
3) Chứng minh rằng: AB//PQ