Tổng hợp 15 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10

Tổng hợp 15 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 được biên soạn với mục tiêu giúp các em học sinh có thêm tư liệu tham khảo trong quá trình ôn luyện, nâng cao kiến thức môn Toán lớp 10. Đặc biệt gặt hái nhiều thành công trong các bài thi tuyển chọn học sinh giỏi với kết quả như mong đợi.

Cho phương trình bậc hai x2 5 x m   0 (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2thoả mãn x x1 2 x2 x1  6.

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x y: 3 1 0   , 16;1

3

E 

  a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE.

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

a b c abc

Với 2t2+ 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.

EK

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

cabc

9c

ba

1c

ba

1

cabcab

7ca

bcab

7ca

2bc2ab2cba

9

2 2

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018

M n thi⪳ TOÁN 10 ề thi ề ngh⪳)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình

x

x x

121

y x

xy y

(2

64

2 1

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x A

x Q

Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có

BC4 2,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện sinA

sinB.cosC = 2 thì tam giác ABC

là tam giác cân.

b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

12

312

10

214

21362

233

122

x

x x x

y x

xy y

01

12

1

2 2 2

y x y x y x

y x xy y

1

y

x y

1

y

x y

x

0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25

m

a) Tìm tập xác định của hàm số : y  x2 x1 x3 1.5

ĐK:

63

212

6232

2

031

2

03

01

02

x x

x x

x x x

x

0.5

0.5 0.5

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình1; 2 x2 mxm10.

Đặt

)1

(2

64

2 1

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x A

)2(

2

24

2)(

64

2 2 2

2 2 1

2 1

x x A

A nhỏ nhất khi m2

0.25 0.25 0.5 0.5

0.5 0.5

Câu 3

3,0 Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

y

y x

x Q

11

1

11

1

y x

y

y x

2)

1)(

1(

21

11

121

1x y  x y  ( Do x+y=1 ) (2)

1

y x

16

;7

2(

x

y x

Gọi N1là giao điểm của  và AB, suy ra :2)

7

4(

1 

N

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( 1:3)

2

23y 7x

x

3

72

;(b b

2

1),(B AH  BC 

)4

;2(22

223

4

4

loai b

B b

6

y -x

m Câu 5

4,0 a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện sinB.cosC sinA

= 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

2,0

+ Viết được

R

b B R

a A

2sin

;2

+

ab

c b a C

2cos  2  2  2

+ Thay vào sinA

sinB.cosC = 2, rút gọn ta được b=c + Vậy tam giác ABC cân tại A

0.5 0.5 0.75 0.25 b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC 2NA và I là trung điểm của đoạn MN Chứng

AI

AI AC

AB

AI AN

AM

6

14

1

23

12

1

2

0.5 0.5 0.5 0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017

( Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 5.0 iểm) Cho phương trình: m3x2 2m1x m 0

Thí sinh kh ng ược sử dụng tài liệu Giám th⪳ xem thi kh ng giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

m

x x

m m

x x m

x y

x

x y b

b c a A

phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N

trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông

*)Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn

OB sao cho MNEF là hình vuông

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:

EO

y

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 5.0 iểm) Cho hàm số y x  2  2  m  1  x  4

1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn

Câu 5 2.0 iểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa

đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0 Tìm tọa độđỉnh B và C của tam giác ABC

Câu 6 1.0 iểm) Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4  a b c     3 abc chứng minh rằng:

Thí sinh kh ng ược sử dụng tài liệu.Giám th⪳ xem thi kh ng giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

1

m

m m

y y

33

m m

đặt t x23x ( đk t 0) Ta có phương trình: t2 3 10 0t  0.5

25

a b

2 ) Chứng minh rằng:Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QN.MB NC PD QA       0 2.0

Theo quy tắc trung điểm ta có:

1 2

2 ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳngchứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

12

22 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

Câu 2 (4,0 điểm).

x Q

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC4 2 ,các đường thẳng

AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;

2sin

cos1

c a

c

a B

-Hết -SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Câu 1

5,0 a) Giải bất phương trình: 24 11 1 3 2



x x

x x



12

3

1

21

4

12

x x

12

22 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

12

22 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

1(2)

1(

0)

1(212

3 3

y

x y

x y

x

y

x y

x y

1(2)

1(

0)

1()

1(

2 3

y

x y

x y

x

y

x y

x y x

Đặt

y

x v y x

02

3

u v u

uv u

0.250,250,250,250,25

2

u v u

v u u

22

0

2 2 2

u v u

u v

u v u u

10

2 2

2

u u u

u v v u

y x y x

y x y

x

(thỏa điều kiện)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0,250,25

0,250,250.25

Viết lại: y x12 x11 ( x11)2  x11

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x1 0

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +)

0,250,250,250,25b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y x2 mx1 tại hai điểm

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2 mx1x1

 x2 (m1)x20 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt

Gọi xP,xQ là 2 nghiệm của (1)

Ta có PQ =3( xQxP)2 ( yQ yP)2 9

9)11



0,50,5

0,50,5

Câu 3

3,0 Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcsau:

y

y x

x Q

11

1

11

1

y x

y

y x

2)

1)(

1(

21

11

21

121

1

1

y x

16

;7

2(

x

y x

0,50,5

Gọi N1 là giao điểm của  và AB, suy ra :2)

7

4(

1 

N

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( 1:3)

2

23y 7x

x

3

72

;(b b

2

1),(B AH  BC

)4

;2(22

223

44

loai b

B b

6

y -x

Câu 5

4,0 a) a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặcđiểm gì nếu:

2 24

2sin

cos1

c a

c

a B

2 2

2 2

24

)2

(sin

)cos

1

(

c a

c

a B

2(

)2

(cos

1

)cos1

2

2

c a c a

c

a B

c

a B

cos1

c a

c

a B

cos1

a

c a

B

4

22

2cos 

 2accosBc2

2 2 2

0,250,250,250,250.25b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm trên cạnh AB Chứng minh 2,0

rằng DM.DCCM.CDkhông đổi khi M di động trên cạnh AB.

Do AM , DC cùng hướng, ta có:

DC AM DC AM DC AM DA DC

DM.( ) .

CD BM CD BM CD BM CB CD

CM.( ) . ( Vì BM , CDcùng hướng)

Do đó DM.DCCM.CD AM.DCBM.CDCD(AM BM)a2

0,750,750,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiêp

b) Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

a/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn x2 y22x4y0 và đường thẳng

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,Bthỏa góc AMB bằng 60 0

b/Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có 21 3,

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0.250.25

0,250,250,25

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D  2,2

Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn

Kl

0,250,250,250,250,250,250,250,25b) Cho hàm số y x 2và y x 6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng

Gọi (P) là parabol y x 2 và d là đường thẳng y x 6m 

PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x2 x 6m 0 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt    ' 0 m 1/ 24

Gọi x ;xA B là 2 nghiệm của (1)

0,250,250,250,25

34

Học sinh không cần chỉ ra dấu bằng vẫn cho tối đa.

Câu 4

2,0 Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm cạnhAB ,BC tam giác ABC

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp

Tương tự AGON nội tiêp và kết luận

0,250,250,50,50,250,25

theo cặp vecto BA,BC

k h

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C)

tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 60 0

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có 21 3,

5 5

B 

BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3)

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà

x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương

Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d

của góc BAC với đtBC

Hình

Viết BC x-2y-3=0

0,25 0,25

Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1)

Chùng minh được FA=FE

Tham số hóa A

Tìm A

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN⪳ TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 2,0 iểm) Tìm tập xác định của hàm số 1 2 7 6

Câu 3 2,0 iểm) Tìm m để phương trình 2x2 2x m  x 1 có nghiệm

Câu 4 2,0 iểm) Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1

Câu 5 2,0 iểm) Giải phương trình 2x2- - =6x 1 4x+5

Câu 6 2,0 iểm) Giải hệ phương trình 2 2

Câu 7 2,0 iểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA

sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN Tính độ dài PN theo a.

Câu 8 2,0 iểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC 2AB ,phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là  d x y:   2 0 Biết ABC 1200 và

 3;1

A Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Câu 9 2,0 iểm) Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABCD , biết IG IC^

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

I LƯU Ý CHU NG⪳

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theocách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

II ĐÁP ÁN⪳

ĐỀ THI MÔN⪳ TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

x

ìé £ïï

ìé £ïïêï

2 2,0 iểm) Cho hàm số y x= 2+2mx-3m và hàm số y= - +2x 3 Tìm m ể hai

ồ th⪳ ã cho cắt nhau tại hai iểm phân biệt A và B sao cho AB =4 5.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x2+2mx-3m= - +2x 3

m m

é ê

3 2,0 iểm) Tìm m ể phương trình 2x22x m  x 1 có nghiệm.

Để bất phương trình có tập nghiệm  ta cần có mx24x m  3 0 với  x

4 412

4 412

3 4

x x

é = ê

PN PA AN   xAB AC

    

0,5

BC  AB , phương trình ường trung tuyến xuất phát từ ỉnh B là

 d x y:   2 0 Biết ABC 1200 và A 3;1 Tìm tọa ộ các ỉnh còn lại của tam giác.

Ta chứng minh aIA bIB cIC   0

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I 6 iểm)

1) Cho parabol ( ) :P y2x26 1x ;

Tìm giá trị của k để đường thẳng :y (k 6) 1x cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt M N sao cho,

Câu IV 4 iểm)

1) Cho tam giác ABC có BC a AC b ,  diện tích bằng S

Tính số đo các góc của tam giác này biết 1 2 2

2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a Trên các cạnh BC CA AB lần lượt lấy các, ,

BN  CM  AP x  x a Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM

Câu IV 3 iểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết diện

tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là 1 ;0

Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện

Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2

Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m  2

Giải hai pt này ta được x1,x 2 2 Thử lại nghiệm

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( ; ) (1; 1),(2x y    2, 2) 1.0

2018( 2018 2019)2019( 2019 2018)

x y

A B C

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD

Câu 1 3.0 iểm) Cho hàm số y x2 4x4m;  P m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  ;14

Câu 2 3.0 iểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hainghiệm của phương trình x2 12xb0 Biết rằng

3

4 2

3 1

2

x

x x

x x

x   Tìm a và b

Câu 3 6.0 iểm)

Môn thi⪳ Toán – Lớp 10 – THPT

Thời gian làm bài ⪳ 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

y y x

x

x

147164

24

OB OD

AB

AC

3

1,

2

1,

Câu 5 3.0 iểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  ;1 B1  ; 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Câu 6 2.0 iểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

y

y x

x P

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Với m=1 thì yx2 4x3

TXĐ: R Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh (2;-1) hệ số a1 0 parabol có bề lõm

hướng lên trên

0.5 0.5

Lập BBT

Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ

0.5 0.5

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  ;14 1.0

Xét pt hoành độ giao điểm x2 4x4m0x2 4x3m1

Dựa vào đồ thị tìm được 1m130m4

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y x2 4x3 hoặcy x2 4x4

0.5 0.5

2 Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hai nghiệm của

phương trình x2 12xb0 Biết rằng

3

4 2

3 1

2

x

x x

x x

04

9' 2

1

b a

Đặt

3

4 2

3 1

2

x

x x

x x

1

2 2 3

1 2

x k kx x

x k kx x

kx x

x

a k

x

k k

x

k x

31

022

1

x x

Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x ;12 0.5

x

y y x

x

x

147164

24

Ta được y x1 thay vào pt thứ hai ta được

2481

12

33

2

1

x x

x x

x

Kết luận: Hệ pt có nghiệm    x; y 2;3

0.5 0.5 0.5 Chú ý⪳+) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích

+) pt 6 x1x84x2, hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích

OA OE

OB OD

AB AC

3

1,

2

1,

OB OD

AB AC

3

1,

2

1,

OC  2

b a CD

2

13

1 



0.5 0.5 0.5

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED

5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  ;1 B1  ; 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

x P

2.0

y x x

x y

y x

2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khôngđược vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phảiđược trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.

3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm,kh ng làm tròn iểm

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY - HỌC BỒI DƯỠNG LẦN 2

( Thời gian làm bài: 90 phút)

Câu 1 3.0 iểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

sin   Tính A = 3cos4tan

2 Cho ba số thực dương x y z, , chứng minh rằng:

1 Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

2 Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC

3 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC