CLB Hỗ trợ học tập1... Hàm này liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
Trang 1CLB Hỗ trợ học tập Giới hạn hàm số
1 Giới hạn hàm số
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a, b)
I Ta nói hàm f (x) có giới hạn là A (hữu hạn) khi x dần đến x0 ∈ [a, b] Ký hiệu lim
x→x 0
f (x) = A
I Nếu với bất kỳ dãy {xn} trong (a, b) \ {x0} mà xn→ x0 thì lim
x n →x 0
f (xn) = A
I Định lý tương đương: Hàm f (x) xác định trên (a, b) được gọi là có giới hạn A khi x → x0 ∈ [a, b] nếu thỏa mãn điều kiện sau
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒
f (x) − A < ε
2 Giới hạn trái, giới hạn phải
I Giới hạn trái Ký hiệu x → x−0 là x dần tới x0 nhưng luôn nhỏ hơn x0 Ta gọi A là giới hạn trái tại x0 nếu
lim
x→x−0
f (x) = A
I Giới hạn phải Ký hiệu x → x+0 là x dần tới x0 nhưng luôn lớn hơn x0 Ta gọi A là giới hạn phải tại x0 nếu
lim
x→x+0
f (x) = A
I Điều kiện tồn tại giới hạn
∃ lim
x→x 0
f (x) = A ⇔ lim
x→x+0
f (x) = lim
x→x−0
f (x) = A
VD: Xét hàm f (x) =
x + 1 (x ≥ 0)
−x2 (x < 0)
Ta có lim
x→0 +f (x) = lim
x→0(x + 1) = 1 , lim
x→0 −f (x) = lim
x→0−x2 = 0
Do đó lim
x→0 +f (x) 6= lim
x→0 −f (x) nên không tồn tại giới hạn của f (x) tại x = 0
1 Tính chất
(1) (Tính duy nhất của giới hạn) lim
x→x 0
f (x) = a, lim
x→x 0
f (x) = b ⇒ a = b
Trang 2CLB Hỗ trợ học tập
(2) lim
x→x 0
f (x) = a ⇔ lim
x→x 0
f (x) − a = 0 (3) f (x) = C ⇒ lim
x→x 0
f (x) = C (4) Nếu lim
x→x 0
f (x) = a và ∀x ∈ Uε0(x0) \ {x0} : f (x) ≤ c thì a ≤ c (5) Nếu lim
x→x 0
f (x) = a và a > p thì f (x) > p với ∀x ∈ Uε 0(x0) \ {x0} (6) (Nguyên lý kẹp) Với ba hàm f (x), g(x), h(x) thỏa mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) Nếu như
lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
h(x) = A thì ta có
lim
x→x 0
g(x) = A
2 Tính giới hạn của hàm số
Để tính giới hạn của hàm số, ta có thể sử dụng:
I Các phép tính cơ bản
(1) lim
x→x 0
u(x) ± v(x) = lim
x→x 0
u(x) ± lim
x→x 0
v(x) (Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng ∞ − ∞) (2) lim
x→x 0
u(x)v(x) = lim
x→x 0
u(x) lim
x→x 0
v(x) (Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng 0.∞)
(3) lim
x→x 0
u(x)
v(x) =
lim
x→x 0
u(x) lim
x→x 0
v(x)
Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng vô định 0
0 hoặc
∞
∞
I Tính liên tục của hàm số sơ cấp Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định tại lân cận điểm x0 thì
lim
x→x 0
f (x) = f (a)
Hàm f (x) được gọi là VCB (Vô cùng bé) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim
x→af (x) = 0 Hàm f (x) được gọi là VCL (Vô cùng lớn) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim
x→a|f (x)| = +∞ Khi xét hàm VCB, ta giữ lại biểu thức có bậc thấp hơn (Hoặc tiến về 0 chậm hơn) và ngắt bỏ các biểu thức có bậc cao hơn
VD: Khi x → 0, ta có
x8− x2+ x ∼ x Một số VCB tương đương thường dùng (x → 0)
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x
ln(1 + x) ∼ x ∼ ex− 1
Trang 3CLB Hỗ trợ học tập
(1 + x)α ∼ 1 + αx Lưu ý Không được phép thay các VCB tương đương vào tổng hoặc hiệu, chỉ được thay vào tích hoặc thương
Khi xét hàm VCL, ta giữ lại biểu thức có bậc cao hơn (Hoặc tiến ra vô cùng nhanh hơn) và ngắt
bỏ các biểu thức có bậc thấp hơn
VD: Khi x → +∞, ta có
ex2 + x8 ∼ ex 2
x5+ 5x − x ∼ x5
Lưu ý Trước khi tính giới hạn, nếu tích phân có dạng vô định thì ta phải ghi rõ dạng vô định vào bài làm Có tất cả 7 dạng vô định
0
0,
∞
∞, 0.∞ , ∞ − ∞ , 0
0, 0∞, 1∞
VD1 Tính giới hạn lim
x→0
x + sin3x − tan x4 + (arcsin x)5
2x + 3x2+ 2 arctan (x2)
Dạng 0
0
Khi x → 0, ta có
T S ∼ x + x3− x4+ x5 ∼ x
M S ∼ 2x + 3x2+ 2x2 ∼ 2x
Do đó
lim
x→0
x + sin3x − tan x4 + (arcsin x)5
2x + 3x2+ 2 arctan (x2) = limx→0
x 2x =
1 2
VD2 Tính giới hạn lim
x→a
xn− an
xm− am (a > 0, m 6= n)
Dạng 0
0
Biến đổi
lim
x→a
xn− an
xm− am = lim
x→a
(x − a) xn−1+ axn−2+ + an−2x + an−1 (x − a) (xm−1+ axm−2+ + am−2x + am−1) =
nan−1
mam−1 = na
n−m
m
VD3 Tìm hằng số a để hàm số f (x) =
ex 2
− cos x
x2 (x 6= 0)
a (x = 0)
liên tục trên R Với x0 6= 0 thì ta luôn có
Trang 4CLB Hỗ trợ học tập
lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
ex2 − cos x
x2 = e
x2 − cos x0
x2 0
= f (x0)
Do đó f (x) liên tục trên R \ {0}
Xét với x = 0, tại đó f (0) = a Ta có
lim
x→0 ±f (x) = lim
x→0 ±
ex2 − cos x
x2
Dạng 0 0
Biến đổi
lim
x→0 ±
ex2 − cos x
x2 = lim
x→0 ±
ex2 − 1
x2 + lim
x→0 ±
1 − cos x
x2 = lim
x→0 ±
x2
x2 + lim
x→0 ±
2 sin2x 2
x2 = 1 + 1
2 =
3 2
Để f (x) liên tục tại x = 0 thì limx→0±f (x) = f (0) hay a = 3
2
VD4 Tính giới hạn lim
x→+∞
xx
1 x
− x
(Dạng ∞ − ∞) Khi x → +∞, ta có biến đổi
xx
1 x
− x = x
xx
1
x −1− 1
= x e
x1x −1
ln x
− 1
!
∼
x1x − 1
x ln x
x
1
x − 1 = eln xx − 1 ∼ ln x
x
Do đó lim
x→+∞
xx
1 x
− x
= lim
x→+∞
ln x
x .x ln x = limx→+∞ln2x = +∞
2 Bài tập
1 Tính các giới hạn sau
a) lim
x→0
πx2+ 2
πx2+ 5
!πx 2 +1
b) lim
x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x
c) lim
x→0
1 + sin x
1 + tan x
1 sin x
d) lim
x→1
xx− x (x − 1)2
2 So sánh các cặp vô cùng bé sau khi x → 0
a)(GK 20181) α(x) = x + x2 ; β(x) = ln(1 + x)
b) α(x) =px +√
x ; β(x) = ln1 + 3parctan (x4 4)
3 Khảo sát sự liên tục của hàm số f (x) =
x sin 1
xα (x 6= 0)
0 (x = 0)
với α ∈ R
4 Tính giới hạn lim
x→+∞
n
q x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x
Trang 5
CLB Hỗ trợ học tập
1
a) Giới hạn này không phải dạng vô định nên ta thay trực tiếp x = 0 vào biểu thức
lim
x→0
πx2+ 2
πx2+ 5
!πx2+1
= π.0 + 2 π.0 + 5
π.0+1
= 2 5 b) (Dạng ∞ − ∞) Ta có
sin ln(x + 1) − sin ln x = 2 cosln(x + 1) + ln x
2 sin
ln(x + 1) − ln x
2
= 2 cosln(x
2+ x)
2 sin
ln
1 + 1 x
2
Ta có
2 cosln(x
2+ x) 2
≤ 2, ∀x , sin
ln
1 + 1 x
2 ∼ sin 1
2x ∼ 1 2x
x→+∞
−−−−→ 0
Do đó lim
x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x = 0
c) (Dạng 1∞) Ta có
ln 1 + sin x
1 + tan x
1 sin x
= 1 sin xln
1 + sin x
1 + tan x
ln 1 + sin x
1 + tan x
= ln
1 + sin x − tan x
1 + tan x
∼ sin x − tan x
1 + tan x =
sin x(cos x − 1) sin x + cos x
Do đó
ln
lim
x→0
1 + sin x
1 + tan x
1 sin x
= lim
x→0
1 sin xln
1 + sin x
1 + tan x
= lim
x→0
cos x − 1 sin x + cos x = 0
⇒ lim
x→0
1 + sin x
1 + tan x
1 sin x
= e0 = 1
d)
Dạng 0
0
Khi x → 1, ta có
xx− x = x xx−1− 1 = xe(x−1) ln x− 1∼ x(x − 1) ln x ∼ (x − 1) ln x
ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − 1
Do đó lim
x→1
xx− x
(x − 1)2 = lim
x→1
(x − 1)2
(x − 1)2 = 1 2
a) Khi x → 0, ta có
α(x) = x + x2 ∼ x β(x) = ln(1 + x) ∼ x
Do đó α(x) và β(x) là 2 VCB tương đương khi x → 0
Trang 6CLB Hỗ trợ học tập
b) Khi x → 0, ta có x +√
x ∼√
x nên α(x) =px +√
x ∼p√x = x14
Cũng với x → 0, ta có
β(x) = ln
1 + 3p4
arctan (x4)
∼ 3p4
arctan (x4) ∼ 34
√
x4 = |x|
Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x)
3
Với x = x0 6= 0 thì
lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
x sin 1
xα = x0sin 1
xα 0
= f (x0)
Do đó f (x) liên tục trên R \ {0} Xét với x = 0 Ta có
sin 1
xα
≤ 1, ∀x, lim
x→0x = 0 Khi đó
lim
x→0f (x) = lim
x→0x sin 1
xα = 0 = f (0) Vậy f (x) liên tục trên R
4
(Dạng ∞ − ∞) Ta có
n
q
x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x = x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x
n n−1
X
k=0
xn−1−k
n
q x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1)
k
=
n(n − 1)
2 x
n−1+ o xn−1
n−1
X
k=0
xn−1−k
n
q x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1)
k
Xét số hạng tổng quát của tổng trong M S Khi x → +∞, ta có
xn−1−k
n
q x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1)
k
= xn−1−kpn
xn+ o (xn)
k
∼ xn−1
Do đó
n−1
X
k=0
xn−1−k
n
q x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1)
k
∼
n−1
X
k=0
xn−1= nxn−1
Vậy
lim
x→+∞
n
q
x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x
= lim
x→+∞
n(n − 1)
2 x
n−1+ o xn−1
nxx−1 = n − 1
2
Trang 7CLB Hỗ trợ học tập Đạo hàm - Vi phân
Cho y = f (x) xác định trong miền X, ta có đạo hàm của f (x)
y0 = f0(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x = lim∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x , x ∈ X
I Đạo hàm một phía
Đạo hàm bên trái: f0(x−0) = lim
∆x→0 −
∆y
∆x = lim∆x→0 −
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x Đạo hàm bên phải: f0(x+0) = lim
∆x→0 +
∆y
∆x = lim∆x→0 +
f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x Nhận xét Hàm số f (x) tồn tại đạo hàm tại x0 ⇔ f0(x+0) = f0(x−0)
I Ý nghĩa hình học
f0(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x)
Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x0:
f0(x0) = ∆y
∆x =
y − y0
x − x0
⇔ y = y0+ f0(x0)(x − x0)
I Liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
∃f0(x0) ⇒ f (x) liên tục tại x0
y
∆x
∆y
Nhưng điều ngược lại thì không đúng Chẳng hạn với f (x) = |x| Hàm này liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó Thật vậy:
f0(0−) = lim
∆x→0 −
|0 + ∆x| − |0|
∆x = lim∆x→0 −
−∆x
∆x = −1
f0(0+) = lim
∆x→0 +
|0 + ∆x| − |0|
∆x = lim∆x→0 +
∆x
∆x = 1
f0(0+) 6= f0(0−)
I Đạo hàm của hàm số ngược
Hàm số x = ϕ(y) có hàm ngược y = f (x) Nếu như hai điều kiện sau thỏa mãn:
i) y = f (x) liên tục tại x = x0 = ϕ(y0)
ii) ϕ0(y0) 6= 0
Khi đó ta có
f0(x0) = 1
ϕ0(y0)
Trang 8CLB Hỗ trợ học tập
I Phép toán và công thức Các hàm f (x), g(x) khả vi tại x = x0 Khi đó
(1) (f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0)
(2) (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f (x0)g0(x0)
(3) f
g
0
(x0) = f
0(x0)g(x0) − f (x0)g0(x0)
g(x0)2 , g(x0) 6= 0
I Đạo hàm của một số hàm sơ cấp
(1) C0 = 0 (C ∈ R)
(2) (xα)0 = αxα−1
(3) (ax)0 = axln a
(4) (ln x)0 = 1
x, loga|x|0
= ln x
ln a
0
= 1
x ln a (a > 0) (5) (sin x)0 = cos x, (cos x)0 = sin x, (tan x)0 = 1
cos2x, (cot x)
0 = − 1 sin2x (6) (arcsin x)0 = √ 1
1 − x2, (arccos x)0 = −√ 1
1 − x2, (arctan x)0 = 1
1 + x2, (arccot x)0 = − 1
1 + x2
(7) (Đạo hàm của hàm hợp) Nếu như ∃yu0(u0), ∃u0x(x0) thì y = y u(x) có đạo hàm tại x0 và
y0x(x0) = y0u(u0).u0x(x0)
Hàm f khả vi tại x0 nếu số gia của hàm f tại x0 viết được dưới dạng
∆f = A∆x + α(∆x) trong đó A là một hằng số và α(∆x) là một VCB bậc cao hơn ∆x (∆x → 0)
Hàm f khả vi tại x0 ⇔ f có đạo hàm tại x0
I Công thức tính vi phân Nếu y = f (x) và x là một biến độc lập thì
df = f0(x)dx Quy tắc tính vi phân: Với u = u(x) và v = v(x), ta có
(1) d(u + v) = du + dv (2) d(αu) = αdu (α ∈ R)
(3) d(uv) = vdu + udv (4) d u
v
= vdu − udv
v2
I Ứng dụng vi phân tính gần đúng
Để tính gần đúng f (x0+ ∆), ta sử dụng công thức tính gần đúng
f (x0+ ∆x) ≈ f (x0) + df (x0) = f (x0) + f0(x0)∆x
Trang 9CLB Hỗ trợ học tập
1 Đạo hàm cấp cao
Nếu hàm f khả vi n lần, để tính đạo hàm cấp n của f thì ta có thể áp dụng:
I Định nghĩa f(n)(x) =f(n−1)(x)
0
I Công thức Leibnitz Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm khả vi n lần thì
(uv)(n)=
n
X
k=0
n k
u(k)v(n−k)
I Công thức đạo hàm cấp cao của một số hàm sơ cấp
(1) (ax)(n)= axlnna (a > 0)
(2) (ax + b)α(n)
= anα(α − 1) (α − n + 1)(ax + b)α−n
(3) (sin x)(n)= sin
x + nπ 2
, (cos x)(n)= cos
x + nπ 2
(4) sin(ax + b)(n) = ansin
ax + b +nπ
2
, cos(ax + b)(n)= ancos
ax + b + nπ
2
(5) ln(ax + b)(n) = (−1)
n−1an(n − 1)!
(ax + b)n
(6) loga|x|(n)
= (−1)
n−1(n − 1)!
xnln a
2 Vi phân cấp cao
Để tính vi phân cấp n của hàm f (x), ta sử dụng định nghĩa
dnf = d dn−1f Trong trường hợp x là biến độc lập thì ta có
d2x = d3x = = dnx = 0
Do đó
dnf = f(n)(dx)n
VD1 Tính gần đúng nhờ vi phân A =p4, 032+ 9
Xét hàm f (x) = √
x2 + 9 Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03 Khi đó A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03)
Trang 10CLB Hỗ trợ học tập
Sử dụng công thức tính gần đúng, ta có
A = f (4 + 0, 03) ≈ f (4) + f0(4).0, 03
=√
42+ 9 +√
x2+ 9
0
x=4
.0, 03
= 5 + √0, 03x
x2+ 9
x=4
= 5 + 0, 024 = 5, 024
VD2 Cho f (x) = 1
x2+ 2x + 1 Tính f
(50)(−2)
Viết lại f (x) = 1
(x + 1)2 = (x + 1)−2 Khi đó f(50)(−2) = (x + 1)−2(50)
x=−2 = (−2)(−3)(−4) (−51) (x + 1)−52
x=−2 = 51!
VD3 (GK 20181) Cho f (x) =
ln (ex+ x) (x > 0)
0 (x = 0)
Tính f0(0+)
Theo định nghĩa, ta có
f0(0+) = lim
∆x→0 +
f (0 + ∆x) − f (0)
∆x = lim∆x→0 +
ln e∆x+ ∆x
∆x = lim∆x→0 +
ln(1 + ∆x)
∆x = 1
VD4 Xét tính khả vi và tìm vi phân của các hàm số sau:
a) f (x) =
x
1 + ex1
(x 6= 0)
0 (x = 0)
b) g(x) = ln |x| (x 6= 0)
a) Với x = x0 6= 0 thì f có đạo hàm nên khả vi tại đó
df = f0(x)dx =
1
1 + ex1
1 x
x
1 + e1x
2
dx
Với x = 0 thì
f0(0+) = lim
x→0 +
∆x
1 + e∆x1
− 0
∆x = limx→0 +
1
1 + e∆x1
= 0
f0(0−) = lim
x→0 −
∆x
1 + e∆x1
− 0
∆x = limx→0 +
1
1 + e∆x1
= 1
Do đó hàm f không khả vi tại x = 0
b) Ta có g(x) =
ln |x| |x| ≥ 1
− ln |x| 0 < |x| < 1
Trang 11CLB Hỗ trợ học tập
Với x = x0 6= ±1, hàm g có đạo hàm nên khả vi tại đó
g0(x) =
1
xln |x| |x| > 1
−1
xln |x| 0 < |x| < 1
Với x = −1 thì
f0(−1+) = lim
∆x→0 +
− ln | − 1 + ∆x| + ln | − 1|
∆x = lim∆x→0 +
− ln(1 − ∆x)
∆x = 1
f0(−1−) = lim
∆x→0 −
ln | − 1 + ∆x| − ln | − 1|
∆x = lim∆x→0 −
ln(1 − ∆x)
∆x = −1
Do đó f0(−1±) = ±1 nên g không khả vi tại x = −1
Tương tự, ta cũng có f0(1±) = ±1 nên g cũng không khả vi tại x = 1
2 Bài tập
1 (GK 20191) Cho y = (x2+ 1)ex−1 Tính y(40)(1)
2 Xét tính khả vi của các hàm số sau
a) f (x) =
sin x
x (x 6= 0)
0 (x = 0)
b) f (x) =p1 −√
1 − x2
3 Cho hàm số f (x) =
xαsin1
x (x 6= 0)
0 (x = 0) a) Xác định α để hàm f khả vi trên R
b) Xác định α để hàm f0 xác định và liên tục trên R
4 Cho f (x) = sin(β arccos x) Tính f(n)(x)
5 Xét tính khả vi của hàm số f (x) =
x (x ∈ Q)
0 x ∈ R \ Q
...2 Gi? ?i hạn tr? ?i, gi? ?i hạn ph? ?i< /h3>
I Gi? ?i hạn tr? ?i Ký hiệu x → x−0 x dần t? ?i x0 nhỏ x0 Ta g? ?i A gi? ?i hạn tr? ?i x0
lim...
f (x) = A
I Gi? ?i hạn ph? ?i Ký hiệu x → x+0 x dần t? ?i x0 lớn x0 Ta g? ?i A gi? ?i hạn ph? ?i x0
lim
x→x+0...
x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x =
c) (Dạng 1< sup>∞) Ta có
ln + sin x
1 + tan x
1 sin x
= 1< /sup> sin xln
+ sin