Một số câu hỏi ôn tập thi giữa kì GT2

CÂU HỎI ÔN TẬP GIỮA KỲ GIẢI TÍCH II20192 PHẦN TÍCH PHÂN KÉP I... Một số bài tập ôn tập khác Bài 1.

CÂU HỎI ÔN TẬP GIỮA KỲ GIẢI TÍCH II

20192

PHẦN TÍCH PHÂN KÉP

I Bài tập trong đề thi các kì trước

Bài 1(Câu 3 - Đề 1 - 20183): Đổi thứ tự lấy tích phân

I =

Z 1

0

dx

Z x 2

−x

f (x, y)dy

Giải

Ta có D :0 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x2

Sử dụng hình vẽ (bạn đọc tự vẽ hình), ta cóD = D1∪ D2 với

D1 :

(

−1 ≤ y ≤ 0

−y ≤ x ≤ 1 , D2 :

(

0 ≤ y ≤ 1

√

y ≤ x ≤ 1 Vậy

I =

Z 0

−1

dy

Z 1

−y

f (x, y)dy +

Z 1

0

dy

Z 1

√ y

f (x, y)dy

Bài 2(Câu 4 - Đề 1 - 20183): Tính I =RR

Dsin x2+ 2y2
dx dy, với D

là miền x2+ 2y2 ≤ π

2, y ≥ 0.

Giải Đổi sang tọa độ cực:







x = r cos φ

y = √1

2r sin φ

⇒ |J | = √1

2r

Ta có

(

x2+ 2y2 ≤ π

2

y ≥ 0

⇒

(

r2 ≤ π 2 sin φ ≥ 0

⇒ D0 :







0 ≤ r ≤r π

2

0 ≤ φ ≤ π

Do đó

I =

Z π

0

dφ

Z

√π 2

0

sin r2rdr = π

2√2 Z

√π 2

0

sin r2
dr2= π

2√2 Z

√π 2

0

sin tdt

2√2

Bài 3(Câu 3 - Đề 1 - 20182): Tính tích phân képRR

D(2y − x), trong đó

D là miền giới hạn bởi parabol y = 1 − x2 và trục Ox

Giải

Ta có miền D:−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2

Do đó

I =

Z 1

−1

dx

Z 1−x 2

0

(2y − x)dy

=

Z 1

−1

y2− xy

1−x 2

0

dx

=

Z 1

−1

h

x2− 1
2

+ x x2− 1
i

dx

=

Z 1

−1

x4+ x3− 2x2− x + 1
dx

= 16 15 Bài 4(Câu 5 - Đề 1 - 20182): Tính diện tích phần hình tròn x2+ y2 = 2x nằm ngoài đường tròn x2+ y2 = 1

Giải Theo công thức tính diện tích, ta có:

S =

Z Z

D

dxdy

với miền D : x2+ y2≥ 1, x2+ y2 ≤ 2x

Đổi sang tọa độ cực:

(

x = r cos φ

y = r sin φ ⇒ |J | = r

Ta có

(

x2+ y2≥ 1

x2+ y2≤ 2x ⇒

(

r ≥ 1

r2≤ 2r cos φ ⇒







1 ≤ r ≤ 2 cos φ cos φ ≥ 1

2

⇒ D0 :(1 ≤ r ≤ 2 cos φ

−π

3 ≤ φ ≤

π 3

Do đó

S =

Z π 3

−π 3 dφ

Z 2 cos φ

1

rdr =

Z π 3

−π 3

r2 2

1 2 cos φ dr

=

Z π 3

−π 3 2

 cos φ2− 1

2



dφ =

Z π 3

−π 3 2

 cos 2φ +1

2

 dφ

= 1

2(sin 2φ + φ)

π 3

−π 3

= π

3 +

√ 3 2 Bài 5(Câu 4 - Đề 1 - 20172): Tính các tích phân kép sau

1 I =RRD(x + 2y) dx dy, D giới hạn bởi y = x, y = 1, x = 0

2 I = RRD x2+ xy − y2
dx dy, với D là miền giới hạn bởi y = −2x +

1, y = −2x + 3, y = x − 2, y = x

Giải

1 Ta có miền D: [0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1]

Do đó

I =

Z 1

0

dx

Z 1

x

(2x2+ 3y2)dy =

Z 1

0



2x2y + y3

1

x



dx

=

Z 1

0

(2x2− 2x3+ 1 − x3)dx = 11

12

2 Đặt u = 2x + y, v = x − y ⇒ x2+ xy − y2= 1

9 u

2+ 5uv − 5v2

Ta có: 1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2, J = −1

3

I = 1

27

Z 3

1

du

Z 2

0

u2+ 5uv − 5v2
dv = 1

27

Z 3

1



u2v + 5

2uv

2−5

3v

3

2

0



du

= 1

27

Z 3

1



2u2+ 10u − 40

3



du = 92 81 Bài 6(Câu 5 - Đề 1 - 20172): Tính tích phân sau

I =

Z 8

0

dx

Z 2

3

√ x

1

y4+ 1dy.

Giải

Ta có miền D

(

0 ≤ x ≤ 8 3

√

x ≤ y ≤ 2 ⇔

(

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ y3 Đổi thứ tự lấy tích phân ta có:

I =

Z 2

0

dy

Z y3 0

1

y4+ 1dx =

Z 2

0

y3

y4+ 1dy =

1

4ln y

4+ 1

2

0

= 1

4ln 17 Bài 7(Câu 4 - Đề 3 - 20172): Tính các tích phân kép sau

1 I =RR

Dx dx dy, D giới hạn bởi y = x2, y = x + 2

2 I =RRDxpx2+ y2dx dy, với D : x2+ y2 ≤ x

Giải

1 Tìm hoành độ giao điểm của 2 đường y = x2, y = x + 2 ta có

x1= −1, x2 = 2

Ta có miền D:−1 ≤ x ≤ 2, x2≤ y ≤ x + 2

I =

Z 2

−1

dx

Z x+2

x 2 xdy =

Z 2

−1

xy

x+2

x 2

dx =

Z 2

−1

x x + 2 − x2
dx = 9

4

2 Đổi sang tọa độ cực:

(

x = r cos φ

y = r sin φ ⇒ |J | = r

Ta có

(

x2+ y2≤ x

(

r2≤ r cos φ cos φ ≥ 0 ⇒ D

0 :(0 ≤ r ≤ cos φ

−π

2 ≤ φ ≤

π 2

I = 2

Z π

2

0

dφ

Z cos φ

0

r3cos φdr = 1

2

Z π 2

0

cos5φdφ = 4!!

2.5!! =

4 15 Bài 8(Câu 7 - Đề 3 - 20172): Tính I =RR

D(3x + 2xy), với D : 1 ≤ xy ≤

9, y ≤ x ≤ 4y

Giải

Từ giả thiết ta có:

(

xy > 0

y ≤ 4y ⇒ x > 0, y > 0 Đặt u = xy, v = x

y, Ta có 1 ≤ u ≤ 9, 1 ≤ v ≤ 4, |J | =

1 2v

I =

Z 9

1

du

Z 4

1

3√uv + 2u
1

2vdv =

Z 9

1

du

Z 4

1

 3√u

2√v +

u v

 dv

=

Z 9

1

3√uv + u ln v

4

1

du =

Z 9

1

3√u + u ln 4
du = 52 + 40 ln 4

II Một số bài tập ôn tập khác

Bài 1 Tính I =RR

Dp|y − x2|dxdy, với D : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

Giải

Ta có D = D1∪ D2 với

D1 :−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 , D2 :−1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2

Do đó

I =

Z Z

D 1

p

x2− ydxdy +

Z Z

D 2

p

y − x2dxdy

=

Z 1

−1

dx

Z x 2

0

p

x2− ydy +

Z 1

−1

dx

Z 2

x 2

p

y − x2dy

= 2

3

Z 1

−1



− x2− y
3

2

y=x 2

y=0

+ y − x2

3 2

y=2

y=x 2



dx

= 2

3

Z 1

−1



x2|x| + (2 − x2)3dx

= 1

3+

2 3

Z 1

−1

(2 − x2)32dx

Đặt x =√2 sin t, ta có

I = 1

3 +

2 3

Z π 4

− π 4

2 − 2 sin2t
3 √

2 cos tdt

= 1

3 +

2 3

Z π 4

− π 4

4 cos4tdt

= 1

3 +

2 3

Z π 4

− π 4

 3

2+ 2 cos 2t +

1

2cos 4t



dt = 5

3+

π 2 Bài 2 Tính

I =

Z Z

x 4 +y 4 ≤1

(x2+ y2)dxdy Giải

Đổi sang tọa độ cực

(

x = r cos φ

y = r sin φ ⇒ |J | = r

Ta có x4+ y4≤ 1 ⇒ r4 cos4φ + sin4φ
≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1

4 p cos4φ + sin4φ Vậy ta có miền D :







4 p cos4φ + sin4φ

0 ≤ φ ≤ 2π

Do đó

I =

Z 2π

0

dφ Z

1 4

p cos4φ + sin4φ

0

r3dr = 1

4

Z 2π

0

dφ sin4φ + cos4φ

=

Z π

2

0

dφ sin4φ + cos4φ Đặt t = tan φ ⇒ dφ = (1 + t2)dt

Lúc này

I =

Z +∞

0

1 + t2

1 + t4dt

= 1

2

Z +∞

0







1



t −

√ 2 2

2

+

√ 2 2



t +

√ 2 2

2

+

√ 2 2

2





dt

= 1

2.

2

√ 2







 arctan

t −

√ 2 2

√ 2 2 + arctan

t +

√ 2 2

√ 2 2









+∞

0

= √1

2

π

2 +

π

4 +

π

2 −

π 4



= √π 2 Bài 3 Tính I = RRDxydxdy, trong đó D giới hạn bởi các đường xy =

1, x + y = 5

2

Giải Tìm hoành độ giao điểm của hai đường xy = 1, x + y =5

2 ta có

x1 = 1

2, x2 = 2

Ta có miền D 1

2 ≤ x ≤ 2,

1

x ≤ y ≤

5

2 − x



Do đó

I =

Z 2

1 2 xdx

Z 5 −x

1 x

ydy = 1 2

Z 2

1 2 x

"

 5

2 − x

2

− 1

x2

# dx

= 1

2

Z 2

1

 25x

4 − 5x

2+ x3− 1

x



= 165

128− ln 2 Bài 4.(Câu 5 - Đề thi thử giữa kì GT2 GK 20192 CLB HTHT) Tính các tích phân sau:

1 I =RR

D(x + 2y) dx dy, D giới hạn bởi 2 đường cong y = 2x2, y = 1 + x2

2 I =RRD x2xy+y 2dx dy, D :







2x ≤ x2+ y2≤ 12

x2+ y2 ≥ 2√3y

x ≥ 0, y ≥ 0 Giải 1

I =

Z Z

D

(x + 2y)dxdy, D giới hạn bởi y = 2x2, y = 1 + x2

Ta có miền D :−1 ≤ x ≤ 1, 2x2≤ y ≤ 1 + x2

I =

Z 1

−1

dx

Z 1+x 2

2x 2 (x + 2y)dy

=

Z 1

−1

(xy + y2)

1+x 2

2x 2 dx

=

Z 1

−1

(−3x4− x3+ 2x2+ x + 1)dx

=



−3

5x

5− 1

4x

4+2

3x

3+1

2x

2+ x



1

−1

= 32 15 2

I =

Z Z

D

xy

x2+ y2dxdy, D :







2x ≤ x2+ y2 ≤ 12

x2+ y2 ≥ 2√3y

x, y ≥ 0

(

x = r cos φ

y = r sin φ (r ≥ 0) ⇒ |J | = r; x, y ≥ 0 ⇒ 0 ≤ φ ≤

π 2

(

2x ≤ x2+ y2 ≤ 12

2√3y ≤ x2+ y2 ⇒

( 2r cos φ ≤ r2 ≤ 12

2√3r sin φ ≤ r2 ⇒

(

2 cos φ ≤ r ≤ 2√3

2√3 sin φ ≤ r ≤ 2√3

Ta có 2 cos φ ≥ 2√3 sin φ trên 0,π

6, 2 cos φ ≤ 2√3 sin φ trên π

6,π2 Vậy ta có D = D1∪ D2 với

D1 :

(

0 ≤ φ ≤ π6

2 cos φ ≤ r ≤ 2√3 , D2 :

(π

6 ≤ φ ≤ π2

2√3 sin φ ≤ r ≤ 2√3

Do đó

I =

Z Z

D 1

r sin φ cos φdrdφ +

Z Z

D 2

r sin φ cos φdrdφ

=

Z π

6

0

dφ

Z 2√3

2 cos φ

r sin φ cos φdr +

Z π 2 π 6 dφ

Z 2√3

2√3 sin φ

r sin φ cos φdr

=

Z π

6

0

 r2

2 sin φ cos φ



2√3

2 cos φ

dφ +

Z π 2 π 6

 r2

2 sin φ cos φ



2√3

2√3 sin φ

dφ

=

Z π

6

0

6 sin φ cos φ − 2 sin φ cos3φ
dφ + 6

Z π 2 π 6 (sin φ cos φ − sin3φ cos φ)dφ

= 6

Z π

2

0

sin φ cos φdφ + 2

Z π 6

0

cos3φd(cos φ) − 6

Z π 2 π 6 sin3φd(sin φ)

= 3 + −7

32



−45

32 = 11 8

1

3√u + u ln 4
du = 52 + 40 ln

II Một số tập ôn tập khác

Bài Tính I =RR

Dp|y − x2|dxdy, với D... 1

x



= 165

128− ln 2 Bài 4. (Câu - Đề thi thử kì GT2 GK 20192 CLB HTHT) Tính tích phân sau:

1 I =RR

D(x +...

2.5!! =

4 15 Bài 8 (Câu - Đề - 20172): Tính I =RR

D(3x + 2xy), với D : ≤ xy ≤

9, y ≤ x ≤ 4y

Giải

Từ giả thi? ??t ta có:

(

xy